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培优专题 17 与圆的切线有关的计算与证明
◎类型一：根据切线的性质求线段长
1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求
出CH可得结论．
（1）
解：如图，切线AD即为所求；（2）
如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝ ，
∴BC＝2 ．【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，
DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．
(1)求证：∠A＝∠BCD；
(2)若∠D＝45°，⊙O的半径为2，直接写出线段AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠BCD+∠OCB＝90°，因为AB是⊙O的直径，即∠A+∠OBC＝
90°，∠OCB＝∠OBC，可知∠A＝∠BCD；
（2）根据∠D＝45°，⊙O的半径为2，可知OD＝ OC＝ ，可求得AD＝OA+OD＝ ．
(1)
证明：连接OC，∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
即∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠OBC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC
∴∠A＝∠BCD；
(2)
在Rt△OCD中，∠D＝45°，
∴ OC=CD=2
∴OD＝ OC＝ ，
∴AD＝OA+OD＝ ．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质，以及圆的基本性质，掌握其基本性质是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点
D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于△点F．
(1)求证：BC⊥DE；
(2)若AB＝4，∠A＝30°，填空：①线段AD的长为______；②线段BF的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)①2 ，②1
【分析】（1）证明OD是 ABD的中位线，再根据切线的性质即可证明BC⊥DE；
（2）利用含30度角的直角△三角形的性质以及勾股定理即可求解．
（1）
证明：连接BD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AO=OB，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∴OD是 ABD的中位线，
∴OD∥BC△，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴BC⊥DE；
（2）
解：①∵AB=4，∠A=30°，∠ADB=90°，
∴DB= AB=2，AD= =2 ，
②∵∠A=30°，
∴∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵OD⊥DE，∴∠BDF=30°，
∵BC⊥DE，
∴∠DFB=90°，
∴BF= BD=1，
故答案为：①2 ，②1．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2022·江苏南通·二模）如图， 中， ，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交
AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】(1) 连接OD，得到 ，利用余角的性质得到 ，得出结果；
(2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
(1)
证明：连接OD，如图，
∵半圆O的切线DF，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
(2)
解：连接OF．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关
键．
5．（2022·湖南永州·二模）如图， 是 的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且
AE=AB．(1)求∠ACB的度数；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)60°
(2)3
【分析】（1）连接OA，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠ABE＝∠E，由切线的性质和三角形内角和定
理可得∠AOB＝120°，再由圆周角定理即可解答；
（2）设 的半径为x，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半；列方程求解即可；
(1)
解：如图，连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，
∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°；
(2)
解：如图，连接OA，设 的半径为x，
Rt△OAE中：∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴2OA＝OE，
∵OE=OD+DE，
∴2x＝x+3，
∴x＝3，
∴ 的半径为3；
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，30°直角三角形的边长关系，根据切线
的性质正确作出辅助线是解题关键．
◎类型二：根据切线的性质求角度
6．（2022·天津津南·一模）已知 ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，
∠BAC=36°． △(1)如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求∠P的大小．
【答案】(1)∠ABC=54°，∠CBD=99°；
(2)∠P=54°．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠D=36°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理
即可求解；
（2）如图，连接OD，OC，根据等腰三角形的性质得到∠ACE=∠AEC=72°，∠ACO=∠CAO=36°，根据切
线的性质得到OD⊥DP，于是得到结论．
(1)
解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠D=∠BAC=36°，
∴∠ABC=90°-36°=54°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD= ∠ACB =45°，
∴∠CBD=180°-36°-45°=99°；
(2)
解：如图，连接OD，OC，
∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=72°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=36°，
∴∠OCD=∠ACE-ACO=36°，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=36°，
∴∠POD=∠AEC-∠ODC=36°，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP=90°，
∴∠P=90°-∠POD=54°．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性
质是解题的关键．
7．（2022·江苏·九年级单元测试）已知 是 直径， ， 分别切 于点 ， ．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，延长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)64°
