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§8.3 圆的方程
课标要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方
程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆
圆心C ( a ， b )
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为r
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 圆心C
一般
＋E2－4F>0) 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0.( √ )
(4)若点M(x，y)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0.( √ )
0 0 0 0
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝
答案 B
3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
答案 B
解析 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，
解得a>0或a<－2.
4．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是( )
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
答案 B
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；
由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内.
题型一 圆的方程
例1 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的
方程为________________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M，
∴解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
则k ＝＝－，AB的中点坐标为，
AB∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.
联立解得
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的
值．
跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a
＝________.
答案 ±
解析 设过A，B，C的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
则解得
所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.
又因为点M在此圆上，
所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，
所以a＝±.
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为
__________________________．
答案 2＋2＝
解析 设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝
＝.
当a＝时，r ＝.
min
故所求圆的方程为2＋2＝.
题型二 与圆有关的轨迹问题
命题点1 直接法
例2 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是________．
答案 x2＋y2－x＋4＝0
解析 设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.
因为|MA|＝2|MB|，
所以＝2，
整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，
即x2＋y2－x＋4＝0.
所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－x＋4＝0.
命题点2 定义法
例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，
且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( )
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
答案 B
解析 因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1,1)，半径r＝1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝＝，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3 相关点法
例4 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边
作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 设P(x，y)，N(x，y)，
0 0
∵四边形MONP为平行四边形，
则OP＝OM＋ON，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x，y)，
0 0
即则
又N(x，y)在圆x2＋y2＝4上，
0 0
∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－x，
联立得或
∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以k ·k ＝－1，
AC BC
又k ＝，k ＝，
AC BC
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|
＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不
共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x，y)，
0 0
因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x＝2x－3，y＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x＝2x－3，y＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
0 0
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．设＝k，即y＝kx，
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴k ＝，k ＝－.
max min
∴ ＝， ＝－.
max min
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小
值，
由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x) ＝－2－.
min
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，
设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，
则(x2＋y2) ＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
max
(x2＋y2) ＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
min
圆的参数方程
圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数．
典例 利用圆的参数方程解决例5(2)(3)．
解 x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，
令
(2)y－x＝sin θ－(2＋cos θ)
＝sin－2，
∴(y－x) ＝－－2.
min
(3)x2＋y2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ)2＝7＋4cos θ，
∵cos θ∈[－1,1]，
∴(x2＋y2) ＝7＋4，
max
(x2＋y2) ＝7－4.
min
命题点2 利用函数求最值
例6 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则
PA·PB的最大值为________．
答案 12解析 由题意，得PA＝(2－x，－y)，
PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征
选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之
和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A．6 B．25 C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2] ＝[＋1]2＝36.
max
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________．
答案 [－2,0]
解析 将x2＋y2＋x＋y＝0化为2＋2＝，
表示以为圆心，为半径的圆，
令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，
由题可知，直线和圆有公共点，
所以≤，
即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，
即x＋y的取值范围为[－2,0]．课时精练
一、单项选择题
1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0的圆心坐标是，则半径为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0，
即2＋2＝，
所以其圆心为，
半径为.
又已知圆心坐标是，
所以D＝1，E＝－4，半径为＝2.
2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围
为( )
A．－6
C．k>－6 D．k<
答案 A
解析 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，
则满足>，且1－2k>0，
即13>1－2k且k<，即－60时，d
