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专题 1.1 有理数相关概念
目录
正数和负数.........................................................................................................................................1
有理数概念及其分类.........................................................................................................................2
有理数的分类.....................................................................................................................................2
有理数的应用.....................................................................................................................................4
数轴的定义.........................................................................................................................................5
数轴上表示有理数.............................................................................................................................6
数轴上表示有理数（带字母）.........................................................................................................7
数轴的性质.........................................................................................................................................8
数轴上的应用.....................................................................................................................................8
相反数的定义.....................................................................................................................................9
相反数的性质...................................................................................................................................10
相反数与数轴...................................................................................................................................10
绝对值的定义...................................................................................................................................11
含字母的绝对值化简.......................................................................................................................11
非负性...............................................................................................................................................12
绝对值求值.......................................................................................................................................13
正数和负数
具有相反意义的量的表示
在表示具有相反意义的量时，把其中一个量规定为正的，用__ __来表示，而
把与这个量意义相反的量规定为__ __的，用__ __来表示．
【例1】在数 ，0， ， ， ， 中，负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记
为 吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨．
A． B． C． D．【变式训练2】若收入3元记为 ，则支出2元记为
A． B． C．1 D．2
【变式训练3】冬残奥会举办最理想的温度是 至 ，若 表示零上 ，那么
表示
A．零上 B．零上 C．零下 D．零下
有理数概念及其分类
有理数的概念：__ __和__ __统称为有理数．
【例2】下列各数中属于负整数的是
A．0 B．3 C． D．
【变式训练1】在 ， ， ， 中，有理数有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】在 ， ， ，0， ，5， 中，负分数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3】下列说法中，正确的是
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．正分数、零、负分数统称分数
C．零不是自然数，但它是有理数
D．一个有理数不是整数就是分数
有理数的分类
有理数的分类：
①按定义， 有理数可分为：②按正、负，有理数可分为：
【例3】将下列各数填在相应的圆圈里：
， ，75， ，0， ， ， ， ， ．
【变式训练1】把下列各数分别填在相应的集合内：
，4.8，73， ， ，3.1415926， ， ，
正分数集合： ；
负分数集合： ；
非负整数集合： ；
非正整数集合： ．
【变式训练2】把下列各数分别填入相应的集合里．0， ，5，3.14， ， ， ．
（1）整数集合： ；
（2）分数集合： ；
（3）有理数集合： ；
（4）非负数集合： ．
【变式训练3】把下列各数分别填入相应的集合：
，0， ， ， ， ， ，0.6， ．
整数集合 ；
分数集合 ；
正有理数集合 ；
负有理数集合 ；
