文档文本内容
专题03 有理数运算中的新定义型及规律探究问题
常考题型·精准突破
题型1 有理数运算中的程序问题（重）
题型2 古代中的有理数运算问题
题型3 有理数运算的实际应用问题（高频）
题型4 有理数运算中的新定义型问题
题型5 有理数运算中的规律探究问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 有理数运算中的程序问题
1．（25-26 七年级上·河南鹤壁·期中）按如图所示的程序计算，如果输入1
- ，则输出的结果为______．
【答案】5
【分析】本题主要考查程序流程图与含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
根据程序流程图的操作方法再结合含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：由图，得
2
( 1)
( 6)
( 2)
-
+ -
- -
1 6
2
= -
+
3
3
= - <
，
23
( 6)
( 2)
+ -
- -
6
9
2
=
-
+
5
3
=
>
．
故答案为：5．
2．（25-26 七年级上·江苏常州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是72，则最后输出的
结果是________ ．
【答案】288
【分析】本题主要考查了实数的运算，代入输入的数，按给出的运算顺序进行运算并判断是输出还是输入，
循环以上步骤．
【详解】解：当输入的数是72 时，
1
1
72 |
| 72
36
2
2
´ -
=
´
=
，
2
1
1
36
36
144
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
¸ -
=
¸ -
= -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，
∵144
100
-
<
，
当输入的数是144
-
时，
1
1
144 |
|
144
72
2
2
-
´ -
= -
´
= -
，
2
1
1
72
72
288
2
4
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
= -
¸ -
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，
∵288
100
>
，
∴最后的输出结果是288．
故答案为：288．
3．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问
题：当输入的x 为16
-
时，最后输出的结果y 是多少？（写出计算过程）
【答案】10
-
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把
16
x = -
代入计算即可求
解，看懂流程图是解题的关键．
【详解】解：由流程图得，
2
1
2
1
2
4
3
0.5
4
9
2
13
3
3
3
3
x
x
x
æ
ö
æ
ö
é
ù
é
ù
+
- -
´
-
¸
=
+
- -
´ -
´
= -
+
ç
÷
ç
÷
ë
û
ë
û è
ø
è
ø
，
当输入
16
x = -
时，
2
2
13
16 13
2
3
3
x
-
+
= -
´ -
+
=
，
∵2
9
> - ，
∴第二次输入，
当
2
x =
时，
2
2
13
2 13
10
9
3
3
x
-
+
= -
´
+
= -
< - ，输出，
∴输出的结果y 是10
-
．
◆题型2 古代中的有理数运算问题
4．（25-26 七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节
气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二
十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或
增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是_________
尺．
【答案】11.5
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的
量．根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从秋分到夏至霜降晷长变化次数即可求出相邻两个
节气晷长减少或增加的量，从而可得小雪的晷长．
【详解】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从秋分到霜降变化2 次，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为
9.5
7.5
2
1
-
¸
= （尺），
小雪的晷长为 7.5
4 1
11.5
+ ´ =
（尺），
故答案为：11.5尺．
5．（25-26 七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数
8
365
换算成十进制
数是
2
1
0
3 8
6 8
5 8
245
´
+ ´
+ ´
=
．
(1)直接写出二进制数
2
1101
换算成十进制数的结果；
(2)计算
2
2
110110
1101
-
；
(3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从
右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习
的天数；
(4)直接写出十进制数2025 换算成八进制数的结果．
【答案】(1)13；
(2)
2
101001
；
(3)2494 ；
(4)3751．
【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题干中不同进位制的数之
间的转换的计算方法，根据题干中的方法进行计算．
1 根据题干中提供的方法进行计算；
2 先把二进制数转化为十进制数进行计算，再把计算的结果转化二进制数；
3 根据题干中提供的方法把六进制转换十进制即可；
4 用短除法把十进制转换为八进制即可．
【详解】（1）解：
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
8
4
0 1
13
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+ =
Q
，
\
2
1101
13
=
；
（2）解：
2
110110
Q
5
4
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
32 16
0 1 4 1 2
0
=
+
+
+ ´ + ´ +
32 16
4
2
=
+
+
+
54
=
，
2
1101
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
8
4 1
=
+
+
13
=
，
\
2
2
110110
1101
-
；
54 13
=
-
41
=
，
如下图所示，
10
2
41
101001
\
=
，
\
2
2
2
110110
1101
101001
-
=
；
（3）解：
4
3
2
1
0
1 6
5 6
3 6
1 6
4 6
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
1296 1080 108
6
4
