专题1.3绝对值的综合运用（强化）（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_1同步练习_3题型分层练（基础+强化）

专题 1.3 绝对值的综合运用 【例题精讲】 【例1】已知 ， ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， 或10， 或4， ， ， 或4， 当 ， 时， ， 当 ， 时， ． 综上所述， 的值为0或 ． 【例2】阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ， 所以当 时， ；当 时， ．现在我们可以用这个结论来解决 下面问题： （1）已知 ， 是有理数，当 时， 或 0 ； （2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ，则 ． 【解答】解：（1）已知 ， 是有理数，当 时， ① ， ， ；② ， ， ； ③ 、 异号， ． 故 或0； （2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ① ， ， ， ； ② ， ， ， ； ③ 、 、 两负一正， ； ④ 、 、 两正一负， ． 故 或 ； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ， 则 ， ， ， 、 、 两正一负， 则 ． 故答案为： 或0； 或 ； ． 【例3】同学们都知道： 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两 数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 7 ，（2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ． （3）如果 ，则 ． （4）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和， 请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写 出最小值；如果没有，说明理由． 【解答】解：（1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 ，故答案为： 7； （2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ，故答案为： ； （3） ， 或 ， 解得： 或 ， 故答案为：7或 ； （4） 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和， ， 这样的整数有 、 、 、0、1， 故答案为： 、 、 、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当 时，有最小值是3． 【题组训练】 1．若 ，那么 的值是多少？ 【解答】解：由题意得， ， ，解得 ， ， 所以， ， 答： 的值是2． 2．已知： ， ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ， 或 ， ， 当 ， 时， ； 当 ， 时， ． 故 的值为4或14． 3．若 ， 1 ；若 ， ； ①若 ，则 ； ②若 ，则 ． 【解答】解： ， ， ； ， ， ， 故答案为：1， ；① ， ， ， ， 故答案为：1； ② ， 、 、 中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当 、 、 中有一个负数、两个正数时， ， 当 、 、 中有三个负数时， ， 故答案为：1或 ． 4．若 ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， 解得： ， ， ， ， 原式 ．5．已知 与 互为相反数，求 的值． 【解答】解：根据题意得 ， ， ， ， ， ， ， 原式 ． 6．已知 与 互为相反数，求式子 的值． 【解答】解： 与 互为相反数， ， 又 ， ， ， ， 解得： ， ， ． 7．已知 与 互为相反数，求 的值． 【解答】解： 与 互为相反数，、 ， 又 ， ， ， ，解得 ， ， ． 8．若 ． 计算：（1） ， ， 的值． （2）求 的值． 【解答】解：（1）由题意，得 ， 解得 ． 即 ， ， ； （2）当 ， ， 时， ， 即 的值是0． 9．计算：已知 ， ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ，且 ， ， ， ． 10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨 论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．（提出问题）两个有理数 、 满足 、 同号，求 的值． 解：①若 、 都是正数，即 ， ， ， ，则 ； ② 若 、 都 是 负 数 ， 即 ， ， 有 ， ， 则 ， 所以 的值为2或 ． （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）两个有理数 、 满足 、 异号，求 的值； （2）已知 ， ， ，且 ，求 的值． 【解答】解：（1）由 、 异号，可知：① ， ；② ， ， 当 ， 时， ； 当 ， 时， ． 综上， 的值为0； （2） 、 、 ， ， ， ． ， ， ， 或 ， ， ． 当 ， ， 时， ； 当 ， ， 时， 综上， 的值为 或 ． 11．同学们都知道 表示5与 之差的绝对值，也可理解为5与 两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）求 7 ． （2）找出所有符合条件的整数 ，使得 成立的整数是 ． （3）由以上探索猜想，对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，写出 最小值；如果没有，说明理由． 【解答】解：（1）原式 故答案为：7； （2）令 或 时，则 或 当 时， ， ， （范围内不成立） 当 时， ， ， ， ， ， ， ，0，1 当 时， ， ， ， ， （范围内不成立） 综上所述，符合条件的整数 有： ， ， ， ， ，0，1，2； 故答案为： ， ， ， ， ，0，1，2； （3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数 ， 有最小值为3．12．已知 ， ，且 ，求 的值． 【解答】解：因为 ， ， 所以 或 ， 或 ． 又因为 ， 所以 或 ， ①当 ， 时， ． ②当 ， 时， ． 综上所述： 的值为 或1． 13．已知 ， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值． 【解答】解：由题意知： ， ， （1） ， ， 或 4 （2） ， ， 或 ， ， ， 14．阅读下列材料完成相关问题：已知 ， 、 是有理数 （1）当 ， 时，求 的值；（2）当 时，求 的值； （3）当 ， ， 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ； （2）当 、 、 同正时， ； 当 、 、 两正一负时， ； 当 、 、 一正两负时， ； 当 、 、 同负时， ； （3） ， ， ， 又 ， 当 ， ， 时，原式 ；当 ， ， 时，原式 ； 当 ， ， 时，原式 ． