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2026-2027 学年七年级上册数学单元自测
第二章 有理数的运算·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．2026
-
的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．
1
2026
-
C．2026
-
D．2026
【答案】B
【详解】解：2026
-
的倒数是
1
2026
-
．
2．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．
3
3
2
2
-
-
和
B．
2
+ +
和
2
+ -
C．
2
- -
和
2
- +
D．
2
2
- -
和
2
2
-
【答案】A
【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值．
【详解】解：A 选项：
3
( 2)
8
-
= - ，
3
2
8
-
= - ，数值相等，符合题意；
B 选项：
2
2
+ +
=
，
2
2
+ -
= - ，数值不等，不符合题意；
C 选项：
2
2
- -
=
，
2
2
- +
= - ，数值不等，不符合题意；
D 选项：
2
( 2)
4
- -
= - ，
2
( 2)
4
-
=
，数值不相等，不符合题意．
3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575 万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以
上．5575 万这个数用科学记数法表示为（ ）
A．
3
55.75 10
´
B．
7
0.5575 10
´
C．
8
5.575 10
´
D．
7
5.575 10
´
【答案】D
【详解】解：5575 万
7
55750000
5.575 10
=
=
´
．
4．下列计算正确的是（ ）
A．
3
2
1
-
+ -
= -
B．
3
2
2
8
- -
= -
C．
1 3
5
16
- ´ -
=
D．
3
5
2
2
5
3
æ
ö
¸
´ -
= -
ç
÷
è
ø
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算.
根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可.
【详解】解： A.( 3)
( 2)
5
1
-
+ -
= - ¹ - ，A 错误；
B.
3
2
2
2
8
10
8
- -
= - -
= -
¹ - ，B 错误；
C.
1 3
5
1 15
16
- ´ -
= +
=
，正确；
D.
3
5
5
5
10
5
50
2
2
2
5
3
3
3
3
3
9
æ
ö
æ
ö
æ
ö
¸
´ -
=
´
´ -
=
´ -
= -
¹ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，D 错误；
故选：C.
5．有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
b
a <
【答案】D
【分析】根据数轴确定有理数a、b 的取值范围，再依据有理数的加减法、乘除法运算法则判断各式的正负
性．
【详解】由数轴可知：
1
b < - ，0
1
a
<
< ，
∴
0
a
b
+
<
，
0
a
b
-
>
，
0
ab <
，
0
b
a <
，
综上所述，结论正确的是D．
6．已知四个数：
2026
1
-
，
π
-
，
1.5
- -
，
23
-
，其中正数的个数是 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据
正数大于0 即可得出答案．
【详解】解：∵
2026
1
1
-
= ，1
0
>
，
∴
2026
1
-
是正数
∵
p
p
-
=
，
0
p >
，
∴
π
-
是正数
∵
1.5
1.5
- -
=
，1.5
0
> ，
∴
1.5
- -
是正数
∵
23
-
9
= - ，9
0
- <
，
∴
23
-
是负数
∴正数共有3 个，
故选：C．
7．有50 张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置
在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片
上的数最大的编号记为（ ）
卡片编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
两数的和
71
48
54
66
59
A．D
B．C
C．B
D．A
【答案】A
【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小
即可．
【详解】解：由题意得：A
B
71
+
=
，B
C
48
+
=
，C
D
54
+
=
，D
E
66
+
=
，A
E
59
+
=
，
将以上五式相加得：
2 A
B
C
D
E
71
48
54
66
59
298
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
，
∴A
B
C
D
E
149
+
+
+
+
=
，
∵A
B
71
+
=
，
∴C
D
E
149
71
78
+
+
=
-
=
，
∵C
D
54
+
=
，
∴E
78
54
24
=
-
=
，
∴A
59
24
35
=
-
=
，B
71 35
36
=
-
=
，C
48
36
12
=
-
=
，D
66
24
42
=
-
=
，
∵42
36
35
24
12
>
>
>
>
，即D
B
A
E
C
>
>
>
>
，
∴卡片上的数最大的编号记为D．
8．若”!”是一种数学运算符号，并且1! 1
= ，2!
2 1
=
´ ，3!
3 2 1
= ´ ´ ，4!
4
3
2 1
=
´ ´ ´ ，…，且公式
m
n
C 的值为
1
2 ...
1
!
n n
n
n
m
m
-
-
-
+
，则
5
6
12
12
C
C
+
的值为（ ）
A．
5
13
C
B．
6
13
C
C．
7
13
C
D．
8
13
C
【答案】B
【详解】解：依题意可得：
5
6
12
12
C
C
+
= 12 11 10 9 8
12 11 10 9 8 7
5!
