文档文本内容
专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题
常考题型·精准突破
题型1 利用数轴判断式子的正误（重）
题型2 用数轴上的点表示有理数（高频）
题型3 数轴上的动点问题（高频）
题型4 数轴上的新定义型问题（难）
题型5 绝对值的非负性（高频）
题型6 利用数轴化简绝对值（高频）
题型7 分类讨论化简绝对值（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用数轴判断式子的正误
1．D
2．B
3．B
◆题型2 用数轴上的点表示有理数
4．
【答案】图见解析，
2025
2
3
2
1
2.5
1
1
2
2
-
< - -
< -
<
< - -
【详解】解：
2025
1
1
-
= - ，
- -
= +
=
1
2
1 2
3 ，
2
4
2
-
= - ，1 2.5
3.5
- -
= -
，
把各数在数轴上表示为：
按从小到大排列为：
2025
2
3
2
1
2.5
1
1
2
2
-
< - -
< -
<
< - -
．
5．
【答案】(1)见解析
(2)
2
5
4
0
1
3.5
-
> - -
>
> -
> -
【详解】（1）解：
5
5
-
=
，
2
1
1
-
= - ，
4
4
- -
=
．
把这些数在数轴上表示出来如下：
．
（2）解：由数轴可知，
2
5
4
0
1
3.5
-
> - -
>
> -
> -
．
6．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
(2)
3
3
- - = - ，
2
2
- +
= - ，
2
2
4
-
=
，
数轴表示如下所示：
则
2
1
3
2
1
2
2
- -
< - +
< -
< + < -
．
◆题型3 数轴上的动点问题
7．
【答案】(1)
10.5
t =
(2)0
(3)t 的值为3 或9
2
【详解】（1）解：由题意得，
9
5
14
AB =
- -
=
，
∵点P 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度在数轴上向左运动，
∴14
7
4
2
=
（秒），故点P 到达A 点时用的时间为7
2 秒；
∵当点P 到达点A 后立即返回，再以每秒2 个单位长度的速度向右运动，
∴
7
14
10.5
2
2
t =
+
=
，
故当点P 返回到点B 时，
10.5
t =
；
（2）解：∵P 到达A 点时用的时间为14
7
4
2
=
（秒），
当
6
t =
时，
7
6
2.5
2
-
=
，即
2.5
t =
时，点P 从A 点返回；
2.5 2
5
´
=
；
∴当
6
t =
时，点P 表示的有理数是：5
5
0
- +
=
；
（3）解：当点P 第一次到达3
- 时，
9
3
4
3
t
é
ù
=
- -
¸
=
ë
û
，
当点P 运动到点A，然后向右运动到3
- 时，
9
9
5
4
3
5
2
2
t
é
ù
é
ù
=
- -
¸
+ - - -
¸
=
ë
û
ë
û
，
综上所述，t 的值为3 或9
2 ．
8．
【答案】(1) 2
- ；5
- ；4
(2) 2
x
- +
(3) 7
- 或3
(4) AC
AB
-
的值不会随着t 的变化而变化，
理由如下：
根据题意得：平移后，
(4
4 )
( 2
)
(6
3 )
AC
t
t
t
=
+
- - +
=
+
cm ，
( 2
)
( 5
2 )
(3
3 )cm
AB
t
t
t
= - +
- - -
=
+
，
\
(6
3 )
(3
3 )
3cm
AC
AB
t
t
-
=
+
-
+
=
，
\ AC
AB
-
的值恒为3，不会随着t 的变化而变化．
【详解】（1）解：A：0
2
2
-
= - ，即
2
a = - ，A 表示2
- ，
B：2
3
5
- -
= - ，即
5
b = - ，B 表示5
- ，
C：5
9
4
- +
=
，即
4
c =
，C 表示4，
故答案为：2
- ；5
- ；4；
（2）解：将点A 向右移动cm
x
，则移动后的点表示的数为2
x
- +
；
故答案为：
2
x
- +
；
（3）解：设D 表示的数为d，
Q
5
AD =
，
\
2
5
d
- -
=
，
解得：
7
a = - 或
3
a =
，
\点D 表示的数为7
- 或3；
故答案为：7
- 或3；
（4）略
9．
【答案】【问题解决】（1）6；（2）2；
【拓展探究】（3）6
3t
+
；
2
x =
；（4）1 或3 或5
【详解】解：【问题解决】
（1）若
1
a = - ，
5
b =
，则A ，B 两点之间的距离为
5
1
6
- -
=
；
故答案为：6；
（2）沿数轴上某点折叠，使点A 、点B 重合，
则折痕处对应的点表示的数为1 5
2
2
- +
=
；
故答案为：2；
【拓展探究】
（3）∵点B 表示的点为6，
且点B 以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，
∴运动t 秒后，点B 表示的数为6
3t
+
；
∵点A 表示的点为2
- ，点C 表示的点为1，
又∵点A 以每秒x 个单位长度的速度向左匀速运动，
