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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 勾股定理的应用 常考题型·精准突破 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度（重） 题型2 勾股定理应用之旗杆高度（高频） 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离（高频） 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型6 勾股定理应用之航海问题（重） 题型7 勾股定理应用之河的宽度 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题（高频） 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题（高频） 题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题（难） 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 1． 【答案】（1）解：∵ 90 C ＝ ， 2.5m 0.7m AB BC ＝ ， ＝ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 0.7 2.4 AC AB BC m = − = − = ， 答：此时梯子的顶端A 距地面的高度AC 为2.4m； (2)梯子底端B 外移不是0.4m， 理由：由图可知梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m后， ( ) = 0.4=2.4 0.4=2 m A C AC − − ， 2.5m A B AB ＝ ＝ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 2 1.5 m B C A B A C − = = = − ， ∴ ( ) 1.5 0.7 0.8 m BB B C BC = − = − = ， 所以梯子底端B 外移不是0.4m． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2． 【答案】（1）解：在Rt OAB 中， 25 AB = 米， 15 OA= 米， 5 OE = 米， 2 2 2 2 25 15 20 OB AB OA = − = − = （米）， 20 5 25 BE OB OE = + = + = （米）， 答：B 处与地面的距离是25 米； （2）解：由题意得 4 BD = 米， 25 CD = 米， 20 4 24 OD OB BD = + = + = （米）， 2 2 2 2 2 2 25 25 24 7 OC CD OD OD = − = − = − = （米）， 15 7 8 AC OA OC = − = − = （米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米． 3． 【答案】（1）解：由题意知：ABC 是直角三角形，其中 8dm AC = ， 6dm BC = ， 2 2 10dm AB AC BC = + = ， 绳子总长度为 10 8 18dm AB AC + = + = ． （2）解：若物体C 升高7dm ，此时 10 7 17dm AB = + = ， 在Rt ABD 中，由勾股定理得， 2 2 2 2 17 8 15 BD AB AD dm = − = − = ， 15 6 9dm BE BD DE = − = −= ． 滑块B 向左滑动的距离为9dm． ◆题型2 勾股定理应用之旗杆高度 4． 【答案】解：在Rt ABC △ 中， 2 2 2 2 25 24 7 m AC AB BC = − = − = ， 15 m CE AC AE = + = ， 由题意可得， 25m EF AB = = ， 在Rt EFC 中， 2 2 2 2 25 15 20 m CF EF EC = − = − = ， 4 m BF BC CF = − = ． 答：小明移动的距离BF 为4m． 5． 【答案】（1）解：由题意得，秋千摆动时绳索长度不变，故OB x = 米； （2）解：∵静止踏板离地0.5米，摆动时离地1.5米， ∴踏板升高1.5 0.5 1 − = 米， 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵绳索总长为x 米， ∴ 1 OC x = −米； (3)在Rt OCB 中， 2 2 2 OC BC OB + = ， ∴( ) 2 2 2 1 3 x x − + = ， 解得 5 x = ， 答：绳索的长度为5米． 6． 【答案】（1）解：①∵BC AD ⊥ ，BE ED ⊥ ，AD ED ⊥ ， ∴ 90 BCD BED EDC = = = ， ∴四边形BEDC 为矩形， ∴ 1.7 CD BE = = 米， 15 BC ED = = 米. ②在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 25 AB = 米， 由勾股定理，得 2 2 2 2 25 15 20 AC AB BC = − = − = （米）， ∴ 20 1.7 21.7 AD AC CD = + = + = （米）； （2）解：如图，设风筝沿AD方向下降12 米至点F，连接BF ， ∴ 20 12 8 CF AC AF = − = − = （米）， ∴ 2 2 2 2 8 15 17 BF CF BC = + = + = （米）， ∵原来的风筝线的长为25 米， ∴25 17 8 − = （米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8 米． ◆题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 7． 【答案】如答图， 设点D 处为树顶，鹰向点B 处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB AB = ， 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设CB 的长为m x ，则 ( ) 2 2 2 15 15 3 x x + = − ， 解得 20 x = ． 答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇． 8．（ 【答案】解：如图，作AE CD ⊥ 于E ，连接AC ， 由题意得： 5m DE AB = = ， 12m AE BD = = ， 90 AEC = ， 21 5 16m CE CD DE = − = −= ， 2 2 2 2 12 16 20m AC AE CE = + = + = ． 