文档内容
§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：
线段MN的中点为定点．
(1)解 由题意可得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，
设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立方程
消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
可得x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
因为A(－2,0)，则直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得y＝，即M，
同理可得N，
则＝＋
＝
＝
＝
＝＝3，
所以线段MN的中点是定点(0,3)．
思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y ＝k(x－x)，则直线必过
0 0
定点(x，y)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
0 0
跟踪训练1 (2024·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为
等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过
点M?
解 (1)由题意知解得b＝c＝，
又a2＝b2＋c2，则a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为
x＝t(－20，解得m<－或m>且m≠±2且m≠0，设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
即有2myy＝3(y＋y)，
1 2 1 2
直线BM：y＝(x＋2)，
直线CN：y＝(x－2)，设直线BM，CN的交点为Q(x ，y )，
Q Q
由消去y并化简整理得x ＝，
Q
又(xy ＋xy)＋2(y －y)＝(my ＋1)y ＋(my ＋1)y ＋2(y －y)＝2myy ＋3y －y ＝3(y ＋y)＋
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
3y－y＝2(y＋3y)，
2 1 1 2
(xy－xy)＋2(y＋y)＝(my＋1)y－(my＋1)y＋2(y＋y)＝y＋3y，
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
于是得x ＝＝4，即点Q(4，y )，则有OP＝(1,0)，OQ＝(4，y )，
Q Q Q
OP·OQ＝1×4＋0×y ＝4，
Q
即OP·OQ为定值4.
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可
得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2023·海南联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且
倾斜角为的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点
D，|MD|＝4.
(1)求p的值；
(2)若斜率不为0的直线l 与抛物线C相切，切点为G，平行于l 的直线交抛物线C于P，Q
1 1
两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l 的距离之比为定值．
1
(1)解 如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A，MN交x轴于点E，由题得∠AFM＝，
所以∠NMF＝，
因为|MF|＝|MN|，
所以△MNF是等边三角形，
因为O是FB的中点，
所以|DF|＝|DN|，MD⊥DF，
故|FM|＝＝8，
所以|MN|＝8，|AN|＝4，
所以|OF|＝|AN|＝2，
所以＝2，即p＝4.
(2)证明 由(1)可知抛物线C的方程是x2＝8y，
由题意知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
P，Q，G，
因为∠PGQ＝，
所以·＝－1，
即(x＋x)(x＋x)＝－64，
1 0 2 0
即xx＋x(x＋x)＋x＝－64.
1 2 0 1 2
又k＝，所以x＝4k，
0
故l：y＝(x－x)＋＝kx－2k2.
1 0
联立消去y，
得x2－8kx－8m＝0，其中Δ＝64k2＋32m>0，
则x＋x＝8k，xx＝－8m，
1 2 1 2
所以－8m＋32k2＋16k2＝－64，
所以m＝6k2＋8.
设点F到直线PQ和直线l 的距离分别为d，d，
1 1 2
则由l∥PQ得＝＝＝3，
1
所以点F到直线PQ与到直线l 的距离之比是定值，定值为3.
1课时精练
1．已知直线l：y＝kx＋3与双曲线C：－＝1的右支交于不同的两点A和B，与y轴交于点
P，且直线l上存在一点D满足＝(D不与P重合)．
(1)求实数k的取值范围；
(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值．
(1)解 将直线方程y＝kx＋3代入双曲线方程－＝1，
化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，
Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，
则应满足解得－0，b>0)的离心率为，C的右焦点F到其渐近线
的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 l与双曲线 C 在第一象限交于 A，B两点，直线 x＝3交线段 AB于点 Q，且
S ∶S ＝|FA|∶|FB|，证明：直线l过定点．
△FAQ △FBQ
(1)解 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
又因为双曲线C的右焦点F(c,0)到其渐近线的距离为，所以＝b＝，
又e＝＝，a2＋b2＝c2，联立解得a＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 由已知得，双曲线C的右焦点为F(3,0)，直线x＝3过双曲线C的右焦点．
则＝
＝＝，
所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，
所以直线AF与直线BF的倾斜角互补，k ＋k ＝0.
AF BF显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(00)的焦点为F(2,0)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线 C
的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．
(1)解 ∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)，
∴＝2，解得p＝4，
故抛物线C的标准方程为y2＝8x.
(2)证明 ∵点A的横坐标为2，
即y2＝8×2，解得y＝±4，
故A点的坐标为(2,4)，
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
由已知设AB：m(y－4)＝x－2，
即x＝my－4m＋2，
代入抛物线C的方程得y2＝8(my－4m＋2)，
即y2－8my＋32m－16＝0，
则y＋4＝8m，故y＝8m－4，
1 1∴x＝my－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，
1 1
即B(8m2－8m＋2,8m－4)，
设AC：－m(y－4)＝x－2，
即x＝－my＋4m＋2，
同理可得y＝－8m－4，则x＝－my＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，
2 2 2
即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，
直线BC的斜率k ＝＝＝－1，
BC
∴直线BC的斜率为定值．
4．(2023·杭州质检)如图，已知椭圆C ：＋＝1，椭圆C ：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为
1 2
椭圆C 上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C 于E，F两点，连接EF并延长
2 1
交x轴于Q点，过B点作BH分别交椭圆C ，C 于G，H点，且BH∥PA.
1 2
(1)证明：k ·k 为定值；
BF BG
(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；
(3)若记P，Q两点的横坐标分别为x ，x ，证明：x x 为定值．
P Q P Q
(1)证明 设P(x，y)，则＋＝1，
0 0
可得y＝9－，
又k ＝，k ＝，
PA PB
则k ·k ＝＝＝－，
PA PB
因为BG∥PA，
所以k ·k ＝k ·k ＝－.
BF BG PA PB
(2)解 当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x，y)，F(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
由k ·k ＝·
BF BG
＝＝－，
得＝－，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点
(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
联立解得y＝±，
则F，G，
所以k ·k ＝－＝－，解得m＝1.
BF BG
综上，直线GF过定点(1,0)．
(3)证明 设PA的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，
1 1
联立解得E点的坐标为.
由(1)知P(x，y)，y＝9－，
0 0
由k＝，则E点的坐标为.
1
同理，记PB的斜率为k，则F点的坐标为，
2
由k＝，则F点的坐标为，
2
则EF的斜率k ＝＝，
EF
所以直线EF的方程为y＋＝·.
令y＝0，得x ＝，
Q
又x ＝x，故x x ＝x·＝4.
P 0 P Q 0