6!
´
´
´ ´
´
´
´ ´ ´
+
12 11 10 9 8
12 11 10 9 8 7
5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
´
´
´ ´
´
´
´ ´ ´
=
+
´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´ ´
12 11 10 9 8 6
12 11 10 9 8 7
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
´
´
´ ´ ´
´
´
´ ´ ´
=
+
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´ ´
12 11 10 9 8
6
7
6 5 4 3 2 1
´
´
´ ´ ´
+
=
´ ´ ´ ´ ´
13 12 11 10 9 8
6 5 4 3 2 1
´
´
´
´ ´
=
´ ´ ´ ´ ´
=
6
13
C ．
9．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二
进制数的组成数字为0，1，二进制数
2
10110 转化为十进制数：
4
3
2
1
0
2
10110
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
22
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数
3
211 转化为十进
制数：
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
=
´
+ ´
+ ´
=
．将二进制数
2
1110 化为三进制数为（ ）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
111
D．
3
112
【答案】D
【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3
取余法转换为三进制数，即可得到结果
【详解】解：∵二进制数11102n 的各位权值从右到左依次为
0
1
2
3
2 ,2 ,2 ,2
∴将11102n 转换为十进制数得：
3
2
1
0
1 2
1 2
1 2
0 2
8
4
2
0
14
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+
=
即11102n 对应的十进制数为14，
接下来将十进制数14 转换为三进制，使用除3 取余法：
14
3
4
¸
=
，余数为2；
4
3
1
¸
= ，余数为1；
1 3
0
¸
=
，余数为1；
将所得余数倒序排列，得到三进制数为
3
112
10．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n + ；②当n 为偶数时，结果为2k
n ，其
中k 取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n =
时，则有：
，将
49
n =
进行2025 次“F 运算”的结果
是（ ）
A．19
B．31
C．62
D．98
【答案】C
【分析】根据题意，依次求出每次“F 运算”的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
49
n =
，
所以第1 次“F 运算”的结果是3
5
3 49
5
152
n +
= ´
+
=
，
第2 次“F 运算”的结果
152
19
2
8
k
n =
=
，
第3 次“F 运算”的结果3
5
3 19
5
62
n +
= ´
+
=
，
第4 次“F 运算”的结果
62
31
2
2
k
n =
=
，
第5 次“F 运算”的结果3
5
3 31 5
98
n +
= ´
+
=
，
第6 次“F 运算”的结果
98
49
2
2
k
n =
=
，
第7 次“F 运算”的结果3
5
3 49
5
152
n +
= ´
+
=
，
…，
由此可见，从第1 次“F 运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49 循环．
因为2025
6
337
3
¸
=
L ，
所以第2025 次“F 运算”的结果62．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：
8
2
- - -
= _______
【答案】10
【详解】解：
8
2
8
2
10
- - -
=
+
=
．
12．若
1
3
0
m
n
n
-
+
+
-
=
，则
n
m = ______．
【答案】8
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，
从而求出m 和n 的值，即可求解．
【详解】解：Q
1
3
0
m
n
n
-
+
+
-
=
，
\
1
0
-
+ =
m
n
，
3
0
n -
=
，
解得
2
m =
，
3
n =
，
\
32
8
n
m =
=
，
故答案为：8 ．
13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a 、b ，都有
2
(
)
a
b
a
b
ab
=
-
+
※
，例如：
2
2 1
(2 1)
=
-
※
2 1
3
+ ´ =
．则( 5)
3
- ※ 的计算结果为________．
【答案】49
【详解】解：由题意得，
2
( 5)
3
5
3
5
3
64
15
49
-
= - -
+ -
´ =
+ -
=
※
．
14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，2
- ，3，1
3 ，a ，b ，相对面上的两个数互
为倒数，则ab =_____．
【答案】
1
2
-
/ 0.5
-
【分析】本题考查倒数．
根据倒数的定义，可得1，2
- ，3，1
3 ，a ，b 的乘积，即可得ab ．
【详解】解：∵正方体的各面标有数1，2
- ，3，1
3 ，a ，b ，相对面上的两个数互为倒数，
∴
1
1
2
3
1 1 1
3
ab
´ -
´ ´
´
= ´ ´ ，
∴2
1
ab
-
= ，
∴
1
2
ab = -
．
故答案为：
1
2
-
．
15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如
图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5 个，则此绳子左边的绳
子打1 个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5 进1 得
来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为
______条．
【答案】71
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式
