专题3.2一元一次方程与新定义（强化）（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_1同步练习_3题型分层练（基础+强化）

专题 3.2 一元一次方程与新定义 【例题精讲】 【例1】定义一种新运算： ☆ ，例如： ☆ ，3☆ ．若 ☆ ，则 的值是 A．9 B． C．9或 D．无法确定 【解答】解：当 时，化简 ☆ ，得： ， 移项得： ， 合并得： ， 解得： ； 当 时，化简 ☆ ，得： ， 移项得： ， 合并得： ， 解得： ， 综上， 的值为9或 ． 故选： ． 【例2】【阅读】在数轴上，若点 表示数 ，点 表示数 ，则点 与点 之间的距离为 ． 例如：两点 ， 表示的数分别为3， ，那么 ． （1）若 ，则 的值为 1 或 5 ． （2）当 是整数）时，式子 成立．（3）在数轴上，点 表示数 ，点 表示数 ． 我们定义：当 时，点 叫点 的1倍伴随点， 当 时，点 叫点 的2倍伴随点， 当 时，点 叫点 的 倍伴随点． 试探究下列问题： 若点 是点 的1倍伴随点，点 是点 的2倍伴随点，是否存在这样的点 和点 ， 使得点 恰与点 重合，若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ，表示到表示数 的点到表示数3的点的距离为2， 当表示数 的点在表示数3的点的左侧时， ； 当表示数 的点在表示数3的点的右侧时， ； 故答案为：1或5； （2） 表示的是表示数 的点到表示数1的点的距离和表示数 的点的距 离之和， 分下列三种情况：①当表示数 的点在 到1之间时，如图1， 此时 成立； 满足条件的 的整数为 ， ，0，1； ②当表示数 的点在 左侧时，如图2， 此时 ，不存在这样的点； ③表示数 的点在1右侧时，如图3， 此时 ，不存在这样的点； 故答案为： 或 或0或1；（3）存在，理由如下： 设点 所表示的数位 ，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ， 点 和 重合， 点 所表示的数为 ， 点 是点 的1倍伴随点，点 是点 的2倍伴随点， ， ， ， 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ； 综上，存在，此时 的长为1或3． 【题组训练】 一．选择题（共15小题） 1．定义运算 ，下面给出了关于这种运算的四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④ ．其中正确结论有 A．①③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【解答】解：① ，故①正确； ② ， ， 即当 时 ，故②错误； ③若 ， ， ，故③正确；④ ，故④正确， 即正确都有①③④， 故选： ． 2．在有理数范围内定义运算“☆”： ☆ ，如：1☆ ．如 果2☆ ☆ 成立，则 的值是 A． B．5 C．0 D．2 【解答】解：根据题中的新定义化简2☆ ☆ 得： ， 去分母得： ， 移项得： ， 合并得： ， 解得： ． 故选： ． 3．任意四个有理数 、 、 、 ，定义了一种新运算： ，若 则 的值为 A．2 B．3 C．6 D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 合并得： ， 解得： ． 故选： ． 5．如图表示 的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义 为数表中第 行第 列的数，例如，数表第 3 行第 1 列所对应的数是 2，所以 ．若 ，则 的值为A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 【解答】解： ， ， 根据数表，可得： 或 ， 解得： 或 ． 故选： ． 6．定义新运算： ※ ．例如3※ ，已知4※ ，则 A． B．6 C．4 D． 【解答】解：根据题中的新定义得： ， 解得： ． 故选： ． 7 ． 现 定 义 运 算 “ ” ， 对 于 任 意 有 理 数 ， 满 足 ． 如 ， ，若 ，则有理数 的值为 A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【解答】解：当 ，则 ， ； 当 ，则 ， ， 但 ，这与 矛盾，所以此种情况舍去． 即：若 ，则有理数 的值为4， 故选： ． 8．定义运算“ ”，其规则为 ，则方程 的解为A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 去分母得： ， 解得： ， 故选： ． 9．定义：“ ”运算为“ ”，若 ，则 的值为 A．1 B． C． D．2 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 故选： ． 10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ☆ ，若 ☆ ，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 故选： ． 11．在有理数范围内定义运算“ ”，其规则为 ，则方程 的解为 A． B．3 C．2 D．4 【解答】解： ， ， 解得 ，故选： ． 12．定义符号“ ”表示的运算法则为 ，若 ，则 A． B． C．4 D． 【解答】解：根据题中的新定义得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 故选： ． 13．定义一种新的运算： ，例如： ，如果 ，则 的值为 A．1 B． C． D． 【解答】解：已知等式整理得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 解得： ． 故选： ． 14．定义“ ”的运算规则为 ，若 ，则 的值是 A． B．1 C． D．2 【解答】解：由新定义的运算可将方程 化为， ， 移项得， ， 合并同类项得， ， 解得 ，故选： ． 15．定义“ ”运算为 ，若 ，则 A． B．1 C． D．2 【解答】解：根据题意 ， 可化为： ， 解得 ． 故选： ． 二．