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2025年山东省青岛第三十九中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠
近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为
试卷第1页，共3页（ ）
A．（40 ﹣40）cm B．（80 ﹣40）cm
C．（120﹣40 ）cm D．（80 ﹣160）cm
5．如图，直线 和 分别经过正五边形的一个顶点， ， ，则 的度数为
（ ）
A．32° B．38° C．46° D．48°
6．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，以2cm的长
为半径作圆，则 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
7．如图，把图中的 经过一定的变换得到 ，如果图中 上的点 的坐标
为 ，那么它的对应点 的坐标为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
8．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，
AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． π﹣ B． π﹣2 C． π﹣4 D． π﹣2
9．如图，在矩形 中， ， ，点 是线段 上一点， ，连接 ，
将 沿 翻折，得到 ，延长 ，交 的延长线于点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，结
合图象分析下列结论：
试卷第3页，共3页① ：
②对于任意实数 ，都有 ；
③ ；
④若 ，且 ；则 ．
⑤若 为方程 的两个根，则 ．
其中正确结论的个数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．计算： ．
12．式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围为 ．
14．如图， 是 的直径， 为 延长线上一点， 切 于点 ， 平分 ，
与 的延长线交于点 ， ， ，则 的长为 ．
15．如图，直线 与双曲线 交于点 ，点 是直线
试卷第4页，共3页上一点，且 ，过点 作 轴于点 ，作 交双曲线于
点 ，过点 作 于点 ，则 ．
16．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的
两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个
几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代
表的数是 ．
三、解答题
17．尺规作图：如图，点 在直线 上，点 在直线 外，求作 ，使 经过 ， 两
点且与直线 相切．
试卷第5页，共3页18．（1）化简： ；
（2）解不等式组： ．
19．为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活
动，并从七、八年级分别随机抽取了 名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分
析．
抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明： ； ； ； ；
抽取八年级参赛学生的成绩等级为“ ”的分数为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年 平均 众
中位数
级 数 数
七
八 ________
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)八年级这 名学生成绩的中位数是________；
(3)在这次竞赛中，小明和小亮均得了 分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知
小明是________（填“七”或“八”）年级的学生；
(4)该校七年级有 名学生，八年级有 名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于 分
的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多
试卷第6页，共3页少人？
20．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做
游戏，游戏规则如下： 盘被分成面积相等的 个扇形， 盘中小的扇形区域所占的圆心
角是 ．分别任意旋转两个转盘，将 盘转出的数字，与 盘转出的数字相乘，如果乘
积是 的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是 的倍数，则小明赢得游戏．
(1)小明转动一次 盘，求指针指向数字为 的概率为 ；
(2)这个游戏对双方是否公平？请利用画树状图或列表的方法说明理由．
21．（科技成就）随着 技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡
度为 的小山坡 上新建了一座大型的网络信号发射塔 （如图所示），信号塔
底端Q到坡底A的距离为 米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面
上立了一块警示牌 ，当太阳光线与水平线成 角时，测得信号塔 落在警示牌上的
影子 长为3米．求信号塔 的高．（结果精确到0.1米，参考数据： ，
， ）
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，
DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；
试卷第7页，共3页②推断 的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中， ＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿
GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE
交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝ 时，若 ＝ ，GF＝2 ，求
CP的长．
23．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞
步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作
的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．
某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个 种机器人比 种机器人贵5万元，
用1200万元购进 种机器人的数量是用650万元购进 种机器人数量的2倍．
(1)求购买一个 种机器人、一个 种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批 、 两种机器人共100个，
且 种机器人数量不超过 种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当 种机器人提价
种机器售价为购买价的 倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人
全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
24．如图， 中， 为 边上一点， 为 延长线上一点，且 ．过 作
，交 的延长线于点 ．
试卷第8页，共3页(1)求证： ；
(2)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由．
25．如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与
主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为 ，两主塔塔顶距桥面的高
度为 ，主索最低点P离桥面的高度为 ，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴
为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点 处放置一个射灯，该射灯光线恰好经
过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射
出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
26．如图，在▱ABCD中，∠ADB=90°，AB=10cm，AD=8cm，点P从点D出发，沿DA方
向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动速度为1cm/s．
当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 交AB于点E，连接PQ，交
BD于点F．设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．解答下列问题：
试卷第9页，共3页(1)当t为何值时， ？
(2)连接EQ，设四边形APQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式．
(3)当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？
(4)若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第10页，共3页《2025 年山东省青岛第三十九中学中考二模数学试题》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C D D A B D A C