2
2 5
4 5 1
´
+ ´ + ，然后计算即可．
【详解】解：由图可得，
2
2 5
4 5 1
´
+ ´ +
50
20 1
=
+
+
71
=
，
∴他一共捞得的鱼的数量为71条，
故答案为：71．
16．数轴上点A 表示的数为3
- ，点B 到点A 的距离为5，点C 到点B 距离为2（点C 不在原点上），则点C
表示的数为__________．
【答案】4 或6
- 或10
-
【分析】利用两点间的距离公式可以知道点B 表示的数为8
- 或2 ，再由点C 到点B 距离为2（点C 不在原
点上），可得答案．
【详解】解：Q数轴上点A 表示的数为3
- ，点B 到点A 的距离为5，
\点B 表示的数为3
5
2
- +
=
或3
5
8
- -
= - ，
Q点C 到点B 距离为2（点C 不在原点上），
\点C 表示的数为2
2
0
-
=
（舍去）或2
2
4
+
=
或8
2
6
- +
= - 或8
2
10
- -
= -
．
综上，点C 表示的数为4 或6
- 或10
-
．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
3
7
1
24
8
12
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
；
(2)
2
2020
9
1
3
2
1
2
8
-
-
+ -
´ -
´ -
．
【答案】(1)29
(2) 17
-
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
3
7
1
24
8
12
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
3
7
24
24
24
8
12
=
-
´
+
´
，
24
9 14
=
- +
29
=
；
（2）解：
2
2020
2
1
3
2
18
9
-
- ´ -
+ -
´ -
2
1 3 4
18
9
= - - ´ + -
´
1 12
4
= - -
-
17
= -
．
18．当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，
计划每天销售500 千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销
售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值（单位：千克）
4
+
3
-
5
-
12
+
7
-
12
+
8
+
(1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由．
(2)若小明按6 元/千克进行柚子销售，成本为3.4元/千克，且平均运费为1 元/千克，则小明这一周销售柚子
的收益一共多少元？
【答案】(1)
解：达到了
理由如下：4
3
5 12
7 12
8
+ - - +
-
+
+
21
=
（千克）．
因为21
0
>
，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量．
(2)5633.6元
【分析】（1）计算4
3
5 12
7 12
8
+ - - +
-
+
+ ，与０比较，求解即可；
（2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可；
【详解】（1）略；
（2）解：小明本周销售量为：500 7
21
3500
21
3521
´ +
=
+
=
（千克）
本周总收益为：
3521
6
3.4 1
5633.6
´
-
-
=
（元）
答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共5633.6元．
19．对于有理数 a ，b 定义一种新运算，规定
2
a
b
a
ab
Å
=
-
．
(1)求
3
2
-
Å
的值；
(2)求
2
3
1
-
Å
Å
的值．
【答案】(1)15
(2)16
【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义．
（ 1）根据新定义， 以及有理数的混合运算的运算方法，求出
3
2
-
Å
的值是多少即可；
（2）首先根据新定义， 以及有理数的混合运算的运算方法，先求3
1
Å ，再计算
2
3
1
-
Å
Å
即可．
【详解】（1）解：∵
2
a
b
a
ab
Å
=
-
∴
3
2
-
Å
2
3
3
2
= -
- -
´
9
6
=
+
15
=
；
（2）解：
2
3
1
-
Å
Å
2
2
3
3 1
= -
Å
- ´
( 2)
6
= -
Å
2
2
2
6
= -
- -
´
4 12
=
+
16
=
．
20．图是一个计算程序．
(1)按照顺序计算并填写其中的“ ”，并在下面横线上列出综合算式；
综合算式：___________________（仅列算式无需计算）；
(2)计算：
2
1
5
8
2
4
-
- ¸
´ -
．
【答案】(1)48 ，39
-
，
2
3
32
4
6
-
-
¸ ´ -
(2) 89
-
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法．
【详解】（1）解：8
6
8 6
48
´ -
= ´
=
；
2
3
48
9
48
39
-
-
=
-
= -
；综合算式：
2
3
32
4
6
-
-
¸ ´ -
（2）解：
2
1
5
8
2
4
-
- ¸
´ -
25
8 4 2
= -
- ´ ´
25
64
= -
-
89
= -
．
21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学
问题．如图所示，将一个边长为1 的正方形纸片分制成6 个部分，部分①的面积是边长为1 的正方形纸片
面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是________．
(2)受（1）的启发，试求出
2
3
5
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
+
LL
的值．
(3)进而计算：
2
3
100
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
××+
=
L
________．
【答案】(1) 1
32
(2) 31
32
(3)
100
1
1
2
-
【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键．
（1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的1
32 ，于是得解；
（2）
2
3
5
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
+
LL
的和，可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面
