文档内容
§8.8 抛物线
课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、
对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F
叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l
的一条直线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x，y)到焦点F的距离PF＝x＋，也称为抛物线的焦半径．
0 0 0
3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－与x轴相交于点P，过焦点F的直线l与抛物
线相交于A(x ，y)，B(x ，y)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下
1 1 2 2
的焦点弦长公式：AB＝|x－x|，AB＝|y－y|，AB＝x＋x＋p，AB＝.
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( × )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( √ )(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的
二次函数的解析式是一致的．( √ )
2．抛物线x2＝y的准线方程为( )
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方
程为y＝－.
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离MF＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析 由题意可得MF＝x ＋，
M
则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由抛物线的定义可知，
抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为＝1，所以p
＝2.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作
圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝16y
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 A
解析 因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，
所以A(0,2)，B(0，－2)，
又因为过点B作圆O的切线l，
所以切线l的方程为y＝－2，
因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，
所以P的轨迹方程为x2＝8y.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的
一点P，PM＋PF的最小值为41，则p的值等于________．
答案 42或22
解析 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则PF＝PD，PM＋PF＝PM＋PD.
当点M，P，D三点共线时，PM＋PF的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，PM＋PF的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
① ②
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得
简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(
0
)
A．4 B．3 C. D.
答案 D
解析 由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，可得点(x,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，
0
可得2＋＝，解得m＝.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d，到直线x＋y－4＝
1
0的距离为d，则d＋d 的最小值是( )
2 1 2
A. B. C．2 D.
答案 B
解析 直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距
离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d ＋d 的值最小，为点F到直线x＋y－4
1 2
＝0的距离．
∵F(－1,0)，
∴(d＋d) ＝＝.
1 2 min
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．
答案 y2＝x或x2＝－y
解析 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
1 1
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2py中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p·(－4)，
1 1
则2p＝，2p＝.
1
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，
若FA＝2FB＝6，则抛物线C的标准方程为________．
答案 y2＝8x
解析 如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A，B，
1 1
由抛物线的定义可知，AA＝AF，BB＝BF，
1 1
∵2FB＝FA，∴2BB＝AA，
1 1
则易知B为AD的中点．连接OB，
则OB为△DFA的中位线，
∴2OB＝FA，∴OB＝FB，
∴点B在线段OF的垂直平分线上，∴点B的横坐标为，∴FB＝＋＝3，
∴p＝4，∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物
线C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
答案 B
解析 由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，
设抛物线的焦点为，则准线为y＝－，
所以＝－，解得p＝6，
所以抛物线C的方程为x2＝12y.
(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，PF＝，若
以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________．
答案 x2＝2y或x2＝8y
解析 由题意设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，P(x ，y)，F，圆的半径为，由焦半径公式可
0 0
知y＋＝，得y＝，
0 0
并且线段PF中点的纵坐标是＝，
所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x＝±2，
0
即点P的坐标为，
代入抛物线方程x2＝2py(p>0)，得4＝2p·，解得p＝1或p＝4，
即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛
物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为四边形ABCD是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径，
因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，
所以有2＋p2＝1，解得p＝.
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C
交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若AF＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B.DF＝FA
C．BD＝2BF D．BF＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接
EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则PF＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，AE＝AF，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以AF＝EF＝2PF＝2p＝8，得p＝4，
故A正确；
因为AE＝EF＝2PF，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则DF＝FA，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以BD＝2BM＝2BF，故C正确；
因为BD＝2BF，
所以BF＝DF＝AF＝，故D错误．
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物
线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若FQ＝6，则C的准线
方程为______．
答案 x＝－
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得OF＝，PF＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，
解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
方法二 (应用射影定理法)由题易得OF＝，
PF＝p，PF2＝OF·FQ，
即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若
3FM＝2MN，则NF＝________.
答案 16
解析 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交
点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
AF∥MB∥NC，
则＝，
由3FM＝2MN，得＝，
又CN＝4，OF＝4，
所以＝，BM＝，MF＝BM＝，＝，所以NF＝16.
课时精练
一、单项选择题
1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“PA＝d”是“点P的
轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 “点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”⇒“PA＝d”，反之不成立，
当直线经过定点A时，轨迹不是抛物线．因此“PA＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，
直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件．
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x 1)到其焦点的距离为2，则该抛
0,物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到
其准线的距离为p＝2.
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点
(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4．(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若
∠OFM＝120°，则FM等于( )
A．3 B．4 C. D.
答案 B
解析 过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，
因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得MN＝FM，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知EF＝2，∠FEN＝90°，
则FM＝FN＝2EF＝4.
5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，
则PQ＋PF的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则PF＝PA，当CP垂直于抛物线的准线时，CP＋PA最小，
此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，
半径为2，所以PQ＋PF的最小值为AQ＝CA－2＝10－2＝8.
