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专题02 数轴的综合应用
（题型突破·举一反三）
题型01 数轴上的点与有理数对应
题型02 数轴上点的平移与距离
题型03 利用数轴比较数的大小
题型04 数轴与相反数/绝对值的结合
题型05 数轴上的规律探究
题型06 两点间距离公式（中点公式）
题型07 数轴上的动点初步
题型08 数轴背景下的综合解答题
▌题型01 数轴上的点与有理数对应
1. 定义定理
规定原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。
任意有理数都能在数轴找到唯一对应点；数轴上的点不全是有理数（含无理数）。
原点右侧为正数，原点左侧为负数，原点表示 0。
2. 核心推论
点 𝑥 到原点的距离等于该数的绝对值：点 𝑥 到原点距离 = |𝑥|。
求两点之间整数：筛选介于两数之间的整数，不重复、不漏数。
3. 注意要点
数轴单位长度全程统一；描点画实心圆点，必须标注向右正方向箭头。
4. 易错点
① 误认为数轴上所有点都代表有理数
② 统计区间整数时漏数、重复计数
③ 混淆数轴左右数字大小关系（左小右大）
【典例1】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数
轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5
B．−0.5
C．−1.5
D．−2.5
【变式1-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M 表示的数可能是（ ）
A．−1
B．0.5
C．1.5
D．2
【变式1-2】（25-26 七年级上·山东德州·期中）在数轴上，M 为表示−2的点，N 在M 左面3 个单位长度，
Q 为距离N 为5 个单位长度的点，Q 所表示的数是___________．
【变式1-3】（24-25 七年级上·浙江温州·阶段检测）小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的
整数的个数为______个．
▌题型02 数轴上点的平移与距离
1. 平移定理
数轴上数字平移规则：右加左减
点 𝑥 向右移动 𝑎 个单位：𝑥+ 𝑎
点 𝑥 向左移动 𝑎 个单位：𝑥−𝑎
2. 两点距离公式
设点 𝐴 表示数 𝑎，点 𝐵 表示数 𝑏，两点间距离：
𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|
推论：若 𝑎> 𝑏，距离可简写为 𝑎−𝑏（大数减小数）。
3. 图形平移推论
图形沿数轴平移的距离 = 图形任意一组对应点的数轴数值差。
4. 注意要点
无指定平移方向时，必须分向左、向右两种情况分类讨论。
5. 易错点
① 平移法则记反，左加右减
② 计算距离省略绝对值，直接两数相减
③ 多段连续平移列式顺序混乱
【典例1】（25-26 七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）数轴上的点𝐴沿数轴向右移动7 个单位后到达点𝐵，
且点𝐵到原点的距离为1，若数轴上的点𝐶到点𝐴和到原点的距离相等，则点𝐶表示的数是_____．
【变式1-1】（2025 七年级下·安徽合肥·竞赛）数轴上𝐴点到原点的距离是3，𝐵点到原点的距离是4，则
线段𝐴𝐵= ________．
【变式1-2】（25-26 七年级下·山东滨州·期末）在数轴上，点A 平移4 个单位长度后，所得对应的点B
表示的数是3，则点A 表示的数为________．
【变式1-3】（25-26 七年级下·浙江·期末）如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷平移到长方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的位置，则平移
的距离是___________．
【变式1-4】（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴
上水平移动，当𝐴点移动到𝐵 点时，𝐵点所对应的数为15，当𝐵点移动到𝐴点时，𝐴点所对应的数为3（单位：
单位长度），由此可得
(1)玩具火车的长为_______________个单位长度；
(2)用上题思考方法解决下面问题：
一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40 年才出生呢；你若是我现在这么