即：无人机飞行的最短距离为20m． 9． 【答案】解：∵ 90 , 24, 30 ACB BC AB = = = ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 30 24 18 AC AB BC = − = − = 米， 根据题意可得 1.7 CD = 米， ∴ 18 1.7 19.7 20 AD AC CD = + = + = ， ∴此时风筝的高度是安全的． ◆题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 10． 【答案】（1）解：由题意知 8m AC BC + = ， 90 A = ， 在Rt ABC △ 中， 2 2 2 AB AC BC + = ， 4 m AB = ， ( ) 2 2 2 4 8 AC AC + = − ， 3 m AC = ， 5 m BC = ， 故旗杆在距地面3 m 处折断． （2）解：如图， D 点距地面 ( ) 3 1.25 1.75 m AD = − = ， ( ) 8 1.75 6.25 m B D = − = ， 90 A = ， 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt AB D △ 中， ( ) 2 2 6 m B A B D AD = − = ， 距离旗杆底部周围6 m 范围内有被砸伤的风险． 11． 【答案】（1）解：由题意知， 90 A = ， 4 AB = ， 3 AC = ， 在Rt ABC △ 中，根据勾股定理得： 2 2 2 BC AC AB = + ， 2 2 3 4 5 BC = + = ∴ ， 3 5 8 AC BC + = + = ， ∴木杆折断之前的高度为8米； （2）解：如图，由题意得 3 1 2 AE AC CE = − = −= ， 8 2 6 EF = − = ， 在Rt AEF 中，根据勾股定理得， 2 2 2 36 4 32 AF EF AE = − = − = ， 4 2 AF = ， 32 25 ， 4 2 5 ， AF AD ， ∴小草不会被砸到． 12． 【答案】（1）解：两棵树的高度差为10 2 8 − = （米），两树相距6 米（ 6 BD = 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 2 2 8 6 10 = + = （米）， 答：至少飞了10米； （2）解：由勾股定理得： 2 2 2 BM AB AM + = ， ( ) 2 2 2 6 10 BM BM + = − ， 解得： 16 5 BM = ， 答：树AB 折断处M 距离地面16 5 米． 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 13． 【答案】解：设水池深度为x 尺，则芦苇高度为 ( 1) OC OD CD x = + = + 尺， 由题意有： ( 1) OE OC x = = + 尺； O 为AB 中点，且 1 AB = 丈 10 = 尺， 1 1 10 5 2 2 OA AB = = = (尺)； 在Rt EAO △ 中，由勾股定理得： 2 2 2 AE OA OE + = ， 即 2 2 2 5 ( 1) x x + = + ， 解得： 12 x = ， 答：水池的深度为12 尺． 14． 【答案】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要16 2 18cm + = ； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长 25 16 9 cm h = − = ； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为 2 2 12 16 20 cm + = ， 露在杯子外面的长 25 20 5 cm h = − = ； 5 cm 9 cm h ． 15． 【答案】（1）设OD 为x 尺， 则 1 OC OE x = = + （ ）尺， 5 DE = 尺． 在Rt ODE 中， 90 ODE = ， 由勾股定理，得 2 2 2 DE OD OE + = ． 2 2 2 5 ( 1) x x + = + ． 解得 12 x = ． 答：水池的深度OD 为12 尺． （2）图中OD b = ，CD n = ， 2 AB a = ， 则OC OE b n = = + ，DE a = ， 在Rt ODE 中， 90 ODE = ， 由勾股定理，得 2 2 2 DE OD OE + = ． 2 2 2 ( ) a b b n + = + ． 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 2 2 2 a n b n − = ． ◆题型6 勾股定理应用之航海问题 16． 【答案】解：由题意可知AD BC ⊥ ， ∵ 13km AB = ， 5km BD = ， ∴ 2 2 12km AD AB BD = − = ， ∵ 9km DC = ， ∴ 2 2 15km AC AD CD = + = ． 17． 【答案】解：设行驶时间为t 秒， 由题意得：(40 4 ) (30 3 ) 35 t t − + − = 70 7 35 t − = ， 解得 5 t = ． 此时，小王的赛车距A的距离为40 4 5 20 −= （m ）， 小林的赛车距A的距离为30 3 5 15 −= （m ）． 由勾股定理，两车之间的距离为： 2 2 20 15 400 225 625 25 + = + = = （m ）． ∵25 25 = ， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 18． 【答案】（1）解：由题意得， 180 57 33 90 ACB = − − = ， 400 AC = 海里， 300 BC = 海里， ∴由勾股定理得 2 2 2 2 400 300 500 AB AC BC = + = + = 海里， 答：渔船A与渔船B 之间的距离AB 为500 海里； （2）解：如图所示，过点C 作CE AB ⊥ 于点E， 则 90 AEC BEC = = ， 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 1 1 2 2 ABC S AC BC CE AB = = △ ， ∴1 1 300 400 500 2 2 CE = ， ∴ 240 CE = 海里， 在Rt EBC 中，由勾股定理得 2 2 2 2 300 240 180 BE BC CE = − = − = 海里， 在Rt EDC △ 中，由勾股定理得 2 2 2 2 300 240 180 DE CD CE = − = − = 海里， ∴ 360 BD DE BE = + = 海里 答：渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD的长）是360 海里． ◆题型7 勾股定理应用之河的宽度 19． 