11. 7 12. 且 13. k≤4且k≠1 14. 15. 16.3
选择题、填空题解法提示
9．A
如图，设 交 于G，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
，
答案第1页，共2页，
，
故选：A．
10．C
∵抛物线开口向下，
，
又 ∵抛物线与 轴交于正半轴，
，
又 ∵对称轴是直线 ，
，
∴ ，故①正确．
由题意，当 时， 取最大值为 ，
∴对于任意实数 ，都有 ．
∴ ，故②错误．
∵抛物线与 轴交于点 ，
∴ ．
又 ∵ ，
，
∴ ，故③正确．
设 在二次函数上，
，
∴ 关于对称轴直线 对称，
答案第2页，共2页根据中点公式可得 ，
∴ ，故④正确，
由题意，∵抛物线的对称轴是直线 ，且与 轴交于点 ，
∴抛物线与 轴的另一交点为 ．
∴抛物线为 ．
∴方程 的根可以看作直线 与抛物线 的交点的横坐标．
∵ 在 轴上方，
∴若 为方程 的两个根，则 ，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
14．
如图，连接 ，
∵ 切 于点 ，
，
∵ 平分 ，
,
，
，
，
，
，
， ，
，
∵ 是 的直径，
答案第3页，共2页，
在直角 中，由勾股定理得 ,
利用等面积法可得 ,
故答案为： ．
15．
过点 作 轴于点 ，
∵ 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
答案第4页，共2页∴ ，
故答案为： ．
16．3
由题意可以还原这个立体图形的形状，
左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3；
主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是4，右面是3；上下两面就是2、5相对；
当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应
为7，不可能；
故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面，
所以是3；
故答案为：3．
解答题参考答案
17．解：如图， 即为所求．
理由：∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ 经过 ， 两点， 为半径，
根据作图可得 直线 ，
∴ 与直线 相切．
18．解：（1）
答案第5页，共2页；
（2） ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解为 ．
19．（1）解：解：七年级 等级人数为： （人），七年级 等级人数为：
（人），
补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
结合条形统计图和八年级 等级分数情况可知，第 位和第 位分别为 ， ，
因此八年级这 名学生成绩的中位数是 ，
故答案为： ；
（3）解：∵七年级的中位数为 ，八年级的中位数为 ，
∴同样是 分的情况下，在七年级的排名更靠前，
∴小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）解：解： （人），
答案第6页，共2页答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有 人．
20．（1）解：∵ 盘被分成面积相等的 个扇形，
∴小明转动一次 盘，求指针指向数字为 的概率 ，
故答案为： ；
（2）解：公平，理由如下：
∵ 盘中小的扇形区域所占的圆心角是 ，
∴ 盘中大的扇形区域所占的圆心角 ，
∴可以理解为 盘中有两块圆心角是 的数字 的扇形区域，
∴列表如图所示：
1 2 3 4
盘 盘
5 5 10 15 20
5 5 10 15 20
6 6 12 18 24
由表得：共有 种等可能事件，其中小红赢得游戏的结果有 种，小明赢得游戏的结果有
种，
∴小红赢得游戏的概率为： ，
小明赢得游戏的概率为： ，
∵ ，
∴这个游戏对双方公平．
21．解：延长 交直线 于点B，过点E作 于点G，如图，
答案第7页，共2页根据题意有： ， ， ， ， ，
， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （米），
答：信号塔 的高为 米．
22．（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
故答案是：＝；
②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
答案第8页，共2页∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴ ＝1．
故答案为：1．
（2）解：结论： ＝k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ＝ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ ＝ ＝ ＝k．
（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
答案第9页，共2页由 ＝ ，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵ ＝ ，FG＝2 ，
∴AE＝3 ，
∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝ ﹣3＝ ，
答案第10页，共2页∴PC＝ ＝ ．
23．（1）解：设 种机器人的价格为 万元，则 种机器人的价格为 万元，
由题意可得：
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴ 种机器人的价格为 （万），
答： 种机器人的价格为 万元， 种机器人的价格为 万元．
（2）解：由题意可得： 的售价为： 万元， 的售价为： 万元，
设购买 的数量为 个，则 的数量为 个，
∴由题意可得： ，
解得： ，
∴ ，
∵利润 ，
∵
∴当 越小时，利润最大，
把 代入可得： ，
∴最大利润为： 万，此时购进了 种机器人 个， 种机器人 个．
答：安排购进了 种机器人 个， 种机器人 个时最大利润为 万元．
24．（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第11页，共2页在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接 ，交 于点 ，
由（ ） 得， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴平行四边形 是菱形．
25．（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为： ，
由∵ ，
答案第12页，共2页，
解得： ，
∴解析式为： ；
（2）(i)设直线 为
将 ， 代入可得
，解得： ，
解析式为 ；
如图，作垂直为 轴的直线交 于 ，交抛物线于点 ，设点 的坐标为
则 为 ，
当 时，
，
故 时有最大值 ；
当 时，
，
时， 随 的增大而减小， ，
∴当 时， 有最大值为： ，
答案第13页，共2页综上所述，最大距离为 ；
(ii)设平移后的直线为： ，
联立 ，
，
当 时 ，
解得： ，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
26．（1）解：：四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
若 ，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴8-2t=t，
∴t= ，
∴当t= 时， ；
（2）解：如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵∠ADB=90°，
∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，
答案第14页，共2页∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠A=∠QBH，
又∵∠ADB=∠BHQ=90°，
∴△ADB∽△BHQ，
∴ ，即 ，
∴QH= t，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴BE= t，
∴y=S APQB-S BEQ= (8-2t+t)×6- × t× t=- t2-3t+24；
四边形
△
（3）解：如图：
∵ ，
∴∠APE=∠ADB，
∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ADB，
∴ ，即 ，
∴PE=6- t，
∵点E在线段PQ的垂直平分线上，
∴EQ=PE=6- t，
由(2)得QH= t，BE= t，
答案第15页，共2页∴BH= = = t，
∴EH=BH+BE= t+ t= t，
Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，
∴ ，即t2+2t-4=0，
解得：t= -1，t=- -1＜0 (舍去)，
1 2
∴当t= -1时，点E在PQ的垂直平分线上；
（4）解：连接FF'交AB于点N，
∵点F关于AB的对称点为F′，
∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，
∵点P，E，F′三点共线， ，
∴∠F′EB=∠ABD，
∴∠FEB=∠ABD，
∴EF=FB，
∴BN=EN= BE= t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠DPF=∠FQB，
∵∠DFP=∠BFQ，
∴△DPF∽△BQF，
∴ =2，
∴DF=2BF，
答案第16页，共2页∴2BF+BF=6，
∴BF=2，
∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，
∴△BNF∽△BDA，
∴ ，
∴ ，解得：t= ，
∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为 .
答案第17页，共2页
