专题01实数及其运算（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题01 实数及其运算
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 正负数、相
反数与绝对值
2025·浙江·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江丽水·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取6 道真题，其中2025
年浙江省统考1 道，2024 年和2026 年浙江省统考真题
中本考点未直接考查。整体看，本考点属于实数基础知
识中的低难度高频内容，命题形式以选择题和简单填空
题为主，核心考查正负数的实际意义、相反数的定义以
及绝对值的基本性质。2022—2023 年各市命题阶段，题
目更多采用“收入与支出”等生活情境，突出正负数意
义的理解；进入2025 年浙江省统考后，仍以相反数、
绝对值等基础概念为主要落点，计算量较小。总体命题
稳定，重在概念辨析，预计未来中考依然以基础概念辨
析和简单情境应用为主。
考点02 数轴与实数
大小比较
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江宁波·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取9 道真题，考查内容主
要集中于数轴上点表示的数、数轴上的位置关系、有理
数及实数的大小比较，并常结合负数、绝对值、不等式
性质进行综合判断。2023 年各市统一命题阶段考查最为
集中，题型考法多样，体现出从“会比较”向“会结合
数轴分析”的变化；2024 年浙江省统考延续生活情境，
以城市气温比较为载体考查有理数大小关系；2026 年浙
江省统考则进一步回归数轴本质，直接考查数轴上点所
表示数的范围。总体来看，本考点基础性强，但数轴、
绝对值、不等式性质之间的综合运用值得重点关注，是
实数部分非常稳定的基础考查点。
考点03 平方根、立
方根、无理数估算及
二次根式
2025·浙江·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江杭州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取11 道真题，2024 年和
2026 年本考点未直接考查。本考点覆盖内容较广，既考
查平方根、立方根、无理数的概念与估算，也涉及二次
根式的化简及有意义条件。2022-2023 年各市统一命题
阶段，题目以基础计算、无理数识别、估算无理数范围、
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2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江舟山·中考
二次根式化简及二次根式有意义的条件（被开方数≥
0）为主，整体难度以基础和中档为主。2025 年浙江省
统考出现明显变化，采用“阅读理解＋尝试探究＋比较
分析”的形式，将算术平方根的近似计算与完全平方公
式结合，考查学生根据材料迁移方法、分析误差和比较
精确度的能力，说明该考点正在由单纯的基础计算逐步
向数学阅读、方法探究和综合应用延伸。复习时既要夯
实根式及无理数的基础运算，也要特别重视无理数估算
以及新情境下方法迁移能力。
考点04 科学记数法
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江舟山·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取12 道真题，2026 年本
考点未直接考查。从历年真题看，本考点命题高度稳定，
几乎全部采用选择题形式，主要考查较大数的科学记数
法表示，核心落点始终是正确确定a 的取值范围以及10
的指数n。2022-2025 年各市命题阶段，题目大量结合
我国人口、经济、科技、城市建设、能源等真实数据设
置情境，但本质仍属于科学记数法的基础运算。整体来
看，本考点计算难度低、命题形式稳定、与现实素材结
合紧密，属于典型的“基础知识＋情境包装”题型。复
习中应重点防范小数点移动位数与指数正负号判断错
误，尤其注意科学记数法的标准形式1≤|a|＜10。
考点05 实数的运算
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江金华·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取14 道真题，是本专题
考查最稳定的考点。题型以直接计算的选择题、填空题
为主，重点考查有理数的加减乘除、绝对值、平方根和
立方根，以及零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函
