文档文本内容
专题01 有理数概念及其应用
（题型突破·举一反三）
题型01 正负数的定义
题型02 正负数的实际意义
题型03 有理数的定义
题型04 有理数的分类
题型05 有理数大小比较
题型06 有理数大小比较的实际应用
题型07 相反数定义与应用
▌题型01 具有相反意义的量
1. 定义
正数：大于 0 的数叫做正数，如5、
2
3、3.14。
负数：在正数前面加上“−”号的数叫做负数，如 −5、−
2
3、−3.14。
0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
2. 注意
判断一个数是否为正负数，应看其本质数值，而非是否带符号。
如 +(−3) =−3 是负数，+0 =0 既不是正数也不是负数。
3. 易错
① 误认为带“+”号的数一定是正数，带“−”号的数一定是负数。
② 将字母 a 直接当作正数，忽略 a 可能为 0 或负数。
③ 误认为 0 是最小的正数或最大的负数。
【典例1】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）在−3，0，−2.5，
1
2，2 五个数中，负数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-1】（25-26 七年级上·四川乐山·期末）下列各数+6，−21，54，0，
22
7 ，−3.14，0.001，−999中，
负数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式1-2】（24-25 七年级上·浙江绍兴·开学考试）在80%、0.7、−4、0、−13.5、+3.2、1 和−
1
6这些数中，
正数有(
)个，负数有(
)个．
【变式1-3】（2025 七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______．
①0 是最小的正数；
②任意一个正数，前面加一个“−”号，就是一个负数；
③大于0 的数是正数；
④字母𝑎既是正数，又是负数．
▌题型02 正负数的实际意义
1. 定义
正负数表示具有相反意义的量，需先确定“基准”（即规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。
2. 常见场景
① 温度：零上 + 5∘C，零下 −3∘C。
② 海拔：高于海平面 +100m，低于海平面 −50m。
③ 盈亏：盈利 +200 元，亏损 −100 元。
④ 方向：向东 +3km，向西 −2km。
3. 解题关键
先明确“正”所代表的含义，再根据题意判断量的正负。
4. 易错
① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。
② 单位不统一时直接比较或运算。
③ 将“增加 −5”误认为增加，实际是减少 5。
【典例1】（26-27 七年级上·广西南宁·开学考试）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重(310 ± 5)克，下列
（ ）的咖啡符合此标准．
A．净重301克
B．净重309克
C．净重318克
D．净重320克
【变式1-1】（22-23 七年级上·山东菏泽·开学考试）笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量
240g ± 5g，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______g至______g．
【变式1-2】（25-26 七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9
的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇
零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如﹣26可以用算筹表示为“
”，则“
”表示的
数是_________．
【变式1-3】（26-27 七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降5厘米记作−5厘米，那么，(
)
表示水位上升23厘米；−19厘米表示(
)．
▌题型03 有理数的定义
1. 定义
有理数：整数和分数统称为有理数。
即能写成
p
q（p、q 为整数，且 q ≠0）形式的数叫做有理数。
2. 分类
① 整数：正整数（如 1,2,3）、0、负整数（如 −1,−2,−3）。
② 分数：正分数（如 1
2,0.3）和负分数（如 −
2
3,−0.75）。
3. 注意
有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们也是有理数。
无限不循环小数（如 π、2）不是有理数。
4. 易错
① 将 π 误认为有理数（它是无理数）。
② 将 π
2 误认为分数（它含 π，不是有理数）。
③ 误认为所有小数都是有理数（无限不循环小数不是）。
【典例1】（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在−
22
7 ，𝜋，0，0.33，45%，1.
