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分层作业
30.1.1 直线与圆相离、相切、相交
目 录
A 组 巩固过关
题型01 直线与圆的位置关系
题型02 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围
题型03 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
直线与圆的位置关系
1．（2026 年四川成都市新都区中考数学二诊试卷）圆的半径为4 cm ，圆心与直线上某一点距离为4 cm ，
则直线与圆的位置关系不可能是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断．
【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为
4
r
cm
=
，圆心与直线上某一点的距离为4cm ，
又∵垂线段最短，
圆心到直线的距离
4
d
cm
，
∴d
r
题型01
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∴直线与圆相切或相交，不可能相离．
2．（2026·上海宝山·二模）如图，
30
ABC
=
，点O 为射线BC 上一点，
8
BO =
，如果
O
是以点O 为圆
心，半径为3 的圆，那么
O
与直线BA的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
【答案】A
【分析】作OD
AB
⊥
，求出OD 的长，与半径比较大小，即可得出结果.
【详解】解：作OD
AB
⊥
于点D ，
∵
30
ABC
=
，
8
BO =
，
∴
1
4
2
OD
OB
=
=
，
∵
O
的半径为3，4
3
，
∴
O
与直线BA的位置关系是相离.
3．已知
O
半径为6cm，圆心O 到直线AB 的距离为3cm ，则直线与
O
的位置关系是________．
【答案】相交
【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系．
【详解】解：∵
O
半径为6cm，圆心O 到直线AB 的距离为3cm ，3
6
，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线AB 与
O
相交．
4．圆的半径为5cm，当圆心到直线l 的距离为下列数值时，直线l 和圆分别有几个公共点？它们与圆有怎
样的位置关系？
(1) 4cm ；(2)5cm；(3)6cm ．
【答案】(1)有2 个公共点，直线l 与圆相交
(2)有1 个公共点，直线l 与圆相切
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(3)有0 个公共点，直线l 与圆相离
【分析】比较圆的半径与圆心到直线l 的距离的大小关系，即可得出结果.
【详解】（1）解：∵4
5
，
∴直线与圆相交，有2 个交点；
（2）解：∵5
5
=
，
∴直线与圆相切，有1 个交点；
（3）解：∵6
5
，
∴直线与圆相离，有0 个交点.
5．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
8
6
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
．以点C 为圆心，分别以下面给出的r 为半径作
圆，试问所作的圆与斜边AB 所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由．
(1)
4
r =
；
(2)
4.8
r =
；
(3)
5
r =
．
【答案】(1)解：当
4
r =
时，直线与圆相离；理由如下：
∵
90
8
6
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
∴
2
2
6
8
10
AB =
+
=
，
作CD
AB
⊥
，则1
1
·
·
2
2
ABCD
AC BC
=
，即6 8
10CD
=
，
∴
4.8
CD =
，即点C 到直线AB 的距离d 为4.8 ；
∵4
4.8
，即r
d
，
∴直线AB 与圆相离；
(2)解：当
4.8
r =
时，直线与圆相切；理由如下：
由（1）可知，点C 到直线AB 的距离d 为4.8 ；
∴r
d
=
，
∴直线AB 与圆相切；
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(3)解：当
5
r =
时，直线与圆相交；理由如下：
由（1）可知，点C 到直线AB 的距离d 为4.8 ，
∵5
4.8
，即r
d
，
∴直线AB 与圆相交.
【分析】勾股定理求出AB 的长，等积法求出CD的长，根据r 与CD的大小关系，判断位置即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围
6．（25-26 九年级上·上海静安·期末）已知点A坐标为(
)
1, 3
−
，如果半径为r 的
A
与x 轴无公共点，与y 轴
有公共点，那么r 的取值范围是_________．
【答案】1
3
r
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的
关系列不等式求解．
【详解】解：圆心
(
)
1, 3
A
−
到x 轴的距离为
3
3
−
=
，
由于圆与x 轴无公共点，
故圆心到x 轴的距离大于半径，即
3
r ；
圆心到y 轴的距离为1，由于圆与y 轴有公共点，
故圆心到y 轴的距离小于或等于半径，即
1
r ；
因此，r 的取值范围是1
3
r
．
故答案为：1
3
r
．
7．（25-26 九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l 与
O
相交，圆心O 到直线l 的距离为4，则
O
的半
径可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设
O
的半径为r，圆心O 到
直线l 的距离为d，直线l 和
O
相交
d
r
；直线l 和
O
相切
d
r
=
；直线l 和
O
相离
d
r
是解
题型02
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题的关键．根据d
r
，圆和直线相交即可求解，
【详解】解：直线l 与
O
相交，圆心O 到直线l 的距离为4，
O
的半径大于4，
故选：D ．
8．（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l 与半径为r 的
O
相交，且点O 到直线l 的距离为6，则
r 的取值范围是（ ）
A．
6
r
B．
6
r =
C．
6
r
D．
6
r
【答案】A
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d 与圆半径
大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l 与半径r 的
O
相交，且点O 到
直线l 的距离
6
d =
，
6
r
d
=
即可得到问题的选项．
【详解】解：∵直线l 与半径r 的
O
相交，且点O 到直线l 的距离为6，
∴
6
r
，
故选：A．
9．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知
6cm
EF
CD
=
=
，则球的半径为（ ）．
A．15
4 cm
B．4cm
C．17 cm
4
D．5cm
【答案】A
【分析】取EF 的中点M ，作MN
AD
⊥
于点M ，取MN 上的球心O，连接OF ，设
cm
OF
ON
x
=
=
，在
Rt MOF
中利用勾股定理求得OF 的长即可．
【详解】解：如图，取EF 的中点M ，作MN