【答案】解： ABC 是直角三角形且 90 B = ， AB 和BC 为直角边，AC 为斜边． 根据勾股定理可得： 2 2 2 AB BC AC + = ． 10m AC = ， 8m BC = ，将其代入上述公式，可得： 2 2 2 8 10 AB + = ， 2 2 2 10 8 100 64 36 AB = − = − = ， 由于线段长度为正数，得： 36 6m AB = = ． 故A、B 两点之间的距离是6m． 20． 【答案】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，AB BC ⊥ ， 75m AC = ， 45m BC = ， 在Rt ABC △ 中，由勾股定理得 2 2 2 2 75 45 60m AB AC BC = − = − = 答：该河流的宽度为60 米． 21． 【答案】（1）解： ( ) ( ) 2 2 2 AB CD BC a b S + + = = 梯形 ， ∵Rt Rt ABE ECD ≌ ， 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 1 1 2 2 2 2 ABE ADE S S S ab c = + = + 梯形 , ∴( ) 2 2 1 1 ·2 2 2 2 a b ab c + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． （2）解：取CD中点P ，由题知： 1.5 PM = ， 过点M 作MN CD ⊥ 交桥洞于点N ，连接PN ，如下图所示： ∴ 2.5 PN = ， ∴在Rt PMN 中， 2 2 2 MN PN PM = − = ， ∴2 5 3.8 3.2 2.5 + − = ， ∴可以安全通过． ◆题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 22． 【答案】解：在ABC 中， 90 ACB = ， 5m BC = ， 13m AB = 由勾股定理得， ( ) 2 2 2 2 13 5 12 m AC AB BC = − = − = ， 在楼梯上铺地毯需要的长度为 ( ) 12 5 17 m AC BC + = + = ， ∵楼梯宽为2m ， ∴需要铺地毯的面积为 ( ) 2 17 2 34 m = ， ∵每平方米的地毯售价是150 元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34 150 5100 = （元）． 23． 【答案】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m ，斜边为13m， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为： 2 2 13 5 12m − = ， 则需购买地毯的长为12 5 17m + = ， 因为地毯的宽则是台阶的宽4 米， 所以面积是： 2 17 4 68m = ． 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故共需购买 2 68m 的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元 2 /m ， 则购买地毯的费用为：120 68 8160 = 元， 故购买地毯需花费8160 元． 24． 【答案】（1）解：∵ 90 C = ， 3m AC = ， 5m AB = ， ( ) 2 2 2 2 5 3 4 m BC AB AC = − = − = ， 答：BC 的长为4m ； （2）解：地毯长为： ( ) 3 4 7 m + = ， ∴地毯的面积为 ( ) 2 2.8 7 19.6 m = ， 每平方米地毯25 元， 需要花费25 19.6 490 = （元）； 答：需要花费490 元地毯才能铺满所有台阶． ◆题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 25． 【答案】（1）解：由题意可得： 60 AC = ， 100 AB = ， 90 ACB = ， 2 2 80m BC AB AC = − = ； (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为 80 20m/ s 20 3.6km/ h 72km/ h 4 v = = = = ； 72km/ h 80km/ h ； 这辆小汽车没有超速行驶． 26． 【答案】（1）解：如图， 出发4 秒钟时， 1 16 4 4 CC = = 米， 1 3 4 12 BB = = 米 40 AC = 米， 30 AB = 米 1 24 AC = 米， 1 18 AB = 米 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2 1 1 24 18 30 B C = + = （米） 答：两赛车之间的距离是30 米． （2）解：设出发t 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，40 4 30 3t 35 t − + − = ，解得 5 t = 此时 1 1 20, 15 AC AB = = ， 此时 2 2 2 2 1 1 1 1 20 15 25 B C C A B A = + = + = ， 即两赛车间的距离是25 米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰． 27． 【答案】（1）解：如图，过点A作AE BC ⊥ 于点E ，则 90 AEB AEC = = ， 1200 m AE = ， 由题意得 2000m AB = ， 1300 m AD = ， 在Rt ABE △ 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 2000 1200 1600 m BE AB AE = − = − = ， 在Rt ADE △ 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 1300 1200 500 m DE AD AE = − = − = ， ( ) 1600 500 1100 m BD BE DE = − = − = ， 速度为 ( ) 1100 44 25 m/s = ， 答：外来车辆的平均速度为25 m/s ； (2)能成功在C 处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得 1500 m AC = ， 在Rt ACE 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 1500 1200 900 m CE AC AE = − = − = ， 由（1）可知 500 m DE = ， ( ) 500 900 1400 m CD DE CE = + = + = ， 外来车辆到达C 处所需的时间为 ( ) 1400 25 56 s = ． 