=
+
+
+
+
2494
=
，
答：书生努力学习的天数为2494 天；
（4）解：如下图所示，
10
8
2025
3751
\
=
．
6．（25-26 七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用．
(1)如图1 是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的
三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数．
(2)第十四届国际数学教育大会
14
ICME -
会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文
化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的数
字系统，有0
7
:
共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，表
示
14
ICME -
的举办年份．问：八进制2026 换算成十进制是多少？（注：
08
1
= ）
【答案】(1)6
(2)1046
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
（1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解；
（2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解．
【详解】（1）解：Q纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，
\最左边的一列三个数字和为4
3
8
15
+ +
=
，
\右下角代表的数是15
2
7
6
-
-
=
；
（2）解：Q八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，
\八进制2026 换算成十进制数是
3
2
1
0
2 8
0 8
2 8
6 8
1046
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
◆题型3 有理数运算的实际应用问题
7．（25-26 七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．
（单位：km ）4, 7, 9, 8, 6, 5, 2
-
+
-
+
+
-
-
(1)在第几次记录时距A 地最远．
(2)求收工时在A 地的什么方向？距A 地多远？
(3)若每千米耗油0.3 升，问共耗油多少升？
【答案】(1)第五次
(2)收工时在A 地正东方向，距A 地1km
(3)共耗油12.3升
【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次: 第七次记录时，距A 地的距离，由此即可得；
（2）将记录的数字相加求和即可；
（3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可．
【详解】（1）解：第一次记录时：
4
4 km
-
=
，
第二次记录时：
4
7
3
3 km
- +
=
=
，
第三次记录时：
3
9
6
6 km
-
= -
=
，
第四次记录时：
6
8
2
2 km
- +
=
=
，
第五次记录时：
2
6
8
8 km
+
=
=
，
第六次记录时：
8
5
3
3 km
-
=
=
，
第七次记录时：
3
2
1
1 km
-
=
=
，
由此可知，在第五次记录时距A 地最远．
（2）解：
4
7
9
8
6
5
2
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
4
7
9
8
6
5
2
= - +
-
+
+
-
-
1 km
=
，
∵规定向东行驶为正，
∴收工时在A 地正东方向，距A 地1km ．
（3）解：
4
7
9
8
6
5
2
0.3
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
´
4
7
9
8
6
5
2
0.3
=
+
+
+ +
+ +
´
41 0.3
=
´
12.3
=
（升），
答：共耗油12.3升．
8．（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校
出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A 地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为
负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米）
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
行驶情况
7
+
6
-
5
-
2
-
8
+
(1)请你帮忙确定A 地在学校的什么方向？距离学校多远？
(2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27 升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8 升，请通过计算
说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？
【答案】(1)
A 地在学校的东边，距离学校2 千米
(2)
巡逻车平均每千米耗油0.96 升
【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案．
【详解】（1）解：7
( 6)
( 5)
( 2)
( 8)
15 13
2
+ + -
+ -
+ -
+ +
=
-
=
，
所以A 地在学校的东边，距离学校2 千米；
（2）解：
7
6
5
2
7
6
5
2
20
+
+ -
+ -
+ -
=
+
+ +
=
，
则(27
7.8)
20
0.96
-
¸
=
，
所以巡逻车平均每千米耗油0.96 升．
9．（25-26 七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5 元的“桃李手撕面包”，售价为每
块6 元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5 元．从
第二个月开始每块恢复为6 元，月末结算时，以每周销售200 块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，
这周的销售情况如表：
周次
一
二
三
四
销售量
28
16
6
-
12
-
(1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元．
(2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本）
(3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案：
方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价0.3元；
方案二：凡一次性购买3 块以上者，其中3 块按照原价销售，超过3 块的部分可直接打九折．
若有人一次性购买7 块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出?
