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上海六年级上册数学压轴题训练
答案解析
题型一、利用数轴信息化简绝对值
【例1】已知数
，
在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
①
；②
；③
；④
．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①④
【答案】B
【详解】解：由数轴可知：
，
，
∴
，
；
∵
，
∴
，
∴正确的有③④；
故选：B ．
【例2】有理数a，b，c 在数轴上对应的位置如图所示，化简
的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：由数轴易得
，
，
；
原式
；
；
．
故选：A．
【变式1-1】有理数a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
的值为（
）
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A．c
B．
C．0
D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：
，
，
∴
、
、
，
∴
．
故选：A
【变式1-2】如图，数轴上的三点
，
，
分别表示有理数
，
，，化简
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
【详解】解：由数轴可知
，
即
，
所以
．
故选：A．
【变式1-3】如图，数轴上的
，
，
三点所表示的数分别为
，
，，且原点为
，根据图中各点位置，则下
列选项不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】
【详解】解：根据数轴得，
，
，
，
，
A、
，所以
，故本选项不符合题意；
B、
，故本选项不符合题意；
C、
，故本选项不符合题意．
D、
，所以
，所以
，故本选项符合题意；
故选：D．
题型二、非负性化简绝对值
【例3】若a、b 为整数，且
，则
的值有（
）种可能的结果．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】解：∵a、b 为整数，且
，
，
∴
或
，
∴
或
或
或
，
∴
或
或
或
；
故共有4 种等可能的结果．
【例4】若
，
，且
，则
（
）
A．3
B．7
C．
D．3 或7
【答案】D
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
当
时，
；
当
时，
；
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故选：D．
【变式2-1】对于任意有理数
，下列式子中取值不可能为0 的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A．当
时，
，则
，故A 选项不符合题意；
B．当
时，
，故B 选项不符合题意；
C．
，则
，不可能为0，故C 选项符合题意；
D．当
时，
，故D 选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负
数．
【变式2-2】如果
，那么
的值为_____．
【答案】
【详解】
，
，
，
，
解得
，
，
．
故答案为：
．
【变式2-3】若点
在数轴上对应的数分别为
满足
．求
的值分别是
多少？
【答案】
的值分别是
，，
．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
．
【点睛】此题考查了绝对值非负性，正确理解几个非负数的和等于
，则每一个算式都等于
进行列式是解题的关
键．
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题型三、求解绝对值方程
【例5】方程
的解是（
）
A．
B．负整数
C．负数
D．非正数
【答案】D
【详解】解：∵
，并且
，
∴
，
即
，
∴方程的解为非正数，
故选：D．
【例6】已知
，求
的值．
【答案】
的值为7 或13
【详解】解：
的几何意义是数轴上表示数m 和2 两点之间的距离．
当m 在2 的左侧，即
时，
，解得：
，
此时
；
当m 在2 的右侧，即
时，
，解得：
，
此时
；
综上所述，
的值为7 或13．
【变式3-1】若
，那么x 的值为（
）
A．
B．7
C．
或6
D．
或7
【答案】D
【详解】解：∵
，
∴
或
，
∴
或
，
故选：D．
【变式3-2】若
，则
_________．
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【答案】
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
.
【变式3-3】若关于x 的方程
有三个整数解，则
的值是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【详解】解：由题意得
或
，
即
或
，
因为方程有解，所以
，
当
时，
，
故方程
总有两个不同的解，
若原方程有三个整数解，则方程
必须只有一个解，因此
，解得
，
将
代入检验，解为
，符合题意。
故选：C．
题型四、分类讨论化简绝对值
【例7】已知
，
，若
，则x 的最大值与最小值的乘积为（
）
A．
B．
C．6
D．24
【答案】A
【详解】解：∵
，
∴a、b、c 有1 个负数或3 个负数．
∵
，
∴a、b、c 只有1 个负数，
∴
，
，
，
当
时，
，
时，
，
当
时，
，
时，
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，
当
时，
，
时，
，
∴x 的最大值为6，最小值为
，
∴
，
即x 的最大值与最小值的乘积为
．
故选：A．
【例8】若
，则
的值是（
）
A．
B．1
C．1 或
D．
或3
【答案】C
【详解】解：∵
，
∴
，
或
，
当
，
时，
；
当
，
时，
．
综上，
的值是1 或
．
【变式4-1】如果a、b、c 是非零实数，且
，那么
的值为_____．
【答案】
【详解】解：∵
，a、b、c 均不为0，
∴a、b、c 两正一负或两负一正，
，
，
，
∴
．
①当a、b、c 两正一负时，
原式
；
②当a、b、c 两负一正时，
原式
；
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综上，原式的值为
．
【变式4-2】已知
，那么
______．
【答案】2 或
或0
【详解】解：
，
分四种情况讨论：
①当
，
时，
；
②当
，
时，
；
③当
，
时，
；
④当
，
时，
；
综上，
的值为2 或0 或
．
【变式4-3】规定：
，
，例如
，
，则式子
的最小值是_____．
【答案】
【详解】∵
，
∴
，
∵
可以看作数轴上表示数
的点与表示数
和
之间的距离之和，
当
位于点
左侧时，即
时，
，
当
位于点
与点
之间时，即
时，
，
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当
位于点
右侧时，即
时，
，
综上可知：
，
∴当
时，
有最小值，最小值为
，
故答案为：
．
题型五、借助绝对值几何意义求值化简
【例9】数轴上表示数
的点与原点的距离叫做数
的绝对值，记作
，数轴上表示数
的点与表示数
的点距离记
作
：
