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必刷小题 15 直线与圆
一、单项选择题
1．(2023·蚌埠模拟)已知直线l ：ax＋2y＋1＝0，l ：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是
1 2
“l⊥l”的( )
1 2
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若l⊥l，则(3－a)×＝－1，
1 2
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l⊥l 的充分不必要条件．
1 2
2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案 B
解析 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，
由得所以直线恒过定点(2,0)，
因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．
3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，
所以该直线的斜率－<0，直线在y轴上的截距－>0，可得a>0，b<0.
4．(2023·黄冈模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜
角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 D
解析 点M(1，)代入圆C：x2＋y2＝m得，m＝1＋3＝4，
当l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不合题意；
当l的斜率存在时，设切线l的方程为y－＝k(x－1)，即kx－y＋－k＝0，则＝2，解得k＝－，
设l的倾斜角为θ，则tan θ＝－且0°≤θ<180°，
故l的倾斜角为150°.
5．(2024·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常
数)对称，则ab的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝
0(a，b为大于0的常数)对称，
所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，
所以a＋b＝1，又a>0，b>0，
所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即当a＝b＝时，ab取最大值.
6．(2023·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝
0(λ为任意实数)的距离的最大值为( )
A．2＋1 B．6
C．3＋1 D．5
答案 B
解析 将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0，
由解得
所以直线过定点Q(3,4)，
因为P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1，
故原点到直线l距离的最大值为|OQ|＝＝5，
则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋|OQ|＝1＋5＝6.
7．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
答案 C
解析 方法一 令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，
解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是3＋1.方法二 x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，
其中θ∈[0,2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1
＝3cos＋1，
因为θ∈[0,2π]，
所以θ＋∈，
则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1，
方法三 由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离
d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3.
故x－y的最大值为3＋1.
8．(2023·新高考全国Ⅰ)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，
则sin α等于( )
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，
由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝，
所以圆心到A(0，－2)的距离为＝2，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，
所以sin＝＝＝，
所以cos∠BAC＝1－2sin2＝－<0，
所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π，
所以sin α＝sin∠BAC＝＝.
二、多项选择题
9．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m
的值可以是( )A．－ B. C．－ D.
答案 AC
解析 因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，
所以
＝，
化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－或m＝－.
10．(2024·深圳模拟)动点P在圆C ：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，
1 2
则下列说法正确的是( )
A．两个圆心所在的直线斜率为－
B．两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0
C．两圆公切线有两条
D．|PQ|的最小值为0
答案 AD
解析 圆C ：x2＋y2＝1的圆心为C (0,0)，半径为r＝1，
1 1
圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C (3，－4)，半径为R＝4.
2 2
两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A正确；
因为|C C |＝＝5，R＋r＝5，
1 2
所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点 P，点Q运动到切点时，|
PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确．
11．(2023·武汉统考)已知直线l：x－y＋1＝0与圆C：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列说法
k
正确的是( )
A．所有圆C 均不经过点(0,3)
k
B．若圆C 关于直线l对称，则k＝－2
k
C．若直线l与圆C 相交于A，B两点，且|AB|＝，则k＝－1
k
D．不存在圆C 与x轴、y轴均相切
k
答案 ABD
解析 对于A，将(0,3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，
所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，
所以不存在k值，使圆C 经过点(0,3)，A对；
k
对于B，若圆C 关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上，
k
所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B对；
对于C，由题意，C 到直线l的距离d＝＝，
k
所以＝＝，则|k＋2|＝1，可得k＝－3或－1，C错；
对于D，若圆C 与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆
kC，D对．
k
12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(m－1)y＋－
3m＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为
C．点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2
D．点P可能在圆x2＋y2＝1上
答案 ACD
解析 对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.
令解得
所以直线l过定点Q(0，)，
直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．
三、填空题
13．若直线l ：3x＋y＋m＝0与直线l ：mx－y－7＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
答案
解析 由题设得m＋3＝0，即m＝－3，
所以l：3x＋y－3＝0，l：3x＋y＋7＝0，
1 2
所以直线l 与l 之间的距离为＝.
1 2
14．过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为
______________
答案 2x＋y－5＝0
解析 由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0，
即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0，
又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝7，
所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，
即2x＋y－5＝0.
15．在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝kx＋1上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案
解析 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1，
设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件，
则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以0≤≤2，
所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于
2，
所以≤2，解得k≤.
所以k的取值范围为.
16．(2023·大理模拟)设m∈R，直线l ：mx－y－3m＋1＝0与直线l ：x＋my－3m－1＝0相
1 2
交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．
答案
解析 由题意得l：(x－3)m＋(1－y)＝0，l：(x－1)＋(y－3)m＝0，
1 2
∴l 恒过定点M(3,1)，l 恒过定点N(1,3)，
1 2
又l⊥l，
1 2
∴P点轨迹是以MN为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，
以×＝为半径的圆，
∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距
d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即|PQ| ＝3－2＝.
min
