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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长AB的一半构成直角三角形，弦长AB＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则MN＝·.常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2
1 1 1 1 2 2 2 2
＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C
1 1 1 2 2 2 2 2
是否满足题意，以防丢解)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
答案 A
解析 圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则AB等于( )
A. B．2 C. D．2
答案 B
解析 因为圆x2＋y2＝8的圆心为(0,0)，半径为2，
所以圆心到直线x－2y＋5＝0的距离
d＝＝，
所以AB＝2＝2.
4．圆C ：x2＋y2＝4与圆C ：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
1 2
A．外切 B．相交 C．外离 D．内切
答案 A
解析 圆C 的圆心C (0,0)，半径r＝2，
1 1 1
圆C 可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
2∴圆心C (4,3)，半径r＝3，
2 2
∴C C ＝＝5＝r＋r，故两圆外切．
1 2 1 2
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (1)M(x，y)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线xx＋yy＝1与该圆的位置关系为
0 0 0 0
( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
答案 C
解析 由题意知M(x，y)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，
0 0
则01＝r，
0 0
故直线xx＋yy＝1与该圆的位置关系为相离．
0 0
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点
(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y
＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当AB＝2时，直线l的方程为________________．
答案 x＝0或3x＋4y－4＝0
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为AB＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，
直线l的方程为y＝kx＋1，
则圆心(－1,3)到直线l的距离
d＝＝1，
解得k＝－，
此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出
满足“△ABC面积为”的m的一个值为________．
答案 2
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，
由弦长公式得AB＝2，
所以S ＝×d×2＝，
△ABC
解得d＝或d＝，
又d＝＝，
所以＝或＝，
解得m＝±或m＝±2.
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又k ＝＝－1，
PC
∴过点P的切线的斜率为－＝1，∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外．
当过点M的直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离
d′＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵MC＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距
0 0
离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二
0 0
次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条
切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________．
答案 2
解析 圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1,1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S ＝2S ＝2××AP·AC＝AP＝，
四边形PACB △PAC
所以求S 的最小值就是求PC的最小值，而PC的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8
四边形PACB＝0的距离d，即d＝＝3，
即四边形PACB面积的最小值为＝2.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长
表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A.＋<1 B.＋>1
C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1
答案 B
解析 由直线＋＝1，
可化为bx＋ay－ab＝0，
因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，
可得<1，
整理得a2＋b2>a2b2，所以＋>1.
(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则AB的最小值为(
)
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，
由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，
∴直线l过定点P(1,1)，
又12＋12＝2<4，
∴点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长AB最小，
∵CP＝＝，
∴弦长AB的最小值为2＝2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与
圆N的位置关系为( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
答案 B
解析 圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.
圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，
则MN＝＝，
故有|R－r|0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
课时精练
一、单项选择题
1．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 C
解析 圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圆心为(2,3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r＝2.
2．(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O ：(x－1)2＋y2＝1和圆O ：x2＋(y－2)2＝4的
1 2位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 由题意知，圆O：(x－1)2＋y2＝1，
1
可得圆心坐标O(1,0)，半径r＝1，
1 1
圆O：x2＋(y－2)2＝4，
2
可得圆心坐标O(0,2)，半径r＝2，
2 2
则两圆的圆心距OO＝＝，
1 2
则2－1<<2＋1，
即|r－r|0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C ：(x＋2)2
1 2
＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是__________．
答案 [－1，＋1]
解析 设圆C 关于y轴的对称圆为圆C ，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，
1 3
根据题意，圆C 与圆C 有交点，
3 2
又圆C 与圆C 的圆心距为＝，
3 2
要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，
解得r∈[－1，＋1]．
12．(2023·大庆模拟)已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3,4)到直线l
的距离是2，这样的直线l有________条．
答案 4
解析 由已知可得，圆心C(2,1)，半径r＝1.
1
由点B(3,4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3,4)为圆心，r＝2为半径的圆的切线，
2
又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，
所以直线l是圆C与圆B的公切线．
因为BC＝＝>3＝r＋r，
1 2
所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线l有4条．
四、解答题
13．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×＝2.
14．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求l的方程．
解 (1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，
则d＝＝2，解得k＝－，
∴l：－x－y＋4＝0，
即l：3x＋4y－16＝0，
综上，当直线l与圆C相切时，
所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0.
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
设圆心到直线l的距离为d，则d＝，
由垂径定理可得，d2＋2＝4，
即＋3＝4，
整理得，3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝，
则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0.15．(多选)(2023·重庆九龙坡育才中学模拟)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：
y＝kx，则( )
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切
B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切
答案 BD
解析 圆 M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1 恒过定点 O(0,0)，直线 l：y＝kx 也恒过定点
O(0,0)，
所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；
圆心M(－cos θ，sin θ)，
圆心到直线l的距离d＝＝＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k，
则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A错误；
当θ＝0时，圆M为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误．
16．(2023·赣州统考)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C′是以圆x2＋y2＝1上任意一点为
圆心，半径为 1 的圆．圆 C 与圆 C′交于 A，B 两点，则当∠ACB 最大时，CC′＝
________.
答案 2
解析 依题意，在△ABC中，AC＝BC＝，如图，
显然0