大，我已是老寿星，116 岁了！”奶奶的年龄为_____________________．
▌题型03 利用数轴比较数的大小
1. 数轴比较定理
数轴上右侧的数一定大于左侧的数：
点 𝑀 在点 𝑁 右侧⟺𝑚> 𝑛
2. 通用大小推论
正数 > 0 > 负数；正数大于全部负数；两个负数，绝对值大的数值更小。
作差判定大小：
𝑎−𝑏> 0⟺𝑎> 𝑏, 𝑎−𝑏= 0⟺𝑎= 𝑏, 𝑎−𝑏< 0⟺𝑎< 𝑏
3. 注意要点
化简多重符号、绝对值后再比较；比较前统一单位。
4. 易错点
① 两个负数比较，直接认为绝对值大数更大
② 数轴找点位置判断错误
③ 多重符号化简出现符号错误
【典例1】（25-26 七年级下·河北邢台·期末）先阅读图1 中的方法，再解题．如图2，在数轴上，点𝐴,𝐵
分别表示数1，𝑥，则−𝑥+ 2与1 的大小关系为（ ）
A．−𝑥+ 2 > 1
B．−𝑥+ 2 ≥1
C．−𝑥+ 2 < 1
D．−𝑥+ 2 ≤1
【变式1-1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知𝑎、𝑏 、𝑐 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几
个判断：① 𝑎< 𝑐< 𝑏 ；② 𝑎𝑐< 0 ；③ |𝑎−𝑏| = 𝑎−𝑏 ；④ |𝑏| + |𝑐| = 𝑏+ 𝑐 ；⑤ 𝑎2 +1的值一定是正
数．其中正确的个数有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式1-2】（25-26 七年级·全国·暑假作业）有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．把−𝑎，
−𝑏，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．−𝑎< 0 < −𝑏
B．0 < −𝑎< −𝑏
C．−𝑏< 0 < −𝑎
D．0 < −𝑏< −𝑎
【变式1-3】（25-26 七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F 在数轴上分别对应下列各数：
0，|−3.5|，−3.75，−( +4)，−(−5)，−2
1
2．
(1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母）
(2)用“<”号把这些数连接起来．
【变式1-4】（24-25 七年级上·四川宜宾·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小．
−2，1，−
1
2，3.5，2
1
2，0
▌题型04 数轴与相反数/绝对值的结合
1. 相反数几何定理
互为相反数的两点在数轴上关于原点对称，到原点距离相等：
𝑎、−𝑎 到原点距离相等⟺|𝑎| =|−𝑎|
代数性质：𝑎+ 𝑏= 0⟺𝑎、𝑏 互为相反数；0 的相反数是 0。
2. 绝对值化简定理
正数与 0 的绝对值为本身：𝑥≥0⟹|𝑥| = 𝑥
负数的绝对值为其相反数：𝑥< 0⟹|𝑥| = −𝑥
3. 数轴折叠推论
数轴折叠后重合两点的中点为折点，中点公式：
中点数值= 𝑚+ 𝑛
2
4. 注意要点
去绝对值前先根据数轴判断代数式正负；折叠问题优先求中点。
5. 易错点
① 化简绝对值不判断内部正负，直接去掉符号
② 折叠问题不会利用中点公式计算
③ 混淆相反数、绝对值几何含义
【典例1】（25-26 七年级上·广东揭阳·阶段检测）有理数𝑎、𝑏、𝑐在数轴上的位置如图所示，则化简
|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑐|−|𝑏−𝑐|
【变式1-1】（2024 七年级上·江西赣州·竞赛）已知有理数a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，那么
|𝑏−𝑎| + |𝑎+ 𝑐| + |𝑐−𝑏|的化简结果是_________．
【变式1-2】（2025 七年级上·福建宁德·竞赛）a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式
正确的个数有（ ）
①|𝑎−𝑏| > |𝑎−𝑐|；②𝑎−𝑏−𝑐> 0；③
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑐|
𝑐= −1；④|𝑎+ 𝑏|−|𝑏−𝑐|−|𝑎−𝑐| = 0．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【变式1-3】（24-25 七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，数轴上的点𝐴，𝐵分别对应有理数𝑎，𝑏，下列
