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专题 3.2 一元一次方程与新定义
【例题精讲】
【例1】定义一种新运算： ☆ ，例如： ☆ ，3☆
．若 ☆ ，则 的值是
A．9 B． C．9或 D．无法确定
【例2】【阅读】在数轴上，若点 表示数 ，点 表示数 ，则点 与点 之间的距离为
．
例如：两点 ， 表示的数分别为3， ，那么 ．
（1）若 ，则 的值为 ．
（2）当 是整数）时，式子 成立．
（3）在数轴上，点 表示数 ，点 表示数 ．
我们定义：当 时，点 叫点 的1倍伴随点，
当 时，点 叫点 的2倍伴随点，
当 时，点 叫点 的 倍伴随点．
试探究下列问题：
若点 是点 的1倍伴随点，点 是点 的2倍伴随点，是否存在这样的点 和点 ，
使得点 恰与点 重合，若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．【题组训练】
一．选择题（共15小题）
1．定义运算 ，下面给出了关于这种运算的四个结论：① ；
② ；③若 ，则 ；④ ．其中正确结论有
A．①③④ B．①③ C．②③ D．①②④
2．在有理数范围内定义运算“☆”： ☆ ，如：1☆ ．如
果2☆ ☆ 成立，则 的值是
A． B．5 C．0 D．2
3．任意四个有理数 、 、 、 ，定义了一种新运算： ，若
则 的值为
A．2 B．3 C．6 D．
5．如图表示 的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义 为数表中第
行第 列的数，例如，数表第 3 行第 1 列所对应的数是 2，所以 ．若
，则 的值为
A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3
6．定义新运算： ※ ．例如3※ ，已知4※ ，则
A． B．6 C．4 D．7 ． 现 定 义 运 算 “ ” ， 对 于 任 意 有 理 数 ， 满 足 ． 如
， ，若 ，则有理数 的值为
A．4 B．11 C．4或11 D．1或11
8．定义运算“ ”，其规则为 ，则方程 的解为
A． B． C． D．
9．定义：“ ”运算为“ ”，若 ，则 的值为
A．1 B． C． D．2
10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ☆ ，若
☆ ，则 的值为
A． B． C． D．
11．在有理数范围内定义运算“ ”，其规则为 ，则方程 的解为
A． B．3 C．2 D．4
12．定义符号“ ”表示的运算法则为 ，若 ，则
A． B． C．4 D．
13．定义一种新的运算： ，例如： ，如果
，则 的值为A．1 B． C． D．
14．定义“ ”的运算规则为 ，若 ，则 的值是
A． B．1 C． D．2
15．定义“ ”运算为 ，若 ，则
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共14小题）
16．若规定“ ”的意义为： ，则方程 的解是 ．
17．已知 ， ， ， 为有理数，现规定一种新的运算： ．求当
时 的值 ．
18．我们规定，若关于 的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“差解方程”，
例如： 的解为2，且 ，则该方程 是“差解方程”．若关于 的一元一
次方程 是“差解方程”，则 的值为 ．
19． ， ， ， 为有理数，现规定一种运算： ，那么当
时 的值是 ．
20．已知 ， ， ， 为有理数，现规定一种新运算： ，若
，则 ．
21．对于任意四个有理数 ， ， ， 可以组成两个有理数对 与 ，我们规定
★ ．例如： ★ ．（1）有理数 ★ ；
（2）当满足等式 ★ 的 是正整数时，整数 的值是 ．
22．将4个数 ， ， ， 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，
上述记号就叫做2阶行列式． ，则 ．
23．对于有理数 ， ，定义 ※ ，在此定义下，若 9※ ，则
．
24．规定 ，若 ，则 ．
25．解方程 时，移项将其变形为 的依据是 ．
26．对于有理数 ， ，都有 △ ，例如3△ ．若
△ ，则 ．
27．现在定义一种运算，其规则为 ，根据此规则，如果 满足 ，
那么 的值为 ．
28．定义新运算 ※ 满足： ※ ※ ， ※ ※ ，并规定：
1※ ，则关于 的方程 ※ ※ 的解是 ．三．解答题（共11小题）
30．材料阅读：在数轴上，对于不重合的三点 ， ， ，给出如下定义：若点 到点
的距离是点 到点 的距离的2倍．我们就把点 叫做 ， 的二倍点．
例如：如图，如果点 表示的数为1，点 表示的数为4．表示数3的点 到点 的距离
是2，到点 的距离是1．那么点 是 ， 的二倍点；但点 不是 ， 的二倍点，
点 是 ， 的二倍点．
问题解决：
（1）当点 表示的数为 ，点 表示的数为3时，
①若点 表示的数为 ，则点 （填“是”或“不是” ， 的二倍点；
②若点 是 ， 的二倍点，则点 表示的数是 ；
（2）若 ， 在数轴上表示的数分别为 和5，现有一点 从点 出发，以每秒1个单
位长度的速度向数轴正半轴方向运动，当点 到达点 时停止，问点 运动多少秒时，点
恰好是 ， 两点的二倍点？31 ． 定 义 一 种 新 运 算 “ ⊕ ” ， 其 运 算 规 则 为 ： ⊕ ， 如 ： 1
⊕
．在以上运算规则下，解决下列问题．
（1）计算：2 ；
⊕
（2）解方程： ⊕ ．
32．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ※ ．例如：1※
．
（1）求 ※4的值；
（2）若 ※ ，求 的值．33．在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 ．对点 给出如下定义：当 时，将点
向右移动2个单位长度，得到点 ；当 时，将点 向左移动 个单位长度，得到
点 ．称点 为点 关于点 的“联动点”．如图，点 表示的数为 ．
（1）在图中画出当 时，点 关于点 的“联动点” ；
（2）点 从数轴上表示 的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点 从数轴上
表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为 秒．
①点 表示的数为 （用含 的式子表示）；
②是否存在 ，使得此时点 关于点 的“联动点” 恰好与原点重合？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．34．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自
定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，
如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．
请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 ．
（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式 □ □ 成立？
请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．
①设这个数字为 ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含 的代数式表示分别为
和 ；
②列出关于 的满足条件的方程，并求出 的值；
③经检验，所求 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合”35．在有理数范围内定义运算“※”，其规则为 ※ ．
（1）求2021※2022的值；
（2）求方程 ※ 的解．
36．数轴上有 ， ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满
足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点 ， ， 所表示的数分别为1，3，4，此时点 是点 ， 的“关联
点”．
（1）若点 表示数 ，点 表示数1，下列各数 ，2，4，6所对应的点分别是 ， ，
， ，其中是点 ， 的“关联点”的是 ；
（2）点 表示数 ，点 表示数15， 为数轴上一个动点：
①若点 在点 的左侧，且点 是点 ， 的“关联点”，求此时点 表示的数；
②若点 在点 的右侧，点 ， ， 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请
求出此时点 表示的数．37．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定如下： ※ ．
例如： ※ ．
（1）求2※ 的值；
（2）化简： ※ ※ ；
（3）若 ※ ※ ，求 的值．
38．用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ，如：
．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．39．观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：我们称使等式
成立的一对有理数 ， 为“共生有理数对”，记为 ，如：数对 ，
，都是“共生有理数对”．
（1）数对 ， 中是“共生有理数对”的是 ．
（2）若 是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或
“不是” ；
（3）若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”．