安保人员的速度为30m/s ， 安保人员达C 处所需的时间为 ( ) 1500 30 50 s = ， 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 50 56 能成功在C 处拦截外来车辆． ◆题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 28． 【答案】（1）解： AC BC ⊥ ， 90 ACB = ， 1000km AB = ， 600km AC = ， ( ) 2 2 2 2 1000 600 800 km BC AB AC = − = − = ； (2)海港C 受台风影响， 理由如下：过点C 作CD AB ⊥ ， 1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 1 1 600 800 1000 2 2 CD = ， ( ) 480 km CD = ， 以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480 520 ， 海港C 受台风影响； （3）解：如图，当 520km EC = ， 520km FC = 时，正好影响C 港口， ( ) 2 2 200 km ED EC CD = − = ， ( ) 2 2 200 km FD FC CD = − = ， ( ) 400 km EF ED FD = + = ， 台风的速度为100km/ h ， ( ) 400 100 4 h = ， 答：海港C 受台风影响的时间会持续4h． 29． 【答案】（1）解：由题意可得AD BC ⊥ ， 340 AB km = ， 在直角ABD 中， 2 2 2 2 340 160 300 BD AB AD km = − = − = ． 答：BD的长为300km ． （2）解：如图，以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ， 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意可知，台风在EF 段时，对A市有影响． 在直角ADE 中， 2 2 2 2 200 160 120 DE AE AD km = − = − = ， 同理， 120 DF km = ， ∴ 240 EF DE DF km = + = ， ∴影响持续的时间为240 20 12h = ． 答：A市受到台风影响的时间持续12小时． 30． 【答案】（1）解：观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点A作AD BC ⊥ 于点D ， ∵AB AC ⊥ ， ∴ 90 BAC = ， ∴由勾股定理得， 2 2 500km BC AB AC = + = ， 由等面积得 300 400 240km 500 AB AC AD BC = = = ， ∵240 250 ， ∴观测点A会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作 250km AE AF = = ， 由勾股定理得， 2 2 2 2 250 240 70km DE AE AD = − = − = ， 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据题意， 2 140km EF DE = = ， 140 20 7 = （小时） ∴观测点A受台风影响的时间有7 小时． ◆题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题 31． 【答案】解：∵C，D 两村到E 站的距离相等， ∴DE CE = ． ∵DA AB ⊥ 于A，CB AB ⊥ 于B， ∴ 90 A B = = ， ∴ 2 2 2 2 2 2 AE AD DE BE BC EC + = + = , ， ∴ 2 2 2 2 AE AD BE BC + = + ， 设AE x = ，则 ( ) 27 BE AB AE x = − = − ． ∵ 24km DA= ， 15km CB = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 24 27 15 x x + = − + ， 解得： 7 x = ， ∴ 7km AE = ． 答：E 站应建在离A 站7km处． 32． 【答案】（1）解：∵小区A 在点C 的正北方向， ∴ 90 ACB = ， ∴ 13km AB = ， 12km BC = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 m 13 12 5 k AC AB BC = − = − = ， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）解：设 ( ) km AD BD x = = ， ∴ ( ) 12 km CD x = − ， ∵ 2 2 2 AD AC CD = + ， ∴ ( ) 2 2 25 12 x x = + − ， ∴ 169 24 x = ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为169 km 24 ． 33． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）解：∵小区A 在快递投放点C 的正北方向， ∴ 90 ACB = ， ∴ 13km AB = ， 12km BC = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 13 12 5 km AC AB BC = − = − = ， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）解：设 ( ) km AD BD x = = ， ∴ ( ) 12 km CD x = − ， ∵ 2 2 2 AD AC CD = + ， ∴ ( ) 2 2 2 5 12 x x = + − ， ∴ 169 24 x = ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为169 km 24 ． ◆题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 34． 【答案】解：如图，连接AB 交CD于点E ， 依题意， 6 3 9 AF AC CF = + = + = ， 12 BF = 在Rt ABF 中， 2 2 2 2 9 12 15 AB AF FB = + = + = ，即AE BE + 为15km ． 35． 