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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观
Δ______0 Δ______0 Δ______0
量 点
化 几何观
d______r d______r d______r
点
2.圆与圆的位置关系(⊙O，⊙O 的半径分别为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2 1 2
图形 量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距 d、半径 r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝
________________________________________________________________________.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则|MN|＝________________________________.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2
1 1 1 1 2 2 2 2
＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C
1 1 1 2 2 2 2 2
是否满足题意，以防丢解)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( )
(4)在圆中最长的弦是直径．( )
2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．2 C. D．2
4．圆C ：x2＋y2＝4与圆C ：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
1 2
A．外切 B．相交 C．外离 D．内切
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (1)M(x，y)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线xx＋yy＝1与该圆的位置关系为
0 0 0 0
( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________________________．
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出
满足“△ABC面积为”的m的一个值为________．
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距
0 0
离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二
0 0
次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条
切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________．
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长
表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A.＋<1 B.＋>1
C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1
(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(
)
A. B．2 C．2 D．4
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与
圆N的位置关系为( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
(2)(2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程
为( )
A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
跟踪训练2 (1)若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N两点，则线段MN
的长度为( )
A．4 B. C. D.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程
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