非负有理数集合 ；
自然数集合 ．
有理数的应用
【例4】某工艺厂计划一周生产工艺品 2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量
与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：个）
（1）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
（2）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得 70元，若超额完成任务，则
超过部分每个另奖60元，少生产一个扣100元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．【变式训练1】 水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，为了合理定价，在第
一周试行机动价格，卖出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部
分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
0
每斤价格相对于标准价格（元
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
（1）第一周星期三超市售出的百香果单价为 元，这天的利润是 元．
（2）第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
（3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元；
方式二：每斤售价17元．
【变式训练2】林老师决定下周在 水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述
两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．
体育课上，某小组的8名男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是这个小组8
名男生的成绩记录 “ “表示成绩大于15秒）．
0
（1）这个小组男生的最好成绩是多少？
（2）这个小组男生的达标率为多少？
（3）这个小组男生的平均成绩是多少秒？
【变式训练3】某粮仓原有大米148吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进
大米8吨，记作 吨：当天运出大米8吨，记作 吨．
某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
（1）若经过这一周，该粮仓存有大米98吨，求 的值，并说明星期五该粮仓是运进还是
运出大米，运进或运出大米多少吨？
（2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用．数轴的定义
1．定义：规定了__ __、__ __、__ __的直线．
2．三要素：(1)原点：在直线上任取一个点表示数__ __，这个点叫做原点．
(2)正方向：通常规定直线上向右的方向为_ _，向左的方向为_ _．
(3)单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度
取一个点，依次表示1，2，3，…从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－
3，…
【例5】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】在下列图中，正确画出的数轴是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】如图所示，下列数轴的画法正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】下列各图是四位同学所画的数轴，其中正确的是A． B．
C． D．
数轴上表示有理数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
【例6】如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是
A．2.3 B． C．3.7 D．1.3
【变式训练1】如图，在数轴上有 、 两点，则两点表示的数字之和不可能
A．2 B． C． D．
【变式训练2】数 在数轴上的位置可以是
A．点 与点 之间 B．点 与点 之间 C．点 与点 之间 D．点 与点 之间
【变式训练3】如图，点 是数轴上一点，则点 表示的数可能为
A． B． C．2.5 D．1.5数轴上表示有理数（带字母）
(1)正数__ __0 , 负数__ __0 , 正数大于__ __．
(2)数轴上两个点表示的数， 右边的总比左边的__ __．
【例7】如图，数轴上 ， 两点所对应的有理数分别为 和 ，则 的结果可能是
A． B．1 C．2 D．3
【变式训练1】如图，点 ， ， ， 四个点在数轴上表示的数分别为 ， ， ， ，
则下列结论中，错误的是
A． B． C． D．
【变式训练2】有理数 、 、 在数轴上所对应的点如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，若数轴上 ， 两点对应的有理数分别为 ， ，则 的值可能
是
A．2 B．1 C． D．数轴的性质
(1)正数__ __0 , 负数__ __0 , 正数大于__ __．
(2)数轴上两个点表示的数， 右边的总比左边的__ __．
【例8】一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点 ，则点 表示的数是
A．3 B． C．0 D．
【变式训练1】下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2 B．1 C． D．
【变式训练2】数轴上表示数为 和 的点到原点的距离相等，则 的值为
A． B．2 C．4 D．不存在
【变式训练3】如图， ， ， ， ， 为某未标出原点的数轴上的五个点，且
，则点 所表示的数是
A．2 B．7 C．11 D．12
数轴上的应用
【例9】如图，点 为数轴的原点，点 ， 均在数轴上，点 在点 的右侧，点 表示
的数是 ， ．
（1）求点 表示的数；
（2）将点 在数轴上平移3个单位，得到点 ，点 是 的中点，求点 表示的数．【变式训练1】在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库 出发，向东走了
4千米到达学校 ，又继续走了1千米到达学校 ．然后向西走了9千米到达学校 ，最
后回到仓库 ．解决下列问题：
（1）以仓库 为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数
轴上表示 、 、 的位置；
（2）结合数轴计算：学校 在学校 的什么方向，距学校 多远？
（3）若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？
【变式训练2】出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规
定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米） ， ， ， ，