6．(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，
线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为( )
A．π B. C. D.
答案 B
解析 由题意，作图如图所示，
设P(t2,2t)(不妨令t>0)，由已知可得F(1,0)，则M，
所以直线OM的方程为y＝x，设k＝，则k＝≤1，
当且仅当t＝1时取等号，
所以点F到直线OM的距离为
＝≤，
即圆F的半径最大值为，面积最大值为.
二、多项选择题
7．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点
A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝
B．b＝
C.OA·OB＝2
D.＋＝
答案 BD
解析 点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得
则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，
抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C错误；
抛物线C的焦点F，
则AF＝＝，
BF＝＝，
则＋＝＋＝，故D正确．
8．(2024·大庆模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x ，y)，N(x ，y)是抛物线上的
1 1 2 2
两点，下列结论正确的是( )
A．MF的最小值为2
B．若MF＋NF＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则xx＝4
1 2
D．若MF＝λNF，则MN的最小值为8
答案 AD
解析 对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，
∴MF＝y＋2，
1
∵y≥0，∴MF≥2，
1
当且仅当y＝0时等号成立，故A正确；
1
对于B，∵MF＋NF＝12，
根据抛物线定义得y＋2＋y＋2＝12，则y＋y＝8，
1 2 1 2
而由中点坐标公式得点P的纵坐标y ＝＝4，
P
即点P到x轴的距离为4，故B错误；
对于C，由题意可知直线MN斜率存在，
∵直线MN过点F，
设直线MN的方程为y＝kx＋2，
代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，
∴x＋x＝8k，xx＝－16，故C错误；
1 2 1 2
对于D，若MF＝λNF，则M，F，N三点共线，
由题得MF＋NF＝y＋2＋y＋2＝y＋y＋4＝＋4＝＋4＝＋4，
1 2 1 2
当k＝0时，MN的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确．
三、填空题
9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是
AF－2，则p＝________.答案 4
解析 由抛物线的方程可得F，
设A(x，y)，则y≥0，则AF＝y＋，
0 0 0 0
又点A到x轴的距离是AF－2，
故y＝y＋－2，故p＝4.
0 0
10．(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡
远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深
为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖
内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________．
答案 7 cm
解析 以碗体的最低点为原点，向上的方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，
将点(5,6.25)代入，得52＝2p×6.25，
解得p＝2，则x2＝4y，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，
则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，
代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7.
11．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若OA＝OB，且△AOB的面积为
12，则∠AOB＝________.
答案 60°
解析 如图，
∵OA＝OB，
∴A，B两点关于y轴对称，设A，B，
∴S ＝×2a×＝12，解得a＝2，∴B(2，6)，∴tan θ＝＝，
△AOB
∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.
12．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若AF＋BF＝4，线段AB的中
点到直线x＝的距离为1，则p的值为________．
答案 1或3
解析
分别过点A，B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为C，D，
设AB的中点M在准线上的射影为点N，连接MN，
设A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)，根据抛物线的定义，得AF＋BF＝AC＋BD＝4，
1 1 2 2 0 0
所以在梯形ACDB中，中位线MN＝(AC＋BD)＝2，可得x＝2－，
0
因为线段AB的中点到直线x＝的距离为1，
所以＝1，
所以|2－p|＝1，解得p＝1或p＝3.
四、解答题
13．已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标．
解 (1)由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨
迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M，
由两点间的距离公式得MA＝＝＝，
当m2＝16，即m＝±4时，(MA) ＝4，
min
即当M(2,4)或M(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
14．已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．
解 (1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为PP ，到y轴的距离为PP ，
1 2
点F到直线y＝x＋4的距离为FF，
1
由抛物线的定义，可知PP＝PF－2，
2
所以PP＋PP＝PP＋PF－2，
1 2 1
由图可知PP＋PF的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
1
所以(PP＋PF) ＝FF＝＝3，
1 min 1
所以PP＋PP 的最小值为3－2.
1 2
15.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，
要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 作杯子的截面得一抛物线，如图，
建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则1＝2p，p＝，抛物线方程为x2＝y，
设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，AP＝＝，
则r＝(AP) ，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，AP＝，
min
此时≤0，即00)的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，
且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，＝λ，＝μ，则＝____________.
答案 4
解析 如图，
设∠MAF＝θ，AF＝a，BF＝b，
由抛物线定义可得AM＝a，BN＝b，∠MFO＋∠NFO＝∠MFA＋∠NFB＝，
在△MAF中，由余弦定理可得MF2＝2a2(1－cos θ)，
同理NF2＝2b2(1＋cos θ)，
故S ＝a2sin θ，S ＝b2sin θ，
△MAF △NBF
(S )2＝MF2·NF2＝a2b2sin 2θ，
△MNF
故＝＝4.