积，于是得解；
（3）阴影部分面积占总面积的
100
1
2
，总面积减去阴影部分面积，就等于
2
3
100
1
1
1
1
2
2
2
2
+
+
+
××+
L
，于是得解．
【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为：
5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
32
æ
ö
´
´
´
´
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
\阴影部分的面积是：
1
1
1 32
32
´
=
，
故答案为：1
32 ；
（2）解：根据题意可得：
2
3
5
1
1
1
1
1
31
1
2
2
2
2
32
32
+
+
+
+
= -
=
LL
；
（3）解：根据题意可得：
2
3
100
100
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
+
+
+
××+
= -
L
，
故答案为：
100
1
1
2
-
．
22．在数轴上标出表示下列各数的点．
0，
2
2
-
，3.75，
2
3
- | - | ，
2
1
-
，
5
- -
，
2
15
-
(1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来．
(2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．
(3)
【答案】(1)
2
2
2
2
3
2
1
0
1
3.75
5
5
- -
< -
< -
<
< -
<
< - -
，数轴表示见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理
数，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小；
（2）根据正数、整数、负数的定义即可．
【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示：
2
2
2
2
3
2
1
0
1
3.75
5
5
- -
< -
< -
<
< -
<
< - -
．
（2）解：如图所示：
23．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用
【规律探寻】
观察一组数
1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，1
30 ，…，尝试分析其规律并解决相关问题．
（1）根据规律，第8 个数是______，1
156 是第______个数；
（2）我们知道：1
1
1
1 2
2
= -
´
，
1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，
1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，…，那么：用含有n 的式子表示你发现的规律
______；
【方法应用】
1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
+
+
+
+
´
´
´
´
´
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
= -
+
-
+
-
+
-
+
-
1
5
1
6
6
= -
=
．这种方法叫“裂项相消”，构造
只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
（3）运用上述经验完成下面的计算：1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
2024 2025
+
+
+×××+
+
´
´
´
´
´
．
【答案】（1）1
72 ；12；（2）
1
1
1
(
1)
1
n n
n
n
=
-
+
+ ；（3）2024
2025
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律；
（2）从前面几个式子中找出规律，用n 表示即可；
（3）利用拆项求求解．
【详解】（1）解：1
1
2
1 2
= ´
，
1
1
6
2 3
=
´
，
1
1
12
3 4
=
´
，
1
1
20
4 5
=
´
，
1
1
30
5 6
=
´
，
…
第8 个数：
1
1
8
9
72
=
´
；
1
1
156
12 13
=
´
是第12个数，
故答案为：1
72 ；12．
（2）我们知道：1
1
1
1 2
2
= -
´
，
1
1
1
2 3
2
3
=
-
´
，
1
1
1
3 4
3
4
=
-
´
，…，那么：用含有n 的式子表示你发现的规律：
1
1
1
(
1)
1
n n
n
n
=
-
+
+ ，
故答案为：
1
1
1
(
1)
1
n n
n
n
=
-
+
+ ．
（3）1
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
2023 2024
2024 2025
+
+
+×××+
+
´
´
´
´
´
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2023
2024
2024
2025
= -
+
-
+
-
+×××+
-
+
-
1
1
2025
= -
2024
2025
=
．
24．如图，数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存
在一点P，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n，则称点P 为点A、B 的“n 格距点”．例
如：在图1 中，点P 表示的数是1
- ，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为1
4
5
+
=
，则称点P 为
小学
初中
点A、B 的“5 格距点”．
(1)若点P 表示的数是2，则n 的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点P 有______个；
(3)若点P 为数轴上一点，且点P 到点B 的距离为1，求点P 表示的数及n 的值；
(4)若点P 在数轴上运动，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的2 倍，且此时点P 为点A、B 的
“n 格距点”，求点P 表示的数及n 的值．
【答案】(1)5
(2)6
(3)点P 表示的数为2 或4，
5
n =
或7
(4)点P 表示的数为
1
3
-
或7
- ，
5
n =
或15
【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理