(1)数轴上表示
和3 的两点
和
之间的距离是______；如果
，那么
为______；
(2)当
满足条件______时，
取最小值，最小值是______；
(3)当
满足条件______时，
取最小值，最小值是______；
(4)
的最小值是______；
(5)
的最小值是______．
【答案】(1)
；5 或
(2)
；4
(3)
；10
(4)4
(5)
【分析】
【详解】（1）解：
，
，
，
或
；
故答案为：
；5 或；
（2）解：
表示x 到
，3 这两个数的距离的和，
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当
时，到这两个数的距离的和最小，
最小值为
；
故答案为：
；4；
（3）解：
表示到
，
，3 这三个数的距离的和，
当
取中间数
时，到三个数的距离的和最小，
最小值为
；
故答案为：
；10；
（4）
同理（3）得：当
时，
取最小值4，
（5）解：
同理（3）得：当
时，
，
即
的最小值是
．
【例10】材料一：我们知道，在数轴上，
表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，
数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B 两点之间的距离为：
．
材料二：若对于有理数x，a，b 满足
，则我们称x 是关于a，b 的“整十数”．例如：
，
∴5 是关于2 和
的“整十数”．
(1)若
，则
_________．
(2)若m 是关于2，6 的“整十数”，则
_________；
(3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5 的同侧，当5 是关于a，b 的“整十数”时，求
的值．
【答案】(1)
；
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(2)
或9；
(3)
或
；
【分析】
【详解】（1）解：∵
，
∴
，或
（不符合题意舍去），
解得：
，
故答案为：
；
（2）解：∵m 是关于2，6 的“整十数”，
∴
，
①当
时，
，解得：
，
②当
时，
，无解，
③当
时，
，解得：
，
故答案为：
或9；
（3）解：由题意可得，
，
当a，b 在5 的左边时，
，解得：
，
当a，b 在5 的右边时，
，解得：
，
∴
的值是
或
；
【点睛】本题考查绝对值的运用，解题的关键是读懂题目中的新定义整十数．
【变式5-1】若点
在数轴上分别表示有理数
，则
两点之间的距离表示为
（1）若
，这样的数x 为_______；
（2）结合数轴探究：存在x 的值，使式子
有最大值，这个最大值是_______．
【答案】
5 或1
6
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【分析】
【详解】（1）由绝对值的几何意义知：
表示在数轴上x 表示的点到3 的距离等于2，
∴
，或
，
∴
或1；
故答案为：5 或1；
（2）当
时，即表求x 的点在
的左侧时，
当
时，即表求x 的点在
和5 之间时
，
∴
，
当
时，即表求x 的点在5 的右侧时
，
∴
的最大值为6，
故答案为：6．
【变式5-2】如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
，则
______；
(3)式子
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)6 或2
(3)8，
(4)
【分析】
【详解】（1）∵数轴上有
两个点，分别表示有理数
，
∴数轴上点
到点
的距离为
；
∴数轴上到点
的距离相等的点的位置表示的有理数为
；
故答案为：
；
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（2）根据题意，
，
解得：
或
故答案为：6 或2
（3）∵
表示数轴上x 到3 两点之间的距离，
表示数轴上x 到
两点之间的距离，
由图可知，
当
或
时，
，
当
时，
∴式子
的最小值为8，此时x 的取值范围为
；
故答案为：8，
（4）
，
当式子
的最小值为8 时，
有最大值；
此时
的最大值为
【变式5-3】在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运
算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．
(1)当式子
取最小值时，相应的x 的取值范围是______，最小值是______．
(2)当式子
取最小值时，相应的x 的取值范围是______，最小值是______．
【答案】(1)
，3
(2)
，8
【分析】
【详解】（1）解：
表示在数轴上代表x 的点到数字“
”的距离，
表示在数轴上代表x 的点到数字“2”的距离，
则
表示在数轴上代表x 的点到数字“
”和“2”的距离之和，
所以，当代表x 的点在数字“
”和“2”之间，
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即
时，此距离之和最小，且最小值为3；
故答案为：
，3；
（2）解：∵
看成数轴上数x 到数a 的距离，
∴式子
表示x 到数2、4、6、8 的距离之和最小，
∴当
时，
有最小值8，
故答案为：
，8．
数轴动点相关计算问题
题型一、数轴上单动点分类讨论问题
【例1】数轴上点
对应的数为6，点
是数轴上一点，且
，动点
从原点出发，以每秒1 个单位
的速度沿数轴正方向匀速运动，当
运动至
中点时，运动时间为__________s．
【答案】2 或10
【详解】解：∵点
对应的数为6，
，
∴点
对应的数为
或
，
∴当
运动至
中点时，点
对应的数为2 或者10，
∴运动时间为2 秒或10 秒．
故答案为：2 或10．
【例2】如图，数轴上两点
、
对应的数分别是
、
，其中
、
满足
，
(1)求
、
的值，并在数轴上标出
、
两点；
(2)数轴上有一动点
，当
时，请直接写出点
对应的数
的值．
【答案】(1)
，
，
数轴上标出
、
两点如下：
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(2)
或
【分析】
【详解】（1）解：
，
，
，
解得：
，
（2）
、
两点对应的数分别为
和，点
对应的数为
，
，
，
，
，
解得：
或
．
【变式1-1】如图，点A，O，B 在数轴上表示的数分别为
，0，10，点C 是数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点C 到A、B 两点的距离相等，点C 表示的数为_______，点C 在数轴______（填“正”或“负”）半轴；
(2)数轴上是否存在点C，使得点C 到点A 的距离恰好是点A 到点B 距离的
？若存在，求出x 的值，若不存在，
说明理由．
【答案】(1)2；正；
(2)
或
【分析】
【详解】（1）解：因为点C 到A、B 两点的距离相等，点A，B 在数轴上表示的数分别为
，10，
所以
，
，
所以点C 表示的数为
，
所以点C 在数轴正半轴，
故答案为：2；正；
（2）解：存在；
因为点A、B 间的距离为：
，点C 到点A 的距离恰好是点A 到点B 距离的
，
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所以
，
①当点C 在点A 的左边时，点C 表示的数为：
，
②当点C 在点A 的右边时，点C 表示的数为：
；
综上所述，x 的值为：
或
.