(2)63°
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠A=∠ACO=58°，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；
（2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得
∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题．
（1）
解∶如图，连接OC，∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=58°，
∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，
∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；
（2）
解：如图，连接OP，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，
∵BD=OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO=PD，
∴∠OPB=∠DPB，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，
∵∠DPC=81°，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，
∴∠D=90°-27°=63°．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．（2022·天津东丽·一模）如图，已知AB是 的直径，CD是 的弦，连接AD，BD．(1)如图1，连接OC．若 ，求 及 的大小；
(2)如图2，过点C作 的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若 ，求 的大小．
【答案】(1) ， ；
(2)90°；
【分析】（1）根据圆周角定理进行角度计算即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理求得OC∥DB，再由切线的性质即可解答；
(1)
解：∵AB是 的直径，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ；
(2)
解：如图，连接OC，
∵CE与 相切，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直径（半圆）所对圆周角是直角；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；掌握相关定理是解题关
键．
9．（2022·天津·一模）已知△ABC内接于 ， ，连接AO并延长，交 于点D，交 于
点E．
(1)如图①，连接CD，若∠BAC=75°，求∠ADC，∠BAD的大小；
(2)如图②，过点C作 的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求∠F的大小．
【答案】(1)∠ADC=45°，∠ =30°
(2)∠ =22.5°
【分析】（1）根据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等即可求出∠ADC的度数，然后由直径所对的圆周
角是直角得到∠ =90°，然后根据∠BAC=75°，即可求出∠BAD的度数；
（2）连接OC．由直径所对的圆周角是直角得到∠ =90°，进而求出∠ =45°，然后由BE=BD，得
到∠ =∠ ，证明CF AD，根据平行线的性质即可求出∠F的度数．
(1)
解：在⊙O中，∠ =45°，
∴∠ADC=∠ =45°．
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ =90°．
∴∠ =90°－∠ =45°
∵∠ =75°，
∴∠ =∠ －∠ =75°－45°=30°．
(2)解：连接OC．
∵∠ =45°，AD为⊙O的直径，
∴∠ =90°．
∴∠ =90°－∠ =45°．
∵BE=BD，
∴∠ =∠ = ．
∴∠ =90°－∠ =22.5°．
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥CF，即∠ =90°．
∵∠ +∠ =180°，
∴CF AD．
∴∠ =∠ =22.5°．
【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识，解题的
关键是熟练掌握圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定．
10．（2022·天津河北·一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延
长线于点D，连接BC．(1)如图①，连接AC，若 ，求∠ACD的大小；
(2)如图②，E为 上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．
【答案】(1)25°
(2)22.5°
【分析】连接OC，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再由CD是⊙O的切线，可得
∠BCO=∠ACD，即可求解；
（2）连接OC，根据四边形ODCE为平行四边形，可得OE∥CD，OD∥CE，从而得到∠COE=90°，再由
OB=OC，可得∠OCE=∠E=45°，然后根据圆周角定理，即可求解．
(1)
解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴∠BCO=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∴∠ACD=∠B=25°；
(2)解：如图，连接OC，
∵四边形ODCE为平行四边形，
∴OE∥CD，OD∥CE，
∵OC⊥CD，
∴OC⊥OE，即∠COE=90°，
∵OE=OC，
∴∠OCE=∠E=45°，
∴∠AOC=∠OCE=45°，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定
理，平行四边形的性质定理是解题的的关键．
◎类型三：根据性质和判定求图形面积
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交
CE于D，延长CO交 O于B，连接AD、AB，AB是 O的切线．
(1)求证：AD是 O的切线．
(2)若 O的半径为4， ，求平行四边形OAEC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)32【分析】（1）连接OD，证明 ，可得 ，根据切线的性质可得 ，
进而可得 ，即可证明AD是 O的切线；
（2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍 即可求解．
（1）
证明：连接OD．
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵AB与 相切于点B，
∴ ，
又∵OD是 的半径，
∴AD为 的切线．
（2）
∵在Rt△AOD中，
∴平行四边形OABC的面积是
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质
与判定是解题的关键．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D
两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为 ，求图中阴影部分的面积．（不求近似值）
【答案】（1）∠A＋2∠C＝90°；（2）
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，证明结论；
（2）连接 ，作 于E，证明 是等边三角形，得到 ， ，根据正切
的定义求出 ，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】证明：（1）连接OB.