AD
⊥
于点M ，
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∵M 是EF 的中点，MN
AD
⊥
于点M ，
∴MN 经过球心O，
∴取MN 上的球心O，连接OF ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
C
D
=
=
，
∵MN
AD
⊥
，
∴四边形CDMN 是矩形，
∴
6cm
MN
CD
=
=
，
设
cm
OF
ON
x
=
=
，
∴
(
)
6
cm
OM
MN
ON
x
=
−
=
−
，
∵
1
3cm
2
MF
EF
=
=
，
∴在直角三角形OMF 中，
2
2
2
OM
MF
OF
+
=
，即(
)
2
2
2
6
3
x
x
−
+
=
，
解得：
15
4
x =
，
∴球的半径为15
4 cm ．
10．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，Rt
ABC
△
中，以点A为圆心作
A
，与BC ，AC 有交点（不经过
点B ，C 两点），
90
B
=
，
30
C
=
．若
3
AB = ，则
A
的半径r 的取值范围是________．
【答案】3
6
r
【分析】分别求出
A
与BC 相切时，
A
过点C 时两种情况半径r 的值，再结合图像分析即可．
【详解】
90
B
=
，
30
C
=
，
3
AB = ，
2
6
AC
AB
=
=
，
如图，当
A
与BC 相切时，半径
3
r
AB
=
= ，
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当
A
过点C 时，半径
6
r
AC
=
=
，
由图像可得，当
A
与BC ，AC 有交点（不经过点B ，C 两点）时，
A
的半径r 的取值范围是3
6
r
．
由直线与圆的位置关系求点到直线的距离
11．已知
O
与直线l 没有公共点，若
O
的半径为5，则圆心O到直线l 的距离可以是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系决定：当d
r
时，圆与直线相
离，无公共点；当d
r
= 时，圆与直线相切，有一个公共点；当d
r
时，圆与直线相交，有两个公共点．
【详解】解：∵
O
与直线l 没有公共点，
∴
O
与直线l 相离，
已知
O
的半径
5
r =
，
∴圆心O到直线l 的距离
5
d ，
观察选项，只有选项A 中的6 满足
5
d ，
故选：A．
12．（2025·浙江杭州·一模）已知
O
的半径是5，直线l 与
O
相交，则圆心O到直线l 的距离可能是
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l 和
O
相交即d
r
，即可判断．
【详解】解：∵直线l 与
O
相交，
∴圆心O到直线l 的距离小于5，
符合要求的为4，
题型03
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故选：A．
13．如图，已知
O
的半径为6，点 O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （ ）
A．AD
B．AB
C．BC
D．CD
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，
圆心到直线的距离为d，若d
r
直线与圆相交；若d
r
=
．直线与圆相切；若d
r
直线与圆相
离．过点作OE
AB
⊥
于E，作OF
BC
⊥
于F，作OG
CD
⊥
于G，作OH
AD
⊥
于H，由图可知：AB 、AD
与圆相交，BC 与圆相离，CD与圆相切，则
6
OE
，
6
OF
，
6
OH
，
6
OG =
，即可求解．
【详解】解：过点作OE
AB
⊥
于E，作OF
BC
⊥
于F，作OG
CD
⊥
于G，作OH
AD
⊥
于H，
由图可知：AB 、AD与圆相交，BC 与圆相离，CD与圆相切，
又∵
O
的半径为6，
∴
6
OE
，
6
OF
，
6
OH
，
6
OG =
，
∵点 O到矩形某条边的距离为8，且8
6
，
∴点 O到矩形某条边的距离为8，这条边可以是BC ，
故选：C．
14．（25-26 九年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
5
AB =
．
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(1)请作出
O
，使得
O
分别与AC 、AB 都相切，并且圆心O到点A、C 的距离相等；（请用圆规和无刻
度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，
O
的半径为_____．
【答案】(1)见解析
(2) 3
4
【分析】（1）由题意作出
BAC
的角平分线和线段AC 的垂直平分线，交点即为点O，记线段AC 的垂直
平分线与AC 交点为点E ，再以O为圆心，OE 为半径即可作圆；
（2）先由勾股定理求出
4
BC =
，过点N 作NM
AB
⊥
于点M ，则NC
NM
=
，设NC
NM
x
=
=
，则
4
BN
x
=
−，由sin
AC
MN
B
AB
BN
=
=
，求出
3
2
x =
，再由
AEO
ACN
△
∽△
即可求解半径．
【详解】（1）解：如图，
O
即为所求；
（2）解：过点N 作NM
AB
⊥
于点M ，
∵
90
ACB
=
，
3
AC =
，
5
AB =
，
∴
2
2
4
BC
AB
AC
=
−
=
∵AN 平分
BAC
，
∴NC
NM
=
，
设NC
NM
x
=
=
，则
4
BN
x
=
−，
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∵sin
AC
MN
B
AB
BN
=
=
，
∴3
5
4
x
x
=
−
，
解得
3
2
x =
，
∵
,
90
OE
AC
C
⊥
=
，
∴OE
CN
∥
，
∴
AEO
ACN
△
∽△
∴OE
AE
CN
AC
=
，
∴
1
3
2
2
OE =
∴
3
4
OE =
，即
O
的半径为3
4 ，
故答案为：3
4 ．
【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾
股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强．
15．已知圆的直径为10cm，直线l 和圆只有一个公共点．求圆心到直线l 的距离．
【答案】5cm
【分析】根据直线l 和圆只有一个公共点，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得出结果.
【详解】解：∵圆的直径为10cm，
∴圆的半径为5cm，
∵直线l 和圆只有一个公共点，
∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即为5cm.
16．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是6cm，圆心到直线的距离是8cm ，那么直线与圆的位置关系是
（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
【答案】A
【分析】先确定圆的半径r 和圆心到直线的距离d ，再比较d 与r 的大小，根据直线与圆位置关系的判定规
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则即可得出结论．
【详解】解：由题意得，圆的半径
6cm
r =
，圆心到直线的距离
8cm
d =
8cm
6cm
d
r
=
=
根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离.