解题意，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意可求出点P 到点A 的距离与点B 到点的距离之和为5，即可求解；
（2）根据题意可得出，即说明点P 在线段AB 上，从而得出整点所表示的数；
（3）由题意可求出点P 表示的数是2 或4，进而即可求出n 的值；
（4）分两种情况讨论：当P 在AB 之间时，
5
AB =
，点P 表示的数为
1
3
-
，此时
5
n =
；当P 在点A 左边时，
5
PA
AB
=
=
，点P 表示的数为7
- ，此时
15
n =
．
【详解】（1）解：∵点P 表示的数为2，点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，
∴点P 到点A 的距离为4，到点B 的距离为1，
∴点P 到点A 的距离与点B 到点的距离之和为1
4
5
+
=
，
∴点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
n =
，
故答案为：5．
（2）解：∵整点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
PA
PB
+
=
，即P 在线段AB 上，
∴整点P 所表示的数是2, 1
-
- ，0，1，2，3，共6 个，
故答案为：6．
（3）解：∵点P 到点B 的距离为1，
∴点P 表示的数为2 或4，
①当点P 表示的数为2 时，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为4 1
5
+ =
，此时
5
n =
；
②当点P 表示的数为4 时，点P 到点A 的距离为4
( 2)
6
- -
=
，到点B 的距离为4
3
1
-
= ，
\点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为6 1
7
+ =
，此时
7
n =
；
\点P 表示的数为2 或4，
5
n =
或7．
（4）解：①当P 在AB 之间时，
5
AB =
，点P 表示的数为：
2
1
3
3
( 2)
3
3
-
- -
´
= -
，此时
1
1
( 2)
3
(
)
5
3
3
n = -
- -
+ - -
=
；
②当P 在点A 左边时，
5
PA
AB
=
=
，点P 表示的数为：2
5
7
- -
= - ，此时
5 10
2
( 7)
3
( 7)
15
n =
+
= - - -
+ - -
=
．
\点P 表示的数为
1
3
-
或7
- ，
5
n =
或15．
25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决
问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数x ，y ，z 满足
0
xyz >
，求x
y
z
x
y
z
+
+
的值．
【解决问题】解：由题意，得x ，y ，z 三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当x ，y ，z 都为正数，即
>
>
>
0
0
0
x
，y
，z
时，
1 1 1
3
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
= + + =
；
②当x ，y ，z 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
0
0
x
，y
，z
>
<
<
，
1
1
1
1
y
x
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
-
+
+
=
+
+
= + -
+ -
= - ．
综上所述，x
y
z
x
y
z
+
+
的值为3 或1
- ．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知x ，y 是不为0 的有理数，当xy
xy
= -
时，
y
x
x
y
+
= ．
(2)已知x ，y ，z 是有理数，当
0
xyz <
时，求
x
y
z
x
y
z
+
+
的值；
(3)已知x ，y ，z 是有理数，
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz <
，求y
z
z
x
x
y
+
+
+
的值．
【答案】(1)0
(2)1 或3
-
(3)0 或2
【分析】（1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定x ，y 异号，然后根据绝对值的意义进行化简即
可；
（2）根据有理数乘法运算法则判断x ，y ，z 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论
即可；
（3）根据有理数加法和乘法运算法则判断x ，y ，z 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简即可．
本题主要考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．
【详解】（1）解：∵xy
xy
= -
，且x ，y 是不为0 的有理数，
∴
0
xy <
，即x ，y 异号，
不妨设
0
x >
，
0
y <
，
∴
1 1
0
y
x
x
y
x
y
x
y
-
=
+
-
=
=
+
，
故答案为：0；
（2）解：
0
xyz <
，且x ，y ，z 是有理数，
∴x ，y ，z 三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当x ，y ，z 三个有理数均为负数时，即
0
x <
，
0
y <
，
0
z <
，
∴原式
x
y
z
x
y
z
=
+
+
-
-
-
1 1 1
= - - -
3
-
=
；
②当x ，y ，z 中一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
0
x <
，
0
y >
，
0
z >
，
∴原式
x
y
z
x
y
z
=
+
+
-
1 1 1
= - + +
1
= ；
综上所述，
x
y
z
x
y
z
+
+
的值为1 或3
- ；
（3）解：∵
0
x
y
z
+
+
=
，
0
xyz <
，且x，y，z 是有理数，
∴x，y，z 中一个为负数，另两个为正数，
0
x
y
z
+
+
=
Q
\
+
= -
+
= -
,
y
z
x x
z
y ；
①当x，y 均为正数，即
0
0
，
x
y
>
>
时，
∴原式＝
1 1
2
x
y
x
x
y
x
y
y
-
-
+
=
+
= + =
②当x，y 一正一负时，不妨设
0
0
x
y
>
<
，
，
原式＝
1
1
0
x
y
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
=
+
= + -
=
；
综上所述，y
z
z
x
x
y
+
+
+
的值为0 或2．