∴运动t 秒后，点A 表示的数为2
xt
- -
，
∴
6
3
1
5
3
5
3
BC
t
t
t
=
+
-
=
+
=
+
，
1
2
3
3
AC
xt
xt
xt
=
- - -
=
+
=
+
，
∴
2
3
2 5
3
3 3
10
6
9
3
1
6
3
BC
AC
t
xt
t
xt
x t
-
=
+
-
+
=
+
- -
= +
-
，
∵运动过程中，2
3
BC
AC
-
的值不变，
∴6
3
0
x
-
=
，解得
2
x =
，
∴在运动过程中，当
2
x =
时，2
3
BC
AC
-
的值不变．
故答案为：6
3t
+
．
（4）∵在数轴上剪下10个单位长度（从2
- 到8 ）的一条线段，
∴
8
2
10
AD =
- -
=
，
当
:
:
1:1:3
AB BC CD =
，
则可知
2,
2,
6
AB
BC
CD
=
=
=
，如图1，
∴点B 对应的点为0，点C 对应的点为2，
∴折痕处对应的点所表示的数为0
2
1
2
+
= ；
当
:
:
1:1:3
AB CD BC =
，
则可知
2,
6,
2
AB
BC
CD
=
=
=
，如图2，
∴点B 对应的点为0，点C 对应的点为6，
∴折痕处对应的点所表示的数为0
6
3
2
+
=
；
当
:
:
1:1:3
BC CD AB =
，
则可知
6,
2,
2
AB
BC
CD
=
=
=
，如图3，
∴点B 对应的点为4，点C 对应的点为6，
∴折痕处对应的点所表示的数为4
6
5
2
+
=
；
综上，折痕处对应的点所表示的数是1 或3 或5．
故答案为：1 或3 或5．
◆题型4 数轴上的新定义型问题
10．
【答案】(1) 2,6
-
(2)点P 表示的数是2026，b 的值是2023
(3)
3
4
k = -
，定值为25
4
【详解】（1）∵点P 表示数2，
∴
2
4
2
m =
-
= - ，
2
4
6
n =
+
=
，
\对称数组是2,6
-
；
（2）∵
,
3,4049
N P b =
，
∴点P 表示的数
3
4049
2026
2
x
+
=
=
，
∴
4049
3
2023
2
b
-
=
=
；
（3）t 秒后，点P 表示的数为3t ，
由
,4
,
N P
m n
=
，得
3
4
n
t
=
+
，
点Q 表示的数为4t
-
，由
,3
,
N Q
p q
=
，
得
4
3
q
t
= -
+
，
假设存在常数k，使得n
kq
-
为定值：
3
4
4
3
3
4
4
3
3
4
4
3
n
kq
t
k
t
t
kt
k
k t
k
-
=
+
-
-
+
=
+
+
-
=
+
+
-
，
要使n
kq
-
为定值，则t 的系数为0，即3
4
0
k
+
=
，
解得
3
4
k = -
，
此时定值为
3
9
25
4
3
4
4
4
4
æ
ö
- ´ -
=
+
=
ç
÷
è
ø
．
11．
【答案】(1)5
(2)6
(3)①当点P 表示的数为1 时，
5
n =
；②当点P 表示的数为5 时，
9
n =
(4)点P 表示的数为：
3
4
-
，此时
5
n =
；点P 表示的数为：
9
2
-
，此时
10
n =
【详解】（1）解：∵点P 表示的数为0，
∴点P 到点A 距离与点P 到点B 的距离之和为4 1
5
+ =
，
∴点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
n =
，
故答案为：5；
（2）解：∵整点P 为点A、B 的“5 格距点”，
∴
5
PA
PB
+
=
，即P 在线段AB 上，
∴整点P 所表示的数是2
- ，1
- ，0，1，2，3 共6 个，
故答案为：6；
（3）解：∵点P 到点B 的距离为2，
∴点P 表示的数为1 或5，
①当点P 表示的数为1 时，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为3
2
5
+
=
，
此时
5
n =
；
②当点P 表示的数为5 时，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为2
7
9
+
=
，
此时
9
n =
；
（4）解：①当P 在AB 之间时，
5
AB =
，
点P 表示的数为：
3
3
3
5
4
4
- ´
= -
，
此时
5
n =
；
②当P 在点A 左边时，
5
PA
AB
=
=
，
1
5
2
2
PA
AB
=
=
，
点P 表示的数为：
5
9
2
2
2
- -
= -
，
此时
2.5
7.5
10
n =
+
=
．
综上所述，点P 表示的数为：
3
4
-
，此时
5
n =
；点P 表示的数为：
9
2
-
，此时
10
n =
．
12．
【答案】(1)1，3
(2)
3
m = - 或5
(3)
0
t =
或3
2 或7
3 或3秒．
【详解】（1）解：
1d （点O ，线段AB ）
1 0
1
= -
= ，
2
d （点O ，线段AB ）
3
0
3
=
-
=
，
故答案为：1，3；
（2）解：当线段CD 在线段AB 左侧时，
可得：
1d （线段CD ，线段AB ）
1
2
2
m
= -
+
=
，
解得：
3
m = - ；