直线与圆的位置关系是相离．
17．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d 满
足（ ）
A．
13cm
d =
B．
6.5cm
d =
C．0cm
6.5cm
d
D．
6.5cm
d
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离
d 的取值范围．先求出圆的半径为6.5cm，再根据直线与圆相交时，d 的取值范围．
【详解】解：∵圆的半径为
(
)
1 13
6.5 cm
2
=
∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离0cm
6.5cm
d
，
故选：C．
18．（25-26 九年级下·上海长宁·期中）已知
O
及其所在平面内的直线l，P 为直线l 上的一点，如果
O
半径为3，且
3
PO =
，那么下列对直线l 的表述不正确的是（ ）
A．直线l 可能经过圆心O
B．直线l 可能与
O
相交
C．直线l 可能与
O
相切
D．直线l 可能与
O
相离
【答案】D
【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论
【详解】解：设
O
的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为d ，
由题意得
3
r = ，P 为l 上一点，
3
PO =
，
∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴
3
d
PO
= ，即d
r
，
∵直线与圆相离的判定条件为d
r
，
∴d 不可能大于r ，
∴直线l 不可能与
O
相离．
19．如图，平面直角坐标系中，
P
经过三点
(
)
(
)
(
)
8 0
0 0
0 6
A
O
B
，，
，，
，，点D 是
P
上的一动点．当点 D
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到弦OB 的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A．(
)
9 3
，
B．(
)
9 6
，
C．(
)
10 3
，
D．(
)
10 6
，
【答案】A
【分析】过点P 作PE
OA
⊥
于点E，作PF
OB
⊥
于点F，延长FP交
P
于点D，此时
点 D 到弦OB 的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关
系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵点
(
)
(
)
(
)
8 0
0 0
0 6
A
O
B
，，
，，
，,
∴
8,
6
OA
OB
=
=
,
过点P 作PE
OA
⊥
于点E，作PF
OB
⊥
于点F，延长FP交
P
于点D，此时点 D 到弦OB 的距离最大，
∴四边形PFOE是矩形，
∴
1
1
4,
3
2
2
PF
OE
OA
OF
EP
OB
=
=
=
=
=
=
，
∴
2
2
5
OP
OD
EP
OE
=
=
+
=
，
∴点 D 到弦OB 的距离最大为
4 5
9
PF
OD
+
=
+ =
，
∴点D 的坐标为(
)
9 3
，，
故选A．
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．
20．（2026·河南周口·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
3
BC = ．以点C 为圆心，r 为半
径作圆．若
C
与斜边AB 所在直线有且只有一个公共点，则r 的值为（ ）
A．12
5
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】首先由勾股定理求AB ，再用面积法求出C 到AB 的距离CD，然后根据切线的判定定理回答即
可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
AC =
，
3
BC = ．
2
2
2
2
4
3
5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
过点C 作CD
AB
⊥
于点D ，
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
，
3 4
12
5
5
AC CB
CD
AB
=
=
=
，
C
与斜边AB 所在直线有且只有一个公共点，
C
与AB 相切，
12
5
r
CD
=
=
．
21．Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3,
4
AC
BC
=
=
，以C 为圆心，r 为半径作
C
．若
C
与边AB 只有一个交
点，则r 的取值范围是_____________
【答案】3
4
r
或
12
5
r =
【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关
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系是解题的关键．作CD
AB
⊥
于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD，得出以C 为圆心，
12
5
r =
为半径所作圆，则此时圆与斜边AB 相切，只有一个交点；由BC
AC
，可得以C 为圆心，3
4
r
为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点．
【详解】解：作CD
AB
⊥
于D ，如图所示：
∵
90
C
=
，
3,
4
AC
BC
=
=
，
∴
2
2
3
4
5
AB =
+
=
，
∵ABC
的面积
1
1
·
·
2
2
ABCD
AC BC
=
=
，
∴
12
5
AC BC
CD
AB
=
=
，
即圆心C 到AB 的距离
12
5
d =
，
∴以C 为圆心，
12
5
r =
为半径所作的圆，则此时圆与斜边AB 相切，只有一个交点；
∵AC
BC
，
∴以C 为圆心，3
4
r
为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，
综上分析可知：若
C
与边AB 只有一个交点，则r 的取值范围是3
4
r
或
12
5
r =
．
故答案为：3
4
r
或
12
5
r =
．
22．（25-26 九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为6cm的圆与直线l 的位置关系如图所示，若点P 在其
中的某个圆上，且点P 到直线l 的距离为8cm ，则这个圆可以是__________ ．
【答案】
B
或
C
【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解．
【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P 到直线l 的距离为8，
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若点P 在
A
上，则点P 到直线l 的距离
6
；
若点P 在
B
或
C
上，则点P 到直线l 的距离可以为8．
23．（25-26 九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形ABCD中，
4
AB =
，
6
AD =
，点E 是边AB 上的一个动
点，点O是边BC 上的一个动点，且始终满足
:
1:2
BE BO =
，连接OE ，以点O为圆心，OE 长为半径作
圆，当
O
与矩形ABCD的边有且只有三个公共点时，BE长等于_______．
【答案】4 5
5
或2
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．当
AD与
O
相切时及当
O
过点D 时，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：如图，当AD与
O
相切时，
O
与矩形ABCD的边有三个公共点，
四边形ABCD是矩形，
90
A
B
= =
，
AD与
O
相切，
90
AFO
=
，
四边形ABOF 是矩形，
4
OF
AB
=
=
，
4
OE
OF
=
=
，
:
1:2
BE BO =
，
可设BE
x
=
，则
2
BO
