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2026-2027 学年七年级上册数学单元自测
第二章 有理数的运算·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．2026
-
的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．
1
2026
-
C．2026
-
D．2026
2．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．
3
3
2
2
-
-
和
B．
2
+ +
和
2
+ -
C．
2
- -
和
2
- +
D．
2
2
- -
和
2
2
-
3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575 万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以
上．5575 万这个数用科学记数法表示为（ ）
A．
3
55.75 10
´
B．
7
0.5575 10
´
C．
8
5.575 10
´
D．
7
5.575 10
´
4．下列计算正确的是（ ）
A．
3
2
1
-
+ -
= -
B．
3
2
2
8
- -
= -
C．
1 3
5
16
- ´ -
=
D．
3
5
2
2
5
3
æ
ö
¸
´ -
= -
ç
÷
è
ø
5．有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
b
a <
6．已知四个数：
2026
1
-
，
π
-
，
1.5
- -
，
23
-
，其中正数的个数是 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．有50 张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置
在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片
上的数最大的编号记为（ ）
卡片编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
两数的和
71
48
54
66
59
A．D
B．C
C．B
D．A
8．若”!”是一种数学运算符号，并且1! 1
= ，2!
2 1
=
´ ，3!
3 2 1
= ´ ´ ，4!
4
3
2 1
=
´ ´ ´ ，…，且公式
m
n
C 的值为
1
2 ...
1
!
n n
n
n
m
m
-
-
-
+
，则
5
6
12
12
C
C
+
的值为（ ）
A．
5
13
C
B．
6
13
C
C．
7
13
C
D．
8
13
C
9．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二
进制数的组成数字为0，1，二进制数
2
10110 转化为十进制数：
4
3
2
1
0
2
10110
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
22
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数
3
211 转化为十进
制数：
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
=
´
+ ´
+ ´
=
．将二进制数
2
1110 化为三进制数为（ ）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
111
D．
3
112
10．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n + ；②当n 为偶数时，结果为2k
n ，其
中k 取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n =
时，则有：
，将
49
n =
进行2025 次“F 运算”的结果
是（ ）
A．19
B．31
C．62
D．98
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：
8
2
- - -
= _______
12．若
1
3
0
m
n
n
-
+
+
-
=
，则
n
m = ______．
13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a 、b ，都有
2
(
)
a
b
a
b
ab
=
-
+
※
，例如：
2
2 1
(2 1)
=
-
※
2 1
3
+ ´ =
．则( 5)
3
- ※ 的计算结果为________．
14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，2
- ，3，1
3 ，a ，b ，相对面上的两个数互
为倒数，则ab =_____．
15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如
图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5 个，则此绳子左边的绳
子打1 个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5 进1 得
来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为
______条．
16．数轴上点A 表示的数为3
- ，点B 到点A 的距离为5，点C 到点B 距离为2（点C 不在原点上），则点C
表示的数为__________．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
3
7
1
24
8
12
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
2020
9
1
3
2
1
2
8
-
-
+ -
´ -
´ -
．
18．当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，
计划每天销售500 千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销
售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值（单位：千克）
4
+
3
-
5
-
12
+
7
-
12
+
8
+
(1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由．
(2)若小明按6 元/千克进行柚子销售，成本为3.4元/千克，且平均运费为1 元/千克，则小明这一周销售柚子
的收益一共多少元？
19．对于有理数 a ，b 定义一种新运算，规定
2
a
b
a
ab
Å
=
-
．
(1)求
3
2
-
Å
的值；
(2)求
2
3
1
-
Å
Å
的值．
20．图是一个计算程序．
(1)按照顺序计算并填写其中的“ ”，并在下面横线上列出综合算式；
综合算式：___________________（仅列算式无需计算）；
(2)计算：
2
1
5
8
2
4
-
- ¸
´ -
．
21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学
问题．如图所示，将一个边长为1 的正方形纸片分制成6 个部分，部分①的面积是边长为1 的正方形纸片
面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是________．
(2)受（1）的启发，试求出
2
3
5
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
+
LL
的值．
(3)进而计算：
2
3
100
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
××+
=
L
________．
22．在数轴上标出表示下列各数的点．
0，
2
2
-
，3.75，
2
3
- | - | ，
2
1
-
，
5
- -
，
2
15
-
(1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来．
(2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．
(3)
23．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用
【规律探寻】
观察一组数
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，…，尝试分析其规律并解决相关问题．
（1）根据规律，第8 个数是______，1
156 是第______个数；
（2）我们知道：1
1
1
1 2
2
= -
´
，
1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，
1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，…，那么：用含有n 的式子表示你发现的规律
______；
【方法应用】
1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
+
+
+
+
´
´
´
´
´
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
= -
+
-
+
-
+
-
+
-
1
5
1
6
6
= -
=
．这种方法叫“裂项相消”，构造
只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
（3）运用上述经验完成下面的计算：1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
2024 2025
+
+
+×××+
+
´
´
´
´
´
．
24．如图，数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存
在一点P，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n，则称点P 为点A、B 的“n 格距点”．例
如：在图1 中，点P 表示的数是1
- ，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为1
4
5
+
=
，则称点P 为
点A、B 的“5 格距点”．
(1)若点P 表示的数是2，则n 的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点P 有______个；
(3)若点P 为数轴上一点，且点P 到点B 的距离为1，求点P 表示的数及n 的值；
(4)若点P 在数轴上运动，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的2 倍，且此时点P 为点A、B 的
“n 格距点”，求点P 表示的数及n 的值．
25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决
问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数x ，y ，z 满足
0
xyz >
，求x
y
z
x
y
z
+
+
的值．
【解决问题】解：由题意，得x ，y ，z 三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当x ，y ，z 都为正数，即
>
>
>
0
0
0
x
，y
，z
时，
1 1 1
3
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
= + + =
；
②当x ，y ，z 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
0
0
x
，y
，z
>
<
<
，
1
1
1
1
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
-
+
+
=
+
+
= + -
+ -
= - ．
综上所述，x
y
z
x
y
z
+
+
的值为3 或1
- ．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知x ，y 是不为0 的有理数，当xy
xy
= -
时，
y
x
x
y
+
= ．
(2)已知x ，y ，z 是有理数，当
0
xyz <
时，求
x
y
z
x
y
z
+
+
的值；
(3)已知x ，y ，z 是有理数，
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz <
，求y
z
z
x
x
y
+
+
+
的值．