【答案】(1)四，1026
(2)826元
(3)饭堂更希望方案一卖出
【分析】（1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可．
（2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利= （售价- 成本）´总销售量）计算总盈利．
（3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案．
【详解】（1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周，
销售量最高的是第一周，实际销售量为200
28
228(
+
=
块)
销售额为228 4.5
1026(
´
=
元) ；
（2）解：计算每周实际销售量第一周：200
28
228(
+
=
块)
第二周：200 16
216(
+
=
块)
第三周：200
6
194(
-
=
块)
第四周：200 12
188(
-
=
块)
总销售量为228
216 194 188
826(
+
+
+
=
块)
每块面包的盈利为4.5
3.5
1(
-
=
元)
总盈利为826 1
826(
´ =
元)
答：开学第一月的总盈利是826(元)
（3）解：方案一：每块面包售价为6
0.3
5.7(
-
=
元)
饭堂的利润为
7
5.7
3.5
7 2.2
15.4(
´
-
=
´
=
元)
方案二：3块面包的利润为
3
6
3.5
3 2.5
7.5(
´
-
= ´
=
元)
超过3块的数量为7
3
4(
-
=
块)
这4 块面包的售价为6 0.9
5.4(
´
=
元)
这4 块的利润为
4
5.4
3.5
4 1.9
7.6(
´
-
=
´
=
元)
总利润为7.5
7.6
15.1(
+
=
元)
15.4
15.1
>
Q
\饭堂更希望方案一卖出
◆题型4 有理数运算中的新定义型问题
10．（25-26 七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了
一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足
2
a
b
a b
ab
=
+
※
．
(1)求
2
3
-
※ 的值；
(2)求
5
4
2û
-
-
é
ù
ë
※
※
．
【答案】(1)6
(2)480
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）根据定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
2
3
-
※
2
2
3
2
3
= -
´ + -
´
12
6
=
+ -
6
=
；
（2）解：由题意得：
5
4
2û
-
-
é
ù
ë
※
※
2
5
4
2
4
2
é
ù
= -
-
´
+ -
´
ë
û
※
5
32
8
= -
-
※
5
24
= -
※
2
5
24
5
24
= -
´
+ -
´
600 120
=
-
480
=
．
11．（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：
2
a
b
a
b
Ä
=
-
，如
2
3
2
3
2
9
2
11
Ä -
=
- -
=
+
=
，计
算下列各式．
(1)
2
5
-
Ä ；
(2)
3
0
3
-
Ä
Ä -
é
ù
ë
û ．
【答案】(1) 1
-
(2)6
【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键；
（1）根据新定义运算求解即可；
（2）根据新定义先算
0
3
Ä -
，再算
3
0
3
-
Ä
Ä -
é
ù
ë
û 即可．
【详解】（1）解：
2
2
5
4
5
1
2
5 = -
-
=
-
Ä
= -
-
；
（2）解：因为
0
3
0
3
3
Ä -
=
- -
= ，
所以
2
3
0
3
3
3
3
3
9
3
6
é
ù
-
Ä
Ä -
= -
Ä
= -
-
=
-
=
ë
û
．
12．（23-24 七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数
0
a a ¹
的除法运算叫做除方．
n
a
a
a
a
a
¸
¸
¸¼¸
1442443
个
记作aⓝ，比如把2
2
2
¸
¸ 记作2③，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
记作( 3)
-
④．特别地，规定a
a
=
①
．
(1)根据除方的定义，
2
2
2
2
2
-
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
可记作____________；
(2)直接写出计算结果：2023
=
②
____________；
(3)计算：
2
4
( 2)
( 1)
-
¸ -
+ -
③
⑥；
(4)对于有理数
0 ,
3
a a
n
¹
³
时， aⓝ= ____________．
【答案】(1)
2
-
⑤
(2)1
(3)33
(4)
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法
则，利用新定义计算．
（1）根据题意，利用新定义计算即可．
（2）根据题意，利用新定义计算即可．
（3）根据题意，利用新定义计算即可．
（4）根据题意，利用新定义计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
-
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
= -
⑤，
故答案为：
2
-
⑤．
（2）解：2023
2023
2023
1
=
¸
=
②
，
故答案为：1．
（3）解：
2
1
4
( 2)
( 1)
16
1
33
2
æ
ö
-
¸ -
+ -
= -
¸ -
+ =
ç
÷
è
ø
③
⑥
；
（4）解：原式
2
1
2
1
1
1
1
1
n
n
a
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
æ
ö
=
¸
¸
¸¼¸
=
´
´
´¼
´ = ç
÷
è
ø
n
n
个
个
，
故答案为：
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
◆题型5 有理数运算中的规律探究问题
13．（25-26 七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题
2
1
1
3
1
2
2
2
-
=
´
，
2
1
2
4
1
3
3
3
-
=
´
，
2
1
3
5
1
4
4
4
-
=
´
…
按上述规律填空：
(1)
2
1
1 100
-
= ________´________．
(2)计算：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2022
2023
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
-
´
-
´
´
-
´
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
L
________．
【答案】(1) 99
100 ，101
100
(2) 1012
2023
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计
算的方法．
（1）首先可以看出等号的左边是1 减去几的平方分之一，计算的结果是1 减去几分之一乘1 加上几分之一，
由此规律直接得出答案即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可．
【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：
2
1
99
101
1 100
100
100
-
=
´
，
故答案为：99
100 ，101
100 ；
（2）解：由题意，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2022
2023
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
-
´
-
´
´
-
´
-
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
L
1
3
2
4
2021
2023
2022
2024
2
2
3
3
2022
2022
2023
2023
=
´
´
´
´
´
´
´
´
L
1
2024
