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§8.1 直线的方程
课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据
确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及
一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直
线l的一个方向向量，记作a∥l.
2．直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x轴相交，将x轴
绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条
直线的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ 为直线l的斜率；
当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y ＝ k ( x － x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ ( x ≠ x ， y ≠ y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠ 0) 平面直角坐标系内的直线都适用常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一
个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．( √ )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( × )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × )
(4)经过P(x，y)的任意直线方程可表示为y－y＝k(x－x)．( × )
0 0 0 0 0
2．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 由题意得直线AB的斜率k＝＝，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，
∵0°≤α<180°，
∴α＝60°.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，则＋＝1，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．
答案 (1，－1)
解析 直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令解得故所过的定点坐标为(1，－1).题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜
率的取值范围是( )
A．[－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C.
D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k ，则k ＝＝－；当直线l过点A时，
1 1
设直线l的斜率为k ，则k ＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的
2 2
取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
答案
(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是(
)
A.∪ B.∪
C. D.
答案 B
解析 xsin α＋y－1＝0，
则k＝－sin α∈，
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，
故k＝tan θ∈，
所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈；当k∈时，直线l的倾斜角θ∈，
综上所述，直线l的倾斜角θ∈∪.
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜
率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1 (1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜
角为( )A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意可得，直线l的斜率k＝＝，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝＝tan ，即直
线l的倾斜角为.
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形 ABC的边AB所在直线斜率为2，则
边AC所在直线斜率的一个可能值为________．
答案 －
解析 设直线AB的倾斜角为α，
由已知得k ＝tan α＝2，
AB
设直线AC的倾斜角为θ，
则k ＝tan θ，
AC
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
所以θ＝α±60°，
当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)
＝＝＝－，
所以k ＝－；
AC
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)
＝＝＝，
所以k ＝，
AC
综上，k ＝－或k ＝.
AC AC
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．
解 (1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条
件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，
求得k＝4，故方程为y＝4x；
当截距不为0时，
①若截距相等，设方程为＋＝1，
将P(1,4)代入，即＋＝1，解得a＝5，
故方程为x＋y＝5.
②若截距互为相反数，设直线方程为－＝1，
将P(1,4)代入，即－＝1，解得a＝－3，
故方程为x－y＋3＝0.
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(
)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
答案 B
解析 如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，
由角平分线的性质可知＝⇒＝⇒a＝，所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0.
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为
原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S ＝(1－2k)·
△AOB
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l的方程为＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S 的最小值为ab＝×8＝4，
△AOB
当且仅当＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，
即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0.
2．在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法一知A，
B(0,1－2k)(k<0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.当且仅当－k＝－，
即k＝－1时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的
函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 (1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取
值范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案 C
解析 若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－x－，
因为l经过第四象限，
所以－<0或
解得a<0或a>.
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪.
(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为
正数，则＋的最小值为( )
A．4 B．4＋4
C．8 D．4－4
答案 C
解析 由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.
∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，
∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，
∴＋＝2(m＋n)＝2≥2＝8，
当且仅当＝，即m＝n＝时取等号．
∴＋的最小值为8.课时精练
一、单项选择题
1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．90° D．180°
答案 A
解析 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°.
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 直线方程为y＝－x＋，其斜率－>0，直线在y轴的截距<0，据此可知直线不经过第
二象限．
3．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
答案 C
解析 因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
4．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(，－1)，则直线l的方程为(
)
A.x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0
C.x＋y－2＝0 D.x＋y－4＝0
答案 C
解析 直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，
∴其倾斜角为60°，
∴直线l的倾斜角为120°，
∴k＝tan 120°＝－，
l∴直线l的方程为y＋1＝－(x－)，
即x＋y－2＝0.
5．(2023·南通联考)已知直线ax＋by＋1＝0和直线ax＋by＋1＝0都过点A(4,3)，则过点
1 1 2 2
P(a，b)和点P(a，b)的直线方程为( )
1 1 1 2 2 2
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0
C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
答案 C
解析 因为直线ax＋by＋1＝0和直线ax＋by＋1＝0都过点A(4,3)，
1 1 2 2
所以4a＋3b＋1＝0,4a＋3b＋1＝0.
1 1 2 2
由上式可得点P(a，b)和点P(a，b)都在直线4x＋3y＋1＝0上，
1 1 1 2 2 2
即过点P(a，b)和点P(a，b)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
1 1 1 2 2 2
6．(2024·淮南联考)已知直线l：y＝x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x
轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案 D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，
旋转后的直线斜率为tan(α＋45°)＝＝3，
又点P坐标为(0,1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Q，
因为直线l过点(－2,0)，所以把直线l向右平移个单位后经过点Q.
二、多项选择题
7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是( )
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
答案 ABD
解析 若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确；
若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确．
8．(2023·盐城模拟)下列说法正确的是( )A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等
C．经过任意两个不同的点P(x ，y)，P(x ，y)的直线都可以用方程(y－y)(x －x)＝(x－
1 1 1 2 2 2 1 2 1
x)(y－y)表示
1 2 1
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，
则该直线l的斜率为－
答案 CD
解析 对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A错误；
对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B错误；
对于C，当x ＝x 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为x＝x ，此时适合(y－y)(x －
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
x)＝(x－x)(y－y)；
1 1 2 1
当y ＝y 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为y＝y ，此时适合(y－y)(x －x)＝(x－
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1
x)(y－y)；
1 2 1
当x≠x，y≠y 时，经过P(x，y)，P(x，y)的直线方程为＝，
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
也即(y－y)(x－x)＝(x－x)(y－y)，
1 2 1 1 2 1
故经过任意两个不同的点P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程可以表示为(y－y)(x －x)＝(x－
1 1 1 2 2 2 1 2 1
x)(y－y)，故C正确；
1 2 1
对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝
b，即k＝－，故D正确．
三、填空题
9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
10．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________．
答案 y＝－x或x－y＋8＝0
解析 过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距为0时，所求直线斜率为－，方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0.
综上可得所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0.
11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线
段AB有公共点，则k的取值范围是________．
答案 (0，－2) [1,3]
解析 由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，k ＝＝3，k ＝
CA CB
＝1，要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．
12．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为
＋＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据均值不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4
时取等号，即ab的最小值为16.
四、解答题
13．根据所给条件求直线方程．
(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为；
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．
解 (1)因为sin α＝，
所以k＝tan α＝±，
则所求直线方程为y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为＋＝1，
代入点A(1,3)，可得＋＝1，
解得m＝2或m＝4，
所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线斜率k＝＝－1，
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，
求S的最小值和此时直线l的方程．
解 (1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝x＋＋1，
要使直线不经过第一象限，
则解得－2≤k<0.
综上，k的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，
由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
令x＝0得y＝，
所以S＝|OA||OB|＝··(2＋k)＝≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2时取等号，
此时S ＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
15.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设
L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的
方程为________．
答案 3x－y－5＝0(答案不唯一)
解析 当过A(2,1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3,4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分
为面积相等的两个区域且k ＝＝3，
AB
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，
即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
16．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交
于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．答案 6
解析 由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，
即|PA|＋|PB|的最大值为6.
