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专题04《实数》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解
方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、
“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：化简求值题型
方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在
数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。
2.数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0.
3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：
先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先
算括号里.
4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。
1．若 ，化简
2．先化简后求值： ，其中 ， 满足
．
3．先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）﹣2x（y+2x）+（y﹣2x）2]÷（﹣3x），其中x、y
满足 ．
4．已知多项式A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，先化简3A+2B；再求当x，y为有理数且
满足x2+ y+2y＝﹣4 +17时，3A+2B的值．
5．（1）化简：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）；
（2）先化简，再求值： （﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x＝ ，y＝2018．
6．已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简 +|a+1|+ ．
7．实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
8．若一个正数的两个平方根分别为 ， ，请先化简再求值：
．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．
例如： ．
（1）请仿照上例化简．
① ；
② ；
（2）请化简 ．
10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简 时，当 在数轴上位于原点的右侧时，
；当 在数轴上位于原点时， ；当 在数轴上位于原点的左侧时， ．当
， ， 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，
（1）当 时，求 ______，当 时，求 ______．
（2）请根据 ， ， 三个数在数轴上的位置，求 的值．
（3）请根据 ， ， 三个数在数轴上的位置，化简： ．
考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型
方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程
化为平方部分等什么。再利用平方根定义，把一元二次方程化为一元一次方程
再求解。注意不要漏掉负平方根。
1．求方程 中 的值．
2．解方程
（1）
（2）
3．解下列关于 的方程：
（1） （2）
4．解方程
（1）3x2 = 30 ，求 x 的值；（2）（x-2）3+27=0 ，求 x 的值．
5．求方程： 中的 值．
6．解下列关于 x 的方程：
（1）
（2）
7．已知一个正数的两个不相等的平方根是 与 ．
（1）求 的值及这个正数；
（2）求关于 的方程 的解．
8．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解．
9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
10．已知一个正数的平方根是a＋6和2a﹣9
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
考点3：计算解答题型
方法点拨：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的
运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，
有括号先算括号里.
1．计算
（1）
（2）
2．计算：
（1）
（2）
3．计算：
4．计算：
5．计算（1）
（2）
6．计算：
7．计算： ．
8．计算： ．
9．计算
（1） （2）
（3） ； （4）
10．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 ，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋
的值．
11．已知当 时，代数式 的值为0.关于 的方程 的解为
．
（1）求 的值；
（2）若规定 表示不超过 的最大整数，例如 ，请在此规定下求 的值．
考点4：数轴比较大小题型
方法点拨：利用数轴进行实数的大小比较时，关键是把握数在数轴上所对应的
点的位置，在结合数轴，根据数轴上右边的实数总比左边的实数大，便可以作
出判断。
1．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：
．
2．在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：
3．用数轴上的点表示下列各数： ， ，0， ，并用“＜”把它连接起来．4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：﹣π， ，0，﹣（﹣2），
1.25．
5．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“<”号连接：
．
6．（1）求出下列各数：
2的平方根；
的立方根；
的算术平方根；
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用 连接大小
7．阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣ |，﹣π，﹣4， ，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
8．数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 为原点，且满足
．
（1） __________， __________， __________；
（2）若 的的中点为 ．则点 表示的数为__________；
（3）小亮说“如果将点 向右移动5个单位长度，得到点 ，此时点 在原点的右侧，也
在点 的右侧”，他的说法正确吗？说明理由．
考点5：整数部分与小数部分题型
方法点拨：一个数减去一个整数后，所得的差大于0小于1，那么减数就是其整
数部分，差是其小数部分。1． 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b−9的立方根是2，c是 的整数部分，求a＋b＋c的
平方根．
2．阅读下面的文字，解答问题．
现规定：分别用 和 表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是
，小数部分是 ；实数 的整数部分是 ，小数部分是无限不
循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即 就是
的小数部分，所以 ．
（1） ， ； ， ．
（2）如果 ， ，求 的立方根．
3．阅读下列材料：
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 ．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果 的整数部分为 ， 的小数部分为 ，
求 的值．
4．阅读材料：
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴0＜ ﹣2＜1，
∴ 的整数部分为2， 的小数部分为 ﹣2．
解决问题：
（1）填空： 的小数部分是 ；
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求a+b﹣ 的立方根．
5．我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即 的整
数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是________， 的小数部分是_______；
（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的立方根．
6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因
此 的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜ ＜2，于是可用 ﹣1来表示 的小
数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；（2）如果5＋ 的小数部分为a，5﹣ 的整数部分为b，求a(a＋b+1)的值．
7．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足 ．
（1）a+b= ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？
（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找
一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？
8．阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2，请解
答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知：8 的小数部分是m，8 小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出
满足条件的x的值．
9．阅读下面的文字，解答问题．例如： ，即 ， 的整数部分
为 ，小数部分为 ．
请解答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知： 小数部分是 ， 小数部分是 ，且 ，请求出满足
条件的 的值．
10．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为 ，所以 的
整数部分是1， 就是小数部分．
请据此解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（3）若设 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值．
考点6：创新题型
方法点拨：这一类题型比较灵活，掌握实数的性质并且熟练掌握比较法、整体
法、类比法、归纳出解题方法。
1．用计算器计算：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
．
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：___________．
2．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操
作：72第一次[ ]=8，第二次[ ]=2，第三次[ ]=1，这样对72只需进行3次操作变
为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
3．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积
的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小
算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数， ，
， ，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和
谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方
根．
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，
求a的值．
4．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a= ；
5
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a= = （n为正整
n
数）；
（3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值．
5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如
，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
n 0.0016 0.16 16 1600 160000 ……
0.04 0.4 4 40 400 ……
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算
术平方根的小数点就向 移动 位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若 ≈1.910， ≈6.042，则 ≈ ；
②已知x2≈0.000365，则x≈ ．
6．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数
没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于 ，所以 没有平方根．有一天，小明想：
如果存在一个数 ，使 ，那么 ，因此 就有两个平方根了．进一步，小明
想：因为 ，所以 的平方根是 ；因为 ，所以 的平方根就是
．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求 ， 的平方根；
（2）求 ， ， ， ， ， ，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子
表示出来；
（3）求 的值．
7． ，即 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ．请你观察
上述式子的规律后解决下面问题．
（1）规定用符号 表示实数 的整数部分，例如： ， ，填空：
______； ______；
（2）如果 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值．
8．阅读下列材料，回答相关问题：
求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如 ， 等，有些数开不尽方，如
， 等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在
联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来）
理解应用：用你发现的规律，探究下列问题：
已知 ，求下列各数的算术平方根：（1） ；
（2） ．
拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知 ，则 ________．