填空题（共14小题） 16．若规定“ ”的意义为： ，则方程 的解是 ． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 移项得： ， 解得： ． 故答案为： ． 17．已知 ， ， ， 为有理数，现规定一种新的运算： ．求当 时 的值 ． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 18．我们规定，若关于 的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“差解方程”， 例如： 的解为2，且 ，则该方程 是“差解方程”．若关于 的一元一次方程 是“差解方程”，则 的值为 ． 【解答】解： ， 解得 ， 关于 的一元一次方程 是差解方程， ， 解得： ． 故答案是： ． 19． ， ， ， 为有理数，现规定一种运算： ，那么当 时 的值是 ． 【解答】解：根据题意可得： ， ， ， ， ， 故答案为：4． 20．已知 ， ， ， 为有理数，现规定一种新运算： ，若 ，则 ． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 去分母得： ， 去括号得： ， 移项合并得： ，解得： ． 故答案为：1． 21．对于任意四个有理数 ， ， ， 可以组成两个有理数对 与 ，我们规定 ★ ．例如： ★ ． （1）有理数 ★ ； （2）当满足等式 ★ 的 是正整数时，整数 的值是 ． 【解答】解：（1） ★ ， ； 故答案为： ； （2） ★ ， ， ， ， ， 是正整数， 或5， ． 故答案为： ． 22．将4个数 ， ， ， 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ， 上述记号就叫做2阶行列式． ，则 ． 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ， 去括号得： ，移项得： ， 合并得： ， 系数化为1得： ． 故答案为： ． 23．对于有理数 ， ，定义 ※ ，在此定义下，若 9※ ，则 ． 【解答】解：因为 ※ ， 所以9※ ， 所以 ， ， 解得 ． 故答案为：8． 24．规定 ，若 ，则 ． 【解答】解：根据题中的新定义得： ， 解得： ． 故答案为： ． 25．解方程 时，移项将其变形为 的依据是 ． 【解答】解：依据等式的基本性质1， 等号的两边同时减 加5得 ． 故答案为：等式的基本性质1． 26．对于有理数 ， ，都有 △ ，例如3△ ．若 △ ，则 ． 【解答】解： △ ， 则由 △ ，可得： ， ， ， ．故答案为：2． 27．现在定义一种运算，其规则为 ，根据此规则，如果 满足 ， 那么 的值为 ． 【解答】解： ， ， ， 或 ， 解得： 或 ． 故答案为： 或3． 28．定义新运算 ※ 满足： ※ ※ ， ※ ※ ，并规定： 1※ ，则关于 的方程 ※ ※ 的解是 ． 【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 故答案为：1 三．解答题（共11小题） 30．材料阅读：在数轴上，对于不重合的三点 ， ， ，给出如下定义：若点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍．我们就把点 叫做 ， 的二倍点． 例如：如图，如果点 表示的数为1，点 表示的数为4．表示数3的点 到点 的距离 是2，到点 的距离是1．那么点 是 ， 的二倍点；但点 不是 ， 的二倍点， 点 是 ， 的二倍点．问题解决： （1）当点 表示的数为 ，点 表示的数为3时， ①若点 表示的数为 ，则点 不是 （填“是”或“不是” ， 的二倍点； ②若点 是 ， 的二倍点，则点 表示的数是 ； （2）若 ， 在数轴上表示的数分别为 和5，现有一点 从点 出发，以每秒1个单 位长度的速度向数轴正半轴方向运动，当点 到达点 时停止，问点 运动多少秒时，点 恰好是 ， 两点的二倍点？ 【解答】解：（1）①点 到点 的距离是2，点 到点 的距离是4， 点 到点 的距离不是点 到点 的距离的两倍， 点 不是 ， 的二倍点． 故答案为：不是． ②设点 表示的数为 ， 当点 在 之间时：点 到点 的距离为 ，点 到点 的距离为 ． 根据定义可知： ， 解得 ． 当点 在 点右侧时：点 到点 的距离为 ，点 到点 的距离为 ． 根据定义可知： ， 解得 ． 故答案为：1或9． （3）设当点 运动到表示数 的点时，点 为 ， 两点的二倍点． 点 到点 距离为 ，点 到点 的距离为 ．当点 为 ， 二倍点时， ， 解得： ，运动时间为： ． 当点 为 ， 二倍点时， ， 解得： ，运动时间为 ． 点 运动时间为3秒或6秒时，点 为 ， 两点的二倍点． 31 ． 定 义 一 种 新 运 算 “ ⊕ ” ， 其 运 算 规 则 为 ： ⊕ ， 如 ： 1 ⊕ ．在以上运算规则下，解决下列问题． （1）计算：2 ； ⊕ （2）解方程： ⊕ ． 【解答】解：（1）2 ⊕ ； （2） ⊕ ， 由运算法则得： ， 解得： ． 32．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ※ ．例如：1※ ． （1）求 ※4的值； （2）若 ※ ，求 的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式 ； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： ，即 ， 去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ． 33．在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 ．对点 给出如下定义：当 时，将点 向右移动2个单位长度，得到点 ；当 时，将点 向左移动 个单位长度，得到 点 ．称点 为点 关于点 的“联动点”．如图，点 表示的数为 ． （1）在图中画出当 时，点 关于点 的“联动点” ； （2）点 从数轴上表示 的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点 从数轴上 表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为 秒． ①点 表示的数为 （用含 的式子表示）； ②是否存在 ，使得此时点 关于点 的“联动点” 恰好与原点重合？