结论正确的是（ ）
A．𝑎> 𝑏
B．|𝑎| > |𝑏|
C．−𝑎> 𝑏
D．−𝑏< −𝑎
【变式1-4】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有𝐴，𝐵，𝐶三点，其中点𝐴，𝐵分别表示数−6，
−2，现以点𝐶为折点将数轴向右对折（如图），若点𝐴的对应点𝐴′刚好与点𝐵重叠，则点𝐶表示的数是（ ）
A．0
B．−5
C．−3
D．−4
▌题型05 数轴上的规律探究
1. 周期规律定理
数轴滚动、循环移动类问题，先计算循环周期长度，再用总长度 ÷ 周期，根据余数判断对应点。
2. 动点移动推论
成对往返移动：每两次移动的结果可合并简化计算；分段移动需分段列出对应点表达式。
3. 线段覆盖整数推论
长度为 𝐿 的线段：端点均为整数时覆盖 𝐿+ 1 个整数；端点非整数时覆盖 𝐿 个整数。
4. 注意要点
周期计算余数为 0 时，对应周期末尾点；动点需区分奇偶次移动。
5. 易错点
① 周期计算错误，余数对应顶点判断颠倒
② 线段覆盖整数个数规律记混
【典例1】（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形𝐴𝐵𝐶，
设点𝐴表示的数为−5，点𝐵表示的数为−4，点𝐶表示的数为−3，若将△𝐴𝐵𝐶向右继续滚动，则数轴上2026
对应的点是（ ）
A．𝐴点
B．𝐵点
C．𝐶点
D．都有可能
【变式1-1】（25-26 七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4 个单位长度，A，B，C，D
是圆周的4 等分点，其中点A 与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D 能与
数轴上的数字2026 所对应的点重合的是点（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
【变式1-2】（25-26 七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动：
第1 次：向右移动1 个单位；
第2 次：向左移动4 个单位；
第3 次：向右移动7 个单位；
第4 次：向左移动10 个单位；
．．．
记移动𝑘次后，动点的位置记为𝑃𝑘．对任意正整数𝑛，点𝑃2𝑛与𝑃2𝑛−1的距离为___________．（用含𝑛的式子
表示）
【变式1-3】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝐷= 4，且边𝐴𝐷在
数轴上，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点𝐴第一次落回到数轴上，记为𝐴1；继续
翻滚，点𝐴第二次落回到数轴上，记为𝐴2；……；以此类推．
(1)若点𝐴与原点重合，点𝐴1表示的数为_____．
(2)若点𝐴表示的数为𝑎，点𝐴𝑛表示的数为_____，
【变式1-4】（25-26 七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点𝐴，𝐵分别表示有理数𝑎，𝑏，且|𝑎| = 5，
|𝑏| = 2．
(1)求𝑎，𝑏的值；
(2)𝐴，𝐵两点相距多少个单位长度？
(3)若点𝐶在数轴上，且点𝐶到点𝐵的距离是点𝐶到点𝐴的距离的
1
3，求点𝐶表示的数；
(4)点𝑃从点𝐴出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，
第4次向右移动4个单位长度，⋯，依次操作2025次后，求点𝑃表示的数．
▌题型06 两点间距离公式（中点公式）
1. 距离通用公式
数轴两点 𝑎、𝑏 距离：𝐴𝐵=|𝑎−𝑏|
2. 中点核心公式
A(𝑎)、B(𝑏) 中点表示的数：
𝑀= 𝑎+ 𝑏
2
3. 最值推论
|𝑥−𝑚| +|𝑥−𝑛| 最小值为 |𝑚−𝑛|，当 𝑥 在 𝑚、𝑛 之间（含端点）时取得最小值。
4. 注意要点
距离永远非负；折叠、中点、对称类题目优先使用中点公式。
5. 易错点
① 求中点时分母 2 遗漏
② 绝对值求和最小值判断错误
【典例1】（2026·湖南株洲·三模）如图，数轴上𝐴、𝐵两点分别位于原点两侧，且𝑂𝐴= 𝑂𝐵，若点𝐴表示
的数是10，则𝑂𝐵的中点𝐶表示的数是________．
【变式1-1】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A 表示的数是x，点B 表示的数是2，|𝑥−2|
