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2026-2027 学年七年级上册数学单元自测
第二章 有理数的运算·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．2026 的倒数是（ ）
A．2026
-
B．2026
C．
1
2026
-
D．
1
2026
2．下列运算错误
．．的是（ ）
A．2
2
0
- +
=
B．
4
4
1
-
¸
= -
C．
3
3
0
- -
=
D．
2
2
4
´ -
= -
3．每年的3 月14 日是“圆周率日”．谷歌在3 月14 日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4 万亿位．其中
数值31.4 万亿可用科学记数法表示为（ ）
A．
12
3.14 10
´
B．
12
31.4 10
´
C．
13
3.14 10
´
D．
13
31.4 10
´
4．数M 和数N 在直线上的对应点的位置如图．
下面选项中，结果最大的是（ ）
A．M
N
+
B．M
N
¸
C．N
M
-
D．N
M
´
5．下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．
1
1
6
3
4
æ
ö æ
ö
-
´ +
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
B．
1
2
1
6
5
5
3
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
´ +
´ -
´ -
´ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
C．
1
3
7
0
2
æ
ö
-
´ -
´ -
´
ç
÷
è
ø
D．
1
4
1
9
7
8
7
3
æ
ö æ
ö
æ
ö
-
´ +
´ -
´ +
´ -
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
6．在
2
2
- -
，
7
- -
，
1
- + ，
2
3
-
，
11
5
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø 中，负数的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
7．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6 枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒
上面写着净含量6 70
´
克，她们把6 枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足
标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（ ）．
第n 枚
1
2
3
4
5
6
质量偏
0.7
-
0.2
+
0.8
+
0.4
-
0.6
-
1
+
差/克
A．420.3 克
B．423 克
C．420 克
D．417 克
8．定义
3
*
2
a b
a
b
=
¸
-
，例如
3
5*3
5
3
2
125
=
¸
-
=
，则
3 *11
-
的结果为（ ）
A．1
-
B．3
-
C．1
D．3
9．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1 的数．以“快
乐数”70 为例：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
0
49
4
9
97
9
7
130
1
3
0
10
1
0
1
+
=
Þ
+
=
Þ
+
=
Þ
+
+
=
Þ
+
= ，则下列数中不是“快
乐数”的是（ ）
A．3
B．7
C．13
D．31
10．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（ ）
①
0
a
b
-
>
；②b
a
>
；③
0
ab <
；④
1
>
a
b
．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：8
9
- -
= ____________
12．若有理数a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，则
2024
c
d
ab
+
-
= __________．
13．对于有理数a 、b ，定义运算“※”如下：
ab
a
b
a
b
=
+
※
（其中
0
a
b
+
¹
），则2 3 =
※
______
14．按如图所示的程序进行计算，若输入x 的值是2
- ，则输出y 的值是___________．
15．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，
形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算1 3
5
7
9 11
+ +
+
+
+
时，可以联想到图（1），
则
2
1 3
5
7
9 11
6
36
+ +
+
+
+
=
=
．请观察图（2），计算1
1
1
1
2
4
8
16
+
+
+
= _____．
16．已知|
| 4
x =
，
1
|
|
2
=
y
，x
y
<
，则x
y 的值等于____________．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
5
7
1
48
1
6
12
8
æ
ö
-
´
- +
-
ç
÷
è
ø；
(2)
2
3
2026
1
1
1 0.5
10
2
1
3
é
ù
-
-
-
´
´
- -
- -
ë
û
．
18．在数轴上表示下列各数，再用“<”连接起来．
1
2 3
-
，
1.75
- -
，
3
- - ，
2
3
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
．
19．把下列各数填入相应的大括号里．
3.14，