数值等知识的综合运算。2022-2023 年各市统一命题体
现出向多知识点混合运算发展的特点；2024 年浙江省统
考继续考查绝对值、立方根和负整数指数幂的综合计
算；2025 年、2026 年浙江省统考仍将其作为实数部分
的基础计算题，说明该考点具有极强的稳定性和持续
性。总体而言，本考点不是以复杂思维取胜，而是强调
“概念准确、法则熟练、运算规范”，命题人常通过多
个基础知识点叠加制造计算错误。复习中应重点训练运
算顺序、符号处理及根式、幂、绝对值等知识的综合计
算能力。
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考点01 正负数、相反数与绝对值
1．（2025·浙江·中考真题）
͵
Ͷ的相反数是（
）
A．െ
͵
Ͷ
B．
͵
Ͷ
C．െ
Ͷ
͵
D．
Ͷ
͵
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：
͵
Ͷ的相反数是െ
͵
Ͷ
故选A．
2．（2023·浙江·中考真题）计算：െʹ㌳ʹ͵ ൌ___．
【答案】2023
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解：െʹ㌳ʹ͵ 的相反数是2023，
故െʹ㌳ʹ͵ ൌʹ㌳ʹ͵，
故答案为：2023．
3．（2023·浙江·中考真题）﹣3 的相反数是（
）
A．െ
ͳ
͵
B．
ͳ
͵
C．െ͵
D．͵
【答案】D
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别
地，0 的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3 的相反数是3，
故选D．
4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）若收入3 元记为+3，则支出2 元记为（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】D
【分析】根据正负数的意义可得收入为正，收入多少就记多少即可．
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【详解】解：∵收入3 元记为+3，
∴支出2 元记为-2．
故选：D
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）﹣6 的相反数是（
）
A．﹣6
B．﹣
ͳ
6
C．6
D．
ͳ
6
【答案】C
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：െ6 的相反数是6，
故选：C．
6．（2022·浙江丽水·中考真题）2 的相反数是（
）
A．2
B．－2
C．
ͳ
ʹ
D．െ
ͳ
ʹ
【答案】B
【详解】2 的相反数是-2.
故选：B.
考点02 数轴与实数大小比较
1．（2026·浙江·中考真题）如图，数轴上点ܯ表示的数可能是（
）
A．െ㌳䁨
B．㌳䁨
C．ͳ䁨
D．ʹ䁨
【答案】C
【分析】根据点ܯ在数轴上的位置即可判断．
【详解】解：由数轴可知，点ܯ在1 和2 之间，
∴点ܯ表示的数可能是ͳ䁨．
2．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12 时气温最低的城市是（
）
北京
济南
太原
郑州
㌳ιC
െͳιC
െʹιC
͵ιC
A．北京
B．济南
C．太原
D．郑州
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【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0 大于负数；两个负数时，
绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵െʹ ൏െͳ ൏㌳൏͵，
∴四个城市中某天中午12 时气温最低的城市是太原．
故选：C．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点ܣ江杭分别表示数ܽ
江㜲，其中െͳ ൏ܽ
൏㌳，㌳൏㜲൏ͳ．若ܽ
ൈ㜲ൌ䁨，数䁨在数轴上用点ܥ表示，则点ܣ江杭江ܥ在数轴上的位置可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由െͳ ൏ܽ
൏㌳，㌳൏㜲൏ͳ，ܽൈ㜲ൌ䁨，根据不等式性质得出ܽ
൏䁨൏㌳，再分别判定即可．
【详解】解：∵െͳ ൏ܽ
൏㌳，㌳൏㜲൏ͳ，
∴ܽ
൏ܽ
㜲൏㌳
∵ܽൈ㜲ൌ䁨
∴ܽ
൏䁨൏㌳
A、㌳൏㜲൏䁨൏ͳ，故此选项不符合题意；
B、ܽ
൏䁨൏㌳，故此选项符合题意；
C、䁨㐶ͳ，故此选项不符合题意；
D、䁨൏െͳ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由െͳ ൏ܽ
൏㌳，㌳൏㜲൏ͳ，ܽൈ㜲ൌ䁨得出ܽ
൏䁨൏
