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专题05 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质
（6个考点六大类型）
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
【题型3切线的判定】
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
1.（2023•淮阴区一模）已知 O的半径为5，直线l与 O有2个公共点，则点
O到直线l的距离可能是（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【解答】解：∵直线l与 O有2个公共点，
∴直线l与 O相交，
⊙
∵ O的半径为5，
⊙
∴点O到直线l的距离＜5，
⊙
故选：A．
2.（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距
离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵圆的直径为8cm，
∴圆的半径为4cm，
∵圆心到直线的距离8cm，
∴圆的半径＜圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，
故选：A．
3.（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，
3为半径的圆（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，
点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离
为3，则这条直线可能是（ ）
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【答案】A
【解答】解：∵ O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，3＝3，
∴直线l与 O相切．
⊙
故选：A．
⊙
5．（2023春•青山区校级月考）已知 O的直径为12，点O到直线l上一点的
⊙
距离为 ，则直线l与 O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切⊙ C．相离 D．不确定
【答案】D
【解答】解：∵ O的直径为12，
∴ O的半径为6，
⊙
⊙∵点O到直线l上一点的距离为 ，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与 O的位置关系，
故选：D．
⊙
6．（2022 秋•宜兴市期末）已知 O 的半径为 6cm，点 O 到直线 l 的距离为
7cm，则直线l与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，
∴直线l与 O相离．
⊙
故选：C．
⊙
7．（2022秋•高邑县期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC
＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则 C与AB的位置关系是
（ ）
⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
【答案】B
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝ BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与 C相切．
故答案为：B．
⊙8．（2023春•宁远县期中）已知 O的半径是 10，圆心O到直线l的距离是
13，则直线l与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，
∴点O到直线l的距离大于半径，
⊙
∴直线l与 O相离．
故选：A．
⊙
9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm
为半径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，
∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，
∴OD＝5cm，
∵d＝5cm＞r＝4cm，
∴直线AB与圆O相离．
故选：C．
10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆
心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 相切 ．
【答案】相切．
【解答】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心
的圆的半径为3，∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，
∴该圆与y轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为 2的 P的圆心P
的坐标为（﹣3，0），将 P沿x轴正方向平移，使 P与y轴相交，则平移
⊙
的距离d的取值范围是 1 ＜ d ＜ 5 ．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当 P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当 P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
⊙
故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．
⊙
故答案为：1＜d＜5．
【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】
12．（2023•松原四模）如图，AB与 O相切于点B，AO与 O相交于点C，
若AB＝8，AC＝4，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵AB切 O于B，
∴OB⊥AB，
⊙
∴∠ABO＝90°，
设 O的半径长为r，
由勾股定理得：
⊙
r2+82＝（4+r）2，
解得r＝6故选：C．
13．（2023•重庆模拟）如图，AB为 O的切线，切点为B，AC⊥AB交 O于
点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵AB为 O的切线，
∴OB⊥AB，
⊙
∴∠ABO＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠A＝90°，
∵∠OCB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝ BC＝3．
故选：A．
14．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交 O于点A、B，
⊙
CD是 O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2 ，则线段BC的
⊙
长度是（ ）A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解答】解：连接OD，
∵CD切 O于D，
∴半径OD⊥CD，
⊙
∴∠ODC＝90°，
∵∠ACD＝30°，CD＝2 ，
∴tanC＝ ＝ ＝ ，
∴OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．
故选：B．
15．（2023•西湖区一模）如图，已知 AB是 O的直径，BC与 O相切于点
⊙ ⊙
B，连接AC，若BC＝1， ，则AC的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．1【答案】A
【解答】解：∵BC与 O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
⊙
OB＝ ，AB是 O的直径，
⊙
∴AB＝ ，
∵BC＝1，
∴AC＝ ＝3．
故选：A．
16.（2023•平房区三模）如图，PE、PG为 O的两条切线，E、G为切点，点
F为 O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为
⊙
（ ）
⊙
A．52° B．56° C．66° D．76°
【答案】D
【解答】解：∵PE、PG为 O的两条切线，
∴OE⊥PE，OG⊥PG，
⊙
∴∠OEP＝∠OGP＝90°，
∵∠∠EFG＝52°，
∴∠O＝2∠EFG＝104°，
∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．
故选：D．
17.（2023•邵阳模拟）如图，已知 O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C
⊙的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（ ）
A．24° B．25° C．28° D．31°
【答案】C
【解答】解：∵PC为 O的切线，连接OC，
∴∠PCO＝90°，
⊙
∵OA＝OC，则∠ACO＝∠PAC＝31°，
在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．
故选：C．
18.（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，过点C
作 O 的切线交 AD 的延长线于点 E．若∠E＝40°，则∠ABC 的度数为（
⊙ ⊙
）
⊙
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】B
【解答】解：连接OC、DC，则OC＝OD，
∵CE与 O相切于点C，
∴CE⊥OC，
⊙