2
2023
=
´
1012
2023
=
，
故答案为：1012
2023 ．
14．（25-26 七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1 个等式：
2
1
1
1
1
2
1
2
1
3
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
第2 个等式：
2
1
1
1
1
4
1
2
3
5
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø，
第3 个等式：
2
1
1
1
1
6
1
2
5
7
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
第4 个等式：
2
1
1
1
1
8
1
2
7
9
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5 个等式：____________________；
(2)运用你发现的规律求
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
4
1
6
1
8
1
100
1
+
+
+
+×××+
-
-
-
-
- 的值．
【答案】(1)
2
1
1
1
1
10
1
2
9
11
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø
(2) 50
101
【详解】（1）解：由题意得第5 个等式：
2
1
1
1
1
10
1
2
9
11
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø；
（2）解：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
4
1
6
1
8
1
100
1
+
+
+
+×××+
-
-
-
-
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
99
101
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
99
101
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
è
ø
1
1
1
2
1
101
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
50
101
=
．
15．（25-26 七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式：
第1 个等式：
2
3
1
1
=
；
第2 个等式：
2
3
3
1
2
1
2
+
=
+
；
第3 个等式：
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
+
+
=
+
+
；
第4 个等式：
2
3
3
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
+
+ +
=
+
+
+
；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5 个等式：______；
(2)计算：
3
3
3
3
3
1
2
3
4
10
+
+
+
+
+
=
L
______；
(3)利用你发现的规律计算
3
3
3
3
3
6
7
8
9
10
+
+
+
+
值．
【答案】(1)
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
+
+ +
+
=
+
+
+
+
(2)3025
(3)2800
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．
（1）根据题干中给定的式子，写出第5 个式子即可；
（2）根据题目中的规律进行计算即可．
（3）利用（2）中的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
+
+ +
+
=
+
+
+
+
．
（2）解：由题意，得
2
3
3
3
3
3
3
(1
2
3
4
5
)
1
2
3
4
5
n
n
+
+
+
+
+¼+
=
+
+
+
+
+¼+
，
则
3
3
3
3
3
1
2
3
4
10
+
+
+
+
+
L
2
1
2
3
... 10
=
+
+ +
+
2
11 10
2
´
æ
ö
= ç
÷
è
ø
2
55
3025
=
=
．
（3）解：
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
10
1
2
3
4
5
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+¼+
-
+
+
+
+
2
3025
1
2
3
4
5
=
-
+
+ +
+
3025
225
=
-
2800
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定a ※
b
b
a
ab
=
-
，则1 2024
- ※
的值（ ）
A．-2025
B．2024
-
C．2024
D．2025
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据a
b
ab
ab
=
-
※
，可以求
得所求式子的值．
【详解】解：∵
b
a
b
a
ab
=
-
※
，
∴1 2024
- ※
2024
1
1
2024
= -
- -
´
1
2024
= +
2025
=
，
故选：D．
2．定义一种新运算：对于任何有理数a 和b ，规定：
2
a
b
ab
b
=
+
※
．如
2
1 2
1 2
2
6
= ´
+
=
※
，则
4
2
-
※ 的值
为（ ）
A．4
-
B．8
C．4
D．8
-
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据新定义规定，列式计
算即可．
【详解】解：
2
4
2
4
2
2
8
4
4
-
= -
´ +
= - +
= -
※
，
故选：A．
3．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是
（ ）
A．1
B．5
-
C．13
-
D．13
【答案】B
【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入
1
x = 程序中计算，判断结果与4
- 的大小，即可．
【详解】解：若输入1，则
3
1
3
2
1
é
ù
´
- -
¸ -
ë
û
3
2
1
=
+
¸ -
5
4
= -
< - ，
即输出的结果是5
- ．
故选：B
4．定义一种对正整数n 的“ F ”运算：①当n 为奇数时，
3
1
F n
n
=
+ ；②当n 为偶数时，
2k
n
F n =
（其
中k 是使
F n 为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取
12
n =
，则有
，按此规律继续计算，则第2025 次“ F ”运算的结果是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出
12
n =
时前8 次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】解：若
12
n =
，
第1 次结果为：3，
第2 次结果是：10，
第3 次结果为：5，
第4 次结果为：16，
第5 次结果为：1，
第6 次结果为：4，
第7 次结果为：1，
第8 次结果为：4，
…
可以看出，从第5 次开始，结果就只是1，4 两个数轮流出现，
且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4，
而2025 次是奇数，因此最后结果是1．
故选：A．
5．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”
分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦
之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用
连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2 中八卦符号表示的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意，准确计算．把每
个选项的二进制的数化为十进制的数即可得到答案.