㌳是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A 表示的数大3 的数是（
）
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A．െͳ
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A 表示的数是െͳ，所以比െͳ 大3 的数是െͳ ൅͵ ൌʹ；
故选D．
5．（2023·浙江湖州·中考真题）下列各数中，最小的数是（
）
A．െʹ
B．െͳ
C．1
D．0
【答案】A
【分析】正数大于一切负数；0 大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负
数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：׶ ȁ െʹȁ ൌʹ，ȁ െͳȁ ൌͳ，ʹ 㐶ͳ，
׵െʹ ൏െͳ ൏㌳൏ͳ，
׵最小的数是െʹ．
故选：A．
6．（2023·浙江衢州·中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：
dBm），则下列信号最强的是（
）
A．െ䁨㌳
B．െ6㌳
C．െ͹㌳
D．െͺ㌳
【答案】A
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：׶ െ䁨㌳൏െ6㌳൏െ͹㌳൏െͺ㌳，
则信号最强的是െ䁨㌳，
故选：A．
7．（2023·浙江台州·中考真题）下列各数中，最小的是（
）．
A．2
B．1
C．െͳ
D．െʹ
【答案】D
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：∵2，1 是正数，െͳ，െʹ 是负数，
∴最小数的是在െͳ，െʹ 里，
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又െͳ ൌͳ，െʹ ൌʹ，且ͳ ൏ʹ，
∴െʹ ൏െͳ，
∴最小数的是െʹ．
故选：D．
8．（2023·浙江金华·中考真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是െʹ㌳Ԩ，
െͳ㌳Ԩ，㌳Ԩ，ʹԨ，其中最低气温是（
）
A．െʹ㌳Ԩ
B．െͳ㌳Ԩ
C．㌳Ԩ
D．ʹԨ
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：െʹ㌳൏െͳ㌳൏㌳൏ʹ，
故温度最低的城市是哈尔滨，
故选：A．
9．（2023·浙江宁波·中考真题）在െʹ江െͳ江㌳江ߨ这四个数中，最小的数是(
)
A．െʹ
B．െͳ
C．0
D．ߨ
【答案】A
【分析】根据负数小于0 小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵െʹ 㐶െͳ ，
∴െʹ ൏െͳ ൏㌳൏ߨ，
∴最小的数是െʹ；
故选A．
考点03 平方根、立方根、无理数估算及二次根式
1．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：ܽ
േ㜲ʹ ൌܽ
ʹ േʹܽ㜲൅㜲ʹ
近似计算算术平方根的方法．
例如求6͹的近似值．
因为6Ͷ ൏6͹ ൏ͺͳ，
所以ͺ ൏
6͹ ൏ͻ，
则6͹可以设成以下两种形式：
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①6͹ ൌͺ ൅⸷，其中㌳൏⸷൏ͳ；
②6͹ ൌͻ െݐ，其中㌳൏ݐ൏ͳ．
小明以①的形式求6͹的近似值的过程如图．
因为6͹ ൌͺ ൅⸷，
所以6͹ ൌͺ ൅⸷ʹ，
即6͹ ൌ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅⸷ʹ．
因为⸷ʹ比较小，
将⸷ʹ忽略不计，
所以6͹ ൎ6Ͷ ൅ͳ6⸷，
即ͳ6⸷ൎ6͹ െ6Ͷ，
得⸷ൎ
6͹െ6Ͷ
ͳ6
ൌ
͵
ͳ6，
故6͹ ൎͺ ൅
͵
ͳ6 ൎͺͳͻ．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求6͹的近似值（结果保留2 位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的6͹的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）ͺʹʹ；
（2）用①的形式得出的6͹的近似值的精确度更高，
理由如下；∵ͺͳͺ ൈͺͳͺ ൌ66ͻͳʹͶ，ͺͳͻ ൈͺͳͻ ൌ6͹㌳͹6ͳ，66ͻͳʹͶ ൏
6͹ ൏
6͹㌳͹6ͳ，
∴ͺͳͺ ൏
6͹ ൏ͺͳͻ ൏ͺʹʹ，
∴用①的形式得出的6͹的近似值的精确度更高．
【分析】（1）设6͹ ൌͻ െݐ，其中㌳൏ݐ൏ͳ，则仿照题意可得6͹ ൌͺͳ െͳͺݐ൅ݐʹ，ݐʹ比较小，将ݐʹ
忽略不计，则6͹ ൎͺͳ െͳͺݐ，据此可得ݐൎ
͹
ͻ，则6͹ ൎͻ െ
͹
ͻ ൎͺʹʹ；
