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培优专题 18 直线与圆的位置关系的判断与证明
【方法讲解】
由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点
叫做切点．
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移：点与圆的位置关系
（1）点P在⊙O内 dr．
2、归纳概括：
如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交 dr．
【巩固训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）在 中， ，O是 上的一点， ，⊙
的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，
（1） 与⊙ 相交？
（2） 与⊙ 相切？
（3） 与⊙ 相离？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】根据圆心到直线的距离 与半径r的大小关系解答即可．若 ，则直线与圆相交；若 ，则
直线与圆相切；若 ，则直线与圆相离．
【详解】解：如图，过点O作 于 ，
， ，，
，
∴ ，
∴ ，
∴（1）当 时， 与 相交；
（2）当 时， 与 相切；
（3）当 时， 与 相离．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离 与半径r的大小关系来确定直
线与圆的位置关系是解决本题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）在 中， ， ， ，
（1）斜边 上的高为________；
（2）以点C为圆心，r为半径作⊙C
①若直线 与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围；
②若边 与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围；
③若边 与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）2.4；（2）① ；② ；③ 或
【分析】（1）勾股定理求得斜边 ，进而根据等面积法求得斜边上的高；
（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得 的
取值范围．
【详解】（1） 中， ， ， ，设斜边 上的高为 ,
,
,
故答案为：
（2）①若直线 与⊙ 没有公共点，则 ⊙ 相离，则r的取值范围是 ；
②若边 与⊙ 有两个公共点， 点在圆外或者圆上，则r的取值范围是 ；
③若边 与⊙ 只有一个公共点，则 ⊙ 相切，或者 点在圆内，则r的取值范围是 或
【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以
及点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若
，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】相交，理由见解析
【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明 ，从而得 ，根据已知条件
直线BC与⊙O相交，即可判断 与⊙O的位置关系
【详解】相交，理由如下：如图，连接 ，
，
， ，
，
，
，
， ，
（SAS），
，
直线BC与⊙O相交，
，
．
直线 与⊙O相交．
线CD与⊙O的位置关系是：相交．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关
系是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中， 的半径为 ，则直线 与
的位置关系怎样？
【答案】相切，理由见详解【分析】首先画出直线 ，并过点 作 ，垂足为 ，再根据函数关系式求得 ，
，进而利用勾股定理得到 ，然后根据直角三角形的面积求得 ，从而得到结论圆心
点 到直线 的距离等于 的半径，可见直线 与 的位置关系是：相切．
【详解】解：结论：直线 与 的位置关系是：相切
理由：画出直线 ，过点 作 ，垂足为 ，如图：
∵直线 的解析式为
∴令 ，解得 ；令 ，解得
∴ ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理得
∵∴
∵ 的半径为
∴圆心点 到直线 的距离等于 的半径，即
∴直线 与 的位置关系是相切．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积
求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ，点 在 上，且 ，以 为圆心， 为
半径作圆．
（1）讨论射线 与 公共点个数，并写出 对应的取值范围；
（2）若 是 上一点， ，当 时，求线段 与 的公共点个数．
【答案】（1）见解析 （2）0个
【分析】(1) 作 于点 ,由 ，可得点 到射线 的距离
,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个数；
(2) 连接 ．可得 ,由 可得 ,得到 ,故当 时，可
判断线段 与 的公共点个数．
【详解】（1）如图，作 于点 ．
，
∴点 到射线 的距离 ．∴当 时， 与射线 只有一个公共点；
当 时， 与射线 没有公共点；
当 时， 与射线 有两个公共点；
当 时， 与射线 只有一个公共点．
（2）如图，连接 ．
．
,
.
∴当 时，线段 与 的公共点个数为0．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.