， ， ， ， ， ．
（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什
么方向？
（2）若汽车耗油量为0.6升 千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送
达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能
返回出发地？若不用加油，请说明理由．
【变式训练3】如图，已知数轴上点 是原点，点 表示的有理数是 ，点 在数轴上，
且满足 ．
（1）求出点 表示的有理数；
（2）若点 是线段 的中点，请直接写出点 表示的有理数．相反数的定义
(1)定义：如果两个数只有__ __不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，
也称这两个数__ __．
(2)特例：0的相反数是__ __．
【例10】2022的相反数是
A． B．2022 C． D．
【变式训练1】 的相反数是
A． B． C． D．
【变式训练2】相反数等于它本身的数是
A．1 B．0 C． D．0或
故选： ．
【变式训练3】一个数的相反数是最大的负整数，则这个数为
A． B．0
C．1 D．不存在这样的数
相反数的性质
互为相反数的两个数之和为0
【例11】若 与 互为相反数，则 ．
【变式训练1】若 ， 为相反数，则 为 ．
【变式训练2】若 、 互为相反数，则 的值为 ．【变式训练3】若 、 互为相反数，则 的值为 ．
相反数与数轴
【例12】数轴上点 表示 ， 、 两点所表示的数互为相反数，且点 到点 的距离
为3，则点 所表示的数应是 ．
【变式训练1】如图，数轴上表示数2的相反数的点是
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式训练2】已知数轴上 、 两点间的距离是6，它们分别表示的两个数 、 互为相
反数 ，那么 ， ．
【变式训练3】一个数在数轴上表示的点距原点3个单位长度，且在原点的左边，则这个数
的相反数是 ．
绝对值的定义
在数轴上，一个数所对应的点与__ __的距离
【例13】 的绝对值是
A． B．3 C． D．
【变式训练1】有理数 ， ，0， 中，绝对值最大的数是
A． B． C．0 D．【变式训练2】在 ，0.3，0， 这四个数中，绝对值最小的数是
A． B．0.3 C．0 D．
故选： ．
【变式训练3】下列说法中正确的是
A．两个负数中，绝对值大的数就大
B．两个数中，绝对值较小的数就小
C．0没有绝对值
D．绝对值相等的两个数不一定相等
含字母的绝对值化简
如果a>0，那么＝__ __；
如果a<0，那么＝__ __；
如果a＝0，那么＝__ __；
【例14】有理数 ， 在数轴上对应点如图所示：
（1）在数轴上表示 ， ；
（2）试把 ， ，0， ， 这五个数从小到大用“ ”号连接，
（3）化简： ．
【变式训练1】有理数 、 、 在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“ ”或“ ”填空： 0， 0，
0（2）化简： ．
【变式训练2】有理数 、 、 在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“ ”或“ ”填空： 0， 0，
0
（2）化简： ．
【变式训练3】已知 、 、 三个数在数轴上对应点如图，其中 为原点，化简
．
非负性
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0
时，则其中的每一项都必须等于0．
【例15】若 ，那么 的值是多少？
【变式训练1】已知 ，求：
（1） 的值；
（2） 的值．
【变式训练2】如果 与 互为相反数，求 的值．【变式训练3】已知 ，求 的值．
绝对值求值
【例16】已知 ， ，且 ，求 的值．
【变式训练1】已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
1．如果向东走5米记作：“ ”，那么向西走8米记作
A． B． C． D．
2．如果水库的水位高于正常水位 时，记作 ，那么低于正常水位 时，应记作
A． B． C． D．
3．下面两个数互为相反数的是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
4．在0.2， ， ， ，0， ， ， 这八个数中，非负数有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取
2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是
A．四个正整数中最小的是1 B．四个正整数中最大的是8
C．四个正整数中有两个是2 D．四个正整数中一定有3
6．点 ， ， 和原点 在数轴上的位置如图所示，点 ， ， 表示的有理数为 ，
， （对应顺序暂不确定）．如果 ， ， ，那么表示数 的点为
A．点 B．点 C．点 D．点
7．一辆货车从超市出发，向东走了 到达小彬家，继续向东走了 到达小颖家，然
后向西走了 到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家 ．
A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5
8．下列各组数中，互为相反数的是
A． 和 B． 和 C． 和4 D． 和
9．在现代生活中，手机微信支付已经成为一种新型的支付方式．如果微信零钱收入 100元
记为 元，那么微信零钱支出36元记为 ．
10．温度升高 记为 ，气温下降 记为
11．把 化成小数是 ．
12．定义：对于任意两个有理数 ， ，可以组成一个有理数对 ，我们规定
．例如 ．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对 ；
（2）当满足等式 的 是正整数时，则 的正整数值为 ．13．测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是： ， ， ， ，
， ， ．
（1）以80为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，写出七次测得数据对应
的数；
（2）求这七次测量的平均值；
（3）写出最接近平均值的测量数据，并说明理由．
14．暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出
发，一整天都在这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向北行驶为正，这辆警车这天处
理交通事故行车的里程（单位：千米）如下： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ；请问：
（1）第几个交通事故刚好发生在某交警大队门口？
（2）当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在哪个位置？
（3）如果警车的耗油量为每百千米12升，那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队
共耗油多少升？
15．已知下列各数： ， ，4，0， ，5， ， ．把上述各数填在相应的集合里：
正有理数集合： ；
负有理数集合： ；
分数集合： ．