【详解】解：
2
1 2
1 2 1
4
2 1
7
´
+ ´ + =
+
+ =
，故A 不符合题意；
2
1 2
0 2
0 1
4
´
+ ´ + ´ =
，故B 不符合题意；
2
0 2
1 2 1
3
´
+ ´ + =
，故C 符合题意；
2
1 2
0 2 1
4
0 1
5
´
+ ´ + =
+
+ =
，故D 不符合题意；
故选：C
二、填空题
6．对非零有理数a，b 定义一种运算Ä，其规则是：
1
1
a
b
b
a
Ä
= -
¸
，则
3
2
-
Ä -
=
．
【答案】
3
2
-
【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据题意列式计算即可．
【详解】解：Q
1
1
a
b
b
a
Ä
= -
¸
，
\
3
2
-
Ä -
1
1
2
3
= -
¸
-
-
1
3
2
= -
´
3
2
= -
，
故答案为：
3
2
-
．
7．如图是一个数值转换机，当输入的数字
3
n = - 时，按照图中的程序计算，输出的答案为
【答案】3
-
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先将
3
n = - 代入程序，然后按照程序图计算即可．
【详解】解：根据题意：
2
3
3
2
é
ù
- + -
¸ -
ë
û
3
9
2
= - +
¸ -
6
2
=
¸ -
3
= -
故答案为：3
-
8．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1 尺
的木杆，第1 次截取其长度的一半，第2 次截取其第1 次剩下长度的一半，第3 次截取其第2 次剩下长度
的一半，如此反复，则第99 次截取后，此木杆剩下的长度为
．
【答案】
99
1
2
【分析】本题主要考查了乘方的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每次截取剩余的长度都是前一次
截取剩余长度的一半进行求解然后得出规律，然后代入99 即可得出答案．
【详解】解：第1 次截取后剩下的长度为
1
2 尺，
第2 次截取后剩下的长度为
2
1
1
1
2
2
2
æ
ö
´
= ç
÷
è
ø
尺，
第3 次截取后剩下的长度为
2
3
1
1
1
2
2
2
æ
ö
æ
ö
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
尺，
…
∴第n 次截取后剩下的长度为1
1
2
2
n
n
æ
ö =
ç
÷
è
ø
尺，
∴第99 次截取后，此木杆剩下的长度为
99
99
1
1
2
2
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
故答案为：
99
1
2
9．定义一种运算符号“※”：
2
2
,
,
m
mn m
n
m
n
mn
n
m
n
ì
-
³
ï
= í
-
<
ïî
※
．例如：
2
( 2)
4
4
4 ( 2)
24
-
=
- ´ -
=
※
，根据定义的运算
法则，解决下列问题：
（1）
4
2
-
=
※
；
（2）
3
2
3
-
-
-
=
é
ù
ë
û
※
※
．
【答案】
12
-
10
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，根据题意列出算式，是解题的关键．
（1）根据题意列出算式进行计算即可；
（2）先求出
3
2
-
-
※
，再求出
2
3
-
※
，即可得出答案．
【详解】（1）
4
2
-
※
2
4 2
2
= - ´ -
8
4
= - -
12
= -
．
故答案为：12
-
；
（2）
3
2
-
-
※
2
( 3)
2
2
= -
´ -
- -
6
4
=
-
2
3
=
> - ，
2
3
-
※
2
2
2
3
=
- ´ -
4
6
=
+
10
=
．
故答案为：10．
10．用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1 是某个学生的识别图案，黑色小正
方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为
3
2
2
2
2
a
b
c
d
´
+ ´
+ ´
+
．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为
3
2
0 2
1 2
1 2
0
6
´
+ ´
+ ´
+
=
，
以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6 年级2 班29 号，图2 学生
识别为五年级，则要在(
)涂黑．
【答案】
4,4
【分析】本题主要考查乘方的运用，掌握有理数乘方运算是关键，根据题意得到乘方运算方法，结合图形
计算即可．
【详解】解：图2 学生识别为五年级，则第一行数字表示的序号
3
2
2
2
2
5
a
b
c
d
´
+ ´
+ ´
+
=
；
图2 中
1
b = ，则
3
2
2
1 2
2
5
a
c
d
´
+ ´
+ ´
+
=
，即
3
2
2
1
a
c
d
´
+ ´
+
= ；
因为a
c
d
、、只能为0 或1，只有当
0,
0,
1
a
c
d
=
=
= 时，
3
2
2
a
c
d
´
+ ´
+
的值为1；
所以
1
d = ，也就是要在
4,4 涂黑，
故答案为：
4,4 ．
三、解答题
11．现定义一种新的运算，规定：
2
1
a
b
a
ab
=
+
-
※
，其中a，b 均为有理数，例如：
2
1 2
1
1 2
1
2
=
+ ´
- =
※
．求：
(1)
3
-
※
2
-
的值；
(2)
3
2
5
2
2
é
ù
æ
ö
-
-
-
é
ù
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
※
※
的值．
【答案】(1)14
(2) 14
-
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合
运算顺序和运算法则．
（1）按定义的新运算：
2
1
a
b
a
ab
=
+
-
※
计算
3
-
※
2
-
即可；
（2）先根据定义计算出
3
2
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
※
，
5
2
-
※ ，再计算即可．
【详解】（1）解：
3
-
※
2
-
2
3
3
2
1
= -
+ -
´ -
-
9
6
1
=
+
-
14
=
；
（2）解：
3
2
5
2
2
é
ù
æ
ö
é
