文档文本内容
专题01 有理数的混合运算
常考题型·精准突破
题型1 有理数的加减混合运算（重）
题型2 有理数的乘除混合运算（重）
题型3 有理数四则混合运算（高频）
题型4 含乘方的有理数混合运算（高频）
题型5 有理数混合运算错题复原问题（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 有理数的加减混合运算
1．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）解答题：
(1)
27 15
23
35
-
- -
+ -
．
(2)
3
0.25
3
14
-
+ -
- -
．
(3) 1
3
5
1
1
2
4
6
2
4
æ
ö
æ
ö
+ -
+
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(4)
2
3
1
1
3
2
6
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
【答案】(1)0 ；
(2) 5
- ；
(3)
1
6
-
；
(4) 1
2
【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化
计算；
（2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算；
（3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算；
（4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程．
【详解】（1）解：原式
27 15
23
35
=
-
+
-
27
23
15
35
=
+
+ -
-
50
50
=
-
0
=
．
（2）解：原式
3
0.25
3 14
= -
- -
1
7
3
4
4
= -
- -
1
7
3
4
4
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
è
ø
2
3
= - -
5
-
=
．
（3）解：原式
1
1
3
1
5
2
2
4
4
6
æ
ö
æ
ö
=
-
+ -
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
5
0
1
6
=
+ -
+
1
6
= -
．
（4）解：原式
2
3
1
1
3
2
6
2
= -
+
+
-
2
1
3
1
3
6
2
2
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4
1
1
6
6
æ
ö
= -
+
+
ç
÷
è
ø
3
1
6
= -
+
1
1
2
= -
+
1
2
=
．
2．（25-26 七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算
(1)
27
32
- +
- -
；
(2)
17
6
23
20
-
+ -
+
- -
；
(3)
20
3
5
7
-
+ +
- -
- +
；
(4)
1
1
3
1
6.25
3
1.75
2
2
8
8
-
-
+
-
+
．
【答案】(1)5
(2)20
(3) 19
-
(4) 4
-
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求
解．
【详解】（1）解：
27
32
- +
- -
27
32
= -
+
5
=
；
（2）解：
17
6
23
20
-
+ -
+
- -
17
6
23
20
= -
-
+
+
20
=
；
（3）解：
20
3
5
7
-
+ +
- -
- +
20
3
5
7
= -
+
+
-
19
= -
；
（4）解：
1
1
3
1
6.25
3
1.75
2
2
8
8
-
-
+
-
+
1
1
3
1
6.25 1.75
3
2
2
8
8
æ
ö
æ
ö
= -
-
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9.5
5.5
= -
+
4
= -
3．（25-26 七年级上·全国·寒假作业）计算：
(1)
1
1
2.5
2
5
æ
ö
-
-
+ -
ç
÷
è
ø ；
(2)
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
æ
ö
æ
ö
-
- -
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)
1
1
0.5
3
2.75
7
4
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(4)
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
æ
ö
æ
ö
+
+ -
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)
1
35
-
(2) 7
-
(3) 2
-
(4) 1
-
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化
计算．
（1）将小数化为分数，再通分计算；
（2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算；
（3）将小数化为分数，结合同分母分数计算；
（4）将小数化为分数，结合同分母分数计算．
【详解】（1）解：
1
1
2.5
2
5
æ
ö
-
-
+ -
ç
÷
è
ø
5
1
1
2
2
5
= -
-
-
1
3
5
= - -
1
35
= -
；
（2）解：
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
æ
ö
æ
ö
-
- -
+ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
2
8
= -
+
-
-
1
1
7
1
5
4
4
3
2
2
8
8
æ
ö
æ
ö
=
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1 8
= -
7
= - ；
（3）解：
1
1
0.5
3
2.75
7
4
2
æ
ö
æ
ö
-
- -
+
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
