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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
思维导图常见考法
考点一 直线与圆的位置的关系
【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））若直线 与圆 相切，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0），所以 .故选C
【一隅三反】
1．（2018·福建高一期末）若直线 与圆 相切，则直线l
与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】圆 的方程可化为 ，故圆心为 ，半径 .由于直线 ：
和圆 相切，所以 ，结合 解得 ，所以直线 的方程为，即 .圆 的圆心为 ，半径为 ， 到直线 的距离为
，所以直线 与圆 相交.故选：A
2．（2020·包头市田家炳中学高二期中）直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
【答案】D
【解析】圆x2+y2＝1的圆心坐标为 ，半径为1，
因为圆心 到直线y＝x﹣1的距离为： ，
所以直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1相交，
因为 ，所以直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为相交但直线不过圆心.
故选：D
3．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（文））“点 在圆 内”是“直线
与圆 相离”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若点 在圆 内，则
则圆心 到直线 的距离
则直线 与圆 相离
反之直线 与圆 相离，则圆心 到直线 的距离 ，即 ，则点 在圆 内
所以“点 在圆 内”是“直线 与圆 相离”的充分必要条件
故选：C
考点二 弦长
【例2】（2020·全国高三其他（文））直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】圆心 到直线 的距离为 ，所求弦长为 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2020·河南濮阳。高一期末（文））斜率为1的直线l被圆x2+y2＝4x截得的弦长为4，则l的方程为（
）
A．y＝x﹣3 B．y＝x+3 C．y＝x﹣2 D．y＝x+2
【答案】C
【解析】由题设知圆心的坐标为（2，0），半径r＝2，又弦长为4＝2r，所以直线l过圆心（2，0），且斜
率为1，∴直线l的方程为y＝x﹣2.故选：C.
2．（2020·广东高一期末）已知圆 ，直线 ，
则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为5，
由直线 ，得 ，
联立 ，解得 ，∴直线l过定点 ，点 在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
此时 ，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为 ．
故选：B．
3．（2020·全国高三课时练习（理））⊙C ：(x－1)2＋y2＝4与⊙C ：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线
1 2
为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ）
A． B．4
C． D．
【答案】D
【解析】由⊙C 与⊙C 的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
1 2
圆心O(0，0)到l的距离 ，⊙O的半径R＝2，∴截得弦长为 .故
选：D
考点三 圆与圆的位置关系
【例3-1】（2020·湖南张家界.高一期末）已知圆 与圆 ，则两圆
的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】B
【解析】因为圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ，因此圆心距为 ，
所以两圆外切.故选：B.
【例3-2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）圆 与圆 的公
共弦长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50
的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离 ，因此，公共弦长为 .选C
求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系
【一隅三反】
1．（2020·贵州省思南中学高一期末）圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是（ ）
A．相离 B．内含 C．相切 D．相交
【答案】D
【解析】由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，
而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）为圆心，半径等于 的圆．
由于两个圆的圆心距为： ，2 ，故两个圆相交，故选D．
2．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）圆 与圆 的位置关系为
（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】
两圆的圆心距为 ，半径分别为 ， ，所以两圆相交 ．
故选C．
3．（2020·吐鲁番市高昌区第二中学高一期末）圆 与圆 的公共
弦所在的方程为（ ）
A．x+2y=0 B．x－2y=0 C．y－2x=0 D．y+2x=0【答案】A
【解析】设两圆交点 ，
圆 ①，圆 ②，
① ②得：
因为 ， ，
即A，B点在直线 上，
而过A，B点的直线有且只有一条，
所以公共弦 所在的方程为 ，故选：A
4．（2020·天津北辰。高三二模）圆 与圆 的公共弦长为________．
【答案】
【解析】两圆方程相减得 ，即 ，
原点到此直线距离为 ，圆 半径为 ，
所以所求公共弦长为 ．故答案为： ．
考点四 切线
【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）圆 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心坐标为 ，又点 在圆上，所以与切线垂直的直线的斜率为： ，
所以切线斜率为 ，切线方程为： ，
所以切线方程为： 故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·广东高一期末）过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（ ）
A．x+2y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0
【答案】B
【解析】由题意：点M（1，﹣2）为切点，则 ， ，解得： ，
∴l的方程： ，整理得： ，故选：B.
2．（2020·湖南娄底。高一期末）已知点 是直线 上的动点，点 为圆
上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】 的最小值为 ,选A.
3．（2020·江苏如东.高一期中）两圆 与 的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ；所以 ，且 ，所以 ，
所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．故选:C．
4．（2020·江苏宿迁.高一期末）两圆 与 的公切线条数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为
圆 的圆心为 ，半径为
两圆心的距离为 .
所以两圆相交，则其公切线有2条.故选：B