ù
-
-
-
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
※
※
2
2
3
2
2
1
5
5
2 1
2
æ
ö
é
ù
=
+ ´ -
- -
-
+ -
´ -
ç
÷
ë
û
è
ø
4
3 1
25 10 1
=
- - -
-
-
4 3 1 14
= - - -
14
= -
．
12．按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果．
(1)当输入的数为3 时，直接写出输出结果为______；
(2)设输入的数记作x ，且
5
x =
，求出输出的结果．
【答案】(1)
1
2
-
(2) 7
4 或7
2
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）将3 代入，根据题中的程序框计算即可；
（2）分别将
5
x =
和
5
x = - 分别代入计算，即可求解．
【详解】（1）解：
2
1
3
6
2
2
1
2
é
ù
-
+ -
¸ -
= -
> -
ë
û
∴输出
1
2
-
故答案为：
1
2
-
．
（2）解：∵
5
x =
，
∴
5
x = ± ，
当
5
x =
时，
2
3
5
6
2
2
1
2
é
ù
-
+ -
¸ -
= -
< -
ë
û
继续计算：
2
3
7
6
2
2
1
2
4
é
ù
-
-
+ -
¸ -
=
> -
ê
ú
ë
û
∴输出7
4
当
5
x = - 时，
2
7
5
6
2
2
1
2
é
ù
- -
+ -
¸ -
=
> -
ë
û
∴输出7
2
综上所述，
5
x =
，输出结果为7
4 或7
2 ．
13．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到
了网上售卖，原计划每天卖100kg ，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额
记为正，不足记为负，单位：kg ）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售情
况
5
+
2
+
3
-
10
+
7
-
15
+
8
-
(1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 kg ；
(2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？
(3)若电商以5.5 元/kg 的价格购进浆水苹果，又按8 元/kg 的价格出售，且电商需为买家按0.5 元/kg 的价格
支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱．
【答案】(1)二，102；
(2) 23kg ；
(3)电商这一周一共赚了1428 元．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解题意列出算式．
（1）先求出表格中每天记录的数据的绝对值，再比较绝对值的大小，从而判断并解答即可；
（2）观察表格，找出销量最多的一天和销量最少的一天，然后列出算式进行计算即可；
（3）先求出这一周销售的总克数和每千克的纯利润，然后根据利润= 千克数´每千克的纯利润，列出算式
进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
5
5
+
=
，
2
2
+
=
，
3
3
- = ，
10
10
+
=
，
7
7
-
=
，15
15
+
=
，
8
8
-
=
，
∵2
3
5
7
8
10
15
<
<
<
<
<
<
，
∴实际最接近原计划一天的销售量的是星期二，这天的销售量为：100
2
102
+
=
kg ，
故答案为：二，102；
（2）解：由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期日，
∴销量最多的一天比销量最少的一天多销售的千克数为：
15
8
15
8
23
- -
=
+
=
kg ；
（3）解：这一周的实际销售总量比计划总量多的千克数为：5
2
3 10
7
15
8
+
- +
-
+
-
5
2 10 15
3
7
8
=
+
+
+
- -
-
32 18
=
-
14
=
kg ，
8
5.5
0.5
2
-
-
=
（元/kg ），
∴
2
100 7 14
´
´ +
2 714
=
´
1428
=
（元），
答：电商这一周一共赚了1428 元．
14．观察下列等式：
第1 个等式：1
1
2
1 2
2 3
1 2 3
-
=
´
´
´ ´ ；
第2 个等式：
1
1
2
2 3
3 4
2 3 4
-
=
´
´
´ ´
；
第3 个等式：
1
1
2
;
3 4
4
5
3 4
5
-
=
´
´
´ ´
LL
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4 个等式：______________________；
(2)利用规律计算：
1
1
1
1 2 3
2 3 4
3 4 5
+
+
´ ´
´ ´
´ ´
的值；
(3)直接写出
1
1
4
5 6
8
9 10
+
+
´ ´
´ ´
L
的值．
【答案】(1)
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
(2) 9
40
(3) 7
360
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）根据题中所给的式子直接写出第4 个等式即可；
（2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案；
（3）根据（2）的方法，计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得：
第4 个等式为：
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
，
故答案为：
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
；
（2）解：Q第1 个等式：1
1
2
1 2
2 3
1 2 3
-
=
´
´
´ ´ ；
第2 个等式：
1
1
2
2 3
3 4
2 3 4
-
=
´
´
´ ´
；
第3 个等式：
1
1
2
3 4
4 5
3 4 5
-
=
´
´
´ ´
；
1
1
1
1 2 3
2 3 4
3 4 5
+
+