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ADC＝∠OCD＝ ×（180°﹣50°）＝65°，∴ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
19．（2023•宽城区二模）如图，AB是 O的直径，AC是弦，AD垂直于过点
C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（ ）
⊙
A．37° B．53° C．63° D．74°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC．
由题意可知CD为 O的切线，
∴OC⊥CD．
⊙
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠CAD＝37°．
∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO＝37°．
故选：A．
20．（2023•通榆县模拟）如图，在 O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
⊙连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（ ）
A．42° B．48° C．84° D．106°
【答案】C
【解答】解：在 O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD＝90°，
⊙
∵∠BCD＝48°，
∴∠OCB＝42°，
∴∠AOC＝84°，
故选：C．
21．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为
直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为
（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵CB与 O相切于B，
∴半径OB⊥BC，
⊙
∴∠OBC＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝69°，
∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．
故选：D．
【题型3切线的判定】
22.（2022秋•自贡期末）如图所示，AB为 O的直径，C为 O上一点，过点
C的直线DE⊥AD于点D，AC平分∠DAB．求证：CE是 O的切线．
⊙ ⊙
⊙
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
∴∠OCE＝∠ADE＝90°，
∴OC⊥DE，
∵OC为圆的半径，
则CE是 O的切线．
23.（2022 秋•黄埔区期末）如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，
⊙
AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为 O的切线．
⊙ ⊙
⊙【答案】见解析．
【解答】证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C在 O上，
∴CD是 O的切线．
⊙
⊙
24.（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是 O的直径，A是BD延长线上的
一点，点E在 O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交 O于点F，
⊙
⊙ ⊙
且点E是 的中点．
求证：AC是 O的切线．
⊙【答案】证明见解析．
【解答】证明：连接OE，
∵E是 的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是 O的切线．
25．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8， O
⊙
的半径为3．
⊙
求证：AB是 O的切线．
⊙【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB，AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
在Rt△OAC中，OC＝ ＝ ＝3，
∵ O的半径为3，
∴OC为 O的半径，
⊙
∴AB是 O的切线．
⊙
⊙
26．（2022 秋•云龙区校级月考）如图，AB 为 O 的直径，AC、DC 为弦，
∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是 O的切
⊙
线．
⊙
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是 O的切线．
27．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的
⊙
中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作 O．
求证：AC是 O的切线．
⊙
⊙
【答案】见解析．
【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，
∴OF＝OD，
∴AC是 O的切线．
⊙
【题型4 切线的性质与判定的综合运用】
28.（2022秋•任城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以 AB为直径作
O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∴∠EDC＝30°．
∴∠ODE＝90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在 O上，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：如图2，连接AD，BF，
⊙
∵AB为 O直径，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
⊙
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴ ， ．
∵∠EDC＝30°，
∴ ．
∴FE＝FC﹣EC＝1．29.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径
的 O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是 O的切线；
⊙
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是 O的切线；
⊙（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝ AB＝3，
∴BP＝ AP＝3 ，
∴BC＝2BP＝6 ．
30.（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交
BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是 O的切线；
⊙
（2）连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD＝ BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得： ，
又S ＝ AC•ED＝ AD•CD，
△ACD
即 ×5×ED＝ ×4×3，
∴ ．31．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC 内接于 O，AB 是 O 的直径，
∠CAB 的平分线交 BC 于点 D，交 O 于点 E，连接 EB，作∠BEF＝
⊙ ⊙
∠CAE，交AB的延长线于点F．
⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）15．
【解答】解：（1）连接OE，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，
⊙
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠EAB＝∠AEO，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是 O的半径，
∴EF是 O的切线．
⊙
⊙
（2）设 O的半径为x，
则有OE＝OB＝x，
⊙在Rt△OEF中，
OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15．
∴ O的半径为15．
32．（2023•官渡区二模）如图，AB是 O的直径，C，D都是 O上的点，且
⊙
AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线
⊙ ⊙
于点F．
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．
⊙
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在 O上，
∴EF是 O的切线；
⊙
（2）连接BC，交OD于H，
⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵AB＝13，AC＝5，
∴BC＝ ＝ ＝12，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝ BC＝6，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝ AC＝2.5，
∴DH＝6.5﹣2.5＝4，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝6，CE＝DH＝4．
33．（2023•兰州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与
BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
⊙（1）求证：DF为 O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】（1）证明见解答过程；