3
1
3
2
7
2
4
4
2
= -
+
+
-
1
3
1
1
3
2
7
4
4
2
2
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
6
8
=
-
2
= - ；
（4）解：
1
2
1
5
0.25
12
3
4
12
æ
ö
æ
ö
+
+ -
-
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
2
1
5
4
12
3
4
12
=
+
-
-
-
1
1
1
5
2
4
4
12
12
3
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
0
3
3
=
-
-
1
= - ．
◆题型2 有理数的乘除混合运算
4．（25-26 七年级上·全国·期中）计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
æ
ö
-
¸
´
´ -
¸
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø．
【答案】(1)
1
3
-
(2) 7
-
(3)
3
10
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
æ
ö
-
¸
´
´ -
¸
ç
÷
è
ø
7
3
7
3
9
4
4
3
= - ¸
´
´
¸
3
7
1
3
7
4
3
9
4
= - ´
´
´
´
1
3 9
= - ´
1
3
= -
；
（2）解：
2
1
5
1
0.8
2
7
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
´
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
9
4
9
5
7
5
4
æ
ö
=
¸ -
´
´
ç
÷
è
ø
7
4
9
5
9
5
4
æ
ö
= ´ -
´
´
ç
÷
è
ø
7
= - ；
（3）解：
1
1
1
1
6
1
2
4
4
æ
ö æ
ö
-
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
25
5
2
4
4
æ
ö æ
ö
= -
¸ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
4
5
2
25
4
æ
ö æ
ö
= -
´ -
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
3
10
= -
．
5．（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)
5
7
3
1
3
8
1
4
4
æ
ö´
ç
÷
è
ø
¸ -
．
(2)
13
3
9
216
4
8
æ
ö
æ
ö
-
¸
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
(3)
3
12.5
4
11
5
æ
-
ö
´
´
¸
ç
÷
-
è
ø
-
．
(4)
4
99
30
5 ´
．
【答案】(1)
2
15
-
(2)
10
3
-
(3)
30
11
-
(4)2994
【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键．
（1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可；
（2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可；
（3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可；
（4）先将原算式化为
1
100
30
5
æ
ö
-
´
ç
÷
è
ø
，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
15
15
4
8
4
15
æ
ö
=
¸ -
´
ç
÷
è
ø
15
4
4
8
15
15
æ
ö
=
´ -
´
ç
÷
è
ø
15
4
4
8
15
15
= -
´
´
2
15
= -
；
（2）解：原式
45
3
9
16
4
8
æ
ö
æ
ö
= -
¸
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
45
27
16
32
æ
ö
= -
¸
ç
÷
è
ø
45
32
16
27
= -
´
10
3
-
=
；
（3）解：原式
25
3
1
4
2
11
5
æ
ö
= -
´ -
´ -
´
ç
÷
è
ø
25
3
1
4
2
11
5
= -
´
´ ´
30
11
= -
；
（4）解：原式
1
100
30
5
æ
ö
=
-
´
ç
÷
è
ø
1
100
30
30
5
=
´
-
´
3000
6
=
-
2994
=
．
6．（2025 七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：
(1)
1
5
3
5
1
2
6
8
12
24
æ
ö
-
+
-
+
¸
ç
÷
è
ø
(2)
8
2
1
1
2
1
2
4
31
7
15
2
æ
ö æ
ö æ
ö æ
ö
+
´ -
´ +
´ -
ç
÷ ç
÷ ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø è
ø è
ø；
(3)
1
5
7
60
15
6
12
é
ù
æ
ö
æ
ö
+ -
- -
´ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
；
(4)
13
9
7
14 ´ -
．
(5)
1
5
1
1
5
5.25 1
5
4
6
6
4
-
´
+
´
+
．
【答案】(1)9
(2)27
(3)11
(4)
1
69 2
-
(5)7
【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键．
（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式化为假分数再计算即可得到结果；
（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（5）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