（2）可求出ͺͳͺ ൏
6͹ ൏ͺͳͻ ൏ͺʹʹ，据此可得结论．
【详解】解：（1）设6͹ ൌͻ െݐ，其中㌳൏ݐ൏ͳ，
∴
6͹
ʹ ൌͻ െݐʹ，
∴6͹ ൌͺͳ െͳͺݐ൅ݐʹ，
∵ݐʹ比较小，将ݐʹ忽略不计，
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∴6͹ ൎͺͳ െͳͺݐ，
∴ݐൎ
ͺͳെ6͹
ͳͺ
ൌ
͹
ͻ，
∴6͹ ൎͻ െ
͹
ͻ ൎͺʹʹ；
（2）略
2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知a、b 为两个连续整数，且a＜ͳ͹＜b，则a+b=___．
【答案】9
【详解】解∵16<17<25，
∴Ͷ ൏
ͳ͹ ൏䁨
∴a=4，b=5．
∴a+b=9，
故答案为：9．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）计算：Ͷ﹣1＝___．
【答案】1
【分析】先计算算术平方根，然后计算减法．
【详解】解：原式=2-1=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正
数x 叫做a 的算术平方根．
4．（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3 与4 之间的是（
）．
A．͹
B．ʹ ʹ
C．ͳ͵
D．ͳ͹
【答案】C
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵͵ ൌ
ͻ，Ͷ ൌ
ͳ6，而ʹ ʹ ൌ
ͺ，ͻ ൏ͳ͵ ൏ͳ6，
∴大小在3 与4 之间的是ͳ͵，
故选：C．
5．（2023·浙江杭州·中考真题）计算：ʹ െ
ͺ ൌ______．
【答案】െ
ʹ
【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根
式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解．
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【详解】解：ʹ െ
ͺ ൌ
ʹ െʹ ʹ ൌെ
ʹ．
故答案为：െ
ʹ．
6．（2023·浙江金华·中考真题）要使ݔെʹ有意义，则ݔ的值可以是（
）
A．0
B．െͳ
C．െʹ
D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式ݔെʹ有意义，
∴ݔെʹ ൒㌳，
∴ݔ൒ʹ，
∴四个选项中，只要D 选项中的2 符合题意，
故选D．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：Ͷ ൌ_________；െʹ ʹ ൌ_________．
【答案】
2
4
【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．
【详解】解：Ͷ ൌʹ；െʹ ʹ ൌͶ．
故答案为：2，4
8．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个小于2 的无理数：____．
【答案】ʹ（不唯一）
【分析】根据无理数的大小判断即可；
【详解】∵ʹ＜2；
故答案为ʹ（不唯一）．
9．（2022·浙江台州·中考真题）估计6的值应在（
）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【答案】B
【分析】通过找到与6 相邻的两个完全平方数，即可确定6的范围．
【详解】∵Ͷ ൌʹʹ，ͻ ൌ͵ʹ，且Ͷ ൏6 ൏ͻ，
∴根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大．
可得
Ͷ ൏
6 ൏
ͻ，
即ʹ ൏
6 ൏͵，
∴
6的值在2 和3 之间．
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10．（2022·浙江金华·中考真题）在െʹ江
ͳ
ʹ 江͵江ʹ 中，是无理数的是（
）
A．െʹ
B．
ͳ
ʹ
C．͵
D．2
【答案】C
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，
ͳ
ʹ，2 是有理数，͵是无理数，
故选：C．
11．（2022·浙江舟山·中考真题）估计6的值在（
）
A．4 和5 之间
B．3 和4 之间
C．2 和3 之间
D．1 和2 之间
【答案】C
【分析】根据无理数的估算方法估算即可．
【详解】∵Ͷ ൏
6 ൏
ͻ
∴ʹ ൏
6 ൏͵
故选：C．
考点04 科学记数法
1．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024 年，现行支持科技创新和制造业发展的
主要政策减税降费及退税达26293 亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数