⋅
6这六个数中，有理数有
（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【变式1-1】（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在−4，
22
7 ，0，
π
2，3.14159，6%，0.1010010001…
（每相邻两个1 之间依次多一个0）中，有理数共有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1-2】（24-25 七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0 是最小的整数；②有理数不是正数就是
负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式1-3】（26-27 七年级·全国·暑假作业）在π，−3，0.5，−
22
7 ，这几个数中，有理数的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
有理数为：−3，0.5，−22
7 ，共有3 个．
▌题型04 有理数的分类
1. 按定义分类
有理数
整数{
正整数
0
负整数
分数{正分数
负分数
2. 按正负分类
有理数
正有理数{正整数
正分数
0
负有理数{负整数
负分数
3. 注意
① 有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数。
② 无限不循环小数不属于有理数。
③ 分类时要做到“不重不漏”。
4. 易错
① 将 0 误归为正数或负数。
② 将 22
7 误认为无理数（它是有理数）。
③ 分类时遗漏负分数或负整数。
【典例1】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：
−18，3.14，0，2024，−
3
5，80%，
𝜋
2，−|5|，−(−7)．
负整数集合{______________…}
整数集合{______________…}
正分数集合{______________…}
非负整数集合{______________…}
有理数集合{______________…}
【变式1-1】（25-26 七年级上·河北·阶段检测）把下列各数分别填在相应的集合内．
－17、 25%、－4.7、
1
9、3.14 、0、−
4
3、
45
15 、2017、 －19
正数集：__________________________
负数集：__________________________
分数集：_________________________
有理数集：________________________
【变式1-2】（25-26 七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②−
1
9．③−5，④
22
7 ，⑤0，⑥−5.32，⑦3.14，⑧π；⑨0.2．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
【变式1-3】（26-27 七年级·浙江·暑假作业）判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√”
数
正数
正整数
正分数
负数
负整数
负分数
有理数
66
√
√
√
4
3
−4.9
0
−12
数
正数
正整数
正分数
负数
负整数
负分数
有理数
66
√
√
√
4
3
√
√
√
−4.9
√
√
√
0
√
−12
√
√
√
▌题型05 有理数的大小比较
1. 基本法则
① 正数 >0 > 负数。
② 正数大于一切负数。
③ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
a <0,b <0,|a| >|b|⟹a <b
2. 数轴比较法
数轴上右边的点表示的数总比左边的大。
点A 在点B 的右侧⟺a >b
3. 绝对值比较法
同为正数：绝对值大的数大。
同为负数：绝对值大的数反而小。
4. 作差比较法
a−b >0⟺a >b,a−b =0⟺a =b,a−b <0⟺a <b
5. 易错
① 比较两个负数时，忘记“绝对值大的反而小”。
② 在数轴上找点不准确，导致大小判断错误。
③ 作差比较时符号运算错误。
【典例1】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：−
5
6______−
4
5．（填“ > ”、“ < ”或“ = ”）
【变式1-1】（25-26 七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，−
2
3___________
3
4（填“<”“>”
或“=”）
【变式1-2】（26-27 七年级上·浙江杭州·开学考试）在
1
7、14.2%、0.14
˙
2中最小的数是___________．
【变式1-3】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小：
（1）−
2
5_________0；
（2）−
3
4_________−
4
5；
▌题型06 有理数大小比较的实际应用
1. 解题方法
