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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2
1 1 1 1 2 2 2 2
＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C
1 1 1 2 2 2 2 2
是否满足题意，以防丢解)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
答案 A
解析 圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．2
C. D．2
答案 B
解析 因为圆x2＋y2＝8的圆心为(0,0)，半径为2，
所以圆心到直线x－2y＋5＝0的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝2.
4．圆C ：x2＋y2＝4与圆C ：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
1 2
A．外切 B．相交 C．外离 D．内切
答案 A
解析 圆C 的圆心C (0,0)，半径r＝2，
1 1 1
圆C 可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
2
∴圆心C (4,3)，半径r＝3，
2 2∴|C C |＝＝5＝r＋r，
1 2 1 2
故两圆外切.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (1)M(x，y)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线xx＋yy＝1与该圆的位置关系为
0 0 0 0
( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
答案 C
解析 由题意知M(x，y)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，
0 0
则01＝r，
0 0
故直线xx＋yy＝1与该圆的位置关系为相离．
0 0
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点
(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y
＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________________．
答案 x＝0或3x＋4y－4＝0
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，
直线l的方程为y＝kx＋1，
则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝－，
此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出
满足“△ABC面积为”的m的一个值为________．
答案 2
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，
由弦长公式得|AB|＝2，
所以S ＝×d×2＝，
△ABC
解得d＝或d＝，
又d＝＝，
所以＝或＝，
解得m＝±或m＝±2.
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又k ＝＝－1，
PC
∴过点P的切线的斜率为－＝1，
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外．
当过点M的直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距
0 0
离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二
0 0
次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条
切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________．
答案 2
解析 圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1,1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S ＝2S ＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，
四边形PACB △PAC
所以求S 的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8
四边形PACB
＝0的距离d，即d＝＝3，
即四边形PACB面积的最小值为＝2.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A.＋<1 B.＋>1
C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1
答案 B
解析 由直线＋＝1，
可化为bx＋ay－ab＝0，
因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，
可得<1，
整理得a2＋b2>a2b2，所以＋>1.
(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(
)
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，
由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，
∴直线l过定点P(1,1)，
又12＋12＝2<4，
∴点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长|AB|最小，
∵|CP|＝＝，
∴弦长|AB|的最小值为2＝2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与
圆N的位置关系为( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
答案 B
解析 圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.
圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，
则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
课时精练
一、单项选择题
1．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 C
解析 圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圆心为(2,3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r＝2.
2．(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O ：(x－1)2＋y2＝1和圆O ：x2＋(y－2)2＝4的
1 2
位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 由题意知，圆O：(x－1)2＋y2＝1，
1
可得圆心坐标O(1,0)，半径r＝1，
1 1
圆O：x2＋(y－2)2＝4，
2
可得圆心坐标O(0,2)，半径r＝2，
2 2
则两圆的圆心距|OO|＝＝，
1 2
则2－1<<2＋1，即|r－r|<|OO|0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C ：(x＋2)2
1 2
＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是__________．
答案 [－1，＋1]
解析 设圆C 关于y轴的对称圆为圆C ，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，
1 3
根据题意，圆C 与圆C 有交点，
3 2
又圆C 与圆C 的圆心距为＝，
3 2
要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，
解得r∈[－1，＋1]．
12．(2023·大庆模拟)已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3,4)到直线l
的距离是2，这样的直线l有________条．
答案 4
解析 由已知可得，圆心C(2,1)，半径r＝1.
1
由点B(3,4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3,4)为圆心，r＝2为半径的圆的切线，
2
又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，
所以直线l是圆C与圆B的公切线．
因为|BC|＝＝>3＝r＋r，
1 2
所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线l有4条．
四、解答题
13．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2× ＝2.
14．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求l的方程．
解 (1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，
则d＝＝2，解得k＝－，
∴l：－x－y＋4＝0，
即l：3x＋4y－16＝0，
综上，当直线l与圆C相切时，
所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0.
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
设圆心到直线l的距离为d，则d＝，
由垂径定理可得，d2＋2＝4，
即＋3＝4，
整理得，3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝，
则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0.
15．(多选)(2023·重庆九龙坡育才中学模拟)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：
y＝kx，则( )
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切
B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切
答案 BD
解析 圆 M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1 恒过定点 O(0,0)，直线 l：y＝kx 也恒过定点
O(0,0)，
所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；
圆心M(－cos θ，sin θ)，
圆心到直线l的距离d＝＝＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k，
则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A错误；
当θ＝0时，圆M为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误．
16．(2023·赣州统考)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C′是以圆x2＋y2＝1上任意一点为
圆心，半径为 1 的圆．圆 C 与圆 C′交于 A，B 两点，则当∠ACB 最大时，|CC′|＝
________.
答案 2
解析 依题意，在△ABC中，|AC|＝|BC|＝，如图，显然0<|AB|≤2，∠ACB是锐角，sin ＝
＝，
又函数y＝sin x在上单调递增，
因此当且仅当公共弦AB的长度最大时，∠ACB最大，此时弦AB为圆C′的直径，
在Rt△ACC′中，∠AC′C＝90°，|AC′|＝1，
所以|CC′|＝＝2.