【变式1-2】如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负
方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是
时，点P 表示的数是______．
【答案】26 或
【详解】解：在点P 运动过程中，
，即
，
分两种情况：
①当点P 运动到点A 右侧时，
，
此时点P 表示的数是
；
②当点P 运动到点A 左侧时，设
，则
，
∵
，
∴
，
则
，则
，
∴点P 表示的数是
，
综上所述，点P 表示的数是26 或
，
故答案为：26 或
．
【变式1-3】已知在数轴上有
两点，点
表示的数为
，点
表示的数为
，动点
从点
出发，以每秒个
单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（
）．
(1)当
时，求线段
的长度；
(2)若点
是线段
的中点，在点
运动的过程中，是否存在某一时刻，使得
？若存在，求出的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
个单位长度
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）解：当
时，点
表示的数为
，
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∴
个单位长度；
（2）解：存在，理由如下：
由题意得，点
运动秒时表示的数为
，
∵点
表示的数为
，点
是线段
的中点，
∴点
表示的数为
，
∵
，
∴
，解得
或
（不合，舍去），
∴存在
，使得
．
题型二、数轴上单动点规律探究问题
【例3】如图，一个动点从原点
开始向左运动，每秒运动1 个单位长度，并且规定：每向左运动3 秒就向右运动
2 秒，之后再向左运动3 秒，向右移动2 秒，…，则该动点运动到第2025 秒时所对应的数是_____．
【答案】
【详解】解：∵一个动点从原点
开始向左运动，每秒运动1 个单位长度，且每向左运动3 秒就向右运动2 秒，
∴每运动5 秒相当于该动点向左移动1 秒，即向左移动1 个单位长度，
∵
，
∴该动点运动到第2025 秒时所对应的数是
，
故答案为：
．
【例4】如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1 次从原点向右移动1 个单位长
度至
点，第2 次从
点向左移动3 个单位长度至
点，第3 次从
点向右移动6 个单位长度至
点，第4 次从
点向左移动9 个单位长度至
点，
依此类推，移动20 次后该动点在数轴上表示的数为________ ．
【答案】
【详解】解：由题意可得：移动次后该点对应的数为
( 为正数)；
移动
次后该点对应的数为
(
为负数)，
移动次后该点对应的数为
(
为正数)，
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移动
次后该点对应的数为
(
为负数)，
移动次后该点对应的数为
(
为正数)，
∴移动奇数次后该点所表示的数为
；
移动偶数次后该点所表示的数为
．
∴移动20 次后该点所表示的数为
．
故答案为：
．
【变式2-1】如图所示，数轴被折成
，圆的周长为4 个单位长度，在圆的4 等分点处标上数字0，1，2，3，先
让圆周上数字2 所对应的点与数轴上的数3 所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么
数轴上的数2024 将与圆周上的数字（
）重合．
A．3
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】
【详解】解：圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的2 重合的数是
，
即
，同理与1 重合的数是
，
与0 重合的数是
，
与3 重合的数是
，其中
是正整数．
而
，把数和点对应起来，
∴数轴上的数2024 将与圆周上的数字1 重合．
故选：C．
【变式2-2】在数轴上，点A 表示的数为
，有一动点P，从点A 出发，在数轴上做有规律的运动：第1 次从点A
出发向右运动1 个单位长度到点
，第2 次从点
向左运动2 个单位长度到点
，第3 次从点
向右运动3 个单
位长度到点
，第4 次从点
向左运动4 个单位长度到点
……按照此规律不断地左右运动，则第2025 次运动到
点
时对应的数为______．
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【答案】1010
【分析】
【详解】解：由题意，第2025 次运动到点
时对应的数为：
．
故答案为：1010．
【变式2-3】长方形
在数轴上的位置如图所示，点
对应的数分别为
和
，
．若长方形
绕
着点
顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点
所对应的数为；绕点
翻转第
次后点A 对应的数为
；以
此类推继续翻转，则翻转
次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是_______________________．
【答案】3035
【详解】解：如图，翻转4 次，为一个周期，右边的点移动6 个单位，
∵
，
∴右边的点移动
，
∴
，
故答案为：3035．
题型三、数轴动点中的定值求证问题
【例5】已知点A、B、C、D 在数轴上，点A 和点C 表示的数分别为
、1，点B 在点A 的右侧，点D 在点C 的
右侧，且
，
．
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(1)直接写出点B 和点D 表示的数分别为：、；
(2)若线段
沿着数轴向右以2 个单位长度/秒的速度运动，同时线段
沿着数轴向左以1 个单位长度/秒的速度运
动，设运动的时间为t（秒），
．
①若点B 和点D 重合，则t 的值为，若点A 和点C 重合，则t 的值为；
②若线段
和线段
重叠部分为
个单位长度，求运动时间t 的值；
③当
时，下面两个式子：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子
是（填写序号），并直接写出这个定值．
【答案】(1)
、2
(2)①
；
；②
或
；③是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3
【分析】
【详解】（1）解：∵点A 和点C 表示的数分别为
、1，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴点B 和点D 表示的数分别为
、2；
故答案为：
、2
（2）解：根据题意得：运动t 秒后，点A 表示的数为
，点B 表示的数为
，点C 表示的数为
，点
D 表示的数为