6．（2021·江苏宿迁·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）
(1)请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；
(2)若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)（2，0）(2)直线CD与圆M相切，理由见解析
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是
（2，0）；
（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．
(1)
解：如图，点M即为所求．
M（2，0）；
(2)
直线CD与圆M相切，
理由：连接CM
圆M的半径CM= ，
∵D（7，0），M（2，0），
∴OD=7，OM=2，
∴DM=7-2=5，CD= ，
∵CM2+CD2=20+5=25=52=DM2，
∴∠MCD=90°，
∴MC⊥CD，
∵MC是圆M的半径，∴直线CD与圆M相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质
等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心．
7．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的半径是1，B是 上一动点，将点
绕着点B逆时针旋转90°得到点C．
(1)当点B运动到x轴的负半轴上时，则直线AC与 的位置关系是______．
(2)当直线AB与 相切时
①求AB的长；
②求点C的坐标．
【答案】(1)相离
(2)① ；②（ ， ）或（ ， ）
【分析】（1）利用三角形的面积，计算出圆心O到AC的距离，与半径1比较，判断即可．
（2）①连接OB，得到直角三角形AOB，根据OA=2，OB=1，利用勾股定理，求解即可；
②过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求得∠OAB=∠OCD=30°，根据30°所对直角边等于斜边的一半，计算
DO，DC，根据点所在象限确定坐标．
(1)
当点B在x轴的负半轴时，BC⊥x轴，设AC与y轴交于点D，
∵ ABC是等腰直角三角形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
△
∴AO=OD=2，AD= ，
设圆心O到AC的距离为h，则h= ＞1，
∵ 的半径是1，
AC与 相离，
故答案为：相离．
(2)
①连接OB，
∵AB是 的切线，
∴∠OBA=90°，
∵点A（2，0）
∴AO=2，
∵ 的半径是1，
∴OB=1，
∴AB= = ．
②如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵AB是 的切线，∴∠OBA=90°，
∵点A（2，0）
∴AO=2，
∵ 的半径是1，
∴OB=1，
∴∠OAB=30°，
∵∠OBA=∠ODC= 90°，
∴∠OAB=∠OCD=30°，
∵AB=BC= ，∠ABC= 90°，
∴O、B、C三点一线，
∴OC=OB+BC= +1，
∴DO= = ，
∵OC×AB=AO×CD，
∴DC= ，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为（ ， ）；
过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵AB是 的切线，
∴∠OBA=90°，
∵点A（2，0）
∴AO=2，
∵ 的半径是1，
∴OB=1，
∴∠OAB=30°，
∵∠OBA=∠ODC= 90°，
∴∠OAB=∠OCD=30°，∵AB=BC= ，∠ABC= 90°，
∴O、B、C三点一线，
∴OC=BC-OB= -1，
∴DO= = ，
∴DC= = ，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（ ， ）；
此时坐标为（ ， ）；
故点C的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆的对称性，熟
练掌握切线的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2022·广东广州·九年级期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．
(1)试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．
(2)若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．
(3)若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角
形是等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)点A在 外(2)
(3) 或
【分析】（1）由勾股定理求出AO的长，再与圆的半径比较即可得出结论；
（2）求出直线 与 相切时OB的长度即可得到b的取值；
（3）分 ， 和 三种情况求解即可．
(1)
∵
∴
∵
∴点A在 外
(2)
如图，当直线 与 相切于点C时，连接OC，则OC=3
∵∠
∴
∴直线 与 相交时， ；
(3)
∵直线 与 相交于点A，B，∴ ，
∴
当 时，点P坐标为：
， （舍去）
当 时，
∵ 轴
∴
∴
当 时，点P与点O重合，
∴ （舍去）
综上，点P的坐标为： 或
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在 ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O
在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰△好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝ ，BF＝3，求⊙O的半径.【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则
∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝( )2+R2，
解得：R＝3，即⊙O的半径是3．
【点睛】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理.
10．（2019·江苏南通·九年级期中）如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作
⊙O交AN于D、E两点．
⑴ 当⊙O与AM相切时，求AD的长；
⑵ 如果AD＝2，那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】(1)4;(2) AM与⊙O相交,理由见解析
【分析】(1)在Rt△AOF中，由OF求得AO，即可求解；(2)在Rt△AOF中，由AO求得OF的长，比较它
与圆的半径之间的大小.
【详解】解：⑴如图1，设切点为F，连接FO，
∵⊙O与AM相切于点F，OF为半径，
∴FO⊥AM，∴∠AFO＝90°.
∵∠A＝30°，OF＝4，
∴AO＝2OF ，AD＝AO–DO＝8－4＝4．
⑵AM与⊙O相交．
理由：如图2，过点O作OF⊥AM于F，
∴∠AFO＝90°，
∵AD＝2，DO＝4；∴AO＝AD＋DO＝6，又∠A＝30°，∴OF＝ AO＝ ×6＝3＜4，
∴AM与⊙O相交．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r；②直线和圆相交时，
d
