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专题 3.2 一元一次方程的应用
目录
几何问题......................................................................................................................................................1
销售问题......................................................................................................................................................3
工程问题......................................................................................................................................................6
行程问题......................................................................................................................................................6
日历问题......................................................................................................................................................9
方案设计问题...........................................................................................................................................11
几何问题
①长方形的面积＝__ 长 × 宽 __；②长方形的周长＝__ 2×( 长＋宽 ) __；
③正方形的面积＝__ 边长 × 边长 __；④正方形的周长＝__ 边长 × 4__；
⑤三角形的面积＝__ × 底 × 高 __；⑥平行四边形的面积＝__ 底 × 高 __；
⑦圆的面积＝__ π r 2 __；⑧圆的周长＝__ 2π r __．
【例1】如图，某同学将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后．再从剩下的长方形纸
片上剪去一个宽为 的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为
A． B． C． D．
【变式训练1】在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中
， ，求阴影部分图形的总面积A． B． C． D．
【例2】图1阴影面积： ；图2总长： ．
【变式训练1】如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方形纸
片上剪去一个宽为 的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的 2倍吗？如果能，请求出正
方形纸片的面积；如果不能，请说明理由．销售问题
1．写出利润率、利润、进价三者之间的关系：
利润率＝____
利润＝__ 进价 × 利润率 __
进价＝__ 利润 ÷ 利润率 __
2．写出售价、标价、打折数三者之间的关系：
售价＝__ 标价 × 打折数 __
标价＝__ 售价 ÷ 打折数 __
打折数＝__ 售价 ÷ 标价 __
【例3】某种商品每件的进价为80元，标价为120元，为了拓展销路，商店准备打折销售，
若使利润率为 ，设商店打 折销售，则依题意得到的方程是
A． B．
C． D．
【变式训练1】超市正在热销某种商品，其标价为每件125元．若这种商品打8折销售，则
每件可获利15元，设该商品每件的进价为 元，根据题意可列出的一元一次方程为
A． B．
C． D．
【例4】某商品价签已经丢失，售货员只知道“商品的进价是80元，打七折销售后，仍可
获利 ”．
（1）若设价签上的价格为 元，根据题意完成下表：
商品的进价（元 打折后的销售价格（元 利润（元
（2）根据你所学的方程的知识，帮助售货员算出价签上的价格．【变式训练1】某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目．已知每人每天
能织布 ，或利用所织布制衣4件，制衣一件需要布 ，将布直接出售，每米布可获
利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计
其他因素，设安排 名工人制衣．
（1）一天中制衣所获利润 （用含 的式子表示）；
（2）一天中剩余布所获利润 （用含 的式子表示）；
（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11800元？
【变式训练2】橙子中含有丰富的维生素 和类黄酮具有很强的抗氧化性，可以起到减少
皱纹、美白肌肤的美容功效，受到广大女性消费者的喜爱．某水果店以5元 千克的价格购
进一批橙子，很快售完．该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了 1元，
两次一共购进了1000千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
（2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价 进行定价，第二批橙子因为进价便宜，
因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有 的橙子变质
不能出售，在第二批橙子中有 的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利
1487元，求 的值．【变式训练3】肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品
种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价
和售价如下表：
甲 乙
进价（元 千克） 5 8
售价（元 千克） 10 15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，
乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、
乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？工程问题
【例5】一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如
果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用 天可以铺好这
条管线，则可列方程为
A． B． C． D．
【变式训练1】一本书，如果每天看15页，12天可以看完；如果每天看18页， 天
可以看完．
A．15 B．14.4 C．10 D．8
行程问题
行程问题基本类型
(1)追及问题中的等量关系(假设甲先走)：
①甲的路程＝__乙的路程__；②甲的时间＝__乙的时间＋时间差__．
(2)相遇问题(同时出发)中的等量关系：
①甲路程＋乙路程＝__总路程__；②甲的时间＝__乙的时间__．
(3)航行问题：
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度．
逆水(风)速度＝__ 静水 ( 风 ) 速度 __－水流(风)速度．
顺速－逆速＝__2__水速；顺速 ＋ 逆速 ＝__2__船速．
顺水的路程＝__逆水的路程__．
【例6】甲乙两人骑自行车同时从相距48千米的两地相向而行，1.5小时相遇，若甲比乙每
小时多骑2千米，则乙每小时行驶
A．12.5千米 B．15 千米 C．17千米 D．20千米
【变式训练1】一辆慢车以每小时50千米的速度从 地出发匀速前进，2小时后另一辆快
车以每小时80千米的速度匀速从 地出发，沿着慢车的同一线路朝同一方向前进，经过一段时间，若两车相距20千米，则快车行驶的时间是 小时．
A． B． 或2 C． 或4 D． 或5
【例7】在风速为 的条件下，一架飞机顺风从 机场飞到 机场要用 ，逆风飞
行同样的航线要用 ，若设飞机飞行速度为每小时 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
【变式训练1】轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少 1.5小时，已知
轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离．若设两
地距离为 千米，则可得方程
A． B．
C． D．
【例8】一条河中有甲、乙两艘船，现它们同时从 地顺流而行．乙船到 地时接到通知
要立即调头（调头时间不计）到 ， 两地之间的 地执行任务，甲船则继续顺流而行，
已知甲、乙两艘船在静水中的速度都是7.5千米 时，水流速度是2.5千米 时， ， 两
地的距离为10千米．如果乙船由 地经 地再到 地共用4小时，那么乙船从 地到
地时，甲船驶离 地多远？【变式训练1】一列慢车和一列快车都从 站出发到 站，它们的速度分别是60千米 时、
100千米 时，慢车早发车半小时，结果快车到达 站时，慢车刚到达距离 站50千米的
站 站在 、 两站之间），求 、 两站之间的距离．
【变式训练2】面临中考体育考试，小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑 ，小强
每秒跑 ．如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面 处，两人同时同向起
跑，几秒后小强能追上小彬？
【变式训练3】列方程解应用题：甲、乙两人从 ， 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑
摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经2小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多
行了90千米，相遇后经0.5小时乙到达 地．求乙行驶的速度．日历问题
【例9】如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“ ”，那么这
7个数的和可能是
A．64 B．72 C．98 D．118
【变式训练1】如图是2022年1月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个
数（如4，11，18，12， ．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为48，
则这5个数中的最大数为 ．【例10】如图是2021年12月的日历，一个十字框在图中移动，每次都框住五个数字．
（1）设十字框中间的数为 ，用代数式表示十字框中最上方的数为 ．
（2）十字框中的五个数的和能等于120吗？若能，请求出十字框中最中间的数；若不能，
请说明理由．
【变式训练1】如图为2021年11月的日历：
（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：
①设中间的一个数为 ，则另外的两个数为 ， ；
②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期 ．
（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为 ，
若这9个数的和为153，求 的值．方案设计问题
【例11】甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，定价相同，乒乓球拍60元
副，乒乓球20元 盒，两家商店的优惠方案如下表所示：
商店 优惠方案
甲商店 每买一副球拍赠一盒乒乓球
乙商店 全部按定价的8折优惠
某班现需买球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．
（1）当购买乒乓球8盒时，请通过计算说明去哪家商店购买更合算？
（2）当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两店所需支付的费用相同？
（3）若该班有500元的购买经费，请你帮忙设计出最佳的购买方案，使购买到的乒乓球的
盒数最多．【变式训练1】春节期间，某超市对 ， 两种商品开展促销活动，有如下两种活动方案
（同一种商品不能同时参与两种活动）
商品
项目 标价（单元：元） 100 110
方案
方案一 每件商品出售价格 按标价打7折 按标价打 折
方案二
若购买超过101件 、 两种商品可累计），每件商品均按
标价打8折后出售．
（1）某单位购买 商品50件， 商品40件，共花费7240元，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若某单位购买 商品 件 为正整数且 ，购买 商品的件
数比 商品件数的2倍还多2件，请问该单位该选用何种方案更合算？请说明理由．【变式训练2】我省从2019年开始，体育成绩按一定的原始分（40分）计入中考总分．某
校为适应中考要求，决定为体育组购置一批体育器材．学校准备订购一批某品牌的足球和
跳绳，经市场调查后发现，足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有 ， 两家商
店提出了各自的优惠方案．
商店：买一个足球送一条跳绳；
商店：足球和跳绳都按定价的 付款．
已知学校要购买足球40个，跳绳 条 ．
（1）若在 商店购买，则需付款 元（用含 的代数式表
示）；
若在 商店购买，则需付款 元（用含 的代数式表示）．
（2）学校购买跳绳多少条时，在 商店购买和在 商店购买付一样的钱？
（3）若学校购买的跳绳是100条，请直接写出一种购买方案，使学校所付的钱最少．【变式训练3】我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．
【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的
质量？
【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，
每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是 克，经过试验，将有关信息记录在下
表中：
记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的
总质量
记录一 6个乒乓球， 14个一次性 平衡
1个10克的 纸杯
砝码
记录二 4个乒乓球 1个一次性纸 平衡
杯
1个10克的
砝码
【解决问题】
（1）将表格中两个空白部分用含 的代数式表示；
（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．
【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓
球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．
方案：将天平左边放置 ，天平右边放置 ，使得天平平衡．
理由：1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代
数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算
术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一
百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路
慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步
为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，
3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已
知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．19
3．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签
字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他
身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
4．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，
恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时
5．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级2班植树棵数
是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
6．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（ ）秒追上点Q．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢
答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共
得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，
则列方程为（ ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
二、填空题
9．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条
对角线上三个数之和均相等，那么如图的三阶幻方中x的值为_____．10．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥
共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
11．一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，
大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到
的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.
12．某兴趣小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加 名女生，那么女生人数占全
组人数的 ，则这个兴趣小组原来的人数是______人．
三、解答题
13．已知一列数2，0，﹣1．﹣ ．
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．
14．观察下列两个等式：
，
．
给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数（a，b）为“好姊妹数对”，
如：数对（1， ），（2， ），都是“好姊妹数对”．
(1)数对（-2，1），（3， ）是“好姊妹数对”吗？
(2)若（a，3）是“好姊妹数对”，求 的值；
(3)若（m，n）是“好姊妹数对”，那么（-n，-m）是“好姊妹数对”吗？