（2） O的半径是 ．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵AB＝AC，
∴点D是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ODF+∠AFD＝180°．
∵∠AFD＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∴DF是 O的半径；
（2）解：连接DE，
⊙∵四边形ABDE是 O的内接四边形，
∴∠B+∠AED＝180°，
⊙
∵∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠DEC＝∠B．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴EF＝CF＝1，
∴AC＝AE+EF+CF＝5，
∴AB＝5，
∴ O的半径是 ．
34．（2023•开江县二模）如图，AB、AC分别是 O的直径和弦，OD⊥AC于
⊙
点D．过点A作 O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于
⊙
点F．
⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
⊙
【答案】（1）见解答；（2）4 ．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
∴PC是 O的切线．
（2）解：由题意得∠ACB＝90°，
⊙
∴∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝8，
∴OC＝4，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OC•tan∠COB＝4 ．35．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB是 O的直径，半径为2， O交BC
于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD．
⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）若∠C＝30°，求BC的长．
⊙
【答案】（1）证明见解析；（2）4 ．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD为△BCA的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵D是BC的中点，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB是 O的直径，半径为2，
∴AB＝4．
⊙在Rt△ADB中，AD＝ AB＝2．
∴BD＝ ，
∴BC＝2BD＝4 ．
36.（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是 O的直径，C，D都是 O上的点，
AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线
⊙ ⊙
于点F．
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．
⊙
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在 O上，
∴EF是 O的切线；
⊙
（2）连接BC，交OD于H，
⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，∴CH＝ BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝ AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．
【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】
37．（2023•西城区校级三模）如图，PA、PB切 O于A、B，若∠APB＝60°，
O的半径为3，则线段PO的长度为（ ）
⊙
⊙
A． B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：连接OP，
∵PA、PB切 O于A、B，
⊙
∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB＝ ∠APB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠APB＝60°， O的半径为3，
⊙
∴∠OPA＝ ×60°＝30°，OA＝3，
∴OP＝2OA＝2×3＝6，
故选：B．38．（2023•平房区三模）如图，PE、PG为 O的两条切线，E、G为切点，
点F为 O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度
⊙
数为（ ）
⊙
A．52° B．56° C．66° D．76°
【答案】D
【解答】解：∵PE、PG为 O的两条切线，
∴OE⊥PE，OG⊥PG，
⊙
∴∠OEP＝∠OGP＝90°，
∵∠∠EFG＝52°，
∴∠O＝2∠EFG＝104°，
∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．
故选：D．
39．（2023•大同模拟）如图，PA，PB分别切 O于点A，B，点C在AB上，
若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：连接CO，∵四边形ACBO为菱形，
∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，
∴△OBC与△OAC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA，PB分别切 O于点A，B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
⊙
∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，
故选：C．
40．（2023•阳谷县二模）已知PA、PB分别与 O相切于A、B，∠P＝70°，C
为 O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
⊙
⊙
A．125° B．120° 或60° C．125°或55° D．130°
【答案】A
【解答】解：如图所示，连接 OA，OB，在优弧 AB 上取点 D，连接 AD，
BD，∵AP、BP是 O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
⊙
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝ AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：A．
41．（2023•蒙阴县二模）如图，PA，PB 分别与 O相切于点 A，B，∠P＝
80°，C为 O上一点，则∠ACB的度数是（ ）
⊙
⊙
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】D
【解答】解：连接OA、OB，AB所在的优弧上找一点E，连接EA、EB，
∵PA，PB分别与 O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
⊙∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝80°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，
∴∠AEB＝50°，
∵四边形ACBE是 O内接四边形，
∴∠E+∠ACB＝180°，
⊙
∴∠ACB＝130°，
故选：D．
42．（2023•新华区校级二模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物
质文化遗产之一．如示意图，AC，BD 分别与 O 相切于点 C，D，延长
AC，BD交于点P．若∠P＝120°， O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的
⊙
细绳的长为（ ）
⊙
A．4 cm B．4cm C．2 cm D．2cm
【答案】C
π π
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC，BD分别与 O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
⊙
∵∠P＝120°，
∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，
∴ 的长＝ ＝2 （cm），
∴瞬间与空竹接触的细绳的长为2 cm，
π
故选：C．
π43.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是 O外一点，PA，PB分别和
⊙
O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作 O的切线分别交PA，PB
⊙于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ⊙ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【解答】解：∵PA，PB分别和 O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
⊙
∵DE是 O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC，
⊙
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6．
故选：B．
44.（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别