x
=
，
在Rt
OBE
△
中，
2
2
2
OB
BE
OE
+
=
，
(
)
2
2
2
2
4
x
x
+
=
，
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4 5
5
x =
，
4 5
5
BE =
；
解：如图，当
O
过点D 时，
O
与矩形ABCD的边有三个公共点，
设BE
x
=
，则
2
BO
x
=
，
在Rt
OBE
△
中，
2
2
2
OB
BE
OE
+
=
，
(
)
2
2
2
5
OE
x
x
x
=
+
=
，
5
OE
OD
x
=
=
，
6
2
OC
x
=
−
，
在Rt OCD
中，
2
2
2
OC
CD
OD
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
6
2
4
5
x
x
−
+
=
，
2
x =
或26
−
（舍去），
2
BE = ；
故答案为：4 5
5
或2．
八、C
24．（2026·上海青浦·二模）在矩形ABCD中，
3
AB =
，
4
BC =
，动点O在对角线AC 上．如果以点O为圆
心，以1 为半径长的
O
与边AB 有两个公共点，那么线段OA的取值范围是（ ）
A．
5
1
4
OA
B．
5
1
4
OA
C．
5
1
4
OA
D．
5
1
4
OA
【答案】D
【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线AC 的长度，再通过相似三角形得到圆心O 到AB 的距离
与OA的关系，结合圆与线段AB 有两个公共点的条件，推导得到OA的取值范围．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
3
AB = ，
4
BC =
，
90
ABC
=
∴
2
2
2
2
3
4
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
过点O作OE
AB
⊥
于E
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∵OE
AB
⊥
，
90
ABC
=
∴OE
BC
∥
∴AOE
ACB
∽
∴OE
OA
BC
AC
=
，
即4
5
OE
OA
=
，
整理得
4
5
OE
OA
=
∵
O
半径为1，且
O
与边AB （线段AB ）有两个公共点
∴需满足两个条件：①直线AB 与
O
相交，②端点A在
O
外（或圆上）．
①直线AB 与
O
相交，即圆心到AB 的距离小于半径则
1
OE ，
∴4
1
5 OA ，
解得
5
4
OA
②端点A在
O
外（或圆上），则
1
OA
综上，
5
1
4
OA
．
25．如图，在梯形ABCD中，AD
BC
∥
，
90
B
=
，
16
CD =
，
6
BC
AD
=
+
，如果以CD为直径的圆与
梯形ABCD各边共有3 个公共点（C，D 两点除外），那么AD长的取值范围是（ ）
A．5
16
AD
B．5
8
AD
C．5
8
AD
D．0
5
AD
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB 和
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圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联
系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线AB 相交，设直线AB 和圆相切于点E，
连接OE ，则OE
AB
⊥
，OE
AD
BC
，
又∵OC
OD
=
，
∴此时EA
EB
=
．
根据梯形的中位线定理，得
6
3
2
AD
AD
OE
AD
+
+
=
=
+ ，
∴
3
8
AD+ = ，
∴
5
AD = ，
∴直线要和圆相交，则0
5
AD
．
故选D．
26．如图，点P 是函数
(
)
1
0
y
x
x
=
的图象上的一点，
P
的半径为
2 ，当
P
与直线y
x
=
有公共点时，
点P 的横坐标x 的取值范围是（ ）
A．1
2
x
B．2 1
2
x
−
C．2 1
1
x
−
D．2 1
2 1
x
−
+
【答案】D
【分析】如图所示，
1
2
PP 即为
P
与直线y
x
=
有一个公共点的情况，点P 只有在线段
1
2
PP 上，即符合题
意，根据图象的对称性可知，
1
2
APP
是等腰直角三角形，求得
1
2
2
AP
AP
=
=
，设
1
0
0
1
,
P
x
x
，则
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2
0
0
1
2,
2
P
x
x
+
−
，则
1
2
APP
的中点M 在直线y
x
=
上，得到
0
0
1
1,
1
M
x
x
+
−
，解方程得到
0
0
2
1,
2
1
x
x
=
−
= −
−（不合题意，舍去），于是得到结论．
【详解】解：如图所示，
1
2
PP 即为
P
与直线y
x
=
有一个公共点的情况， 点P 只有在线段
1
2
PP 上，即符
合题意，
根据图象的对称性可知，
1
2
APP
是等腰直角三角形，
∵
P
的半径为
2 ，
∴
1
2
2 2
PP =
，
∴
1
2
2
AP
AP
=
=
，
1
0
0
1
,
P
x
x
，则
2
0
0
1
2,
2
P
x
x
+
−
，
则
1
2
APP
的中点M 在直线y
x
=
上，
∴
0
0
1
1,
1
M
x
x
+
−
，
∴
0
0
1
1
1
x
x
+ =
−，
解得：
0
0
2
1,
2
1
x
x
=
−
= −
−（不合题意，舍去），
∴
1P 的横坐标是2 1
−，
2P 的横坐标是2 1
+ ，
∴2 1
2 1
x
−
+ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（2026·四川绵阳·二模）如图，
(2,2)
M
，
M
与x 轴，y 轴均相切，将一次函数
3
y
x
b
=
+
的图象平
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移，当图象与
M
有公共点时，则实数b 的取值范围是（ ）
A．56 5
4 5
15
15
b
−
B．4
2 10
4
2 10
b
−−
−+
C．
2 10
2
b
−
D．14 10
20
6 10
20
5
5
b
−
−
−
【答案】B
【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为(
)
,x y ，由半径
2
r =
得，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
x
y
−
+
−
=
，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
−
+
−
=
，再联立
3
y
x
b
=
+
与
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
−
+
−
=
得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式
0
建
立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．
【详解】解：圆心
(
)
2,2
M
，
∴圆心到x 轴，y 轴的距离为2
∵
M
与x 轴，y 轴均相切，
M
的半径
2
r =
，
设圆上任意一点坐标为(
)
,x y ，
由半径
2
r =
得，(
)
(
)
2
2
2
2
2
x
y
−
+
−
=
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
−
+
−
=
，
当图象与
M
有公共点时，
联立
3
y
x
b
=
+
与
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
−
+
−
=
，
得：
2
2
(
2)
(3
2)
4
x
x
b
−
+
+ −
=
，
整理得：
(
)
2
2
10
6
16
(
2)
0
x
b
x
b
+
−
+
−
=
，
关于 x 的一元二次方程有实数根，
2
2
Δ
(6
16)
4 10 (
2)
0
b
b
=
−
−
−
，
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整理得，
2
8
24
0
b
b
+
−
.