1
5
3
5
24
2
6
8
12
æ
ö
= -
+
-
+
´
ç
÷
è
ø
1
5
3
5
24
24
24
24
2
6
8
12
= -
´
+
´
-
´
+
´
12
20
9 10
= -
+
- +
9
=
；
（2）解：原式
70
9
31
9
31
7
15
2
æ
ö
æ
ö
=
´ -
´
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
27
=
；
（3）解：原式
1
5
7
60
60
60
15
6
12
æ
ö
æ
ö
=
´ -
+ -
´ -
- -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4
50
35
= - +
-
39
50
= -
+
11
=
；
（4）解：原式
1
10
7
14
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
，
1
10
7
7
14
=
´ -
-
´ -
，
1
70
2
= -
+
，
1
69 2
= -
．
（5）解：原式
21
5
21
7
21
4
6
4
6
4
= -
´
+
´
+
21
5
7
1
4
6
6
æ
ö
=
´ -
+
+
ç
÷
è
ø
21
4
4
3
=
´
7
=
．
◆题型3 有理数四则混合运算
7．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）计算：
2026
3
2
1
2
4
3
3
-
+ -
¸
- - ´ -
【答案】26
【详解】解：
2026
3
2
1
2
4
3
3
-
+ -
¸
- - ´ -
1
8
4
3
9
= + -
¸
- ´ -
1
2
27
= -
+
26
=
．
8．（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）计算：
(1)
2
4
2
3
1
9
3
æ
ö
´ -
+ -
- -
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
2
1
1
3
5
7
2
é
ù
-
´
+
ë
-
-
¸ -
û
．
【答案】(1) 1
-
(2) 3
-
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做
括号内的运算．
【详解】（1）解：
2
4
2
3
1
9
3
æ
ö
´ -
+ -
- -
ç
÷
è
ø
4
2
1
3
3
= -
+ -
1
3
6
= -
+
2 1
= - +
1
= - ；
（2）解：
2
2
1
1
3
5
7
2
é
ù
-
-
´
+ -
¸ -
ë
û
1
1
3
25
7
2
= - -
´
+
¸
1
1
28
7
2
= - -
´
¸
1 14
7
= - -
¸
1
2
= - -
3
-
=
．
9．（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）计算．
(1)
3
2
3
2
3
48
2
4
æ
ö
-
´ -
¸ -
-
¸ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
2024
1
1
1 0.5
2
3
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
ë
û ；
(3)
2
6
1
3
1
6 15
5
3
4
æ
ö
-
¸ -
+
-
¸
- -
ç
÷
è
ø
；
(4)
3
3
2
4
2
3
2
2
2
2
2
3
æ
ö
æ
ö
-
´ -
¸ -
+ -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
【答案】(1) 44
-
；
(2) 1
6 ；
(3) 26
-
；
(4)15
【详解】（1）解：
3
2
3
2
3
48
2
4
æ
ö
-
´ -
¸ -
-
¸ -
ç
÷
è
ø
4
8
3
48
4
3
-
æ
ö
=
´ -
´ -
-
¸
ç
÷
è
ø
32
12
= -
-
44
= -
；
（2）解：原式
1
1
1
2
9
2
3
-
=
-
´
´
-
1
1
1
7
2
3
-
=
-
´
´ -
7
6
1
= - +
1
6
=
；
（3）解：
2
6
1
3
1
6 15
5
3
4
æ
ö
-
¸ -
+
-
¸
- -
ç
÷
è
ø
4
1 9
9
5
3
-
=
´ + -
´
-
9 12
5
= - -
-
26
= -
；
（4）解：原式
27
8
16
4
4
8
3
-
æ
ö
æ
ö
=
´ -
¸
+ -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
27
3
2
2
=
+
15
=
．
◆题型4 含乘方的有理数混合运算
10．（25-26 七年级上·广东深圳·期末）计算：
(1)
24 13
4
17
-
+ -
-
；
(2)
4
3
12
3
6
3
4
æ
ö
¸ -
+
´
+
ç
÷
è
ø．
【答案】(1) 10
-
(2)5
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运用有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加减运算法则求解即可；
（2）先算乘除，再算加减即可求解．
【详解】（1）解：
24 13
4
17
-
+ -
-
24 13
4 17
=
-
-
-
11 4 17
=
-
-
7 17
=
-
10
= -
；
（2）解：
4
3
12
3
6
3
4
æ
ö
¸ -
+
´
+
ç
÷
è
ø
4
4
3
4
6
3
3
4
= - +
´ +
´
4
8
1
= - +
+
5
=
．
11．（25-26 七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)
3
11
9
+ -
- -
；
(2)
12
7
4
8
2
- ´ -
+ ¸ -
；
(3) 1
1
1
1
2
3
6
18
æ
ö
æ
ö
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
【答案】(1)1
(2)36
(3) 12
