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专题24.20 直线和圆的位置关系（直通中考）
【要点回顾】
【要点一】直线和圆的三种位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
【要点二】直线与圆的位置关系的判定和性质
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
一、单选题
1．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线
和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）已知平面内有 和点 ， ，若 半径为 ，线段
， ，则直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2013·山东青岛·中考真题）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值
范围是
A． B． C． D．
4．（2013·贵州黔东南·中考真题）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径
作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
5．（2015·广东广州·统考中考真题）已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．10
6．（2010·浙江金华·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =4cm，以点C为
圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
7．（2013·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中
点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
8．（2012·江苏无锡·中考真题）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的
位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
9．（2018·湖南湘西·统考中考真题）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l
与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
10．（2010·四川南充·中考真题）如图，直线l∥l，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和点N
1 2 1 2
分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 2A． B．若MN与⊙O相切，则
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2
二、填空题
11．（2012·甘肃兰州·中考真题）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝
45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围
是 ．
12．（2012·海南·中考真题）如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿
BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
13．（2006·江苏无锡·中考真题）已知∠AOB＝30º，C是射线OB上的一点，且OC＝4．若以C为圆心，
r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是 ．
14．（2019·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在边长为3的菱形 中， ， 是 边
上的一点，且 ， 是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接．则 长度的最小值是 ．
15．（2011·山东烟台·中考真题）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠
⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读
得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为
16．（2011·青海西宁·中考真题）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，
另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇
形的圆弧部分（ 和 ）相交，那么实数a的取值范围是 ．
17．（2016·湖南永州·中考真题）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，
即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，
此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= ；（2）当m=2时，d的取值范围是 ．
18．（2020·上海松江·统考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻
折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么 的值为 ．
三、解答题
19．（2006·吉林长春·中考真题）如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，
设点 的坐标为 ．
（1）求 与直线 相切时点 的坐标．
（2）请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
20．（2012·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E
是⊙O
上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．21．（2016·山东济宁·中考真题）已知点P（x ，y ）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明
0 0
可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = =
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理
由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
22．（2014·湖南衡阳·统考中考真题）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y= x以每秒0.6个单
位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D到直线AB的距离等于OD，并说明理由．
23．（2020·河北唐山·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点E是BC
边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．
（1）求AC的长；
（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；
（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．
24．（2014·江苏无锡·统考一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B
（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（ ≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．
参考答案
1．B
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线 的距离为 .
∴d r，
∴直线和圆相交．
故选：B
【点拨】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的
距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当dd时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当RCA时；分别求出CE的取值范
围，即可得到答案．
解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：
在Rt△ABG中，AB=5， ，
∴BG=4，
∴AG=3，
∴ ，
∴点G是BC的中点，
在Rt△ACG中， ；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：∴CE=CF=4，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∴ ，
∴CH=3.2，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得
FH=2.4，
∴EH=0.8，
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
；
（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：
①当圆C与AD相离时，则CECA时，点E在线段BC上，∴半径CE的取值范围是： ；
综合上述，半径CE的取值范围是： 或 ．
【点拨】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段
的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．
24．（1）25π；（2）16.2；（3）A船不会进入海洋生物保护区．
试题分析：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，由圆周角定理、勾股定理得OC= ，则半径
OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，由勾股
定理AD= x，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6（ +1）≈16.2
（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，
OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以O′F=9+3 -4=5+3 ＞5．
（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=
半径OO′=5，S⊙O′=π•52=25π．
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，
由勾股定理得，AD= ，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x= x∴x=3（ +1），
∴AB=2x=6（ +1）≈16.2
（3）过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF=DA，而AD= x=9+3
∴O′F=9+3 -4=5+3 ＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．
考点: 1.勾股定理的应用；2.点与圆的位置关系．