，
①当点B 和点D 重合时，
，
解得：
；
当点A 和点C 重合时，
，
解得：
；
故答案为：
；
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②当点B 在点C、D 之间时，
，
解得：
；
当点A 在点C、D 之间时，
，
解得：
；
综上所述，运动时间t 的值为
或
；
③当
时，点A 表示的数为
，点B 表示的数为
，点C 表示的数为
，点D 表示的数为
，此时线段
在线段
上，
当
时，点A 表示的数为
，点B 表示的数为
，点C 表示的数为
，点D 表示的数为
，此时线段
在
线段
上，
∴当
时，线段
在线段
上，
此时
，
，
∴
，是定值；
∴
，大小与t 的值有关，不是定值；
综上所述，是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3．
【例6】如图：在数轴上点A 表示数a，点B 表示数b，点C 表示数c，c 是最大的负整数，且a、b 满足
．
(1)
______，
______，
______．
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则点C 与数______表示的点重合；
(3)点B，C 开始在数轴上运动，点B 与点C 分别以每秒2 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动，假设运动时
间为t 秒，点B 与点C 之间的距离表示为
，则当
时，求时间t 的值；
(4)在（3）的条件下，若点A 以每秒1 个单位长度的速度同时向左运动，点A 与点B 之间的距离表示为
，则
的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)
，5，
(2)
(3)4 或8
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(4)不变，
【分析】
【详解】（1）解：
是最大的负整数，且a、b 满足
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；5；
．
（2）解：
，
故答案为：
（3）解：秒钟过后，点B 表示的数为
，点C 表示的数为
，
，
，
解得
或
，
时间t 的值为4 或8；
（4）解：
的值不随着时间t 的变化而变化，
t 秒钟过后，点A 表示的数为
，点B 表示的数为
，点C 表示的数为
，
，
，
．
的值为定值
．
【变式3-1】如图，在数轴上点A 表示a，点B 表示b，点C 表示c，并且
，b 是数轴上最小的正
整数，
(1)由题意可得：
________，
________，
________．
(2)点A、B、C 在数轴上运动，若点A 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B 和点C 分别以每秒2 个单
位长度和4 个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C 同时运动，运动时间为t 秒．在点A、B、C 同时运
动的过程中，
的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出
的值．
【答案】(1)
(2)
不随时间t 的变化而变化，且为定值13．
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【分析】
【详解】（1）解：∵
，
∴
，即
，
∵b 是数轴上最小的正整数，
∴
，
故答案为：
．
（2）解：当运动时间为t 秒时，A 表示的数为
，B 表示的数为
，C 表示的数为
，
∴
，
∴
，
∴
不随时间t 的变化而变化，且为定值13．
【变式3-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：
，
，且
，满足
，
点
，
分别为
，
中点．
(1)求线段
，
的长；
(2)线段
以每秒个单位长度向右运动，同时线段
以每秒
个单位长度也向右运动．若运动
秒后，
，
求此时线段
的长；
(3)若
，将线段
固定不动，线段
以每秒
个单位长度向左运动，在线段
向左运动的某一个时间段
内，是否存在
的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
，
(2)
的长为
或
(3)当
秒时，
为定值，定值为
【分析】
【详解】（1）解：
，
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，
，
，
，
，
；
（2）解：设直线为数轴，
，
，
，
设点
表示的数为
，点
表示的数为
，
点
分别为
的中点，
点
表示的数是
，点
表示的数是
，
运动后点
表示的数是
，
点
表示的数是
，
，
，
解得
或
，
运动后
，
运动后
或
；
的长为
或
；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
，
线段
固定不动，线段
以每秒
个单位速度向左运动，
运动秒后，
，
，
当
秒时，
，
当
秒时，
，
当
秒时，
∴当
秒时，
为定值，定值为
．
【变式3-3】如图1，已知数轴上点A 表示的数为6，点B 在点A 左边，且
．动点P 从点A 出发，以每秒3
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（
）秒．
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(1)数轴上点B 表示的数是
，点P 表示的数是
（用含t 的式子表示）．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，则点P 运动多少
秒时与点Q 相距4 个单位长度？并求出此时点P 表示的数．
(3)若点P，Q 以（2）中的速度同时分别从点A，B 向右运动，同时点R 从原点O 以每秒4 个单位长度的速度向右
运动，是否存在常数m，使得
为定值？若存在，请求出m 的值以及这个定值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
，
(2)6 秒或14 秒，
或
(3)存在常数m，使得
为定值，m 的值为
，这个定值为20
【分析】
【详解】（1）解：∵点A 表示的数为6，点B 在点A 左边，且
，
∴点B 表示的数是
，
∵动点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P 表示的数是
，
故答案为：
，
；
（2）解：t 秒时，Q 表示的数为
，
根据题意，得
，
解得
或
，
当
时，点P 表示的数为
；
当
时，点P 表示的数为
；
答：点P 运动6 秒或14 秒时与点Q 相距4 个单位长度，点P 表示的数为
