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1.4.2《有理数的除法》
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·山西·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【详解】
解：（-6）÷（- ）=（-6）×（-3）=18．
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2017·江苏南京·中考真题）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．36
【答案】C
【详解】
试题分析：根据有理数的混合运算，直接计算为：
12+（-18）÷（-6）-（-3）×2
=12+3+6
=21
故选C
考点：有理数的混合运算
3．（2020·湖北咸宁·中考真题）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活
中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、 =1，故选项不符合；
B、 =5，故选项不符合；
C、 =-6，故选项符合；
D、 = ，故选项不符合；
故选C.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022·江苏南京·二模）如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b．下列算式中，结果一定是
负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图示知b＜a＜0，并且|a|＜|b|．根据有理数的加减乘除法运算的计算法则即可求解．
【详解】
解：解：由数轴得b＜a＜0，|a|＜|b|．
A、a+b＜0，故该选项符合题意；
B、a-b＞0，故该选项不符合题意；
C、ab＞0，故该选项不符合题意；
D、a÷b＞0，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用数轴得出b＜a＜0，|a|＜|b|是解题关键，又利用了有理数的运算．5．（2022·山东青岛·二模）当 时， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴假设 ，
则 ； ；
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理大小比较．解答此类题目关键是要找出符合条件的数，代入计算即可求得答案．注意：
取特殊值的方法只适用于填空题与选择题，对于解答题千万不能用此方．
6．（2021·江西萍乡·七年级期末）点A，B在数轴的位置如图所示，其对应的数分别为a和b．对于以
下结论：甲： ，乙： ，丙： ，丁： ．其中正确的是（ ）
A．甲乙 B．丙丁 C．甲丙 D．乙丁
【答案】C
【分析】观察数轴得： ，再根据有理数的加法法则判断两数的和、差及积的符号，用两个负数
比较大小的方法判断，即可求解．
【详解】
解：观察数轴得： ，
∴ ，故甲正确；
∴ ，
∴ ，故乙错误；丙正确；
∴ ，故丁错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是观察数轴得
到 ．
二、填空题
7．（2021·广东·一模） ______．
【答案】
【分析】
根据有理数除法法则计算即可．
【详解】
解：
．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查有理数的除法法则，化除为乘是关键．8．化简下列分数： ＝___； ＝__； ＝___．
【答案】 ﹣8 0
【分析】
根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】
解： ；
；
，
故答案为：﹣8； ；0．
【点睛】
本题考查了有理数的除法法则，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一
个不等于0的数，都得0是解题的关键．
9．若 ， ， ，则 _______________；
【答案】
【详解】
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .
综合可得： .
10．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天
干与十二地支，如下表：天
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
干
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地
子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥
支
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，
2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成
立100周年，则2021年是_____年．（用天干地支纪年法表示）
【答案】辛丑
【分析】
先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可．
【详解】
解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年，
故答案为：辛丑．
【点睛】
本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．
11．（2021·上海市民办沪东外国语学校期末）a、b表示两个有理数，规定新运算“※”为：
（其中m为有理数），如果 ，那么 的值为_____．
【答案】
【分析】
根据 ， ，可以得到m的值，然后代入 中进行计算求解．
【详解】
解： ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则，利用新运算解
决问题．12．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，有以下结论：① ；② ：③ ；
④ 其中所有正确的结论是___（只填写序号）．
【答案】①④
【分析】
根据数轴上点到位置可得 ， ，进而根据有理数的加法法则，减法法则，除法法则逐项分
析判断
【详解】
解：由数轴上的点的位置可得 ， ，
故①正确；
，
故②不正确；
，且
故③不正确；
，且
故④正确
综上所述，故正确的有①④
故答案为：①④
【点睛】
本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，有理
数的加法，减法，除法法则，数形结合是解题的关键．
三、解答题13．（2020·广西梧州·二模）计算： ．
【答案】5．
【分析】
先计算有理数的除法、括号内的减法，再计算有理数的乘法，然后计算有理数的加法即可．
【详解】
原式
．
【点睛】
本题考查了有理数的加减乘除法，熟记各运算法则是解题关键．
14．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】
（1）先同号相加，再异号相加即可；
（2）先把除变乘，再根据乘法分配律计算，然后加减法运算即可．
(1)
解：
=9-8
；
(2)
解：．
【点睛】
本题主要考查了有理数的加减乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
15．已知|x|＝ ，|y|＝ ．
(1)求x+y的值；
(2)若xy＜0，求 的值．
【答案】(1)x+y的值为 或
(2) 的值为
【分析】
（1）根据绝对值的性质可得x＝± ，y＝± ，然后分四种情况讨论，即可求解；
（2）根据绝对值的性质可得x＝± ，y＝± ，再由xy＜0，分两种情况讨论，即可求解．
(1)
解：∵|x|＝ ，|y|＝ ，
∴x＝± ，y＝± ，
当x＝ ，y＝ 时，x+y＝ ＝ ，
当x＝ ，y＝﹣ 时，x+y＝ ＝ ，
当x＝﹣ ，y＝ 时，x+y＝﹣ ＝﹣ ，
当x＝﹣ ，y＝﹣ 时，x+y＝﹣ ＝﹣ ，综上，x+y的值为± 或± ；
(2)
解∶∵|x|＝ ，|y|＝ ，
∴x＝± ，y＝± ，
又∵xy＜0，
∴x与y异号，
当x＝ ，y＝﹣ 时， ＝﹣ ，
当x＝﹣ ，y＝ 时， ＝﹣ ，
综上， 的值为﹣ ．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的性质，有理数加减运算，有理数乘除运算，熟练掌握绝对值的性质，有理数
加减运算法则，有理数乘除运算法则是解题的关键．
16．列式并计算：
(1)两个有理数之积是－1，已知一个数是－2 ，求另一个数．
(2)三个有理数之和是－5，其中两个加数分别为11和－9，求另一个加数．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，列出除法算式，即可求解；
（2）根据题意，列出减法算式，即可求解．
(1)
解： ;(2)
解： ．
【点睛】
本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握四则混合运算法则是解题的关键．
17．小明有5张写着不同的数字的卡片
请按要求抽出卡片，完成下面各题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
【答案】(1)抽取﹣3，﹣5，最大的乘积是15
(2)抽取﹣5，+3，最小的商是
【分析】
（1）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；
（2）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可．
(1)
由题意可得：抽取﹣3，﹣5，最大的乘积是15，
(2)
由题意可得：抽取﹣5，+3，最小的商是 ．
【点睛】
本题考查了有理数乘法法则和除法法则的计算，熟练掌握有理数乘法法则和除法法则是解答本题的关
键．
18．气象资料表明，高度每增加1000m，气温大约下降6℃．
(1)某山峰高1700m，当山脚的温度为 时，求山顶气温；
(2)为估算某山峰的高度，两名研究人员同时在上午10点测得山脚和山顶的气温分别为9℃和-3℃，请
估算此山峰的高度是多少米？
【答案】(1)7.8℃
(2)2000米
【分析】
（1）由 减去降低的温度即可；
（2）先计算出山脚与山顶的温差，再除以6，再乘以1000即可得到答案.(1)
解： ℃．
答：山顶气温7.8℃．
(2)
解： m．
答：此山峰的高度是2000m．
【点睛】
本题考查的是有理数的四则混合运算的实际应用，理解题意列出正确的运算式是解本题的关键.
提升篇
19．（2021·福建泉州·七年级期末）已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，
BC－AB＝4．
(1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离；
(2)求AC中点表示的数
【答案】(1)画图见解析，10
(2)AC中点表示的数为-8或-18．
【分析】
（1）画出数轴，求出AB的距离，根据BC-AB=4求出BC的距离．
（2）根据第一问求出的BC距离确定C点位置，再求出AC中点表示的数即可．
(1)
解：数轴如图所示：
AB=-10-（-16）=6，
∵BC-AB=4，
∴BC=10．
(2)
当C点在B点右侧时，C点位置如图所示：AC=AB+BC=6+10=16， 16÷2=8，
此时中点对应的数为：-16+8=-8．
当C点在B点左侧时，C点位置如图所示：
AC=BC-AB=10-6=4． 4÷2=2，
∴此时中点对应的数为：-16-2=-18．
故AC中点表示的数为-8或-18．
【点睛】
本题考查的是利用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点对应的数的表示，掌握“数
轴上两点之间的距离公式”是解本题的关键.
