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密云区 2022-2023 学年第一学期期末考试九年级数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 将抛物线 向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】向右平移只需用x减去平移的数量即可，注意要加括号．
【详解】解：抛物线 向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的平移，能够熟练运用左加右减的口诀是解题关键，要注意左右平移要加括号．
2. 已知 为锐角， ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：∵ 为锐角，且 ，
∴ ．
故选C．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．
3. 已知 的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上情况都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若 ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线与圆相交；若 ，则直线与圆相切；若 ，则直线与圆相离．据此判断即可．
【详解】∵圆半径 ，圆心到直线的距离 ．
∴ ，
∴直线l与 的位置关系是相离．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完
成判定．
4. 如图， 中，D、E分别在 上， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司5. 是函数 图象上两点，且 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 大小不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】∵
∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵ 是函数 图象上两点，且
∴
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质．
6. 已知二次函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象开口向上 B. 当 时，函数有最大值是3
C. 当 时，函数有最小值是3 D. 当 时，y随x增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式的特点依次判断求解即可．
【详解】解：二次函数 ，其中 ，开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 ，
最大值为3，当 时，y随x的增大而减小，
∴只有选项B正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质和特点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
7. 如图， 是 的直径，C、D是 上两点， ，则 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据 是直径得出 ，然后利用圆周角定理的推论得出
，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵AB是 的直径，
．
∵ 和 都是 所对的圆周角，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的
关键．
8. 如图，多边形 是 的内接正n边形，已知 的半径为r， 的度数为 ，点O
到 的距离为d， 的面积为S．下面三个推断中．
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学科网（北京）股份有限公司①当n变化时， 随n的变化而变化， 与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若 为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为 ，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是 的邻边和斜边，因此是 化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为 ×底×高，底为 ，高为 ，直接代入即可．
【详解】① ，所以 与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
② ，所以 ，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③ ，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂
题意，求出其中的函数关系式．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
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学科网（北京）股份有限公司9. 在平面直角坐标系 中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线 ，任写出一个满足条件的二
次函数的表达式：_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意知，写出的解析式满足 ， ，由此举例得出答案即可．
【详解】设所求二次函数的解析式为
∵图象的开口向上，
∴ ，可取 ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，得 ，
∵c可取任意数，
∴函数解析式可以为： （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴，得出二次函数的表达式．
10. 已知扇形的圆心角是 ，半径是 ，则扇形的弧长为_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长的公式 计算即可．
【详解】解：根据弧长的公式 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长的公式 ，熟练掌握公式是关键．
11. 已知反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数 的图象位于第二、四象限，可以得到 ，然后求解即可．
【详解】解： 反比例函数 的图象位于第二、四象限，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函
数的性质解答．
12. 在 中， ，则 的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求出 ，根据三角函数的定义即可求得 的值．
【详解】解：∵ 中， ，
∴根据勾股定理 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及正弦函数的定义：直角三角形，锐角的对边与斜边的比，难度适中．
13. 已知抛物线 上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x 1 3
y 2 2
点 是抛物线上不同的两点，则 _________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据表格数据确定抛物线 的对称轴，再由点 是抛物线上不同的两点，且纵坐
标相同，利用对称轴求解即可．
【详解】解：根据表格可得：当 与 时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为
∵点 是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同，
∴
解得：
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用对称轴求解，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
14. 如图，A，B、C三点都在 上， ，过点A作 的切线与 的延长线交于点P，则
的度数是_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##20度
【解析】
【分析】连接 ，则 ，由圆周角定理得： ，进而求出 的度
数．
【详解】连接
∵
∴
∵过点A作 的切线与 的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接 ，运用相关定理求解．
15. 如图，矩形 中， ，E是 上一点， 与 交于点F．则 的
长为_________．
【答案】4
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先利用勾股定理求出 ，再证明 ，得到 ，则
．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明 ，得到
是解题的关键．
16. 如图， 的弦 长为2， 是 的直径， ．
① 的半径长为_________．
②P是 上的动点，则 的最小值是_________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】①连接 ，易证 是等边三角形，弦 长为2， ，即可得到答案；
②先证 ，延长 交 于点E，连接 交 于点P，连接 ,则
此时 ，即 的最小值是 的长，再用勾股定理求出 即可．
【详解】解：①连接 ，
∵
∴ ,
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵弦 长为2，
∴ ，
即 的半径长为2，
故答案为：2
②∵ ，
∴ ,
∴ ，
延长 交 于点E，连接 交 于点P，连接 ,则此时 ，即
的最小值是 的长，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形 的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌
握相关定理并灵活应用是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
18. 中， ，D是 边上一点，延长 至E，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出 再由等量代换得出 结合相似三角形的判
定方法证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴ ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
∴ 即
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
19. 中， ，垂足为D， ，求 长．
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，由 ，得到 ，则 ，由勾股定理即可得到 长．
【详解】∵ ，垂足是点D， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数等，准确计算是关键．
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知二次函数 ．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
的
（2）画出二次函数 示意图，结合图象直接写出当函数值 时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为 与x轴的交点坐标为 和 ；
（2）图见解析；
【解析】
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令 ，求出x的值，即得出该二次函