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，利用运算律简化运算是解题的
关键．
（1）利用加法运算律简化运算，再计算即可；
（2）先进行乘除运算，再进行加减运算；
（3）先将除法运算转化为乘法运算，再运用乘法分配律，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
3
11
9
+ -
- -
3
11
9
=
+ -
+
1
= ；
（2）解：
12
7
4
8
2
- ´ -
+ ¸ -
12
28
4
=
+
+ -
36
=
；
（3）解：1
1
1
1
2
3
6
18
æ
ö
æ
ö
+
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
1
( 18)
2
3
6
æ
ö
=
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
1
18
18
18
2
3
6
=
´ -
+
´ -
-
´ -
9
6
3
= - + -
+
12
= -
；
12．（25-26 七年级上·山东聊城·期末）计算：
(1)
12
18
7
15
- -
+ -
-
；
(2)
4
2
3
1
2 7
3
7
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ；
(3)
1
6
2
3
10
2
7
3
æ
ö
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
(4)
1
2
1
1
1
36
9
3
6
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
【答案】(1)8
(2) 2
(3) 12
-
(4)
1
7
-
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）直接根据有理数的加减运算法则计算即可；
（3）先计算乘除，再计算减法即可；
（4）先计算括号内的加减运算，再计算除法．
【详解】（1）解：
12
18
7
15
- -
+ -
-
12 18
7 15
=
+
-
-
30
22
=
-
8
=
；
（2）解：
4
2
3
1
2 7
3
7
3
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+ -
- -
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
4
2
3
1
2 7
3
7
3
=
-
+
-
4
3
2
1
2 7
7
3
3
=
+
-
-
3 1
=
-
2
=
；
（3）解：
1
6
2
3
10
2
7
3
æ
ö
æ
ö
-
´ -
- -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
6
2
10
2
7
3
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
- -
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
15
=
-
12
= -
；
（4）解：
1
2
1
1
1
36
9
3
6
4
æ
ö
æ
ö
-
¸ -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
8
12
6
9
36
36
36
36
36
æ
ö
æ
ö
= -
¸ -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
8 12
6
9
36
36
- +
-
+
æ
ö
æ
ö
= -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
7
36
36
æ
ö
= -
¸
ç
÷
è
ø
1
36
36
7
= -
´
1
7
= -
．
◆题型5 有理数混合运算错题复原问题
13．（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错
和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读以下的计算过程并完成相应任务．
计算：
1
1
15
6
3
2
æ
ö
-
¸
-
´
ç
÷
è
ø
．
解：原式
1
15
6
6
æ
ö
= -
¸
´
ç
÷
è
ø
第一步
15
1
= -
¸
第二步
15
= -
．第三步
任务：
(1)上面解题过程中，第________步开始就出现了错误
．．．．．．．．，错误的原因是________；
(2)把正确的解题过程写出来．
【答案】(1)一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了
(2)
解：原式
1
15
6
6
æ
ö
= -
¸ -
´
ç
÷
è
ø
15
6
6
= -
´ -
´
540
=
．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据乘除法的运算法则进行分析即可；
（2）根据有理数混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
1
1
15
6
3
2
æ
ö
-
¸
-
´
ç
÷
è
ø
1
15
6
6
æ
ö
= -
¸ -
´
ç
÷
è
ø
15
6
6
= -
´ -
´ ，
∴原解题过程中，第一步出错，较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了，
故答案为：一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了；
（2）略
14．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）嘉琪做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误．
计算：
2
4
8
2
2
2
1
3
3
é
ù
-
¸
-
-
´
+
ê
ú
ë
û
．
解：原式
2
3
1
16
8
3
æ
ö
= -
´
- -
ç
÷
è
ø
LL第一步
1
6
3
= - +
LL第二步
17 ,
3
= -
LL第三步
(1)嘉琪在第__________步开始出现错误．