2629300000000 用科学记数法表示为（
）
A．ʹ6ʹͻ͵ ൈͳ㌳ͳͳ
B．ʹ6ʹͻ͵ ൈͳ㌳ͳʹ
C．㌳ʹ6ʹͻ͵ ൈͳ㌳ͳ͵
D．ʹ6ʹͻ͵ ൈͳ㌳ͳ͵
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成ܽ
ൈͳ㌳݊的形式，其中ͳ ൑ܽ
൏
ͳ㌳，݊
为整数，据此进行作答即可．
【详解】解：ʹ6ʹͻ͵㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳ൌʹ6ʹͻ͵ ൈͳ㌳ͳʹ，
故选：B．
2．（2024·浙江·中考真题）2024 年浙江经济一季度ܩRo 为201370000 万元，其中201370000 用科学记
数法表示为（
）
A．ʹ㌳ͳ͵͹ ൈͳ㌳ͻ
B．㌳ʹ㌳ͳ͵͹ ൈͳ㌳ͺ
C．ʹ㌳ͳ͵͹ ൈͳ㌳ͻ
D．ʹ㌳ͳ͵͹ ൈͳ㌳ͺ
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【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为ܽ
ൈ
ͳ㌳݊的形式，其中ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．
【详解】201370000 用科学记数法表示为ʹ㌳ͳ͵͹ ൈͳ㌳ͺ．
故选：D．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800 个座位．数据80800
用科学记数法表示为（
）
A．ͺͺ ൈͳ㌳Ͷ
B．ͺ㌳ͺ ൈͳ㌳Ͷ
C．ͺͺ ൈͳ㌳䁨
D．ͺ㌳ͺ ൈͳ㌳䁨
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】ͺ㌳ͺ㌳㌳ൌͺ㌳ͺ ൈͳ㌳Ͷ．
故选：B．
4．
（2023·浙江宁波·中考真题）据中国宁波网消息：2023 年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000
元，同比增长4.5%．数380180000000 用科学记数法表示为(
)
A．㌳͵ͺ㌳ͳͺ ൈͳ㌳ͳʹ B．͵ͺ㌳ͳͺ ൈͳ㌳ͳͳ
C．͵ͺ㌳ͳͺ ൈͳ㌳ͳ㌳
D．͵ͺ㌳ͳͺ ൈͳ㌳ͳ㌳
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为ܽ
ൈͳ㌳݊，其中ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，݊
为整数，
且݊
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：׶ ͵ͺ㌳ͳͺ㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳，共有ͳʹ 位数字，
׵ ͵ͺ㌳ͳͺ㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳ൌ͵ͺ㌳ͳͺ ൈͳ㌳ͳͳ，
故选：B．
5．（2023·浙江温州·中考真题）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球
约218000000 公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000 用科学记数法表示为（
）
A．㌳ʹͳͺ ൈͳ㌳ͻ
B．ʹͳͺ ൈͳ㌳ͺ
C．ʹͳͺ ൈͳ㌳͹
D．ʹͳͺ ൈͳ㌳6
【答案】B
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【分析】科学记数法的表示形式为ܽ
ൈͳ㌳݊的形式，其中ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于
10 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1 时，n 是负整数．
【详解】解：数据218000000 用科学记数法表示为ʹͳͺ ൈͳ㌳ͺ；
故选B．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）国家互联网信息办公室2023 年5 月23 日发布的《数字中国发展报告（2022
年）》显示，2022 年我国数字经济规模达502000 亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（
）
A．㌳䁨㌳ʹ ൈͳ㌳6
B．䁨㌳ʹ ൈͳ㌳6
C．䁨㌳ʹ ൈͳ㌳䁨
D．䁨㌳ʹ ൈͳ㌳Ͷ
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为ܽ
ൈͳ㌳݊的形式，其中ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示502000 为䁨㌳ʹ ൈͳ㌳䁨．