当线段CD 在线段AB 右侧时，
可得：
1d （线段CD ，线段AB ）
3
2
m
=
-
=
，
解得：
5
m =
；
综上所述，
3
m = - 或5 ；
（3）解：当
0
t =
时，点C 表示的数为0 ，点D 表示的数为2
- ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
2
5
=
- -
=
；
当0
1
t
< < 时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为2
2t
- +
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
2
2
5
2
5
t
t
=
- - +
=
-
=
，
解得：
0
t =
(不符合题意)；
当
1
t = 时，点C 表示的数是2 ，点D 表示的数为2
2
0
- +
=
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
0
3
=
-
=
；
当1
2
t
< <
时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为
0
4
4
1
4
4
t
t
t
-
= -
-
= -
+
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
4
4
5
t
=
- -
+
=
，
解得：
3
2
t =
；
当
2
t =
时，点C 表示的数为4 ，点D 表示的数为
0
4
1
4
t
-
-
= - ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
4
7
=
- -
=
；
当2
3
t
< <
时，点C 表示的数为2t ，点D 表示的数为
4
6
2
6
16
t
t
- +
-
=
-
，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
3
6
16
5
t
=
-
-
=
，
解得：
7
3
t =
；
当
3
t =
时，点C 表示的数为6 ，点D 表示的数为2 ，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
6 1
5
=
- =
；
当
3
t >
时，
则有
2
d （线段CD ，线段AB ）
2
1
5
t
=
- >
；
综上所述，若
2
d （线段CD ，线段AB ）
5
=
，则有
0
t =
或3
2 或7
3 或3秒．
◆题型5 绝对值的非负性
13．1
-
14．9
15．1
◆题型6 利用数轴化简绝对值
16．
【答案】(1) 2
9
x
-
+
(2)3c
【详解】（1）解：
2
3
x
<
<
Q
，
3
6
0
x
\
-
>
，5
15
0
x -
<
，
3
6
5
15
3
6
5
15
2
9
x
x
x
x
x
\
-
+
-
=
-
-
-
= -
+ ；
（2）解：由数轴可知：
0
a
b
c
<
<
<
，
0
a
b
\ +
<
，
0
c
b
-
>
，
0
a
c
-
<
，
2
2
a
a
b
c
b
a
c
-
+
+
-
+
-
2
2
a
a
b
c
b
a
c
= - +
+
+
-
-
-
2
2
2
2
a
a
b
c
b
a
c
= - +
+
+
-
-
+
3c
=
．
17．
【答案】(1)<；<；>；= ；<
(2) a
c
b
- + +
(3)b
c
+
【详解】（1）解：观察数轴得：
0
a
b
c
<
<
<
，
∵b
c
=
，
∴
0
b
c
+
=
，
0
a
c
-
<
，
故答案为：<；<；>；= ；<；
（2）解：a
c
b
+
-
a
c
b
= - + - -
a
c
b
= - + +
；
（3）解：∵
0
b
c
+
=
，
0
c >
，
∴
2
0
b
c
+
>
，
∴
2
a
a c
b
c
-
-
+
+
2
a
c
a
b
c
= - -
-
+
+
2
a
c
a
b
c
= - - +
+
+
b
c
=
+ ．
18．
【答案】(1)
如图，有理数a，b，c 在数轴上表示，
(2)＜，＞，＜；
(3) 2a
-
【详解】（1）解：∵
2
a = - ，
5
c = - ，a，b 互为相反数，
∴
2
b =
；
（2）解：∵a，b 互为相反数，
∴
0
a
b
+
=
，
∵
0
a <
，
∴
0
b >
，
∵
0
ac >
，c
a
>
，
0
a <
，
∴
0
c
a
<
<
，
∴
0
c
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
a
b
-
<
，
故答案为：<，>，<；
（3）解：若
0
a <
，由（2）得：
0
c
b
+
<
，
0
a
c
-
>
，
0
a
b
-
<
，
∴
2
a
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
c
a
-
+
+
-
-
= -
-
-
+
-
-
= - +
- -
-
+
= -
，
∴
2
a
b
c
b
a
c
a
-
+
+
-
-
= -
．
◆题型7 利用数轴化简绝对值