´ ´
´ ´
´ ´
\
1
1
1
1
1
1
1
2 1 2
2 3
2 3
3 4
3 4
4 5
æ
ö
=
-
+
-
+¼+
-
ç
÷
´
´
´
´
´
´
è
ø
1
1
1
2 1 2
4 5
æ
ö
=
-
ç
÷
´
´
è
ø
1
1
1
2
2
20
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
9
40
=
．
（3）解：
1
1
4
5 6
8
9 10
+
+
´ ´
´ ´
L
1
1
1
1
1
2 4 5
5 6
8 9
9 10
æ
ö
=
-
+¼¼+
-
ç
÷
´
´
´
´
è
ø
1
1
1
2 20
90
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
7
360
=
．
15．概念感知：第十四届国际数学教育大会（
14
ICME -
）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制
是以8 作为进位基数的数字系统，有0~7 共8 个基本数字，八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，表示
14
ICME -
的举办年份．（注：除0 以外的数的0 次方都是1）
(1)请把八进制数2163 换算成十进制数；
(2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位
妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为
多少个?
【答案】(1)1139
(2)1838 个
【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可；
（2）根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：八进制数2163 换算成十进制数为
3
2
1
0
2
8
1 8
6 8
3 8
´
+ ´
+
´
+ ´
1024
64
48
3
=
+
+
+
1139
=
；
（2）解：由题意，
4
3
2
1
0
1 6
2
6
3 6
0
6
2
6
´
+
´
+ ´
+
´
+
´
1296
432 108
2
=
+
+
+
1838
=
（个），
答：她一共采集到的野果数量为1838 个．
16．定义新运算：
1
1
*
a b
a
b
=
-
，
1
a
b
ab
Ä
=
，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：
1
1
4
3*7
3
7
21
=
-
=
，
1
1
3
7
3 7
21
Ä
=
=
´
．
若
*
a
b
a b
Ä
=
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如：
1
1
2
3
2 3
6
Ä
=
=
´
，
1
1
1
2*3
2
3
6
=
-
=
，2
3
2*3
Ä
=
，所以2，3 就是一对“隔一数对”，
(1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）．
①
1
a = ，
2
b =
②
4
3
a = -
，
1
3
b = -
③
1
a = - ，
1
b =
(2)计算：
3 *4
3
4
2024 *
2024
-
- -
Ä
+ -
-
．
【答案】(1)①②
(2)
1
2
-
【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法
则是解题关键．
（1）按照题干定义分别求出对应的
*
a
b
a b
Ä 、
，判断是否满足条件即可；
（2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可；
（3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可．
【详解】（1）解：①∵
1
2
a
b
=
=
，
；
∴
1
1
1
*
1
2
2
a b =
-
=
，
1
1
1 2
2
a
b
Ä
=
=
´
，
∴
*
a
b
a b
Ä
=
，则①是“隔一数对”；
②∵
4
1
3
3
a
b
= -
= -
，
；
∴
1
1
9
*
4
1
4
3
3
a b =
-
=
-
-
，
1
9
4
1
4
3
3
a
b
Ä
=
=
æ
ö æ
ö
-
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
∴
*
a
b
a b
Ä
=
，则②是“隔一数对”；
③∵
1
1
a
b
= -
=
，
；
∴
1
1
*
2
1
1
a b =
-
= -
-
，
1
1
1 1
a
b
Ä
=
= -
- ´
，
∴
*
a
b
a b
Ä
¹
，则③不是“隔一数对”；
故答案为：①②；
（2）解：
3 *4
3
4
2024 *
2024
-
- -
Ä
+ -
-
1
1
1
1
1
3
4
3
4
2024
2024
=
-
-
+
-
-
-
´
-
-
1
1
1
0
3
4
12
=
-
-
+
-
-
7
1
12
12
= -
+
1
2
= -
．
17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2
2
2
¸
¸ 、
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
等．类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸ 记作
32 ，读作“2 的下3 次方”，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
记作
4
3
-
，读作“ 3
- 的下4 次方”一般地，把
0
a
a
a
a a
¸
¸×××××׸ ¸
¹
记作
na ，读作
“a 的下n 次方”．
（1）直接写出计算结果：
32 = ______，
3
1
2
æ
ö =
ç
÷
è
ø
______．
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
æ
ö
=
¸
¸
¸
=
´
´
´
= ç
÷
è
ø
．
（2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：
6
2 = ______，
7
1
3