为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AP、AC是 O的切线，
∴AP＝AC＝3，
⊙
∵AB＝4，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是 O的切线，
∴BD＝BP＝1，
⊙
故选：D．
45.（2022秋•潮州期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、
B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周
⊙ ⊙
长为（ ）
⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
⊙ ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
46．（沧州期末）如图， O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，
点D，E分别为BC，AC上的点，且 DE为 O的切线，则△CDE的周长为
⊙
（ ）
⊙
A．9 B．7 C．11 D．8
【答案】C
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝
x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
47．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．
O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O
到顶点A的距离是（ ）
⊙
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设 O半径为r，
⊙
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵ O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，，
∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
⊙
∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，
∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，
∵AF+BF＝AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
∴r＝1．
∴OD＝CD＝1，
∴AD＝3．
∴AO＝ ＝ ，
故选：C．
48．（2022秋•路北区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的
内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点 D、E、F，若 O的半径为 2，
AD•DB＝24，则AB的长（ ）
⊙ ⊙
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边
长为2．
∵△ABC的内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴可以假设AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，
⊙
则AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，
∴4a+4b+8＝2ab，
∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，
∴AB＝10．
故选：B．
49．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是 O外一点，PA，PB分别和
⊙
O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作 O的切线分别交PA，PB
⊙于D，E． ⊙
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为 5 ；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为 11 5 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
⊙
∴C ＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
△PDE
∴PA＝PB＝5；
（2）连接OA、OB、AC、BC，在 O上取一点F，连接AF、BF，
∵PA、PB分别切 O 于A、B；
⊙
∴∠PAO＝∠PRO＝90°
⊙
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
∴∠AFB＝ ∠AOB＝65°，
∵∠AFB+∠BCA＝180°
∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；
故答案是：5，115°．50．（2023•青海一模）如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点
D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 7 ．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB、AC、BC都是 O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
⊙
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
51．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，DE
分别交PA，PB于D、E，已知P到 O的切线长为8cm，那么△PDE的周长
⊙
为 1 6 cm ．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
⊙
∴C ＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；
△PDE
∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．
【题型6 三角形的内切圆与内心】
52.（2022秋•绵阳期末）如图， O为Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 M，
N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：连接OM、ON、OQ，
根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，
又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，
∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∵CM＝2，AM＝3，
∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5
∴（3+r）2+（2+r）2＝52，
解得r ＝1，r ＝﹣6（舍去），
1 2
∴ O的半径为1，
故选：C．
⊙
53.（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的内切圆 O与AB，BC，CA分别
相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（ ）
⊙A．50° B．100° C．90° D．80°
【答案】D
【解答】解：连接OD、OF，如图：
∵∠DEF＝50°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝100°，
∵ O是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
⊙
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠A+∠DOF＝180°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
54.（2023•恩施市模拟）如图，点 I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C
等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝ ∠CAB，∠IBA＝ ∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选：B．
55．（2022秋•辛集市期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名
著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几
何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8步，股
（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多
少？”此问题中，该内切圆的直径是（ ）
A．5步 B．6步 C．8步 D．10步
【答案】B
【解答】解：
如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，
∴AB＝ ＝17，
∴S ＝ AC•BC＝ ×8×15＝60，
△ABC
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S ＝S +S +S ＝ ×r（AB+BC+AC）＝20r，
△ABC △AOB △BOC △AOC
∴20r＝60，解得r＝3，
∴内切圆的直径为6步，
故选：B．