【答案】（1）画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 展开后，半圆长为1 1 3 6 9 2 2 d = = ， 此时最短路程是 2 2 12 9 15 + = 厘米， ∵15 18 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解： 3 6 9 a = + = ， ∵9 9.49 ， ∴表格中b 表示的大小关系是x y ； （3）解：根据题意可得 ( ) 2 2 2 3 h r h r + = + ， 即 2 2 2 2 4 4 9 h hr r h r + + = + ， ∴ 4 5 r h = ， 故当 4 5 r h = 时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 36． 【答案】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长( ) 3+2 4 20dm = ，宽15dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm x ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 15 [(2 3) 4] 25 x = + + = ， 解得： 25 x = ． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得： 1 10 5(cm) 2 AC = = ， 15cm BC = ， 2 2 15 5 10(cm) 5 AB = + = ， 该蚂蚁爬行的最短路程5 10 厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ， 连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程， 3cm EF AG = = ， ( ) 15 6 cm 9cm CF FB = = − = ， 1 10cm 5cm 2 AE = = ， 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12cm CE EF CF = + = ， 根据勾股定理有： 2 2 2 2 12 13(cm) 5 AC AE CE = + = + = ， 蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为13cm． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 二、填空题 6．5 7．16 8．50 9．13 10．5 三、解答题 11． 【答案】解：设这根芦苇的长度是x 尺，则水深为( ) 1 x − 尺， 由勾股定理得(𝑥−1)2 + 52 = 𝑥2， 解得 13 x = ， 即这根芦苇的长度为13 尺． 12． 【答案】（1）解：由题意得， 90 ACB = ， 15 BC = 米， 17 = AB 米， 在Rt ABC △ 中，由勾股定理得， 2 2 2 AC AB BC = − ， ∴ 2 2 17 15 8 AC = − = 米， 则 8 1.5 9.5 AD AC CD = + = + = 米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5 米． （2）解：如图，当风筝沿方向再上升12 米时， 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 12 8 20 A C A A AC = + + = = 米， 在Rt A BC 中，由勾股定理得， 2 2 2 A B A C BC = + ， ∴ 2 2 20 15 25 A B = + = 米， ∴25 17 8 − = 米， ∴他应该再放出8 米线． 13． 【答案】解：∵过点C 作AB 的垂线，垂足为H， ∵在Rt ACH 中， 2 2 2 AC AH CH − = ， 在Rt BCH △ 中， 2 2 2 BC BH CH − = ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − 由题意得 200m AB = ，设 m AH x = ，则 (200 )m BH x = − ． 160m, 120m AC BC = = ， 2 2 2 2 160 120 (200 ) x x − = − − ， 解得 128 x = ， 128m AH = ， 2 2 2 2 160 128 96(m) CH AC AH = − = − = ． 280m, 296m AC BC CH AH BH CH AB + = + + = + = ， AC BC CH AH BH + + + ， ∴甲方案所修的水渠较短． 14． 【答案】（1）解：如图①，过A作AM 垂直于墙面，垂足为点M ，则 90 AMO = ， 小学 初中 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意可知， 80cm, 100cm OM OA = = ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 100 80 60(cm) AM OA OM = − = − = ， 答：小凳子顶点A与墙面OC 的距离为60cm ； （2）如图②，延长BA交墙面于点N ，则 90 BNC = ， 设 cm AB x = ，则 ( 70)cm, ( 60)cm, 130 80 50(cm) CB x BN x CN OC ON = + = + = − = − = ， 在Rt BCN 中，由勾股定理得： 2 2 2 BN CN BC + = ， 即 2 2 2 ( 60) 50 ( 70) x x + + = + ， 解得： 60 x = ， 60cm, 60 70 130(cm) AB BC = = + = ， 答：小凳子宽AB 的长度为60cm ，木杆BC 的长度为130cm． 15． 【答案】（1）解：①如图，点 1 B 即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点 1 D 即为所求； （2）解：将点A向右平移BD的长度至点 1A ，作点C 关于直线l 的对称点 1 C ，连接 1 1 AC ，作 1 1 A E CC ⊥ ，如 图， 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则： 1 1 1 1 1 1 AB BD CD A D AA C D AA AC + + = + + + ， ∴当 1 1 , , A D C 三点共线时， 1 1 1 AB BD CD AA AC + + = + ，即工作人员所走的路程最短， 由题意， 1 1 1 100, 700 100 600, 500 300 800 AA BD AE EC = = = − = = + = ， ∴ 2 2 1 1 1 1 1000 AC A E C E = + = ， ∴AB BD CD + + 的最小值为100 1000 1100 + = ； 答：工作人员所走的最短路程是1100 米.