或
；
（3）解：设t 秒后
为定值，
由题意得，
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，
∵
为定值，
∴
的值与t 无关，
∴
，
解得
，
∴当
时，
为定值，定值为20．
题型四、数轴双动点匀速运动问题
【例7】数轴上
三点对应的数为
，动点
从
出发，每秒向右移动
单位，同时动点
从
出发，
每秒向左移动单位．
(1)几秒后
相遇？
(2)相遇时
点对应的数是多少？
【答案】(1)
秒
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵
单位，
∴
秒，
∴
秒后
相遇；
（2）解：
点对应的数是：
．
【例8】如图所示的数轴上，点O 为原点，点A 表示的数为
，点B 表示的数为b，且
、b 满足
(1)A、B 两点对应的数分别为
＝，b＝；
(2)若将数轴折叠，使点A 与点B 重合，则原点O 与表示数的点重合；
(3)若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3 个
单位长度，点Q 的速度是每秒1 个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q？
【答案】(1)
，5
(2)4
(3)3 秒后
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【分析】
【详解】（1）∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：-1，5；
（2）∵
，
∴原点O 与表示数4 的点重合．
故答案为：4；
（3）由题意，可知A 点表示的数是
，B 点表示的数是5，
设运动t 秒后，P 点对应的数是
，Q 点对应的数是
，
P 点追上Q 点时，两个点表示的数相同，
，
．
答：运动3 秒后，点P 可以追上点Q；
【点睛】本题考查了动点与数轴的综合，绝对值的非负性，平方的非负性等，能根据点的运动表示出数轴上点P 和
点Q 表示的数是解题的关键．
【变式4-1】如图，数轴上A 点表示的数是
，B 点表示的数是，C 点表示的数是
．
(1)若要使A、C 两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____．
(2)若此时恰有一只老鼠在B 点，一只小猫在C 点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A 方向逃跑，
小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程
中分别与点A 之间的距离．
【答案】(1)4
(2)老鼠在移动过程中与点A 之间的距离为：
，小猫在移动过程中与点A 之间的距离为：
．
【分析】
【详解】（1）
解：根据相反数的意义，可知“原点”到A、C 两点的距离相等，即为：
，
∴“原点”表示的数为：
，
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（2）
解：老鼠在移动过程中与点A 之间的距离为：
，
小猫在移动过程中与点A 之间的距离为：
．
【变式4-2】已知直线上线段
，线段
（点
在点
的左侧，点
在点
的左侧，起始位置时点
与
点
重合），线段
从点
开始以1 个单位
的速度向左运动，同时点
从点
开始以2 个单位
的速度向左运
动，点
是线段
的中点，当
时，线段
运动时间是______ ．
【答案】4 或36
【分析】
【详解】解：设线段
运动的时间为t 秒，以点A 为原点，建立数轴，各点初始位置为：
点A、点
表示0，点
、点B 表示12，点C 表示
，
根据运动速度和方向，t 秒后各点在数轴上的位置为：
点C：
，点M：
，
∵点N 是线段
的中点，
∴根据中点坐标公式可得：
，
∴
，
，
已知
，
代入得方程：
；
分情况讨论：
情况1：
，
解得
；
情况2：
，
解得
；
线段
运动的时间是4 秒或36 秒，
故答案为：4 或36．
【变式4-3】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2 个单位长度到达点
，再向右移动3 个单位长度到
达点
，然后再向右移动5 个单位长度到达点
．
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（1）
两点间的距离
__________；
（2）若点
从点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点
从点
、点
从点
分别以每秒
2 个单位长度、每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右移动．设移动时间为秒
，则
__________．
【答案】
3
12
【分析】
【详解】解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2 个单位长度到达点
，再向右移动3 个单位长度
到达点
，然后再向右移动5 个单位长度到达点
，
∴点A 表示的数为
，
点B 表示的数为：
，
点C 表示的数为：
，
∴
；
故答案为：3；
（2）由题意得
，
，
，
∴秒时，点
表示的数为
，点
表示的数为
，点
表示的数为
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：12．
题型五、数轴双动点变速运动问题
【例9】如图，在数轴上原点
表示数0，
点表示数是
，
点表示的数是
，且点
在原点右侧，点
在原点的
左侧，点
到原点距离24 个单位长度．
，
满足式子
．
(1)求m，n 的值；
(2)若动点
从点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点
从点
出发以每秒3 个单位长度
的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，线段
的长为14 个单位长度；
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(3)若动点
从点
出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒1 个单位长度，到达原点之后的速度为每秒4
个单位长度；同时动点
从点
出发以每秒3 个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，、
两点到原点
的距离相等．
【答案】(1)
，
；
(2)运动时间为5 或12 秒时，线段
的长为14 个单位长度；
(3)运动时间为7 或
或16 秒时，
、
两点到原点
的距离相等．
【分析】
【详解】（1）解：
点表示的数是
，点
在原点的左侧，且点
到原点的距离为24 个单位长度，