∵OB＝OC
∴∠AOB＝2∠C
∵AB且⊙O于B
∴∠ABO＝90°
∴∠A＋2∠C＝90°
（2）解：连接 ，作 于E，则 ，在 中， ，
，
，
是等边三角形，
， ，
是 直径，
，
，
， ，
，
图中阴影部分的面积
．
【点睛】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式
是解题的关键．
13．（2021·江苏·景山中学九年级阶段练习）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝
6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）10cm；（2） cm；（3） cm²
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB即可；（2）连接OD，求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（3）分别求出扇形DOB的面积和△BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝ ＝10（cm）
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝ ＝5 （cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5 cm，S DOB＝ ，
△
∴ ，
解得：OE＝ ，∴阴影部分的面积S＝S DOB﹣S ODB＝ ﹣ × ＝ cm2．
扇形
△
【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角
形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
14．（2022·广东·深圳市大鹏新区华侨中学模拟预测）如图，在 中， ， 与 ，
分别相切于点E，F， 平分 ，连接OA．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径是2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，连接 ，根据切线的性质和角平分线的定义即可证明
△OBD≌OBE，即可得出结论；
（2）设 分别交 于点 ，连接 ，根据切线的性质和等腰三角形的性质先证明四边形
是矩形，再由勾股定理求出AB的长度，利用“HL”证明 ，即可求出
，根据图中阴影部分的面积为 ，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求
解即可．
（1）
如图，过点 作 于点 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，平分 ，
，
在 和 中， ，
∴△OBD≌OBE （AAS），
，
是 的半径，
又 ，
是 的切线；
（2）
如图，设 分别交 于点 ，连接 ，
的半径是2，
，
与 相切于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，在 和 中， ，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，
矩形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2022·湖北咸宁·模拟预测）如图， 为 的直径， 和过点 上点C的切线互相垂直，垂足
为点D， 交 于点E．
(1)求证： 平分 ；
(2)已知 ，若点E为 的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1) 连接 ，根据切线的性质证明 ，根据等腰的性质、等量代换证明 ；
(2) 连接 ，交 于F，则 ，结合三角形的性质和扇形面积公式求出阴影部分即
可．
(1)
解：证明：连接 ．∵ 是 的切线， ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ 平分 ．
(2)
解：连接 ，交 于F．
∵E为 的中点，∴ ．
由（1）可知， 平分 ，∴ ．
∴ ，∴ ．
∴ ．
∵ 为直径，且 ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系，也考查了三角形的性质和扇形的面积公式．◎类型四：根据切线的性质求弧长
16．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C
的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝33°，连接BC．
(1)求∠B的度数．
(2)若AB＝4，求 的长．
【答案】(1)∠B=57°
(2) 的长为
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则可得AD OC，所以∠1=∠3=33°，再根
据∠2=∠3得到∠2的度数，然后由圆周角定理推出∠ACB=90°即可解决问题；
（2）根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠EOC，再根据弧长公式计算即可．
（1）
解：如图，连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD OC，
∴∠1=∠3=33°，
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3=33°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-33°=57°；
（2）连接OE，
∵∠CAD=33°，
∴∠EOC=2∠CAD=66°，
∵AB=4，
∴OE=2，
∴ 的长为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC AD是解
决问题的关键．
17．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C
的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求 的长．
【答案】(1)54°
(2)
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后
利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB ，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式 即可求出 的长．
（1）
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）
连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1．5，
∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌
握弧长公式是解题的关键．18．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线 ，垂足为P，测得 ．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线 和 相切；
（2）求该圆弧的长．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】（1）利用切线定义作圆，使圆与AB，CD相切，弧AC就是所要画的劣弧；
（2）用弧长公式计算即可求出．
【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC
就是所求的劣弧；
（2）由题意及作图过程可得：∠AOC=90°，
∵∠ACP=45°，AC=6cm，
∴OA= = cm，
∴弧AC= = cm．
【点睛】本题主要考查了学生的画题能力，利用切线的性质确定圆心及利用弧长公式解决实际问题的能力．
19．（2020·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B作⊙O的
切线，与AC的延长线交于点D．（1）求证：∠CBD＝∠BAC；
（2）若∠CBD＝36°，⊙O的半径为5，则 的长度＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）2π
【分析】（1）由圆周角的性质和切线的性质得到∠BAC+ABC＝90°，∠CBD+∠ABC＝90°，即可得到结论；
（2）根据同弧上的圆周角和圆心角的关系求得∠BOC，根据弧长公式即可求得结果．
【详解】解：（1）证明：∵点C在以AB为直径的⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+ABC＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBD+∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠BAC；
（2）解：由（1）知，∠CBD＝∠BAC，
∵∠CBD＝36°，
∴∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝72°，
∴ 的长度＝ ＝2π．
故答案是：2π．
【点睛】此题考查了圆周角定理，圆切线的性质，直径的性质和圆的弧长公式，解题的关键是熟练掌握圆
周角定理，圆切线的性质，直径的性质和圆的弧长公式．
20．（2019·山西阳泉·一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O 上一点，过点C作⊙O的切线DE，
AD⊥DE于点D，DE与AB的延长线交于点E，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若⊙O的半径为2，∠CAB=35°，求 的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用切线的性质得出平行，再利用半径相等得出等腰△AOC，等量代换得出AC平分
∠DAE；
（2）求出 所对的圆心角，利用弧长公式求解.
【详解】（1）证明：∵DE是⊙O的切线,
∴OC⊥DE.
又∵AD⊥DE,
∴OC∥AD
∴∠1=∠3
∵OA=OC，∴∠2=∠3
∴∠1=∠2
即AC平分∠DAE
（2）解：∵在⊙O 中，∠COB=2∠CAB，且∠CAB=35°.
∴∠COB =70°.
又∵⊙O的半径为2，∴ 的长为： ＝
【点睛】本题考查了切线的性质，和弧长公式，综合运用切线的性质和半径相等得出等腰三角形，通过等量代换得出角相等，并且熟练运用弧长公式求解是解题的关键.