表示A，B 两点间的距离，则|2𝑥−6| + |2𝑥+ 4|的最小值为________．
【变式1-2】（2024 七年级·湖南长沙·竞赛）若|𝑎|−|𝑏|=1，且3|𝑎|=4|𝑏|，则在数轴上表示𝑎，𝑏两数的对
应点的距离为____．
【变式1-3】（2023 七年级上·福建宁德·竞赛）A、B、C 三点在数轴上对应的数分别是2、4、x，若相邻
两点的距离相等，则𝑥= ______．
【变式1-4】（24-25 七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，𝐴、𝐵两点在数轴上，𝐴表示的数为−10，𝐵表
示的数为14．
(1)𝐴、𝐵两点间的距离是______．
(2)若把点𝐴先向右移动15个单位，再向左移动12个单位，然后又向左移动1.5个单位，此时点𝐴表示的数是
______；
(3)如图，以点𝐶为折点，将此数轴向右对折，若点𝐴和点𝐵之间的距离是1，则𝐶点表示的数是______．
▌题型07 数轴上的动点初步
1. 动点表达式定理
设起点表示数 𝑥0，运动速度 𝑣，运动时间 𝑡：
向右运动：𝑥= 𝑥0 + 𝑣𝑡 向左运动：𝑥= 𝑥0−𝑣𝑡
2. 中点判定推论
若 𝑀 是 𝐴、𝐵 中点，则 2𝑥𝑀= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵；分三点轮换讨论中点可能性。
3. 距离方程推论
两点距离为定值 𝑘，列方程：|𝑥1(𝑡)−𝑥2(𝑡)| = 𝑘，分两种情况解方程。
4. 注意要点
动点问题必须设时间 𝑡 表示各点数值；有"中点"条件时分三类讨论。
5. 易错点
① 动点左右移动符号写反
② 中点问题漏一种分类情况
③ 绝对值方程只解一个结果，遗漏另一解
【典例1】（25-26 七年级上·四川广安·期末）如图，数轴上点A，B，O 表示的数分别是−6,−2,0，动点
P，Q 同时从点A，B 出发，分别以每秒3 个单位长度和每秒1 个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，
下列数量关系一定成立的是（ ）
A．𝑂𝑄=
1
2𝑃𝑄
B．𝑂𝑄= 2𝑃𝑄
C．𝑂𝑃=
1
2𝑃𝑄
D．𝑂𝑃= 2𝑃𝑄
【变式1-1】（23-24 七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在数轴上点𝐴对应的数为−20，点𝐵对应的数
为8，点𝐷对应的数为−2，𝐶为原点．
(1)𝐴，𝐵两点间的距离是______，𝐵，𝐷两点的中点所对应的数是______；
(2)若点𝐵以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则𝑡秒时，点𝐵走到的位置所对应的数是______（用
含𝑡的代数式表示）；
(3)若点𝐴，𝐵都以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点𝐶不动，𝑡秒时，𝐴，𝐵，𝐶中有一点是
三点所在线段的中点，则𝑡的值为______．
【变式1-2】（22-23 七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，数轴上A 点表示的数是−2，B 点表示的数是
5，C 点表示的数是10．
(1)若要使A、C 两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____．
(2)若此时恰有一只老鼠在B 点，一只小猫在C 点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A 方向
逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小
猫在移动过程中分别与点A 之间的距离．
【变式1-3】（25-26 七年级下·黑龙江大庆·期中）【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，已知结论：数轴上点𝐴、𝐵表示的数分别为
𝑎、𝑏，则𝐴、𝐵两点之间的距离𝐴𝐵= |𝑎−𝑏|；线段𝐴𝐵的中点表示的数为
𝑎+𝑏
2
(1)【知识运用】点𝐴、𝐵表示的数分别为𝑎、𝑏，若(𝑎+ 5)2 + |𝑏−7| = 0，则𝐴、𝐵两点之间的距离为_____；
线段𝐴𝐵的中点表示的数为_____
(2)【拓展迁移】：在（1）的条件下，动点𝑃从点𝐴出发以每秒3 个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点𝑄
从点𝐵出发以每秒5 个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为𝑡，点𝑀是线段𝑃𝑄的中点．