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
______．
（3）将一个非零有理数a 的下n 次方写成幂的形式是：
na = ______．
（4）【结论应用】计算：
2
3
6
4
6
1
1
12
2
3
3
3
æ
ö
æ
ö
¸ -
´ -
- -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】（1）
1
2 ，2；（2）
4
1
( )
2
，
5
( 3)
-
；（3）
2
1
( )n
a
- ；（4）2
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义．
（1）由新定义列出算式计算即可；
（2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；
（3）根据（2）的计算结果得出规律即可；
（4）先根据乘方的定义和（3）的计算结果计算，再算乘除和加减即可．
【详解】解：（1）
3
1
2
2
2
2
2
=
¸
¸
=
；
3
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
=
¸
¸
=
，
故答案为：
1
2 ，2；
（2）
6
2
2
2
2
2
2
2
=
¸
¸
¸
¸
¸
1
1
1
1
1 2
2
2
2
= ´
´
´
´
4
1
( )
2
=
，
7
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
3
3
3
3
-
= -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
1
3
3
3
3
3
= ´ -
´ -
´ -
´ -
´ -
5
( 3)
= -
，
故答案为：
4
1
( )
2
，
5
( 3)
-
；
（3）
n
n
a
a
a
a
a
=
¸
¸
¸××× ¸
{
个
1
1
1
1
1
n
a
a
a
a
a
-
=
´
´
´
×××
n
个
2
1
( )n
a
-
=
，
故答案为：
2
1
( )n
a
- ；
（4）
2
3
4
6
6
1
1
12
(
)
( 2)
(
)
3
3
3
¸ -
´ -
- -
¸
2
4
4
3
1
144
( 3)
(
)
( 3)
3
2
=
¸ -
´ -
- -
¸
4
3
1
144
9
3
3
16
=
¸
´
-
¸
1 3
= -
2
= - ．
18．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的
方法求出
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的
正方形纸片分割成7 个部分，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的
一半，第③部分是第②部分面积的一半，¼，依次类推，则图1 中空白部分的面积为
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
．
“破浪”小组是这样思考的：设
6
1
1
1
1
2
4
8
2
S =
+
+
+¼+
，
将等式两边同时乘以
1
2 得：
6
7
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
S =
+
+¼+
+
，
将上式减去下式得
7
1
1
1
2
2
2
S =
-
，即
6
1
63
1
2
64
S = -
=
，即
6
1
1
1
1
63
2
4
8
2
64
+
+
+¼+
=
．
【过程思考】
(1)图1 中阴影部分的面积是 ，
7
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
= ．
(2)请你利用图2，再设计能求
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值的几何图形．（只画出图形即可）
(3)根据以上规律，
①1
1
1
1
2
4
8
2n
+
+
+¼+
= ．（n 为正整数）
②2
4
8
16
2n
+
+
+
+¼+
= ．（n 为正整数）
【答案】(1) 1
64 ，127
128
(2)如图所示（标序号部分）即为所求：
(3)①
1
1
2n
-
；②
1
2
2
n+ -
【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积；
（2）依照题目的示范作图即可；
（3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，
令
2
4
8 16
2n
S
+
+
+¼+
=
+
将等式两边同时乘以2 得：2S ，两式子相减，即可得出答案．
【详解】（1）由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：
1
1
1
2
2
=
，
部分②的面积为：
2
1
1
1
1
2
2
4
2
´
=
=
，
部分③的面积为：
3
1
1
1
1
1
2
2
2
8
2
´
´
=
=
，
…，
依次类图，部分n 的面积为1
2n ．
当
6
n =
时，
6
1
1
1
2
2
64
n =
=
．
所以阴影部分的面积为1
64 ．
∵
2
3
7
7
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
L
，
∴
7
7
127
128
1
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
+
+
+
+
= -
=
L
．
故答案为：1
64 ；127
128 ．
（2）如图所示（标序号部分）即为：求
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值的几何图形
（3）①根据（2）中的发现可知，
1
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
+
+
+
+
= -
L
n
n ．
故答案为：
1
1
2n
-
．
②令
2
4
8 16
2n
S
+
+ +
+¼+
=
①
将等式两边同时乘以2 得：
1
2
4
8
16
2
2
n
n
S
+
=
+
+
+¼+
+
②，
将②式减去①式得
1
2
2
n
S
+
=
-
，即
1
2
2
2
4
8 16
2
n
n
+
+
+ +
+¼
=
-
+
．
故答案为：
1
2
2
n+ -
．