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示 和2两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和 的 两点之间的距离是3，那么 ． （2）若数轴上表示数 的点位于 与2之间，则 的值为 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点 ，使得 ，这些点表示的数的 和是 ． （4）当 时， 的值最小，最小值是 ． 【解答】解：（1） ， ， ， 所以， 或 ， 解得 或 ； （2） 表示数 的点位于 与2之间， ， ， ；（3）使得 的整数点有 ， ，0，1，2，3，4，5， ． 故这些点表示的数的和是12； （4） 有最小值，最小值 ． 故答案为：3，5， 或2；6；12；1；7． 16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示 和2两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ． （2）如果 ，那么 ； （3）若 ， ，且数 、 在数轴上表示的数分别是点 、点 ，则 、 两点间的最大距离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数 的点位于 与2之间，则 ． 【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是： ；表示 和2两点之 间的距离是： ，故答案为：3，5； （2） ， 或 ， 或 ． 故答案为：2或 ； （3） ， ， 或1， 或 ， 当 ， 时，则 、 两点间的最大距离是8，当 ， 时，则 、 两点间的最小距离是2， 则 、 两点间的最大距离是8，最小距离是2； 故答案为：8，2； （4）若数轴上表示数 的点位于 与2之间， ． 故答案为：6． 17．数学实验室： 点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 、 两点之间的距离 ． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示 和5的两点之间的距离 表示为 ． ③若 表示一个有理数，则 的最小值 ． ④若 表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数 的是 ． ⑤若 表示一个有理数，当 为 ，式子 有最小值为 ． 【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点 之间的距离是 ， 故答案为：3，4； ②数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ，数轴上表示 和5的两点 之间的距离表示为 ，故答案为： ， ； ③当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 在数轴上 的几何意义是：表示有理数 的点到 及到1的距离之和，所以当 时，它的最小值为4， 故答案为：4； ④当 时， ， 解得： ， 此时不符合 ，舍去； 当 时， ， 此时 或 或0或1或2； 当 时， ， 解得： ， 此时不符合 ，舍去； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 故答案为： 或 或 或0或1或2；⑤ 设 ， 、当 时， ， 当 时， 最小为： ； 、当 时， ， 当 时， 最小为7； 、当 时， ， 此时 最小接近7； 、当 时， ， 此时 最小接近12； 的最小值为7． 故答案为：3，7． 18．已知 ， ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， 或10， 或4， ， ， 或4， 当 ， 时， ， 当 ， 时， ． 综上所述， 的值为0或 ． 19．若 ， 且 ，试求 的值． 【解答】解：因为 ， ， 所以 或7， ，又 ， 所以当 ， 时， ；当 ， 时， ． 20．若 ， ，且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 或 ， 所以， 的值为 或 ． 21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ， 所以当 时， ；当 时， ．现在我们可以用这个结论来解决 下面问题： （1）已知 ， 是有理数，当 时， 或 0 ； （2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ，则 ． 【解答】解：（1）已知 ， 是有理数，当 时， ① ， ， ； ② ， ， ；③ 、 异号， ． 故 或0； （2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ① ， ， ， ； ② ， ， ， ； ③ 、 、 两负一正， ； ④ 、 、 两正一负， ． 故 或 ； （3）已知 ， ， 是有理数， ， ， 则 ， ， ， 、 、 两正一负， 则 ． 故答案为： 或0； 或 ； ． 22．如果 、 、 是非零有理数，且 ，那么 的所有 可能的值为 0 ． 【解答】解： 、 、 为非零有理数，且 、 、 只能为两正一负或 一正两负． ①当 、 、 为两正一负时，设 、 为正， 为负，原式 ， ②当 、 、 为一正两负时，设 为正， 、 为负 原式 ， 综上， 的值为0， 故答案为：0． 23．同学们都知道： 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两数 在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 7 ， （2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ． （3）如果 ，则 ． （4）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和， 请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写 出最小值；如果没有，说明理由． 【解答】解：（1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 ，故答案为： 7； （2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ，故答案为： ； （3） ， 或 ， 解得： 或 ，故答案为：7或 ； （4） 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和， ， 这样的整数有 、 、 、0、1， 故答案为： 、 、 、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当 时，有最小值是3． 24．我们知道，在数轴上， 表示数 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地， 数轴上两个点 、 ，分别用 ， 表示，那么 、 两点之间的距离为： ． 