令
2
8
24
0
b
b
+
−
=
，
解得
8
64
96
4
2 10
2
b
−
+
=
= −
，
令
2
8
24
t
b
b
=
+
−
，
∴不等式
2
8
24
0
b
b
+
−
的解集，即为抛物线
2
8
24
t
b
b
=
+
−
在x 轴下方时，对应于x 轴交点横坐标的取值范
围，
∵1
0
，抛物线开口方向向上，
不等式的解集为4
2 10
4
2 10
b
−−
−+
．
28．（25-26 九年级上·河北衡水·期末）已知
O
的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为4，若直线l 与
O
相
离，且r 为整数，则r 的值可以为__________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出
4
r
，再根据r 为整数且
0
r
，即可得出答案．
【详解】∵直线l 与
O
相离，
∴圆心O 到直线l 的距离d
r
．已知
4
d =
，
∴4
r
，即
4
r
，
又∵r 为整数且
0
r
，
∴r 可取1，2，3．
故答案为：3
29．如图，
45
AOB
=
，点M ，N 在边OA上，OM
x
=
，
4
ON
x
，点P 是边OB 上的点．若使点
P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是______．
【答案】
0
x =
或
4 2
4
x =
−
或4
4 2
x
【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x 值，
①如图1，当M 与O重合时，即
0
x =
时，点P 恰好有三个；
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②如图2 ，构建腰长为4 的等腰直角
OMC
△
，和半径为4 的
M
，发现M 在点D 的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M 、N 为圆心，以MN 为半径画弧，与OB 的交点就
是满足条件的点P ，再以MN 为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x 取何值，以MN 为底边的等腰
三角形都存在一个，所以只要满足以MN 为腰的三角形有两个即可．
【详解】解：分三种情况：
①如图1，当M 与O重合时，即
0
x =
时，点P 恰好有三个；
②如图2 ，以M 为圆心，以4 为半径画圆，当
M
与OB 相切时，设切点为C ，
M
与OA交于D ，
MC
OB
⊥
，
45
AOB
=
，
MCO
△
是等腰直角三角形，
4
MC
OC
=
=
，
4 2
OM
=
，
当M 与D 重合时，即
4 2
4
x
OM
DM
=
−
=
−时，同理可知：点P 恰好有三个；
③如图3，取
4
OM =
，以M 为圆心，OM 为半径画圆，
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则
M
与OB 除了O外只有一个交点，此时
4
x = ，即以
PMN
为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一
个，以N 为圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以
PNM
为顶角，以MN 为腰，符合条
件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ；
点M 沿OA运动，到
1
M 时，发现
1
M
与直线OB 有一个交点；
当4
4 2
x
时，圆M 在移动过程中，则与OB 除了O外会有两个交点，满足点P 恰好有三个；
综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：
0
x =
或
4 2
4
x =
−
或
4
4 2
x
．
故答案为：
0
x =
或
4 2
4
x =
−
或4
4 2
x
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练
掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点．
30．（2026·河北张家口·三模）如图，在矩形ABCD中，
4 cm
AB =
，
12 cm
BC =
，点P ，Q 分别是边
AD，BC 上的点，连接PQ ，满足
4 cm
DP =
，
7 cm
CQ =
，点M 在线段AP 上，过点M 作直线l
AD
⊥
，
若直线l 上存在4 个点N ，使
PQN
△
为直角三角形，设AM
t
= ，则t 的取值范围是______．
【答案】4
5
t
或5
8
t
【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，直线与圆的位置关
系等知识，利用分类讨论思想求解是解题的关键．分情况讨论：若
PQN
△
为直角三角形，当l 与圆相切
时；当直线l 过点Q 时；当l 过点Q 时；分别得出t ，即可得到t 的取值范围．
【详解】解：过点P 作PH
BC
⊥
，垂足为H ，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PH
AB
=
，
∵
4 cm
DP =
，
7 cm
CQ =
，
∴
4cm
PH =
，
7
4=3cm
HQ =
−
，
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在Rt PHQ
中，
2
2
2
2
4
3
5
PQ
PH
HQ
=
+
=
+
=
，
以PQ 为直径作
O
，当
O
与l 相切时，过O作OT
AD
⊥
，连接OS ，
∴
1
1
5
5
2
2
2
OS
PQ
=
=
=
，
1
1
4
2
2
2
OT
AB
=
=
=
，
在Rt OTS
中，
2
2
2
2
5
3
2
2
2
ST
OS
OT
=
−
=
−
=
，
∴
3
2
PT
ST
=
=
，
5
3
1
2
2
MS =
−
= ，
∴
3
3
12
4
1
4
2
2
AM
t
AD
DP
PT
ST
MS
= =
−
−
−
−
=
−−
−
−=
；
①若
PQN
△
为直角三角形，如图（1），当直线l 与圆相切时，
4
t =
，
使
PQN
△
为直角三角形的点N 有
1
N ，
2
N ，
3
N 3 个，继续向右运动，直线l 与圆有2 个交点，此时点N 有
4 个；
②当直线l 过点Q 时，如图（2），
12
7
5
BQ
AM
BC
CQ
=
=
−
=
−
=
，
∴
5
t =
，
使
PQN
△
为直角三角形的点N 有
1
N ，
2
N 2 个，
继续向右运动，此时点N 有4 个；
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③当直线l 经过点P 时，如图（3），
12
4
8
AM
AP
AD
DP
=
=
−
=
−
=
，
∴
8
t =
，
使
PQN
△
为直角三角形的点N 有
1
N ，
2
N 2 个，
∴由图可知，满足条件的t 的取值范围是4
5
t
或5
8
t
．
31．（25-26 九年级上·河南漯河·期末）如图，已知抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
2
1,0
A
m −
和点
(
)
2,0
B m +
，与y 轴交于点C ，对称轴为直线= 1
x −．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ
y
轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作
P
，当
P