(2)请写出该题正确的解答过程．
【答案】(1)二
(2)
解：
2
4
8
2
2
2
1
3
3
é
ù
-
¸
-
-
´
+
ê
ú
ë
û
2
3
1
16
8
3
æ
ö
= -
´
- -
ç
÷
è
ø
1
6
9
= - -
55
9
= -
．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则进行计算．
（1）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则判断即可；
（2）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则计算即可．
【详解】（1）略
（2）略
15．（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）认真阅读小兵同学的解题过程，完成相应任务．
3
1
5
36
7
4
6
18
æ
ö
-
-
+
´ -
- -
ç
÷
è
ø
解：
3
1
5
36
36
36
7
11
4
6
18
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
+ -
´ -
+ -
´
- -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（第一步）
27
6 10
7
11
=
+
-
- -
-
（第二步）
27
6 10
7 11
=
+
-
+
-
（第三步）
27
6
7
10 11
=
+
+
+ -
-
（第四步）
40
21
=
-
（第五步）
19
=
（第六步）
任务一：填空
①为了计算简便，第一步应用的运算律是 ．（用符号表示）
②在计算的过程中，第三步的变形依据是 ．
③ 步出现错误，错误的原因是 ．
任务二：请直接写出计算结果．
【答案】任务一：①乘法分配律；②去括号法则； ③第一步，错误地添加了“ 11
-
”；任务二：30
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法运算律，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关
键．
任务一：①根据乘法分配律
m a
b
c
ma
mb
mc
+
+
=
+
+
，进行解答即可；
②根据去括号法则进行解答即可；
③根据有理数混合运算的步骤进行解答即可；
任务二：根据有理数四则混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：任务一：①为了计算简便，第一步应用的运算律是乘法分配律；
②在计算的过程中，第三步的变形依据是去括号法则；
③第一步出现错误，错误的原因是：错误地添加了“ 11
-
”；
任务二：
3
1
5
36
7
4
6
18
æ
ö
-
-
+
´ -
- -
ç
÷
è
ø
3
1
5
36
36
36
7
4
6
18
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
+ -
´ -
+ -
´
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
27
6 10
7
=
+
-
- -
27
6 10
7
=
+
-
+
27
6
7
10
=
+
+
-
40
10
=
-
30
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·四川凉山·中考真题）2026 的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．
1
2026
-
C．2026
D．2026
-
【答案】A
【分析】乘积为1的两个数互为倒数.
【详解】解：
1
2026
1
2026
´
=
Q
，
2026
\
的倒数是
1
2026 .
2．（25-26 七年级上·浙江杭州·期末）下列计算结果相等的是（ ）
A．
32 和
23
B．
4
3
-
和
4
3
-
C．
21 和
21
-
D．
2
2
3 和
2
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的乘方、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐
项计算，再判断即可．
【详解】解：A.
3
2
8
=
，
23
9
=
，结果不相等，故本选项不符合题意；
B．
4
3
81
-
=
，
4
3
81
-
=
，结果相等，故本选项符合题意；
C.
21
1
= ，
2
1
1
-
= - ，结果不相等，故本选项不符合题意；
D.
2
2
4
3
3
=
，
2
2
4
=
3
9
æ
ö
ç
÷
è
ø
，结果不相等，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（25-26 七年级上·福建厦门·期末）下列计算错误的是（ ）
A．
0
5
5
- -
=
B．
2
4
2
-
= -
C．2
9
3
3
4
2
æ
ö
´ -
= -
ç
÷
è
ø
D．
36
9
4
-
¸ -
= -
【答案】D
【分析】本题考查有理数的四则运算及乘方运算，需根据相应运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：
0
5
0
5
5
- -
=
+
=
，故A 正确，不符合题意；
2
4
2
-
= - ，故B 正确，不符合题意；
2
9
2 9
3
3
4
3 4
2
´
æ
ö
´ -
= -
= -
ç
÷
´
è
ø
，故C 正确，不符合题意；
36
9
4
-
¸ -
=
，故D 错误，符合题意．
故选：D．
4．（25-26 七年级上·山西临汾·期末）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出
钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（ ）
A．8 5
6 3
58
´ + ´ =
B．
8 5
6
3
22
´ + ´ -
=
C．
8
5
6 3
22
´ -
+ ´ = -
D．
8
5
6
3
58
´ -
+ ´ -
= -
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式
8 5
6
3
´ + ´ -
，再计算即可.
