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第
22 课 点、直线、圆与圆的位置关系
课程标准
(1)理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.
(2)理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；
(3)了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位
置关系与d、r、r 等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
1 2
知识点01 点和圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各
具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有
(1)点P在圆内(2)点P在圆上
(3)点P在圆外
2．三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
【注意】
(1)点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知
道数量关系也可以确定位置关系；
(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆.
知识点02 直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切
点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆
心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直
线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线l和 相交 ；
(2)直线l和 相切 ；
(3)直线l和 相离 ；
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关
系的判定．知识点03 圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这
两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这
两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.
2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O 的半径为r，⊙O 半径为r， 两圆心OO 的距离为d，则：
1 1 2 2 1 2
两圆外离 d ＞ r+r
1 2
两圆外切 d=r +r
1 2
两圆相交 r-r ＜ d ＜ r+r (r ≥r)
1 2 1 2 1 2
两圆内切 d=r -r (r ＞ r)
1 2 1 2
两圆内含 d ＜ r -r (r ＞ r)
1 2 1 2
【注意】
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，
又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
考法01 点与圆的位置关系
【典例1】已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为( )
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm＜4cm，
∴点P在圆外．
故选：C．
【即学即练】已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是( )．
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
则点P在⊙O外．
故选：C．
【典例2】已知 的半径为3cm，点 在 内，则 不可能等于( )
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm
【答案】D
【详解】解： 的半径为3cm，点 在 内，
故选D
【即学即练】已知 的半径为 为 外一点，则 的长可能是( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故选：A．
考法02 直线与圆的位置关系
【典例3】已知⊙O的半径是7cm，点O到同一平面内直线l的距离为6.9cm，则直线l与⊙O的位置关系
是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【详解】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=6.9cm，r=7cm，
∴d4或者3−r>4
解得r>7或r<-1(舍去)
故选：D
【即学即练】已知⊙O 和⊙O 相切，⊙O 直径为9cm，⊙O 直径为4cm，则OO 长为( )
1 2 1 2 1 2
A．5cm或13cm B．2.5cm
C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm
【答案】D
【详解】解：∵⊙O 的直径为9cm，⊙O 的直径为4cm，
1 2
∴⊙O 的半径为4.5cm，⊙O 的半径为2cm，
1 2
当两圆外切时，OO=4.5+2=6.5cm；
1 2
当两圆内切时，OO=4.5−2=2.5cm，
1 2
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知 的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，那么点A与 的位置关系是( )
A．点A在 内 B．点A在 上 C．点A在 外 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：由题意得： ，故： ，
∴点A在 内，
故选A．
2．已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP的长大于3．
故选D．
3．若圆O的半径为4， ，则符合题意的图形可能是( )A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵6＞4，
∴点A在圆外，
则选项A、B不符合题意，
∵6－4=2＜4，
∴点A与圆的距离小于半径，
∵选项C中的点A与圆的距离明显小于半径，且与2接近，而选项D中的点A与圆距离相比大于2且接近
半径4，
∴符合题意的图形可能是C，
故选：C．
4．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是(
)
A．⊙O B．⊙O C．⊙O D．⊙O
1 2 3 4
【答案】C
【详解】解：∵⊙O、⊙O、⊙O、⊙O 是四个半径为5的等圆，
1 2 3 4
∴圆心到直线l的距离为4是⊙O，
3
故选：C．
5．平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP＞3，
故选：A．
6．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是( )
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
【答案】B
【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= 因此这个三角形的外接圆半径为
10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故选：B．
7．⊙O的直径长为10，OA为8，则点A与⊙O的位置关系为 _____．
【答案】相离
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为8，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外，即点位置关系为相离．
故答案为：相离．
8．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是
____________．
【答案】相离
【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A(画图)，则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是
______．
【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外
(2)6r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
9．如图，⊙O的直径 ， ， ， 是线段 的中点．
(1)试判断点 与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点 作 ，垂足为点 ，求证：直线 是⊙O的切线．
【答案】(1)点 在⊙O上，理由见解析；(2)证明见解析【详解】解：(1)点 在 上；
连接 ，过点 作 于点 ，如图：
在 中， ， ，
，
，
．
在 中，
，
点 在 上．
(2) 是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线
．
又 ，
又 是 的半径，
是 的切线．
10．如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S ；
阴
(2)在扇形AOB的内部，⊙O 与OA，OB都相切，且与弧 只有一个交点C，此时我们称⊙O 为扇形
1 1
AOB的内切圆，试求⊙O 的面积S．
1 1【答案】(1)扇形面积S＝ ，阴影部分面积S＝ ﹣
(2)π
【详解】(1)∵∠AOB＝60°，半径R＝3，∴S＝ ＝ ，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等边
三角形，∴S OAB＝ ，∴阴影部分的面积S ＝ ﹣ ．
△ 阴
(2)设⊙O 与OA相切于点E，连接OO，OE，
1 1 1
∴∠EOO ＝ ∠AOB＝30°，∠OEO ＝90°，在Rt△OO E中，∵∠EOO ＝30°，∴OO ＝2OE，
1 1 1 1 1 1
∵OC=OO +OC，OE=OC，∴OE＝1，∴⊙O 的半径OE＝1．∴S＝πr2＝π．
1 1 1 1 1 1 1 1