；
又
，即
，
．
点表示数是
，且点
在原点右侧，
；
（2）解：当运动时间为秒时，
点表示的数为
，
点表示的数为
．
依题意，得：
，
即
或
，
解得：
或
．
答：运动时间为5 或12 秒时，线段
的长为14 个单位长度；
（3）解：①当
时，
点表示的数为
，
点表示的数为
．
，
，
即
或
，
解得：
或
；
②当
时，
点表示的数为
，
点表示的数为
．
，
，
即
，
解得：
．
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答：运动时间为7 或
或16 秒时，
、
两点到原点
的距离相等．
【例10】如图，将数轴在原点
与点
处各折一下得到“折线数轴”，点
表示
，点
表示24，点
表示16，
我们称点
与点
在“折线数轴”上相距24 长度单位．动点
从点
出发，以2 单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，
从点
运动到点
期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点
从点
出发，以1 单位/秒速度沿数
轴负向运动，从点
运动到点
期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒．
(1)直接写出点
与点
在“折线数轴”上相距的长度单位数；
(2)当
两点在点
相遇时，点
所对应的数是多少？
(3)当
两点相距3 个单位长度时，直接写出的值．
【答案】(1)26
(2)
(3)
或
【分析】
【详解】（1）解：由题意得，点
与点
在“折线数轴”上相距的长度单位数为
；
（2）解：由题意得，
秒，
秒，
秒，
秒，
∴点P 运动到点O 的时间为5 秒，运动到点C 的时间为
秒，
点Q 运动到点C 的时间为8 秒，运动到点O 的时间为
秒，
∴点P 与点Q 的相遇点一定在
上，
∴
，
解得
，
∴
，
∴点M 表示的数为
；
（3）解：由（2）可知，当
时，点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
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∵
两点相距3 个单位长度，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
（舍去）或
（舍去）；
当
时，点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
∵
两点相距3 个单位长度，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
（舍去）或
（舍去）；
当
时，点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
∵
两点相距3 个单位长度，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
或
；
当
时，点P 表示的数为
，点Q 表示的数为0，此时点P 与点Q 的距离为11，
当
时，点Q 过点O 向数轴负方向运动，此时点P 与点Q 的距离大于11，故不满足题意；
综上所述，
或
．
【变式5-1】“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良
好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1 次．将这条
直线看成数轴，起点记为
，折返点记为
，主席台记为
，两位同学分别记为点
，
，若动点
，
从
同
时出发向
点运动，到达
点后折返到
点．已知：数轴上点
、对应的数为
、，且满足
，
点
对应的数为
的相反数等于本身．
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(1)直接写出
、
、
的值；
(2)设点
在数轴上对应的数为
，那么当
为多少时能使得
？
(3)已知点
的速度为3 个单位长度/秒，点
的速度为2 个单位长度/秒，当动点
到达点
后，点
开始改变速度，
以
个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，
，
两点相距2 个单位长度，求
的值．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
或
或
或
【分析】
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
，
解得：
，
，
∵k 的相反数等于本身，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
当
时，
，
解得：
；
当
时，
，此方程无解；
当
时，动点
在
点右侧，不成立；
∴当
为
时能使得
；
（3）解：当点
到达点
时，需要的时间为：
（秒），
∴此时点
到达
，与点
的距离为
，
∴4 秒后，点P 的位置为
，
当点
向点
运动时，点
在点
右侧：
，
解得：
；
当点
向点
运动时，点
在点
左侧：
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，
解得：
；
当点
到达点
后，向点
运动时，点
在点
左侧：
，
解得：
；
当点
到达点
后，向点
运动时，点
在点
右侧：
，
解得：
，
综上所述，当
的值为
或
或
或
时，4 秒后，
、
两点相距2 个单位长度．
【变式5-2】
，如图1，点
与点
到原点的距离相等，
、
、分别表示
、
、
三点在数
轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点
和点
处各弯折一次，使
与
处于水平位置、动点
从点
出发到
点
停止，以每秒2 个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点
从点
处出发到点
停止，以每秒1 个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复
为原来的速度，若
、
同时出发，设运动时间为．
(1)
_____，
_____，
_____；
(2)当
、
两点相遇时，求运动时间的值；
(3)在运动过程中，是否存在，使动点
、
两点在数轴上相距的长度是
、
两点在数轴上相距的长度的
倍，
若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当
、
两点相遇时，运动时间的值为
(3)存在动点
、两点在数轴上相距的长度是
、两点在数轴上相距的长度的
倍，的值为
或
或
【分析】
【详解】（1）解：∵
，
，
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∴