【详解】解：由题意可得：
8 5
6
3
40 18
22
´ + ´ -
=
-
=
.
故选：B
二、填空题
5．（25-26 七年级上·陕西汉中·期末）计算：2
8
- -
=___．
【答案】10
-
【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数减法法则，将减法转化为加法运算即可求解．
【详解】解：2
8
10
- -
= -
．
故答案为：10
-
．
6．（25-26 七年级上·安徽六安·期末）若
2
2
(
1)
0
a
b
-
+
+
=
，则
a
b = _____．
【答案】1
【分析】本题考查非负数的性质(绝对值与偶次方的非负性)及有理数的乘方运算．关键是掌握“几个非负数
的和为0 时，这几个非负数均为0”这一性质，先据此求出a 、b 的值，再代入计算
a
b 即可．
【详解】解：∵
2
0
a -
³
，
2
(
1)
0
b +
³
，且
2
2
(
1)
0
a
b
-
+
+
=
，
∴
2
0
a-
=
，
1
0
b + =
，
解得
2
a =
，
1
b
-
=
，
则
2
( 1)
1
a
b = -
= ；
故答案为：1．
7．
（25-26 六年级上·上海·期末）乐乐在计算
15
m
-
¸
时，误将“ ¸ ”看成“ + ”，所得的结果是12
-
，那么
15
m
-
¸
的正确结果应是______．
【答案】5
-
【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出m 的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数
的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
15
12
m
-
+
= -
，
∴
12
15
12 15
3
m = -
- -
= -
+
=
，
∴正确结果为
15
15
3
5
m
-
¸
= -
¸
= - ，
故答案为：5
- ．
8．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如
3
2
1
4657
4 10
6 10
5 10
7 1
=
´
+
´
+ ´
+
´ ，
在电子计算机中用的二进制，如二进制中
2
1
110
1 2
1 2
0 1
= ´
+ ´
+
´ 等于十进制的数6．八进制数字3752 换算
成十进制是_____．
【答案】2026
【分析】本题考查了有理数的乘方运算．将八进制数转换为十进制数，需将每一位数字乘以8 的相应幂次
（从右向左，幂次从0 开始），然后求和，即可作答．
【详解】解：依题意，八进制数3752 换算为十进制：
3
2
1
0
3 8
7 8
5 8
2 8
´
+ ´
+ ´
+ ´
1536
448
40
2
=
+
+
+
2026
=
，
故答案为：2026．
三、解答题
9．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）计算：
(1)
2
1
5
1
3
6
6
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
；
(2)
9
4
81
16
4
9
-
¸
´
¸ -
【答案】(1)
7
6
-
(2)1
【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用有理数的加法运算法则计算，即可作答．
（2）先把除法化为乘法，再结合有理数的乘法运算法则计算，即可作答．
【详解】（1）解：
2
1
5
1
3
6
6
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+ -
+ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
1
1
5
3
2
6
6
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
-
+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
1
1
6
æ
ö
= -
+ -
ç
÷
è
ø
7
6
= -
；
（2）解：
9
4
81
16
4
9
-
¸
´
¸ -
4
4
1
81
9
9
16
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
= ．
10．（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）计算：
(1)
2
8
7
5
- -
+ -
- ；
(2)
2
( 1)
12
3
5 (
2)
-
+
¸ - - ´ -
．
【答案】(1) 2
-
(2)15
【详解】（1）解：
2
8
7
5
- -
+ -
-
2
8
7
5
=
+ -
-
10
7
5
=
-
-
2
= - ；
（2）解：
2
( 1)
12
3
5 (
2)
-
+
¸ - - ´ -
1 12
3
5
2
+
¸ - ´ -
=
1
4 10
= +
+
15
=
．
11．（25-26 七年级上·甘肃白银·期末）计算：
(1)
5
2
3
12
12
3
4
æ
ö
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
3
2
18
3
2
4
é
ù
-
+
- -
´
¸
ë
û
．
【答案】(1) 4
- ；