数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求 时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时
x的取值范围，再结合图像即可解答．
【小问1详解】
解：二次函数 化为顶点式为： ，
∴该二次函数图像的顶点坐标为 ．
令 ，则 ，
解得： ，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为 和 ；
【小问2详解】
令 ，则 ；令 ，则 ；
∴该二次函数还经过点 和 ，
∴在坐标系中画出图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司求 时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为 和 ，
∴当 时，二次函数图像在x轴下方，
∴当 时，自变量x的取值范围是 ．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知
识．利用数形结合的思想是解题关键．
21. 2022年11月29日，搭载神州十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从
发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为 ，在地面雷达站B处测得
点A的仰角为 ．已知 ，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离
（结果精确到 ，参考数据 ）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】在 中，求出 ，在 中，由 ，
，求得 ，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．
在
【详解】解： 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即B、C两个雷达站之间的距离为 ．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．
22. 如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为D．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）已知 的半径为5， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可得 ，由圆周角定理得到 ，由 得到
，即可得到结论；
（2）由垂径定理可得 ， ，在 中，由勾股定理可得 ，即
可得到 长．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ 是 的直径， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理 的内
容是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 已知函数 的图象上有两点 ．
（1）求m，n的值．
（2）已知直线 与直线 平行，且直线 与线段 总有公共点，直接写出k值及b
的取值范围．
【答案】（1）
（2） ，b的取值范围为
【解析】
【分析】（1）把 代入 可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，
把 代入可求出n值；
（2）两直线平行，k值相等；再根据点A和点B坐标及k值为1可得答案．
【小问1详解】
将 代入 得 ，
∴反比例函数为 ，
把 代入 的，n ，
∴
【小问2详解】
∵直线 平行于直线
∴ ；
∵ 与线段 总有公共点
∴当 过点 时，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 过点 时，则 ，
∴ ，b的取值范围为 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、两平行直线的关系及直线与线段的交点个数问题，熟练掌
握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．
24. 如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 交于点E， ，延长 至F，连接
，使得 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，求 的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接 ，由垂径定理的推论可得 垂直平分 ， ，进一步得
， ，可得 ，得 ，结论得证；
（2）作 于点H，连接 ，则 ，由角平分线的性质定理得到 ，
设 的半径长为r,则 ，再证 ，得到 ，即可求得答案．
【小问1详解】
连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的直径， 是 的弦， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的度数， 度数 的度数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
作 于点H，连接 ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 的半径长为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径长为2．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定
理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．
25. 实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了 2次实心球训练．第一次训练
中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 与水平距离 之间的函数关系如图所示，掷出时起点
处高度为 ，当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系： ，
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学科网（北京）股份有限公司记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为 ，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为 ，则
_________ ．（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图可知 ，顶点坐标为 ，设二次函数表达式为 ，由此即
可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式 ，且 ，解方程，得出 ，令第二次训练的函数解析式
，且 ，解方程，得出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意设 关于 的函数表达式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得， ，
∴ 关于 的函数表达式为 ．
【小问2详解】
根据题意，令 ，且 ，
∴ ，
解得， ， （舍去），
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学科网（北京）股份有限公司解得， ， （舍去），
，
∴
．，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用及待定系数法确定解析式，掌握二次函数的性质及求解是解题
的关键．
26. 已知抛物线 ．
（1）若抛物线经过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点 ，且 ．比较 的大
小，并说明理由．
【答案】（1）直线
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线 经过点 得到 ，即可求得抛物线的对称轴；
（2）根据抛物线过 得 ，可得抛物线的对称轴为直线 ，再根据 ， ，
进而得出对称轴的范围是 ，可得离对称轴越远的点，函数值越大，再结合点的坐标即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解： ，理由如下
∵抛物线过 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
即离对称轴越远的点，函数值越大，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数得图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和增减性是解题的关键．
27. 如图， 是等边三角形．点 D 是 边上一点（点 D 不与 B，C 重合）， ，
，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）判断 与 的位置关系，并证明；
（2）过D过 ，垂足为G．用等式表示 ， 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，证明见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等边三角形的判定和性质得出 ，再由全等三角形的判定
和性质得出 ，利用平行线的判定定理即可证明；
（2）延长 交于点M，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得出 ，利用等
角对等边得出 ，过点C作 ，垂足为F，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定
理即可得出结果．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
如图所示，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
如图所示，延长 交于点M，
∵ ， ，
∴ ，
第27页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 ，垂足为F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度
角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
28. 在平面直角坐标系 中，将线段 平移得到线段 （其中P， 分别是O，M的对应点），延
长 至 ，使得 ，连接 ，交 于点Q，称Q为点P关于线段 的关联点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图，点 ．
①在图中画出点Q；
②求证： ；
（2）已知 的半径为1，M是 上一动点， ，点P关于线段 的关联点为Q，求 的取
值范围．
【答案】（1）①见解析，②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①按要求画出图形即可，②连接 ，由平移的性质得四边形 是平行四边形，则
由 得 ，证 ，即可得到结论；
（2）由题意点 的坐标是 ，分别求出当点M运动到点 时， ，当点M运动到点
时， ，由当点M运动到点 时， 有最小值，当点M运动到点 时， 有最
大值，即可得 的取值范围．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：①如图所示，
②连接 ，
∵线段 平移得到线段 ，
∴ ，
∴四边形 是为平行四边形，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
如图所示，
点 的坐标是 ，
当点M运动到点 时，点 ， ， ，
当点M运动到点 时，点 ， ， ，
∵当点M运动到点 时， 有最小值，当点M运动到点 时， 有最大值，
∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质等知识，读懂题意，
正确画图是解题的关键．
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
