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必刷大题 17 解析几何
1．(2024·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与
C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另
一点N.
(1)证明：线段MP的中点在定直线上；
(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线．
(1)证明 设P(x，y)，则y＝4x，
0 0 0
因为点P在第一象限，
所以y＝2，
0
对y＝2两边求导得y′＝，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－2＝(x－x)，
0
令y＝0，则x＝－x，
0
所以M(－x,0)，
0
所以线段MP的中点为，
所以线段MP的中点在定直线x＝0上．
(2)解 若P(2,2)，则M(－2,0)．
所以k ＝，k ＝2，
MP PF
因为PN⊥l，
所以k ＝－，
PN
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，所以Q，
由得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2或8，
所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)，
所以k ＝－，k ＝－，
MQ MN
所以M，Q，N三点共线．
2．(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求
点A到直线l距离的取值范围．
解 (1)设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，
得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以有
即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON，即OM·ON＝0，所以xx＋yy＝0⇒xx＋(kx＋m)·(kx＋m)＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
化简得(k2＋1)xx＋km(x＋x)＋m2＝0，
1 2 1 2
把x ＋x ＝－，xx ＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得 m2＝，因为 m2＋9>4k2且
1 2 1 2
k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，
解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离d＝＝＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
3．(2023·首都师大附中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F的直
线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到
直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的半焦距为c>0，
由题意可得解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)可得F(1,0)，根据题意可设直线l：y＝k(x－1)，A(x，y)，B(x，y)，P(m,0)(m≠1)，
1 1 2 2
联立方程
消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
可得x＋x＝，xx＝，①
1 2 1 2
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，
则k ＋k ＝＋＝0，
PA PB
可得＋＝0，
因为k≠0，可得(x－1)(x－m)＋(x－m)(x－1)＝0，
1 2 1 2
整理得2xx－(m＋1)(x＋x)＋2m＝0，②
1 2 1 2
将①代入②得－＋2m＝0，
解得m＝4，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0)．
4．(2023·莆田模拟)已知双曲线C：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F，F，A在双曲线C上，
1 2
且AF⊥x轴，∠AFF＝30°.
1 2 1
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直
径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
(1)解 设|FF|＝2c，
1 2
因为AF⊥FF，∠AFF＝30°，
1 1 2 2 1
所以|AF|＝c，|AF|＝c.
1 2
因为|AF|－|AF|＝c＝2a＝4，
2 1
所以c＝2.
所以b＝＝2，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
(2)证明 由(1)知双曲线C的方程为－＝1，
设E(x，y)，F(x，y)．
1 1 2 2
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，联立方程
化简得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0，
则Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0，
即m2－4k2＋8>0，
且
因为DE·DF＝(x－2)(x－2)＋yy
1 2 1 2
＝(x－2)(x－2)＋(kx＋m)(kx＋m)＝0，
1 2 1 2
所以(k2＋1)xx＋(km－2)(x＋x)＋m2＋4
1 2 1 2
＝(k2＋1)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，
化简得m2－4km－12k2＝(m＋2k)(m－6k)＝0，
所以m＝－2k或m＝6k，且均满足m2－4k2＋8>0.
当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m＝6k时，直线l的方程为y＝k(x＋6)，过定点M(－6,0)．
②当直线l的斜率不存在时，
由对称性，不妨设直线DE：y＝x－2，
联立方程
得x＝2(舍去)或x＝－6，此时直线l过定点M(－6,0)．
综上，直线l过定点M(－6,0)．
因为DG⊥EF，
所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径，且|GH|＝4，
所以存在定点H(－2,0)，使|GH|为定值4.
