文档内容
专练 44 直线与圆、圆与圆的位置关系
授课提示：对应学生用书93页
[基础强化]
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
答案：B
解析：圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，
∴两圆相交但不过圆心．
2．已知圆C ：x2＋y2＝4，圆C ：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C 与圆C 的位置关系
1 2 1 2
是( )
A.相离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
解析：∵x2＋y2＝4的圆心C (0，0)，半径r＝2，
1 1
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C (－3，4)，半径r ＝
2 2
3，又圆心距|C C |＝＝5＝r＋r，∴两圆相外切．
1 2 1 2
3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
答案：A
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，
圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝＋1.
4．两圆C ：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C ：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
1 2
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案：B
解析：圆C ：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C ：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C (2，－1)，
1 2 1
C (－2，2)，半径r＝2，r＝3，圆心距|C C |＝＝5，
2 1 2 1 2
r＋r＝5，
1 2
∴|C C |＝r＋r，∴两圆C 与C 外切，
1 2 1 2 1 2
∴它们有3条公切线．
5．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 B．
C．或0 D．或0
答案：D
解析：由题意得圆心(0，1)到直线kx－y＋k＝0的距离为1，即：＝1得k＝0或k＝.
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2，则直
线l的斜率k的值为( )
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
答案：D解析：由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝＝，得(k＋1)2＝2(k2＋
1)，得k＝1.
7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值
是( )
A.－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案：B
解析：x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，
由题意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P
作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案：D
解析：如图，由题可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S ＝2(S ＋S )＝2(|PA|＋|PB|)，
四边形APBM △PAM △PBM
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4＝4，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM| ＝＝，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方
min
程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝，
|AB|＝＝，∴d2＋＝|MA|2，
即＋＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
9．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
答案：D
解析：方法一(直接计算法) 由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋
m，直线l与曲线y＝的切点为A(x ，y).由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l
0 0
上，又在曲线y＝上，∴∴kx ＋m＝，即k·＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝
0
相切，∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去).∵y＝的图象在
第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.故选D.
方法二(选项分析法) 由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y
＝的切点为P(x ，y)，则x －＝2.解得x ＝，则y ＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝内，不符
0 0 0 0 0
合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意，故选D.
二、填空题
10．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，则直线
l的斜率k的取值范围是________．
答案：[2－，2＋]
解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为2.当圆
心到直线l的距离为时，圆上恰好存在3个点到直线l的距离为，∴圆心到直线l的距离应
小于或等于，∴≤，
∴2－≤k≤2＋.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，
写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
答案：2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个)
解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到
直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S ＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝
△ABC
±2或m＝±，故答案可以为2.
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切
线方程为______________．
答案：x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得
＝3，得k＝，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋
4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．2
答案：C
解析：因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0恒过点
P(1，－2).x2＋y2＋4y－1＝0化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，则圆心C为(0，－2)，半径r
＝，则|PC|＝1，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|AB|＝2＝4.故选C.
14．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为
α，则sin α＝( )
A．1 B． C． D．
答案：B
解析：
如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所
以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2××＝.故选B.
15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直
线的方程________________．
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：
由题意知两圆的圆心和半径分别为O(0，0)，O(3，4)，r ＝1，r ＝4.因为|OO|＝r ＋
1 2 1 2 1 2 1
r ，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为 A(x，y).由OA＝OO ，得
2 1 1 2
A(，).因为kOO ＝，所以切线l 的斜率k ＝－，所以l ：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.
1 2 1 1 1
由图象易得两圆均与直线l：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直
2
线l与l 的交点为P(－1，－).由切线定理，得两圆的另一公切线l 过点P.设l ：y＋＝k(x＋
2 3 3
|K- eq ¿(4,3) |
1).由点到直线的距离公式，得 ＝1，解得k＝，所以l：y＋＝(x＋1)，
3
√√K2+1
即7x－24y－25＝0.
16．已知圆C ：x2＋y2＝4和圆C ：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两
1 2
圆的公共弦上，则＋的最小值为________．
答案：8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴＋＝(a＋b)＝≥×(10＋6)＝8，
当且仅当＝，即b＝3a时取等号，所以＋的最小值为8.