19．
【答案】(1) >；<；<
(2)0
(3)1
【详解】（1）解：从数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
，
∴
0
abc >
，
0
c
a
+
<
，
0
c
b
-
<
，
故答案为：>；<；<．
（2）解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，
2
2
1 2 1
0
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
c
b
+
-
=
+
-
= -
+
-
-
=
-
（3）解：∵
0
c
b
a
<
<
<
，b
a
c
<
<
∴
0
b
a
-
<
，
0
b
c
-
>
，
0
c
a
+
<
，
b
a
c
b
c
a
a
b
b
c
c
a
-
-
+
+
-
-
-
+
a
b
b
c
c
a
c
b
c
a
a
b
-
+
=
-
+
-
-
- -
-
1
a
c
b
c
b
c
a
c
-
+
-
+
-
=
+
1 1 1
= - +
1
=
20．
【答案】(1)1，1
- ，2
2
-
a
b
(2)46 或52
(3) 1
- 或3
【详解】（1）解：根据数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
a
b
>
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
1
a
a
a
a
=
= ，
1
b
b
b
b
-
=
= - ，
∴a
b
b
c
a
c
-
+
+
-
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
+
+
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
- +
+
2
2
a
b
=
-
；
（2）解：∵
7,
3
a
b
=
=
，
∴
7
a = ± ，
3
b = ± ，
∵a
b
b
a
-
=
-
，
∴b
a
>
，
∴
7
a = - ，
3
b = ± ，
∴当
7
a = - ，
3
b =
时，
2
2
7
3
46
a
b
-
= -
-
=
；
当
7
a = - ，
3
b = - 时，
2
2
7
3
52
a
b
-
= -
- -
=
；
（3）解：∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，
∵
0
abc >
，
∴a 、b、c 中有2 个负数，
当a、b 为负数，c 为正数时：
3
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
=
-
-
；
当a、c 为负数，b 为正数时：
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
= -
-
-
；
当b、c 为负数，a 为正数时：
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
-
=
+
-
= -
-
-
；
综上分析可知：
3
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
-
= 或1
- ．
21．
【答案】(1)>，<，<
(2) 2
2
-
a
b
(3) 1
±
【详解】（1）解：由数轴知：
0
c
b
a
<
<
<
且|
| |
| |
|
<
<
b
a
c ，
0
a
b
\ -
>
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
故答案为：>，<，<；
（2）解：
0
a
b
-
>
Q
，
0
b
c
+
<
，
0
a
c
+
<
，
|
|
|
|
|
|
a
b
b
c
a
c
\
-
+
+
-
+
a
b
b
c
a
c
=
-
-
- +
+
2
2
a
b
=
-
；
（3）解：
0
x
y
z
+
+
=
Q
，
0
xyz ¹
，
\当x ，y ，z 中一正两负时，
|
|
|
|
|
|
1 1 1
1
x
y
z
x
y
z
+
+
= - - = - ；
当x ，y ，z 中两正一负时，
|
|
|
|
|
|
1 1 1 1
x
y
z
x
y
z
+
+
= + - = ，
综上所述，
1
x
y
z
x
y
z
+
+
= ± ．
故答案为：1
± ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．A
2．B
3．B
4．C
5．B
二、填空题
6．2
7．1
- 或4
-
8．2 或2
- 或0
9．②④/④②
10．3 或5
三、解答题
11．
【答案】数轴见解析，
100
2
1
2
1 2
1
1.5
1
2
2
-
< -
< - -
<
< - -
【详解】1.5，
100
1
1
- -
= - ，
1
2 =3
- -
，
2
4
2
-
= - ，
1
1
1 2
3
2
2
- -
= -
，
在数轴上表示为：
100
2
1
2
1
2
1
1.5