故选：C．
7．（2023·浙江金华·中考真题）在2023 年金华市政府工作报告中提到，2022 年全市共引进大学生约123000
人，其中数123000 用科学记数法表示为（
）
A．ͳʹ͵ ൈͳ㌳͵
B．ͳʹ͵ ൈͳ㌳͵
C．ͳʹ͵ ൈͳ㌳Ͷ
D．ͳʹ͵ ൈͳ㌳䁨
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为ܽ
ൈͳ㌳݊的形式，其中ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，n 为整数，确定n 的值时，要看
把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10
时，n 是正整数，当原数绝对值小于1 时，n 是负整数．
【详解】解：ͳʹ͵㌳㌳㌳ൌͳʹ͵ ൈͳ㌳䁨，
故选D
8．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021 年年末总人口约1412600000 人，数据
1412600000 用科学记数法可以表示为（
）
A．ͳͶͳʹ6 ൈͳ㌳ͺ
B．ͳͶͳʹ6 ൈͳ㌳ͻ
C．ͳͶͳʹ6 ൈͳ㌳ͺ
D．㌳ͳͶͳʹ6 ൈͳ㌳ͳ㌳
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把
原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正
整数，当原数绝对值＜1 时，n 是负整数．
【详解】解：1412600000=ͳͶͳʹ6 ൈͳ㌳ͻ．
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故选：B．
9．（2022·浙江宁波·中考真题）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国
31 个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000 参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程
碑式突破．数1360000000 用科学记数法表示为（
）
A．ͳ͵6 ൈͳ㌳͹
B．ͳ͵6 ൈͳ㌳ͺ
C．ͳ͵6 ൈͳ㌳ͻ
D．㌳ͳ͵6 ൈͳ㌳ͳ㌳
【答案】C
【分析】绝对值大于1 的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，݊
为正整数，且比原数的整
数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：1360000000 用科学记数法表示为ͳ͵6 ൈͳ㌳ͻ．
故选：C
10．（2022·浙江绍兴·中考真题）ʹ㌳ʹʹ 年北京冬奥会3 个赛区场馆使用绿色电力，减排͵ʹ㌳ ㌳㌳㌳吨二氧
化碳．数字͵ʹ㌳ ㌳㌳㌳用科学记数法表示是（
）
A．͵ʹ ൈͳ㌳6
B．͵ʹ ൈͳ㌳䁨
C．͵ʹ ൈͳ㌳Ͷ
D．͵ʹ ൈͳ㌳Ͷ
【答案】B
【分析】根据科学记数法“把一个大于10 的数表示成ܽ
ൈͳ㌳݊的形式(其中a 是整数数位只有一位的数，
即a 大于或等于1 且小于10，n 是正整数)，这样的记数方法叫科学记数法”即可得．
【详解】解：͵ʹ㌳㌳㌳㌳ൌ͵ʹ ൈͳ㌳䁨，
故选B．
11．（2022·浙江金华·中考真题）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧
化碳排放16320000 吨，数16320000 用科学记数法表示为（
）
A．ͳ6͵ʹ ൈͳ㌳Ͷ
B．ͳ6͵ʹ ൈͳ㌳͹
C．ͳ6͵ʹ ൈͳ㌳6
D．ͳ6͵ʹ ൈͳ㌳䁨
【答案】B
【分析】在用科学记数法表示的大于10 的数时，ܽൈͳ㌳݊的形式中a 的取值范围必须是ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳江10
的指数比原来的整数位数少1．
【详解】解：数16320000 用科学记数法表示为ͳ6͵ʹ ൈͳ㌳͹
故选：B．
12．（2022·浙江舟山·中考真题）根据有关部门测算，2022 年春节假期7 天，全国国内旅游出游251000000
人次．数据251000000 用科学记数法表示为（
）
A．ʹ䁨ͳ ൈͳ㌳ͺ
B．ʹ䁨ͳ ൈͳ㌳͹
C．ʹ䁨ͳ ൈͳ㌳͹
D．㌳ʹ䁨ͳ ൈͳ㌳ͻ
【答案】A
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【分析】绝对值大于1 的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，݊
为正整数，且比原数的整
数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：251000000=ʹ䁨ͳ ൈͳ㌳ͺ．
故选：A
考点05 实数的运算