与坐标轴相切时，求
P
的半径．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
+
−；
(2)2 或4
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，代入A、B 的横坐标求出m 的值，得到A、B 的坐标后，用交点式
直接求出抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线与y 轴交点C 的坐标，再利用A、C 两点求出直线AC 的解析式，设出直线AC 上点P
的坐标，结合PQ
y
轴得到抛物线上点Q 的坐标，进而表示出PQ 的长度即
P
的半径，接着分
P
与x 轴
相切、与y 轴相切两种情况，依据圆心到坐标轴的距离等于半径列绝对值方程，求解后舍去使PQ 为0 的
解，最终得到
P
的半径．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
2
1,0
A
m −
和
(
)
2,0
B m +
，对称轴为直线
1
x
−
=
，
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∴(
) (
)
2
1
2
1
2
m
m
−
+
+
= −，解得
1
m
−
=
．
∴2
1
3,
2
1
m
m
−= −
+
= ，
∴
(
)
3,0
A −
；
(
)
1,0
B
．
设抛物线解析式为
(
)(
)
2
3
1
2
3
y
x
x
x
x
=
+
−
=
+
−；
（2）解：由抛物线
2
2
3
y
x
x
=
+
−，
令
0
x =
，得
3
y
−
=
，故
(
)
0, 3
C
−
．
设直线AC 的解析式为y
kx
d
=
+
，
代入
(
)
3,0
A −
、
(
)
0, 3
C
−
，得：
3
0
3
k
d
d
−
+
=
= −
，
解得
1
3
k
d
= −
= −
，
即直线AC 的解析式为
3
y
x
= −−
．
设点
(
)
,
3
P t
t
−−
，
∵PQ
y
轴，
∴(
)
2
,
2
3
Q t t
t
+
−
，
∴
(
)
2
2
2
3
3
3
Q
P
PQ
y
y
t
t
t
t
t
=
−
=
+
−−−−
=
+
，
即
P
的半径
2
3
r
t
t
=
+
．
①当
P
与x 轴相切时，
2
3
3
t
t
t
−−
=
+
，即
(
)
3
3
t
t t
+
=
+
．
当
3
0
t + =
时，
3
t = −，此时
0
PQ =
，舍去；
当
3
0
t +
时，1
t
=
，解得
1
t = 或
1
t
−
=
，
对应
21
3 1
4
r =
+
=
或
(
)
2
| ( 1)
3
1 | 2
r = −
+ −
=
．
②当
P
与y 轴相切时，
即
2
3
t
t
t
=
+
，即
(
)
3
t
t t
=
+
．
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当
0
t =
时，
0
PQ =
，舍去；
当
0
t
时，1
3
t
=
+
，解得
2
t = −或
4
t = −，
对应
(
)
2
| ( 2)
3
2 | 2
r = −
+ −
=
或
(
)
2
| ( 4)
3
4 | 4
r = −
+ −
=
．
综上，
P
的半径为2 或4 ．
32．（2026·河北·三模）如图1，O 为菱形ABCD对角线上一点，以点O 为圆心，OA为半径的圆与菱形相
邻两边的交点分别为点E、F．
(1)若
O
的半径为3，
60
B
=
，求劣弧AF 的长．
(2)如图2，若
O
与BC 相切于点M．则CD与
O
的位置关系是________；
(3)在（2）的基础上，若
8
AC = ，
4
CM =
，求
O
的半径．
【答案】(1) π
(2)相切
(3)3
【分析】（1）由菱形的性质和
60
B
=
证ABC
是等边三角形，再证出
60
AOF
=
，最后由弧长公式计算
即可；
（2）连接OM ，作ON
CD
⊥
于点N，由菱形的性质证出 OM
ON
=
，根据切线的判定即可得答案；
（3）设
O
的半径为r，根据勾股定理得
2
2
2
OC
OM
MC
=
+
，计算即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD是菱形，
AB
BC
=
，
60
B
=
，
ABC
是等边三角形，
60
BAC
=
，
OA
OF
=
，
AOF
△
是等边三角形，
60
AOF
=
，
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劣弧AF 的长= 60
3
180
=
；
（2）解：如下图，连接OM ，作ON
CD
⊥
于点N，
O
与BC 相切于点M，
OM
BC
⊥
，
四边形ABCD是菱形，
AC
平分
BCD
，
,
OM
BC ON
CD
⊥
⊥
，
OM
ON
=
，
ON
是
O
的半径，
又
ON
CD
⊥
，
CD
与
O
相切；
（3）解：设
O
的半径为r，则
=
=
OA
OM
r ，
8
OC
AC
AO
r
=
−
= −，
OM
BC
⊥
，
2
2
2
OC
OM
MC
=
+
，
(
)
2
2
2
8
4
r
r
−
=
+
，解得：
3
r = ，
O
的半径为3．
33．平面直角坐标系xOy 中，对于点A，直线l （点A 不在l 上）和
C
，给出如下定义：若点A 关于直线
l 的对称点A在
C
上，则称点A 是
C
关于直线l 的映像点，称线段AA的长度为点A 与
C
的映像距
离．
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(1)如图，⊙O 的半径为1，直线1 :
2
l
y
x
=
+
．
①在点
(
)
1
2,2
A −
，
2
3
1 2
A
−
，，
(
)
3
2,1
A
−
中，点 是
O
关于直线1l 的映像点，该点与
O
的映像距离为 ．
②点B 是
O
关于直线1l 的映像点，当点B 与
O
的映像距离最小时，点B 的坐标为 ；
(2)已知点
(
)
2, 1
E −
−
，
(
)
2, 1
F
−
，点D 在y 轴的正半轴上且DEF
为等边三角形．点(
)
2
T t，，
T
的半径为
1．若DEF
上存在
T
关于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
的映像点，直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)①
3A ；
2 ；②
2
2
2,2
2
2
−
−
(2)
3
4
2
t
−
或5
8
2
t
【分析】（1）①作
O
关于直线1 :
2
l
y
x
=
+
的对称
O
，设直线1 :
2
l
y
x
=
+
与x 轴的交点为点M ，与y 轴
交于点N ，根据题意可得点A必定在
O
上，即
1
O A
= ；求得点N 和点M 的坐标，可得
MON
△
是等腰直
角三角形，则
45
OMN
=
，进而可判断点
(
)
3
2,1
A
−
是
O
关于直线1l 的映像点，然后利用两点坐标距离公
式求得
3
3
A A 即可；
②先判断当O、B、B 、O四点共线时，BB最小，再作BH
OM
⊥
，垂足为H ，判断△OMO是等腰直角
三角形得到∠
45
MOO=
，由勾股定理可得
2 2
OO=
，则
2 2
1
OB =
−
，利用锐角三角函数求得BH 和
OH 即可求解；
（2）设点P 为
T
关于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
的映像点，
T
关于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
的对称圆为
T
，则点P 在
T