(2) 2
- ．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
（1）根据乘法分配律进行简便运算即可；
（2 ）先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：
5
2
3
12
12
3
4
æ
ö
+
-
´ -
ç
÷
è
ø
5
2
3
12
12
12
12
3
4
=
´ -
+
´ -
-
´ -
5
8
9
= - + -
- -
4
= - ；
（2）解：
3
2
18
3
2
4
é
ù
-
+
- -
´
¸
ë
û
8
18
6
4
é
ù
= - +
- -
¸
ë
û
8
18
6
4
= - +
+
¸
8
24
4
= - +
¸
8
6
= - +
2
= - ．
12．（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）计算
(1)
3
1
3
1
( 2 )
(
)
( 3 )
( 5 )
4
2
4
2
+
- -
- -
- +
；
(2)
2
2026
3
4
2
2
1
9
3
æ
ö
-
¸
´ -
+ -
ç
÷
è
ø
【答案】(1) 1
12
(2) 7
-
【详解】（1）解：原式
3
1
3
1
2
3
5
4
2
4
2
=
+
+
-
3
3
1
1
2
3
5
4
4
2
2
=
+
+
-
1
6
5
2
=
-
1
12
=
；
（2）解：原式
4
4
8
1
9
9
= - ¸
´
+
9
4
8
1
4
9
= - ´
´
+
8 1
= - +
7
= - ．
13．（25-26 七年级上·山西晋中·期末）计算：
(1)
5
7
( 36)
1
6
18
æ
ö
-
´
-
-
ç
÷
è
ø；
(2)
2026
2
8
1
| 5|
( 4)
( 8)
5
æ
ö
-
+ -
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)8
(2) 7
-
【分析】（1）根据有理数乘法运算律进行计算即可；
（2）根据有理数的运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：
5
7
( 36)
1
6
18
æ
ö
-
´
-
-
ç
÷
è
ø
5
7
1 ( 36)
( 36)
( 36)
6
18
= ´ -
-
´ -
-
´ -
36
30
14
= -
- -
- -
36
30 14
= -
+
+
8
=
；
（2）解：
2026
2
8
1
| 5|
( 4)
( 8)
5
æ
ö
-
+ -
´ -
- -
¸ -
ç
÷
è
ø
8
1 5
16
( 8)
5
æ
ö
= - + ´ -
-
¸ -
ç
÷
è
ø
1
( 8)
2
= - + -
+
7
= - ．
14．（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算；
(1)
1
2
4
32
8
2
æ
ö
- -
-
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
；
(2)
2026
2
2
5
1
1 5
é
ù
-
´
- -
+ - +
ë
û ∣
∣．
【答案】(1) 4
(2) 12
-
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．
（1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内
的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做
括号内的运算．
【详解】（1）
1
2
4
32
8
2
æ
ö
- -
-
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
；
1
6
32
8
2
æ
ö
=
-
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
6
4
2
æ
ö
=
+ ´ -
ç
÷
è
ø
6
2
=
-
4
=
；
（2）
2026
2
2
5
1
1 5
é
ù
-
´
- -
+ - +
ë
û ∣
∣
4
5 1
4
= - ´
-
+
16
4
= -
+
12
= -
．
15．（25-26 七年级上·四川凉山·期末）计算：
(1)
3
2
18
32
2
4
5
+
¸ -
- -
´
(2)
2025
1
1
2
1
8
1
7
8
3
24
æ
ö
æ
ö
-
´ - - -
-
-
¸ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】(1)94
(2) 14
-
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，计算即可，有绝对值的先
要把绝对值算出来．
【详解】（1）原式
18
32
8
16
5
=
+
¸ -
- -
´
18
4
80
=
-
+
94
=
；
（2）原式
1
1
2
8 1
24
7
8
3
æ
ö
= -
´ - +
-
-
´ -
ç
÷
è
ø
1
1
2
7
24
24
7
8
3
é
ù
= -
´ -
´ -
-
´ -
ê
ú
ë
û
1
7
3 16
7
= -
´ - - +
1 13
= - -
14
= -
．