2
3
-
，15% ，0 ，0.40
-
，
2
2
-
，10，π
- ，
4
15 ，4
- ．
整数集合：{________…}；
分数集合：{________…}；
非正有理数集合：{________…}．
20．小河和小北计算
3
2
15
5 ( 3)
6
2
3
æ
ö
¸ ´ -
-
¸
-
ç
÷
è
ø
的过程如下．
小河的解答
3
2
15
5 ( 3)
6
2
3
æ
ö
¸ ´ -
-
¸
-
ç
÷
è
ø
解：原式
5
15
( 15)
6
6
=
¸ -
-
¸
……第一步
1 5
= - - ……第二步
6
= - ……第三步
小北的解答
3
2
15
5 ( 3)
6
2
3
æ
ö
¸ ´ -
-
¸
-
ç
÷
è
ø
解：原式
3 ( 3)
(4
9)
=
´ -
-
-
……第一步
9
( 5)
= - - - ……第二步
4
= - ……第三步
(1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出
现错误；
(2)请你正确计算该题．
21．对于任意有理数a ，b ，我们规定：
2
2
a
b
a
b
Ä
=
-
．
例如：
2
3
4
3
2
4
9
8
1
Ä
=
-
´
=
-
= ；
2
6
8
6
2 8
36 16
20
Ä
=
- ´
=
-
=
．
(1)计算：
2
3
-
Ä
= ；
(2)计算：
1
5
2
5
2
8
é
ù
æ
öÄ
Ä
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
22．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明
家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7 天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km 为标准，多于50km 的
记为“+”，不足50km 的记为“-”，刚好50km 的记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km ）
8
-
12
-
16
-
0
22
+
31
+
33
+
(1)这7 天里路程最多的一天比最少的一天多走______ km ；
(2)请求出小明家的新能源汽车这7 天一共行驶了多少千米?
(3)已知汽油车每行驶100km 需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km 耗电量为15度，
每度电为0.56 元，请估计小明家换成新能源汽车后这7 天的行驶费用比原来节省多少钱?
23．小明有5 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中抽取2 张卡片，将2 张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最
大值是多少？
(2)从中抽取3 张卡片，使这3 张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？
(3)从中抽取4 张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “ + ”、“－”、“´”、“ ¸ ”运算，
使其结果等于24 ．（写出一种情况即可）
24．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如
2
2
2
3
3
3
3
¸
¸
-
¸ -
¸ -
¸ -
，
等．类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸ 记作
32 读作“2 的3 次商”，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
记作
4
( 3)
-
，读作
“ 3
- 的4 次商”，一般地，把n 个
0
a a ¹
（
）记作
na 读作“a 的n 次商”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：
32 = ______，
4
3
-
= ______；
(2)关于除方，下列说法错误的是______；
①任何非零数的2 次商都等于1；②对于任何正整数n，( 1)
1
n
-
= - ；③
4
3
3
4
=
；④负数的奇数次商结果是
负数，负数的偶数次商结果是正数．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
æ
ö
=
¸
¸
¸
=
´
´
´
= ç
÷
è
ø
；
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
4
( 3)
-
= ______；
5
1
7
æ
ö =
ç
÷
è
ø
______；
(4)求
3
3
5
3
1
1
1
1
5
2
3
4
4
æ
ö
æ
ö
æ
ö
¸ -
´ -
+ -
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
．
25．如图①，点A、B 在数轴上对应的数分别为a、b，且
2
10
4
0.
a
b
+
+
-
=
(1)填空：a＝ ，b＝ ；
(2)若将该数轴沿着点C 折叠，如图②所示，使得点A、点B 能重合．已知点D 也为该数轴上的一点，沿着
点C 进行同样的折叠后，与数轴上的点E 重合．若点E 与点A 之间相距3 个单位长度，则点D 所表示的数
为 ；
(3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C 还原
．．．有一机器猫从点D 沿数轴向左运动，同时一电子狗从对
应的点E 沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E 再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器
猫每秒运动1 个单位长度，电子狗每秒运动1.5 个单位长度，当机器猫到点E 处停止运动，此时电子狗也停
止运动．求电子狗运动的路程．