，
解得，
，
∴点
表示的数为
，点
表示的数为
，
∵点
与点
到原点的距离相等，
∴点
表示的数为
，即
，
故答案为：
；
（2）解：动点
从点
出发到点
停止，以每秒2 个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一
半，动点
从点
处出发到点
停止，以每秒1 个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，
设运动时间为，
由（1）可知，当在点
表示的数为
，点
表示的数为
，
∴点
从
的时间为
，从
的时间为
，从
的时间为
，
点
从
的时间为
，从
的时间为
，从
的时间为
，
∴当
时，点
在
上，点
在
上，不能相遇，不符合题意；
当
时，点
走的路程为
，
点
走的路程为，
当
、
两点相遇时，
，
解得，
，不符合题意，舍去；
当
时，点
表示的数为
，点
表示的数为
，
当
、
两点相遇时，
，
解得，
；
∴当
、
两点相遇时，运动时间的值为
；
（3）解：存在，理由如下，
第一种情况：
时，点
在
上，点
在
上，
点
、
两点在数轴上相距为：
，
点
、
两点在数轴上相距为
，
∴
，
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解得，
；
第二种情况：
时，点
在
上、
在
上，
点
、
两点在数轴上相距为:
，
点
、
两点在数轴上相距为
，
∴
，
解得：
；
第三种情况：
时，点
、
在
上，
点
、
两点在数轴上相距为:
，
点
、
两点在数轴上相距为
，
∴
，
解得，
；
第四种情况：
时，点
在
上，点
在
上，
点
、
两点在数轴上相距为：
，
点
、
两点在数轴上相距为
，
∴
，
解得：
；（舍去）
第五种情况：
时，点
在
上，点
在
上时，
点
、
两点在数轴上相距为:
，
点
、
两点在数轴上相距为
，
∴
，
解得，
（舍去）；
综上所述，存在动点
、两点在数轴上相距的长度是
、两点在数轴上相距的长度的
倍，的值为
或
或
．
【变式5-3】已知点
、
、
、
在数轴上，它们表示的数分别为
，且
满足
，点
在点
的右侧且到点
的距离12 个单位长度，点
表示的数是14．
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(1)
_______，
________，
_______；
(2)动点
从点
出发以4 个单位/秒的速度向右运动，同时点
从点
出发，以
个单位/秒速度向左运动．
①当
点到达
点后停留6 秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当
、
两点相距8 个单位时，
求的值；
②我们规定
、
两点之间为“变速区”，规则为动点从点
运动到点
期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原
速，动点从点
运动到点
期间速度变为原来的3 倍，之后也立刻恢复原速，当点
到达
点时停止运动，点
也
随之停止运动，当为何值时，
、
两点的距离是24？
【答案】(1)
；
；
(2)①
或12 或
或
；②
或
【分析】
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵点
在点
的右侧且到点
的距离12 个单位长度，
∴
，
∴
；
（2）解：①
秒，
∴点P 从点A 运动到点C 需要9 秒，
当点P 从点A 运动到点C 的过程中，且P、Q 没有相遇时，点P 与点Q 相距8 个单位，则
，
解得
；
当点P 从点A 运动到点C 的过程中，且P、Q 相遇后，点P 与点Q 相距8 个单位，则
，
解得
（舍去）；
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当点P 在点C 停留时，点P 与点Q 相距8 个单位，则
，
解得
；
当点P 从点C 向左运动，且P、Q 没有相遇时，点P 与点Q 相距8 个单位，则
，
解得
；
当点P 从点C 向左运动，且P、Q 相遇后，点P 与点Q 相距8 个单位，则
，
解得
；
综上所述，t 的值为
或12 或
或
．
②
秒，
秒
∴点P 从点A 运动到点B 的时间需要6 秒，点Q 从点D 运动到点C 的时间需要6 秒
当点P 从点A 向右运动，且没有经过点B 时，若P、Q 两点的距离是24，则
，
解得
；
点P 运动出变速区需要的时间为
秒，点Q 运动出变速区需要的时间为
秒，
当点P 和点Q 都运动出变速区时，若P、Q 两点的距离是24，则
，
解得
；
综上所述，t 的值为
或
．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解
题的关键．
题型六、数轴动点背景下的新定义题型
【例11】设m 为有理数，数轴上点A 表示有理数a，给出以下两个定义：定义
为点A 向右移动m 个单位长
度后得到的点；定义
为数轴上的一点从原点出发向右移动
个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负
数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动
个单位长度表示向左移动2 个单位长度）
(1)①若点
表示有理数
，则
表示的有理数是__________；
②若点A，B 分别表示有理数
，
，则
与
之间的距离为_________；
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(2)如图，点A，B 分别表示有理数
，2，试说明
与
之间的距离为定值，并求出这一定值．
【答案】(1)①3；②3；
(2)过程见解析，值为3．
【分析】
【详解】（1）解：
，
②当A 表示
时，
，
当B 表示1.5 时，
，
则：
与
之间的距离为
，
故填①3，②3；
（2）根据题意，得
，
，
∴
则：
与
之间的距离为定值，值为3．
【例12】【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点
到定点
（点
表示的数为6）的距离为该点的“绝
对坐标”，记作
（其中
是点
表示的数）．如：数轴上有一点
表示的数为8，则
【问题情境】如图，数轴上点
表示的数是
，点
表示的数是6，点
表示的数是16，动点
从点
出发，以
每秒3 个单位长度的速度向点
运动，到达点
后立即以同样的速度向点
运动；动点
从点
出发，以每秒2 个
单位长度的速度向点
运动．
，
两点同时出发，设运动的时间为秒，当点
到点
时停止运动，点
也随之
停止．
【初步探究】（1）根据定义，
_____，
_____．
【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请
说明理由．
【综合探究】（3）我们发现，在
，