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 当 时，将点 向右移动2个单位长度，得到点 ； 表示的数是 ， 如图： （2）①点 表示的数为 ， 故答案为： ； ②不存在 恰好与原点重合，理由如下：表示的数是 ， 当 ， 表示的数是 ， 此时不存在 恰好与原点重合； 当 时， 表示的数是 ， 此时不存在 恰好与原点重合， 综上所述，不存在 恰好与原点重合． 34．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自 定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍， 如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682． 请你探究，解决下列问题： （1）请直接写出2022的“颠倒数”为 220 2 ． （2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式 □ □ 成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字． ①设这个数字为 ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含 的代数式表示分别为 和 ； ②列出关于 的满足条件的方程，并求出 的值； ③经检验，所求 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合” 【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202， 故答案为：2202，； （2）①设这个数字为 ， 自然数“6□”用含 的代数式表示为： ， 自然数“□6”用含 的代数式表示为： ， 故答案为： ， ； ②由题意得： ， 解得： ， 的值为3； ③检验： ， ， ，符合题意， 故答案为：符合． 35．在有理数范围内定义运算“※”，其规则为 ※ ． （1）求2021※2022的值； （2）求方程 ※ 的解． 【解答】解：（1）原式 ； （2）由题意可得： ， 解得： ． 36．数轴上有 ， ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满 足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如，数轴上点 ， ， 所表示的数分别为1，3，4，此时点 是点 ， 的“关联 点”． （1）若点 表示数 ，点 表示数1，下列各数 ，2，4，6所对应的点分别是 ， ， ， ，其中是点 ， 的“关联点”的是 ， ； （2）点 表示数 ，点 表示数15， 为数轴上一个动点： ①若点 在点 的左侧，且点 是点 ， 的“关联点”，求此时点 表示的数； ②若点 在点 的右侧，点 ， ， 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请 求出此时点 表示的数． 【解答】解：（1）若点 表示数 ，点 表示数1，且 ，2，4，6所对应的点分别是， ， ， ， ， ， ， 是点 ， 的“关联点”； ， ， ， 不是点 ， 的“关联点”； ， ， ， 是点 ， 的“关联点”； ， ， ， 不是点 ， 的“关联点”； 综上，是点 ， 的“关联点”的是 ， ， 故答案为： ， ； （2）设 点在数轴上表示的数为 ． ① 在点 左侧，则： （Ⅰ）当 点在 之间时， ， 解得： ； 或 ， 解得： ；（Ⅱ）当 点在 点左侧时， ， 当 点在 点左侧时，点 表示的数为 或 或 ； ② 点 在 点右侧，则： （Ⅰ）当点 为点 ， 的“关联点”时， ， 解得： ； （Ⅱ）当点 为点 ， 的“关联点”时， ， 解得： ； 或 ， 解得： ； （Ⅲ）当点 为点 ， 的“关联点”时， ， 解得： ， 点 在点 的右侧，点 ， ， 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时 点 表示的数为40或65或27.5． 37．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定如下： ※ ． 例如： ※ ． （1）求2※ 的值； （2）化简： ※ ※ ；（3）若 ※ ※ ，求 的值． 【解答】解：（1） ※ ； （2） ※ ※ ； （3）由 ※ ※ ，得： ※ ， 即 ※ ， ， 整理，得 ， 解得： ． 38．用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定 ，如： ． （1）求 的值；（2）若 ，求 的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式 ； （2）根据题中的新定义化简得： ， 去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ． 39．观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“共生有理数对”，记为 ，如：数对 ， ，都是“共生有理数对”． （1）数对 ， 中是“共生有理数对”的是 ． （2）若 是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不 是” ； （3）若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”． 【解答】解：（1） ， ， ， 是“共生有理数对”． ， ， ， 不是“共生有理数对”． 故答案为： ．（2）是．理由： ， ， 是“共生有理数对”， ， ， 是“共生有理数对”． 故答案为：是． （3）设 是“共生有理数对”的另一个． ①若“共生有理数对”是 ，根据题意得： ， 解得 ． ②若“共生有理数对”是 ，根据题意得： ， 解得 ． “共生有理数对”是 和 ．