1
2
2
-
< - -
< - -
<
< - -
．
12．
【答案】(1) >，<，>
(2) 2a
c
-
+
【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
b
-
>
，
0
a
c
+
<
，
0
b
c
-
>
，
故答案为：>，<，>；
（2）∵观察数轴可知：
0
c
b
a
<
<
<
，c
b
a
>
>
，
∴
0
a
c
+
<
，
0
a
b
c
-
-
>
，
0
b
c
-
>
，
a
c
a
b
c
b
c
+
-
-
-
-
-
a
c
a
b
c
b
c
= - - -
-
-
-
-
a
c
a
b
c
b
c
= - - -
+
+ -
+
a
a
b
b
c
c
c
= - -
+
-
+ + -
2a
c
= -
+ ．
13．
【答案】(1)4，0
(2)
1
a = ，3
(3)
0
a =
，4
【详解】（1）因为|
4 | 0
a -
³
，所以当
4
a =
时，|
4 |
a -
有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为|
1| 0
a -
³
，所以当
1
a = 时，|
|1
3
a -
+ 有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
0
a ³
，所以
0
a
-
£
，所以当
0
a =
时，4
a
-
有最大值，这个最大值是4．
14．
【答案】(1)①8；②4；
(2)2
(3)3 或11
【详解】（1）解：①∵A 、B 、P 为数轴上三点，分别对应1
- ，5 ，3
- ．
∴P 、B 两点之间的距离是
5
3
8
PB =
- -
=
，
故答案为：8；
②由数轴知，
1
3
2
PA = - - -
= ，
∴
4
PB
PA
=
，则
,
4
P B A =
；
（2）解：∵点C 在数轴上且
,
1
C A B = ，
∴CA
CB
=
，则点C 为AB 的中点，
∴点C 表示的数为1 5
2
2
- +
=
；
（3）解：因为D 是数轴上一点，且
,
2
D A B =
，所以
2
DA
DB
=
．
因为点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5，所以
5
1
6
AB =
- -
=
．
当点D 在点A，B 之间时，点D 表示的数为
2
1
6
3
3
- +
´
= ；
当点D 在点B 的右边时，点D 表示的数为1
2 6
11
- + ´
=
．
所以点D 表示的数为3 或11．
15．
【答案】(1)1；
(2) 3.5
-
或1.5；
(3)点P 对应的数是37
-
，点Q 对应的数是35
-
或点P 对应的数是45
-
，点Q 对应的数是47
-
．
【详解】（1）3
4
1
- +
= ，故点N 所对应的数是1；
（2）
5
4
2
0.5
-
¸
=
，
①点P 在点M 的左边，
3
0.5
3.5
- -
= -
，
②点P 在点N 的右边，
1 0.5
1.5
+
=
，
故点P 所对应的数是3.5
-
或1.5；
（3）①点P 在点Q 的左边，
4
2 5
2
3
2
12 1
12
+ ´ -
¸
-
=
¸ =
（秒），
点P 对应的数是3
5 2 12 2
37
- - ´ -
´
= -
，点Q 对应的数是37
2
35
-
+
= -
；
②点P 在点Q 的右边，
4
2 5
2
3
2
16 1
16
+ ´ +
¸
-
=
¸ =
（秒），
点P 对应的数是3
5 2 16 2
45
- - ´ -
´
= -
，点Q 对应的数是45
2
47
-
-
= -
，
综上可知：点P 对应的数是37
-
，点Q 对应的数是35
-
或点P 对应的数是45
-
，点Q 对应的数是47
-
．
16．
【答案】（1）2；（2）
a
b
b a
b
-
-
< -
+
，，
；3 或1
-
【详解】解：（1）若
0
a >
，
0
b >
，有a
a
=
，b
b
=
，所以
1 1
2
a
a
b
b
b
a
a
b
+
+
=
= + =
，
（2）若
0
a <
，
0
b <
，有a
a
= - ，b
b
= - ，所以
2
a
b
a
b
a
b
a
b
-
-
+
=
+
= - ，
故答案为：（1）2；（2）
a
b
b a
b
-
-
< -
+
，，
；
拓展探究：由
0
abc >
，可得a，b，c 三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下：
①当a，b，c 都是正数，即
0
0
0
a
b
c
>
>
>
，
，
时，
则
1 1 1
3
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
= + + =
，
②当a，b，c 一正两负时：设
0
0
0
a
b
c
>
<
<
，
，
，
则
1 1 1
1
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
-
+
+
=
+
+
= - - = -
-
，
a
c
b
a
b
c
\
+
+
的值为3 或1
- ．