上，先推导出直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
过定点(
)
2,2 ，设这个定点为点G ，由轴对称的
性质可得GT
GT
=
，即点T在以点
(
)
2,2
G
为圆心，GT 为半径的圆上，进而点P 在以点
(
)
2,2
G
为圆心，
1
GT +
为半径的外圆或
1
GT −
为半径的内圆上，分为①当外圆G 与DF 相切时，圆G 最小，即GT 最小；
②当内圆G 过点E 时，圆G 最大，即GT 最大两种情况分别求解即可．
【详解】（1）①如图，作
O
关于直线1 :
2
l
y
x
=
+
的对称
O
，设直线1 :
2
l
y
x
=
+
与x 轴的交点为点M ，
与y 轴交于点N ，
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∵点A关于直线l 的对称点A在
O
上，
∴点A必定在
O
上，即
1
O A
= ，
将
0
x =
代入
2
y
x
=
+
，得
2
y =
，
∴点N 的坐标为(
)
0,2 ，
将
0
y =
代入
2
y
x
=
+
，得
2
x = −，
∴点M 的坐标为(
)
2,0
−
，
∴
2
OM
ON
=
=
，
∵
90
MON
=
，
∴
MON
△
是等腰直角三角形，
∴
45
OMN
=
，
∵点O与点O关于MN 对称，
∴
2
OM
O M
=
=
，∠
∠
45
OMN
O MN
=
=
，
∴O M
x
⊥
轴，
∴点O的坐标为(
)
2,2
−
，
∴只有点
(
)
3
2,1
A
−
是
O
关于直线1l 的映像点，
由图可知，点
3A 关于直线1l 的对称点
3
A 的坐标为(
)
1,0
−
，
∴映像距离
2
2
3
3
1
1
2
A A =
+
=
；
②由①可知，点B 在
O
上，点B在
O
上，
∴O B
OB
BB
OO
+
+
，
∴
2
BB
OO
−
，
∴当O、B、B 、O四点共线时，BB最小，
如图，作BH
OM
⊥
，垂足为H ，
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∵
2
OM
O M
=
=
，
90
OMO
=
，
∴△OMO是等腰直角三角形，
∴∠
45
MOO=
，
由勾股定理可得
2
2
2 2
OO
OM
O M
=
+
=
，
∴
2 2
1
OB
OO
O B
=
−
=
−
，
在直角OBH
中，sin
BH
BOH
OB
=
∠
，cos
OH
BOH
OB
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
sin
2 2
1 sin45
2 2
1
2
2
2
BH
OB
BOH
=
=
−
=
−
=
−
，
(
)
(
)
2
2
cos
2 2
1 cos45
2 2
1
2
2
2
OH
OB
BOH
=
=
−
=
−
=
−
，
∴点B 的坐标为
2
2
2,2
2
2
−
−
；
（2）解：点P 为
T
关于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
的映像点，
T
关于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
的对称圆为
T
，
由题意，点P 在
T
上，
对于直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
，当
2
x =
时，
2
2
2
2
y
k
k
=
+
−
=
，
∴直线
(
)
2 :
1
2
l
y
k
x
k
=
+
−
过定点(
)
2,2 ，
设这个定点为点G ，由轴对称的性质可得GT
GT
=
，即点T在以点
(
)
2,2
G
为圆心，GT 为半径的圆上，
∵
T
半径为1，点P 在
T
上，
∴点P 在以点
(
)
2,2
G
为圆心，
1
GT +
为半径的外圆或
1
GT −
为半径的内圆上，
①当外圆G 与DF 相切时，圆G 最小，即GT 最小，
如图，设切点为H ，连接GH ，GF ，
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∵圆G 与DF 相切于点H ，
∴GH
DF
⊥
，
∴
90
GHF
=
，
∵
(
)
2, 1
E −
−
，
(
)
2, 1
F
−
，
(
)
2,2
G
，
∴EF
x
轴，GF
x
⊥
轴，
3
GF =
，
∴GF
EF
⊥
，
∴
90
GFE
=
，
∵DEF
是等边三角形，
∴
60
DFE
=
，
∴∠
∠
∠
30
GFH
GFE
DFE
=
−
=
，
在直角
GFH
△
中，
30
GFH
=
，
90
GHF
=
，
∴
1
3
2
2
GH
GF
=
=
，
∴
3
1
2
GT +
=
，即
1
2
GT =
②当内圆G 过点E 时，圆G 最大，即GT 最大，如图，
由勾股定理可得
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1 2
4
3
5
GE =
−−
+ −−
=
+
=
，
∴
1
5
GT −
=
，即
6
GT =
，
综上所述，1
6
2
GT
，
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∵(
)
,2
T t
，
(
)
2,2
G
，
∴
2
GT
t
=
−
，
∴1
2
6
2
t
−
，
解得
3
4
2
t
−
或5
8
2
t
．
34．（25-26 九年级上·北京石景山·期末）对于
C
和点P ，给出如下定义：若过点P 的直线与
C
有两个交
点A B
，，且
AOB
的大小为
(
)
0
180
，则称P 为
C
的“生成点”，特别地，若这样的直线只存
在一条，则称点P 为
C
的“完美生成点”．
(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，
O
的半径为4，点
(
)
2 0
D
，，
(
)
1
1
E −
−
，
，
(
)
0 4
F
，．
①在点D ，E ，F 中，点 是
O
的“120生成点”；
②过点F 的直线交x 轴于点G ，且
30
FGO
=
．若直线FG 上的点P 是
O
的“60完美生成点”，直接写出
点P 的坐标：
(2)已知MN 的长为2，若线段MN 上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且60
120
，直接写出
这个圆的半径r 的取值范围．
【答案】(1)①点D 、点F ；②(
)
3,3 或(
)
3,3
−
(2)
2
r
【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形；
（1）①根据定义判断即可；②“60完美生成点”就是该点到圆心的距离等于60圆心角所对弦的弦心距，
据此可求出坐标；
（2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完
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美生成点”，线段MN 上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且60
120
，即线段MN 上的所有点
到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（60
120
）所对的弦的弦心距，分别算出
60
=
和
120
=
时的弦心距与半径的关系即可求出半径r 的取值范围．
【详解】（1）解：①在
O
中作圆心角
120
AOB
=
，点A B
，在
O
上，过点A B
，作直线AB ，线段AB
为
O
的弦，
∵
O
的半径为4，
120
AOB
=
，
∴圆心O到弦AB 的距离，即弦心距
2
=
d
，
∵
2
OD
d