①点𝑀表示的数是_____（用含𝑡的代数式表示）；
②在运动过程中，点𝐴、𝑃、𝑄中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间𝑡；
③线段𝑃𝑄、𝐴𝑀的长度随时间𝑡的变化而变化，当点𝑄在点𝑃左侧时，存在常数𝑚，使𝐴𝑀−𝑚𝑃𝑄为定值，请直
接写出常数𝑚的值和该定值．
【变式1-4】（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，
培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课
间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1 次．将这条直线看成数轴，起点记为𝑀，折返点记为𝑁，主席台记
为𝑂，两位同学分别记为点𝑃，𝑄，若动点𝑃，𝑄从𝑀同时出发向𝑁点运动，到达𝑁点后折返到𝑀点．已知：数
轴上点𝑀、𝑁对应的数为𝑚、𝑛，且满足|𝑚+ 20| + (𝑛−40)2 = 0，点𝑂对应的数为𝑘,𝑘的相反数等于本身．
(1)直接写出𝑚、𝑛、𝑘的值；
(2)设点𝑃在数轴上对应的数为𝑥，那么当𝑥为多少时能使得𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50？
(3)已知点𝑃的速度为3 个单位长度/秒，点𝑄的速度为2 个单位长度/秒，当动点𝑃到达点𝑁后，点𝑄开始改变
速度，以𝑎个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，𝑃，𝑄两点相距2 个单位长度，求𝑎的值．
▌题型08 数轴背景下的综合解答题
1. 数形结合核心定理
所有绝对值、相反数、距离问题均可转化为数轴上点的位置关系求解。
2. 折叠通用推论
若两点折叠重合，则两点到折中点距离相等，折中点为两点中点。
3. 往返运动推论
往返行程分段表示对应数值，分段临界点为到达端点的时间。
4. 注意要点
多小问综合题分步列式；含绝对值方程必须分类去绝对值。
5. 易错点
① 折叠问题不会利用中点建立等量关系
② 往返动点不分段直接列式
③ 多绝对值求和漏区间分类讨论
【典例1】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）电子跳蚤在数轴上的点𝐾0，第一步向左跳一个单位到
𝐾1，第二步由𝐾1向右跳2 个单位到𝐾2．第三步由𝐾2向左跳3 个单位到𝐾3，第四步由𝐾3向右跳4 个单位到
𝐾4……，按以上规律跳了100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点𝐾100所表示的数恰好是2016
(1)求电子跳蚤的初始位置𝐾0点所表示的数
(2)在数轴上，某条线段的长度为𝐾0所表示的数，则这条线段覆盖的整数有多少个？
【变式1-1】（25-26 七年级上·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少
直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，
它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点𝐴到点𝐵的距离记为𝐴𝐵，
线段𝐴𝐵的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点𝐴，𝐵，𝐶在数轴上表示的数分别是1，−
5
2，−3，则
𝐴𝐵= 1−−
5
2 =
7
2．
请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题：
【发现问题】
(1)①若将数轴折叠，使表示数2 的点与表示数−2的点重合，则此时点𝐴与表示数__________的点重合；
②数轴上，与点𝐴的距离为3 的点表示的数是__________．
【探究问题】
(2)①若将数轴折叠，使得点𝐴与点𝐶重合，则与点𝐵重合的点表示的数是__________；
②在①的情况下，若此数轴上𝐸，𝐹两点间的距离为2000（点𝐸在点𝐹的左侧），且当点𝐴与点𝐶重合时，点𝐸
与点𝐹也恰好重合，求𝐸，𝐹两点表示的数．
③在②的情况下，在数轴上找到一点𝐺，当𝐺𝐸+ 𝐺𝐹= 2025时，求点𝐺表示的数．
(3)已知数轴上𝑃，𝑄两点间的距离为𝑚（点𝑃在点𝑄的左侧），表示数𝑛的点到𝑃，𝑄两点的距离相等，若将数
轴折叠，使得点𝑃与点𝑄重合，则𝑃，𝑄两点表示的数分别是__________，__________，（用含𝑚，𝑛的代数式
表示）