16．（25-26 七年级上·甘肃平凉·期末）小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误．
2
3
2
2
4
2
6
3
-
¸
-
-
´ +
é
ù
ë
û 解：原式
2
2
6
8
6
3
= - ¸
- - +
…第一步
2
3
6
2
2
= - ´
- -
…第二步
9
4
= - +
…第三步
=
5
-
．…第四步
(1)小明在第______步开始出现错误；
(2)请给出该题的正确解答过程．
【答案】(1)一
(2)
原式
2
2
8
8
6
3
= - ¸
- - +
2
3
8
2
2
= - ´
- -
12
4
= -
-
16
= -
．
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）逐一分析各个步骤，发现小明在第一步时计算开始出现错误；
（2）先计算乘方，再计算除法，最终计算出结果．
【详解】（1）解：根据有理数的乘方运算规则，
32
-
表示2 的立方的相反数，即
3
8
2
-
=- ，而不是6
- ，所
以第一步开始出现错误，
故答案为：一．
（2）略
17．（25-26 七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø的过程如下：
方方：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
=
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø ①
1
16
2
8
æ
ö
=
+ -
´ -
ç
÷
è
ø ②
1
16 4
=
③
圆圆：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
= -
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø①
16 16 1
= -
+
¸ ②
0
=
③
(1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）；
(2)写出你的计算过程．
【答案】(1)①；②
(2)
解：
2
3
1
4
16
( 2)
8
æ
ö
-
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16 16
8
8
æ
ö
= -
+
¸ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16
2
8
æ
ö
= -
+ -
´ -
ç
÷
è
ø
1
16
4
= -
+
3
15 4
= -
．
【分析】（1）方方第一步在计算
2
4
-
时出错了，结果应为16
-
；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运
算从左往右的顺序进行计算；
（2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解．
【详解】（1）解：∵方方第一步在计算
2
4
-
时出错了，结果应为16
-
，
∴方方开始出错的是第①步，
∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算，
∴圆圆开始出错的是第②步．
（2）略
18．（25-26 六年级上·山东东营·期末）计算：
(1)
1
3
12
13.57
3
1.43
4
4
æ
ö
-
- -
- +
ç
÷
è
ø
；
(2)
9
4
81
32
4
9
-
¸
´
¸ -
；
(3)
1
3
1
48
6
4
24
æ
ö
-
´ -
+
-
ç
÷
è
ø ；
(4)
3
2026
1
1
2
1 5
2
æ
ö
-
+ -
´ -
- - -
ç
÷
è
ø
．
【答案】(1)1；
(2) 1
2 ；
(3) 26
-
；
(4) 3
-
【分析】本题考查有理数的混合运算，涵盖带分数与小数的加减运算、乘除混合运算、乘法分配律的应用
及含乘方、绝对值的混合运算．关键是严格遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号
内，同时合理运用运算律简化计算．
（1）利用加法交换律和结合律，将同类型的带分数、小数分别结合，简化加减运算；
（2）将除法转化为乘法，确定符号后通过约分快速计算；
（3）运用乘法分配律，将48
-
与括号内每一项分别相乘，再进行加减运算；
（4）先计算乘方、绝对值，再算乘法，最后从左到右计算加减．
【详解】（1）解：原式
1
3
12
13.57
3
1.43
4
4
=
-
+
-
1
3
12
3
13.57 1.43
4
4
æ
ö
=
+
+ -
-
ç
÷
è
ø
16
15
=
+ -
1
= ；
（2）解：原式
4
4
1
81
9
9
32
æ
ö
= -
´
´
´ -
ç
÷
è
ø
4
1
36
9
32
æ
ö
= -
´
´ -
ç
÷
è
ø
1
16
32
æ
ö
= -
´ -
ç
÷
è
ø
1
2
=
；
（3）解：原式
1
3
1
48
48
48
6
4
24
æ
ö
æ
ö
= -
´ -
+ -
´
+ -
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
8
36
2
=
-
+
28
2
= -
+
26
= -
；
（4）解：原式
1
1
8
6
2
æ
ö
= - + -
´ -
- -
ç
÷
è
ø
1
4
6
= - +
-
3
6
=
-
3
= - ．