=
=
，
∴将直线AB 绕圆心O 旋转，直线AB 可以正好经过点D，如图所示：
∴过点D 的直线与
O
有两个交点A B
，，且
120
AOB
=
，点D 为
O
的“120生成点”，
∵
4
OF
d
=
，
∴将直线AB 绕圆心O 旋转，直线AB 可以两次经过点F，如图所示：
∴过点F 有两条直线与
O
有两个交点A B
，，且
120
AOB
=
，点F 为
O
的“120生成点”，
35 / 40
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∵
(
)
1
1
E −
−
，
，
∴
2
OE
d
=
，
∴将直线AB 绕圆心O 旋转，直线AB 无法经过点E，如图所示：
∴点E 不是
O
的“120生成点”．
综上：点D 、点F 为
O
的“120生成点”．
故答案为：点D 、点F ．
②在
O
中作圆心角
60
AOB
=
，点A B
，在
O
上，过点A B
，作直线AB ，线段AB 为
O
的弦，
∵
O
的半径为4，
60
AOB
=
，
∴圆心O到弦AB 的距离，即弦心距
2 3
d =
，
过点O作OP
FG
⊥
，过点P 作PQ
x
⊥
轴，
∵
30
FGO
=
，
∴
60
OFG
=
，
∴
sin
2 3
OP
OFG OF
=
=
∠
，
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∵
60
POQ
=
，
∴
sin 60
3
PQ
OP
=
=
，
cos60
3
OQ
OP
=
=
，
∴(
)
3,3
P
，
∵
2 3
OP
d
=
=
，
∴将直线AB 绕圆心O 旋转，直线AB 有且只有一次经过点P，
∴过点P 的直线与
O
有两个交点A B
，，这样的直线只存在一条，且
60
AOB
=
，点P 为
O
的“60完美
生成点”，
∴当点G 在x 轴正半轴时，点P 坐标为(
)
3,3
P
，当点G 在x 轴负半轴时，点P 坐标为(
)
3,3
P −
，
∵直线FG 直线上除点P 以外的其他点到圆心的距离大于弦心距，
∴直线FG 直线上除点P 以外的其他点会有两条直线经过，不是
O
的“60完美生成点”．
（2）解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就
是这个圆的“完美生成点”，
当
60
=
，即
60
AOB
=
时，如图所示，
此时弦心距
1
3
2
OP
r
=
，
当
120
=
，即
120
AOB
=
时，如图所示，
此时弦心距
2
1
2
OP
r
=
，
∴此时线段MN 上的点到点O的距离1
3
2
2
r
d
r
，
∴线段MN 上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且60
120
，
∵
3
2
ON
r
=
，
2
1
2
OP
r
=
，
2
2
2
2
2
2
ON
OP
P N
−
=
，
∴
2
2
2
3
1
1
2
2
r
r
−
=
，解得：
2
r =
，
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∴当一个圆的半径
2
r
时，可以使得线段MN 在这个圆的内部且线段MN 上的所有的点到圆心的距离
1
3
2
2
r
d
r
，即线段MN 上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且60
120
，
∴半径r 的取值范围为
2
r
．
35．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形ABCD中，AB
AC
⊥
，
6
AB
CD
=
=
，
30
ACB
=
，
点P 在边AD上运动，以P 为圆心，PA为半径的
P
与对角线AC 交于A，E 两点，交AD于A，F 两
点．
(1)当E 为AC 中点时，求AP 的长；
(2)①如图2，当
P
与边CD相切于点M 时，AP 的长为__________；
②当
2
AP =
时，通过计算比较弦AE 和EF 的大小关系；
(3)当
P
与平行四边形ABCD的边BC 恰好有一个公共点时，直接写出AP 的值或取值范围__________．
【答案】(1)3
(2)①
24 3
36
AP =
−
，②弦AE 长大于EF 的长．
(3)6
12
AP
或
3 3
AP =
．
【分析】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用
等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键．
（1）根据
30
ACB
=
，解直角三角形求出AC ，在直角三角形AEF 中求出AF 即可解答；
（2）①当
P
与边CD相切于点M 时，则PM
CD
⊥
，即
90
PMD
=
，可得
3 3
sin
3
PM
PD
PM
D
=
=
，继
而由AP
PD
AD
+
=
列方程求出AP ；
②连接PE，EF ，分别求出
120
APE
=
，
60
FPE
=
，进而求出
3
cos
2
AE
AF
CAD
=
=
，
2
3
EF
=
，再比较大小即可；
（3）分当
P
与BC 相切时，点C 在圆P 内，两种情况讨论，画出图形求解．
【详解】（1）解：如图，连接EF ，
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∵AB
AC
⊥
，
6
AB
CD
=
=
，
30
ACB
=
，
∴
6
6 3
tan
tan30
AB
AC
BCA
=
=
=
，
∵E 为AC 中点，
∴
3 3
AE =
，
∵在平行四边形ABCD中，AD
BC
，
∴
30
CAD
ACB
=
=
，
∵AF 是直径，
∴
90
AEF
=
，
∴
3 3
6
cos
cos30
AE
AF
CAD
=
=
=
，
∴
1
3
2
AP
AF
=
=
（2）解：①连接PM ，
当
P
与边CD相切于点M 时，则PM
CD
⊥
，即
90
PMD
=
，
∵
30
CAD
=
，
∴
60
D
=
，
∴
2 3
sin
sin 60
3
PM
PM
PD
PM
D
=
=
=
，
∵
6
12
sin
sin30
AB
AD
BC
ACB
=
=
=
=
，
又∵AP
PM
=
，AP
PD
AD
+
=
，
∴
2 3
12
3
AP
AP
+
=
，
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∴
24 3
36
AP =
−
，
②连接PE，EF ，
∵
2
AP
PE
PF
=
=
=
，
30
CAD
ACB
=
=
∴
30
PAE
PEA
=
=
，
∴
120
APE
=
，
60
FPE
=
，
∴
3
cos
4
3
2
2
AE
AF
CAD
=
=
=
，
60
2
2
180
3
EF
=
=
∵3
3
，
∴AC
EF
；
（3）①当
P
与BC 相切时，设切点为G ，如图3，
由上述结果可知，
6 3
AC =
，
12
AD
BC
=
=
，
∴
1
6 6 3 2
12
2
ABCD
S
PG
=
=
，
3 3
PG
=
，
即当
3 3
AP =
，
P
与BC 相切，
P
与平行四边形ABCD的BC 边的公共点的个数为1，
②
P
过点C ，如图4 ，
P
与平行四边形ABCD的BC 边的公共点的个数为2 ，
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∵在平行四边形ABCD中，AB
CD
，
∴
90
ACD
BAC
=
=
，
∴AD是直径，此时
1
6
2
AP
AD
=
=
，
当6
12
AP
时，点C 在圆P 内，
P
与平行四边形ABCD的BC 边的公共点的个数为1，
综上所述，AP 的值的取值范围是6
12
AP
或
3 3
AP =
．