【变式1-2】（25-26 七年级上·湖北咸宁·期末）如图：在数轴上点𝐴表示数𝑎，点𝐵表示数𝑏，点𝐶表示数𝑐，
𝑐是最大的负整数，且𝑎、𝑏满足|𝑎+ 3| + (𝑏−5)2 = 0．
(1)𝑎= _________，𝑏= _________，𝑐= _________；
(2)若将数轴折叠，使得点𝐴与点𝐵重合，则点𝐶与数_________表示的点重合；
(3)若点𝑃、𝑄同时从点𝐵，𝐶开始在数轴上分别以每秒2 个单位长度和每秒3 个单位长度的速度一起向右运动，
假设运动时间为𝑡秒：
①点𝑃与点𝑄之间的距离表示为𝑃𝑄，当𝑃𝑄= 2时，求𝑡的值；
②如果𝑃、𝐵、𝑄三点中有一点是另外两点所构成线段的中点时，就称𝑃、𝐵、𝑄为一组“关联点”，当𝑃、𝐵、
𝑄为一组“关联点”时，求𝑡的值．
【变式1-3】（25-26 七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴
上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴．
(1)【初步探究】按下列要求折叠纸面．
①若折叠后数2 对应的点与数−2对应的点重合，则此时数−5对应的点与数_______对应的点重合；
②若折叠后数−4对应的点与数6 对应的点重合，则此时数0 对应的点与数_______对应的点重合；
③在数轴上，A，B 两点之间的距离为14（点B 在点A 的右侧），若如②这样折叠后点A 与点B 重合，则点
A 表示的数是_______，点B 表示的数是_______．
(2)【深入探究】
在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度在数轴上匀速运
动，设运动时间为𝑡s（(𝑡> 0)）．
①若动点P 从点B 出发向右运动，当t 为何值时，A，P 两点之间的距离为18 个单位长度？
②若动点P 从点B 出发向左运动，当t 为何值时，A，P 两点之间的距离为2 个单位长度？
【变式1-4】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）阅读与理解
为提升校园内的快递配送效率，某大学引入了一辆智能快递小车．它以数轴模型规划路线：
以快递中心为原点𝑂，向东为正方向．小车执行如下智能往返模式．
第一步：从原点𝑂出发，以每秒1个单位长度的速度匀速驶向快递投放点𝐴（点𝐴对应的数
为𝑎，𝑎> 0）；
第二步：到达点𝐴后立即掉头，以每秒2个单位长度的速度匀速返回原点𝑂；
第三步：到达原点𝑂后再次掉头，以每秒1个单位长度的速度驶向点𝐴…如此不断往返．
设运动时间为𝑡秒（𝑡≥0），小车所在位置对应的数为𝑝．
请根据以上材料，解答下列问题：
(1)【初步体验与规律探究】
当𝑎= 8时，点𝑃第一次到达点𝐴时𝑡的值是_____；当𝑡= 9时，点𝑃表示的数是______．
(2)【模型建立与综合应用】
请从任务Ⅰ，任务Ⅱ两题中任选一题作答，我选择______题．
任务Ⅰ．
①用含𝑎的式子表示点𝑃第一次到达点𝐴所需的时间𝑡为_____秒；
②点𝑃第一次返回过程中，从𝐴到原点𝑂共需_____秒；
③设点𝑃在运动过程中表示的数为𝑝，当0 ≤𝑡≤3𝑎时，试用含𝑡、𝑎的式子表示𝑝．（提示：需分段考虑点𝑃的
不同运动阶段）
任务Ⅱ．我们定义一种新的运算⊕，用于描述智能往返点的运动特征：𝑚⊕𝑛表示：目标点为𝐴（对应数为
𝑛）的智能往返点，从原点出发，到第𝑚次（𝑚为正整数）与原点重合时，所经历的总时间．例如：1 ⊕8表
示目标点为8时，点𝑃第1次回到原点的时间．
①计算：2 ⊕8 = ______；
②若3 ⊕𝑎= 45，则𝑎= _____．
③猜想：对于任意正整数𝑚，𝑚⊕8的结果能被哪个正整数整除？并说明理由；
【变式1-5】（25-26 七年级上·山东济南·期末）如图，A 点、B 点是数轴上的两个定点，其中点A 表示
的数是−5，点B 表示的数是1，若在数轴上存在一点 P，使得点P 到点A 的距离等于点 P 到点B 的距离的
m 倍(m 是正整数)，则称点P 为点A、B 的“m 级幸运点”．例如图1 所示，若点P 表示的数为0，因为P
到A 的距离等于P 到B 距离的5 倍，则称点 P 为点 A、B 的“5 级幸运点”
(1)若点P 为点A、B 的“m 级幸运点”，且点 P 在数轴上表示的数为-1，则 𝑚=
；
(2)若点 P 是数轴上点A、B 的“3 级幸运点”，求点 P 表示的数．
(3)点P 在数轴上表示的数为−1，若点A 在数轴上以每秒2 个单位长度的速度向左运动，同时点B 在数轴上
以每秒1 个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P 为点A、B 的“6 级幸运点”？