利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是 3 ，数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和 的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示 和 的两点 ， 之间的距离是 ，如果 ，那么 是 ． （3）式子 的最小值是 ． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ．数轴上表示 15 和 的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ，如果 ，那 么 为1或 ． （3） 表示：数轴上一点到 ，2和3距离的和，当 在 和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45； ，1或 ；4． 25．同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上也可理解为4与 两数 在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 也可理解为 与3两数在数轴上所对应 的两点之间的距离．试探索： （1）求 6 ． （2）若 ，则 （3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到4和 所对应的两点距 离之和，请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ． 【解答】解：（1） 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6， ． （2） 表示 与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， 或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， 若 ，则 或7． （3） 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6， 使得 成立的整数是 和4之间的所有整数（包括 和 ， 这样的整数是 、 、0、1、2、3、4． 故答案为：6； 或7； 、 、0、1、2、3、4．26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与 ，3与5， 与 ， 与3． 并回答下列各题： （1）你能发现 、 两点之间的距离表示为 与 ，在数轴上 、 两点之间的距离与这 两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ． （2）若数轴上的点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 与 两点间的距离可以表 示为 ． （3）结合数轴探求 的最小值是 ． 【解答】解：（1）4与 的距离： ， 3与5的距离： ， 与 的距离： ， 与3的距离： ， ； 故答案为： ； （2） ； 故答案为： ； （3） 表示数 到2和 两点的距离之和， 如果求最小值，则 一定在2和 之间，则最小值为8； 故答案为：8． 27．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道， ．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化 简代数式 时，可令 和 ，分别求得 ， （称 ， 2分别为 与 的零点值）．在实数范围内，零点值 和 可将全体实 数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ① ；② ；③ ．从而化简代数式 可分以下3种情况： （1）当 时，原式 ； （2）当 时，原式 ； （3）当 时，原式 ． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出 和 的零点值； （2）化简代数式 ； （3）求代数式 的最小值． 【解答】（1）令 ， ， 解得： 和 ， 故 和 的零点值分别为5和4； （2）当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ．综上讨论，原式 ． （3）当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ． 故代数式的最小值是1． 28．已知非零有理数 ， ， 满足 ， ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 或 ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ． 29．（1）当 时，求 的值．（写出解答过程） （2）若 ， ，且 ，则 的值为 ． （3）若 ，则 的值为 ． 【解答】解：（1）当 时， ，则原式 ；当 时， ，则原式 ； （2） ， ，且 ， 与 异号，即 ， ， 则原式 ； （3） ， 与 同号， 当 ， 时，原式 ； 当 ， 时，原式 ． 故答案为：（2） ；（3）3或 30．已知：有理数 ， ， 满足 ，当 时，求 的值． 【解答】解： 有理数 ， ， 满足 ， ， ， 中有一个负数或三个负数， 当 ， ， 中有一个负数时， ； 当 ， ， 中有三个负数时， ． 31．（1）三个有理数 、 、 满足 ，求 的值； （2）若 、 、 三个不为0的有理数，且 ，求 的值； 【解答】解：（1） ， ， ， 都是正数或两个为负数， ①当 ， ， 都是正数，即 ， ， 时， 则 ； ② ， ， 有一个为正数数，另两个为负数时，设 ， ， ， 则 ．故 的值为3或 ； （2） 、 、 为三个不为0的有理数，且 ， 、 、 中负数有2个，正数有1个， ， ． 32．阅读下面材料：点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，在数轴上 、 两点之间 的距离 ．回答下列问题： （1）数轴上表示 和1两点之间的距离是 4 ，数轴上表示 和 的两点之间的距离 是 ； （2）数轴上表示 和1的两点之间的距离为6，则 表示的数为 ； （3）若 表示一个有理数，则 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有， 请说明理由． 【解答】解：（1） ； ； 故答案为：4， ； （2） ， 或 ， 即 或 ， 故答案为：7或 ； （3）有最小值， 当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时，它的最小值为6． 33．我们知道：点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 两点之间的距离 ，请回答下列问题： （1）数轴上表示 和3的两点之间的距离是 4 ． （2）数轴上表示 和2的两点之间的距离为3，则有理数 是 ． （3）若 表示一个有理数，且 ，则 ． （4）式子 的最小值为 ． 【解答】解：（1） 和3两点之间的距离是： ； 故答案为：4； （2） 和2的两点之间的距离为： ， ， 解得 或 ； 故答案为：5或 ； （3） ， ， ， ； 故答案为：7； （4）当 时， ， 当 时， ， 当 时， ； 故答案为：4． 34．已知点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ．（1）数轴上表示2和 的两点之间的距离是 5 ； （2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ； （3）若数轴上三个有理数 、 、 满足 ， ，则 的值为 ； （4）当 时， 的值最小，最小值是 ． 【解答】解：（1） ， 故答案为：5； （2） ， 故答案为： ； （3）当 时， ； 当 时， ； 点在 ， 两点之间时不符合题意， 综上 的值为6或8， 故答案为：6或8； （4） 当 时， 的最小值为7， 只需要 的值最小即可， 此时 ， ， 当 时， 的值最小，最小值是7． 故答案为：1；7． 35．点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数 轴上 、 两点之间的距离 ，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示2和 的两点之间的距 离是 ．（2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ． （3）若 表示一个有理数，且 ，则 ． （4）若 ，利用数轴求出 的整数值为 ． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和 的 两点之间的距离是 ； 故答案为：3，5； （2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ， 故答案为： ； （3）若 表示一个有理数，且 ， 则 ； 故答案为：6； （4） ， ， 画数轴如下： 为整数， ， ， ，0，1，2，3，4，5． 故答案为： ， ， ，0，1，2，3，4，5．36．同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上也可理解为4与 两数 在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 也可理解为 与3两数在数轴上所对应的 两点之间的距离．试探索： （1）求 6 ． （2）若 ，则 ． （3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到4和 所对应的两点距离 之和，请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ． （4）求： 的最小值，并求出此时 的值． 【解答】解：（1） ； 故答案为：6； （2） ， 或 ， 或 ； 故答案为：7或 ； （3） ， ， 整数 是 、 、0、1、2、3、4； 故答案为： 、 、0、1、2、3、4； （4）当 时，原式 ； 当 时， ； 当 时，原式 ．所以当 时，有最小值是8． 此时 ． 37．在学习绝对值后，我们知道， 表示数 在数轴上的对应点与原点的距离．如： 表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而 ，即 表示5、0在数轴上对应 的两点之间的距离．类似的有 表示 5、3 在数轴上对应的两点之间的距离： ，所以 表示5、 在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，那么 、 两点之间的距离可表示为 ． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和 的两点之间的距离是 5 ；数轴上 、 两点之间的距离为 3，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 ． （2）点 、 、 在数轴上分别表示有理数 、 、3，那么 到 的距离是 ； 到 的距离 ．（用含绝对值的式子表示） （3）若 ，则 的值为 ． （4）若 ，则 的取值范围值为 ． 【解答】解：（1） ， 设点 所表示的数为 ，由题意得， ， 或 ， 解得 或 ，即点 所表示的数为1或 ， 故答案为：5，1或 ； （2）根据数轴上两点之间的距离的计算方法可知， 到 的距离是 ， 到 的距离是 ， 故答案为： ， ； （3） 所表示的意义为：数轴上表示数 的点，到表示数3和 两点距离之 和， 而 时， 当 时，有 ，解得 ， 当 时，有 ，解得 ， 故答案为：5或 ； （4） ，即数轴上表示数 的点，到表示数3和 两点距离之和为7，而 3与 之间的距离为7， 所以数轴上表示 的点，在数轴上表示3和 之间即可， 的取值范围为： ， 故答案为： ． 38．如图，点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ， 在数轴上 、 两点之间的距离 ，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 4 ，数轴上表示2和 的两点之间的距离 是 ； （2）数轴上表示 和1的两点之间的距离表示为 ； （3）请写出 的几何意义，并求出当 时 的值； （4）请画出数轴求 的最小值，并直接写出此时 可取哪些整数？【解答】解：（1）由题意可得， 数轴上表示1和5两点之间的距离是： ，数轴上表示2和 的两点之间的距离是： ， 故答案为：4，3； （2）由题意可得， 数轴上表示 和 的两点之间的距离是： ， 故答案为： ； （3） 表示 与 之间的距离， ， 或 ， 解得： 或 ； （4）由数轴可知，当 时， 取得最小值， 最小值是： ， 此时， 可取的整数值是： ， ， ，0，1，2，3，4． 即 的最小值是7，此时 可取的整数值是： ， ， ，0，1，2，3， 4． 39． 、 两点之间的距离表示为 ，点 、 在数轴上分别表示有理数 ， ，在数 轴上 ， 两点之间的距离 ． 请用上面的知识解答下列问题： （1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 4 ，数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ；如果 ，那么 为 ． （3）求 的最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和6的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 和 的两点之间的距离 ； 数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ； 故答案为：4；2；5； （2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离 ； ， ． 解得： 或 ． 故答案为： ；1或 ； （3） 表示数轴上某点到 和2的距离之和． 当 时， 有最小值，最小值为3． 40．探究与拓展 （1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上） 与0的距离为 3 ，4与 的距离为 ， 与 的距离为 ， 由上可知： 是数轴上表示数 与数 两个点之间的距离，像等式 是数轴上 表示数 与数 两个点之间的距离为3，所以， 的值为1或 （2）若 ，则 ． （3）若 ，则整数 为 ．【解答】解：（1） 与0的距离为3，4与 的距离为6， 与 的距离为0.5， 故答案为：3；6或0.5； （2） ， 或 ， 或 ， 故答案为：0或4； （3） ， 当 时， ，得 ， 当 时， ，故此时有无数解； 当 时， ，得 ， 故答案为： 或2．