① 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。
② 根据题意确定需比较的量（如温度、海拔、盈亏等）。
③ 运用有理数大小比较的法则进行判断。
④ 结合生活常识验证结果是否合理。
2. 常见应用场景
① 温度：−10∘C <−5∘C（负数越小，温度越低）。
② 海拔：−100m <−30m（海拔越低，数值越小）。
③ 盈亏：盈利 +50 元 > 亏损 −20 元。
④ 增长：增长率 +8% >−3%。
3. 易错
① 比较温度时，误认为 −10∘C 比 −5∘C 高。
② 比较海拔时，忽略海平面为基准，将负海拔直接比较。
③ 单位不统一直接比较（如 1.2km 与 800m）。
④ 忽略实际意义，仅凭数值大小下结论。
【典例1】（25-26 七年级下·河北唐山·期末）2026年6月1日～10日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信
运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（ ）
日期
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
嘉嘉
3
4
5
5.1
5.5
6.8
7.7
8
9.2
11
淇淇
8.1
8
7.5
6.4
4.5
4.6
7.5
9
9.2
10.2
A．淇淇单日的步数最多是10.2步
B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有7天
C．6月11日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多
D．6月5日，淇淇的步数低于嘉嘉的
【变式1-1】（25-26 七年级下·山东烟台·期末）如图，为保障交通安全，某路段设置了限高警示标识，下列
高度的汽车不能通过该路段的是（ ）
A．2m
B．2.5m
C．3m
D．3.5m
【变式1-2】（25-26 七年级下·广东中山·期末）某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则
下列温度符合要求的是（ ）
用法用量：每天不少于
40mg，不超过80mg，
分2次服用
药品规格：20mg/粒
贮藏温度（𝑡°C）：
−5 ≤𝑡≤5
A．−6°C
B．−2°C
C．5.5°C
D．10°C
【变式1-3】（25-26 七年级下·黑龙江大庆·开学考试）工厂生产了一批食品，每袋标准质量定为200克，从
中抽出4袋检测，其质量与标准质量的差值（单位：克）分别为−2，−4，1，3，其中最接近标准质量的是
（ ）
A．–2
B．−4
C．1
D．3
▌题型07 相反数定义与应用
1. 定义
只有符号不同的两个数互为相反数。
一般地，数 a 的相反数是 −a。
特殊规定：0 的相反数是 0。
2. 核心性质
① 互为相反数的两个数和为 0：
a + b = 0⟺a、b互为相反数
② 相反数成对出现，单独一个数不能称为相反数。
③ 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
3. 化简规则
多重符号化简：看负号个数，奇负偶正。
① 偶数个负号，结果为正：−(−3) = 3，+( + 6) = 6
② 奇数个负号，结果为负：−( + 5) = −5，−(−(−2)) = −2
4. 几何意义（数轴）
互为相反数的两个数，在数轴上对应的点关于原点对称，到原点的距离相等。
a 与 −a 到原点距离相等 ⟺|a| = |−a|
5. 常见应用
① 已知一个数，求其相反数：数 7 的相反数为 −7，数 −4 的相反数为 4。
② 根据相反数性质求值：若 x + 3 与 5 互为相反数，则 x + 3 + 5 = 0，解得 x = −8。
③ 数轴找点：已知点表示 −6，其相反数对应点在原点右侧，数值为 6。
6. 易错
① 误认为相反数一定一正一负，忽略 0 的相反数是自身。
② 误认为 −a 一定是负数，a 为负数时，−a 为正数。
③ 多重符号化简时数清负号个数，出现符号判断错误。
④ 混淆相反数与倒数概念（相反数和为0，倒数积为1）。
【典例1】（23-24 七年级上·重庆永川·期中）如果式子8𝑥−9与式子6−2𝑥的值互为相反数，那么𝑥的值是
（ ）
A．−
1
2
B．0
C．
1
2
D．1
【变式1-1】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）𝑥= ___________时，代数式5𝑥−7与代数式2𝑥+ 21的值
互为相反数．
【变式1-2】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列各对数中互为相反数的有（ ）
（1）−1与+1 （2）+ ( +1)与−1
（3）−(−3)与+ (−3) （4）−−
1
3 与+
+
1
3
（5）+ −( +1) 与−+(−1) （6）−( +2)与−(−2)
A．6对
B．5对
C．4对
D．3对
【变式1-3】（25-26 七年级上·广西贵港·期中）若两个有理数𝑎，𝑏，满足𝑎+ 𝑏= 10，则称𝑎，𝑏互为“友好
数”，例如：6 和4 就是一对“友好数”．
(1)求−6的“友好数”．
(2)若𝑎的相反数与8 互为“友好数”，求𝑎的值．