两点运动的过程中的某个阶段，
的值是个定值，则定值为
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_____．
【答案】（1）16，10；（2）存在，
；（3）32．
【分析】
【详解】解：（1）∵
（
是点
表示的数），点
表示的数是
，点
表示的数是16，
∴
，
．
故答案为：16，10．
（2）∵点
从点
出发到B 的距离为：
，
∴所需时间
秒，
∴当
时，点P 表示的数为
；
当
时，点Q 从点B 到A 的距离为16，所需时间为：
（秒），
∴点P 表示的数为
，
∵点Q 表示的数为
，
①当
时，
，
∵
，
∴
，
当
，解得：
（不符合题意舍去）；
当
，解得：
（符合题意）；
②当
时，
，
∵
，
∴
，
当
，解得：
（不符合题意舍去）；
当
，解得：
（不符合题意舍去）．
综上，
．
（3）①当
时，
，
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∴
．
②当
时，
，
∵
，
∴
．
综上，当P 在A、B 之间，Q 在B、A 之间时，
的值是个定值，则定值为32．
故答案为：32．
【变式6-1】【定义新知】
数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2 倍的数量关系，则称该点是其它两
个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C 所表示的数依次为1，3，4，此时点
是点A，C 的“关联点”．
【尝试应用】
（1）若数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为1，点
表示的数为4，请判断点
是否为
，
的“关联点”，
并说明理由．
【拓展探索】
（2）已知数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为2，P 为数轴上一个动点：
①若点
在点
的左侧，且点
是点A，B 的“关联点”，求此时点
所表示的数；
②若点
在点
的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点
所表示的数．
【答案】（1）点
是点A，B 的“关联点”，见解析；（2）①点
所表示的数为0 或
或
；②点
所表示的数
为8 或14 或5
【分析】
【详解】解：（1）点
是点A，B 的“关联点”
理由：点
与点
之间的距离为
，
点
与点
之间的距离为
，
∵
∴点
是点A，B 的“关联点”；
（2）由点A、B 所表示的数可知，
点
与点
之间的距离为
．
小学
初中
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①当点
在点
与点
之间时：
点
与点
之间的距离为
，
或点
与点
之间的距离为
，
所以此时点
表示的数为
或
；
当点
在点
的左侧时：
点
与点
之间的距离等于点
与点
之间距离的2 倍．
所以点
与点
之间的距离等于点
与点
之间的距离，
所以此时点
表示的数为
．
综上可知，点
所表示的数为0 或
或
．
②当点
为点A，B 的“关联点”时：
因为点
在点
的右侧，
所以点
与点
之间的距离等于点
与点
之间距离的2 倍，
所以点
与点
之间的距离等于点
与点
之间的距离，
所以此时点
所表示的数为
；
当点
为点P，B 的“关联点”时：
因为点
在点
的右侧，点
在点
的左侧，
所以点
与点
之间的距离等于点
与点
之间距离的2 倍，
所以点
与点
之间的距离等于点
与点
之间的距离，
所以此时点
所表示的数为
；
当点
为点P，A 的“关联点”时：
点
与点
之间的距离等于点
与点
之间距离的2 倍或
，
又因为点
在点
的右侧，
所以此时点
所表示的数为
或
．
综上可知，点
所表示的数为8 或14 或5．
【变式6-2】阅读理解，完成下则各题
定义：已知
为数轴上任意三点，若点
到点
的距离是它到点
的距离的倍，则称点
是
的倍
点．例如：如图，点
是
的倍点，点
不是
的倍点，但点
是
的倍点，根据这个定义解决
下面问题：
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(1)在图中，点
______
的倍点（填写“是”或“不是”）；
的倍点是点______（填写
或
或
或
）；
(2)如图
，
为数轴上两点，点
表示的数是
，点
表示的数是，若点
是
的倍点，则点
表
示的数是______；
(3)若
为数轴上两点，点
在点
的左侧，
，一动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴
向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点
恰好是
和
两点的倍点？（用含
的代数式表示）．
【答案】(1)是，
(2) 或
(3)
或
或
【分析】
【详解】（1）解：由图可得，
，
，
∴
，
∴点
是
的倍点；
∵
，
∴
的倍点是点
，
故答案为：是，
；
（2）解：设点
表示的数是
，
当点
在线段
上时，则
，
解得
；
当点
在线段
的延长线上时，则
，
解得
；
∴点
表示的数是或，
故答案为：或；
（3）解：由题意得，
，
当点
是
的倍点且点
在线段
上时，则
，
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解得
；
当点
是
的倍点时，则
，
解得
；
当点
是
的倍点且点
在线段
的延长线上时，则
，
解得
；
综上，当的值为
或
或
时，点
恰好是
和
两点的倍点．
【变式6-3】如图，在数轴上，点
和点
表示的数分别为
和2，点
为数轴上一点，定义点
关于AB 的特征值
为
．
(1)当点
表示的数为3 时，
__________；
(2)若
，求点
表示的数；
(3)M、N 为数轴上两个动点，点
表示的数为
，点
表示的数为
．点
为线段
上一点，当点
在线段
上运动时，
的最大值记为
．直接写出运动过程中
的最小值以及此时
的值．
【答案】(1)
(2)点
表示的数为
或
(3)
的最小值为
，此时
【分析】
【详解】（1）解：∵点
和点
表示的数分别为
和2，
∴
，
∵点
表示的数为3，
∴
，
，
∴
，
故答案为：
；
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（2）解：∵
，
∴
，
设点
表示的数为x，
当P 在A 左侧时，
，解得：
；
当P 在B 右侧时，
，解得：
；
∴点
表示的数为
或；
（3）解：点
为线段
上一点，当点
在线段
上运动时，
的最大值记为
，
∵
恒定，
∴
取得最大值时
取得最大值，
∵
，
∴此时P 在线段
外且位于线段
上离线段
较远的端点．
∵
取最小值，
∴当
，
即
，
解得：
，
此时
的最大值
，
∴
最小值
．