20．（2020·天津市滨海新区汉沽后沽中学七年级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“>”或“<”填空：
_________0，ac_________0，abc_________0， ____________0 ．
（2）求代数式 的值．
【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．
【分析】
（1）利用有理数的加法和乘法判断式子的符号，即可得到；
（2）先去绝对值，然后合并即可．
【详解】
由数轴可知： ，
（1） ， ， ，
故答案为＜，＜，＞，＞；
（2） ；
故答案为 ．【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘除法，有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，
它们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．也考查了绝对值．
21．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖
的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋
（＋2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个
单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是
．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折
叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子
表示）
【答案】(1)①D； ②﹣1009
(2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③
【分析】
（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB＝2018，可知A点是1左边距1为
1009个单位的点表示的数，B点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的
数；③利用中点坐标公式即可解决问题．
(1)
解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时
笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），
故选D．②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，
第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，
依次规律跳，
当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣
2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，
故答案为：﹣1009．
(2)
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， ＝1，
∴对称中心为1，
∴2017﹣1＝2016，
∴1﹣2016＝﹣2015，
∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，
故答案为：﹣2015；
②∵对称中心为1，AB＝2018，
∴点A所表示的数为：1﹣ ＝﹣1008，点B所表示的数为：1+ ＝1010，
故答案为：﹣1008，1010；
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的
关键．
22．（2021·上海浦东新·期中）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前
两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做
“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整
除，则123是一个“精巧数”.
(1)243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）；
(2)若四位数 是一个“精巧数”，请直接写出 的值．
【答案】(1)是；不是(2) 或6
【分析】
（1）根据“精巧数”的定义判断即可得出答案；
（2） 是“精巧数”判断出1230+k是4的倍数，进而得出k+2是4的倍数，即可求解．
(1)
解：∵243的第一位数“2”可以被“1”整除，前两位“24”可以被“2”整除，“243”可以被“3”整除，
∴243是“精巧数”，
∵3246的第一位数“3”可以被“1”整除，前两位数“32”可以被“2”整除，前三位数“324”可以被“3”
整除，“3246”不能被“4”整除，
∴3246不是“精巧数”，
故答案是：是，不是；
(2)
第一位数“1”可以被“1”整除， 前两位数“12”可以被“2”整除，前三位数“123”可以被“3”整除，
∵四位数 是一个“精巧数”，
∴四位数 可以被“4”整除，即(1230+k)是4的倍数，
1230+k=1228+k+2，
k+2=4或8，
k=2或k=6．
【点睛】
此题是新定义题目，主要考查了数的整除，理解“精巧数”是解本题的关键．
23．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端
与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为
24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6
（单位：cm），由此可得到木棒长为 cm．（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，
你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在
多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】
（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当
A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点
所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】
解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）
如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】
此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差
看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
24．（2020·福建·连城县文新中学七年级阶段练习）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示
的数是 ，点B表示的数是50．（1）请写出线段AB中点M表示的数是 ．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰
好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点
C对应的数是多少？
（3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A
点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表
示的数是多少？
【答案】（1）10；（2）2；（3）-190
【分析】
（1）算出AB的距离除2即可；
（2）算出A、B两点间的距离，再求出点C相遇时所用的时间，从而可计算点C对应的数；
（3）D点表示的数计算为：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190
【详解】
解：（1）AB=50+（-30）=20，
∴AB中点M表示的数是10．
故答案为：10；
（2）∵A、B两点间的距离为：50-（-30）=80，
两只蚂蚁在数轴上的点C相遇时所用的时间为：80÷（3+2）=16（秒）；
∴点C对应的数是：50-16×3=2；
（3）D点表示的数是：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190．
【点睛】
本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的求解，两点中点的表示，相遇问题和追及问题的
等量关系．