1．（2026·浙江·中考真题）计算：െʹ െ
ͻ ൅െͳ ͵．
【答案】െʹ
【详解】解：െʹ െ
ͻ ൅െͳ ͵
ൌʹ െ͵ ൅െͳ
ൌെͳ െͳ
ൌെʹ．
2．（2025·浙江·中考真题）计算：െ䁨൅
͵ െʹ͹ ൌ________．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解：െ䁨൅
͵ െʹ͹ ൌ䁨െ͵ ൌʹ，
故答案为：2．
3．（2024·浙江·中考真题）计算：
ͳ
Ͷ
െͳ
െ
͵ ͺ ൅െ䁨
【答案】7
【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减．
【详解】
ͳ
Ͷ
െͳ
െ
͵ ͺ ൅െ䁨
ൌͶ െʹ ൅䁨
ൌ͹．
4．（2023·浙江杭州·中考真题）ሺെʹሻʹ ൅ʹʹ ൌ（
）
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．
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【详解】解：ሺെʹሻʹ ൅ʹʹ ൌͶ ൅Ͷ ൌͺ，
故选：D．
5．（2023·浙江·中考真题）ʹ ൈെ͵ 的运算结果是（
）
A．6
B．െ6
C．1
D．െͳ
【答案】B
【分析】根据有理数乘法法则计算可求解．
【详解】解：ʹ ൈെ͵ ൌെ6．
故选：B．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：Ͷ െ
ʹ
ʹ ൈ͵．
【答案】െʹ
【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式ൌͶ െʹ ൈ͵
ൌͶ െ6
ൌെʹ．
7．（2023·浙江台州·中考真题）计算：ʹʹ ൅െ͵ െ
ʹ䁨．
【答案】2
【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案．
【详解】解：ʹʹ ൅െ͵ െ
ʹ䁨
ൌͶ ൅͵ െ䁨
ൌʹ．
8．（2023·浙江金华·中考真题）计算：ሺെʹ㌳ʹ͵ሻ㌳൅
Ͷ െʹsin͵㌳ι ൅െ䁨．
【答案】͹
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式ൌͳ ൅ʹ െʹ ൈ
ͳ
ʹ ൅䁨，
ൌͳ ൅ʹ െͳ ൅䁨，
ൌ͹．
9．（2023·浙江·中考真题）计算：െ
ͳ
ʹ ൅ሺെʹ㌳ʹ͵ሻ㌳൅ʹെͳ．
【答案】2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的意义分别化简，再利用有理数
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的加减运算法则计算得出答案．
【详解】原式ൌ
ͳ
ʹ ൅ͳ ൅
ͳ
ʹ ൌʹ．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，绝对值的意义，掌握这些知识并
正确计算是解题关键．
10．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最
低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（
）
A．－8℃
B．－4℃
C．4℃
D．8℃
【答案】D
【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．
【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8℃．
故选：D．
11．（2022·浙江温州·中考真题）计算ͻ ൅ሺെ͵ሻ的结果是（
）
A．6
B．െ6
C．3
D．െ͵
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：ͻ ൅ሺെ͵ሻ
ൌ൅ሺͻ െ͵ሻ
=6
故选：A．
12．（2022·浙江台州·中考真题）计算െʹ ൈሺെ͵ሻ的结果是（
）
A．6
B．െ6
C．5
D．െ䁨
【答案】A
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
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【详解】解：െʹ ൈሺെ͵ሻൌ6．
故选：A．
13．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2 的是（
）
A．െʹ
B．െʹ
C．ʹെͳ
D．ሺെʹሻ㌳
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得．
【详解】解：A、െʹ ൌʹ，则此项符合题意；
B、െʹ ൌെʹ，则此项不符合题意；
C、ʹെͳ ൌ
ͳ
ʹ，则此项不符合题意；
D、െʹ ㌳ൌͳ，则此项不符合题意；
故选：A．
14．（2022·浙江台州·中考真题）计算：ͻ ൅ȁ െ䁨ȁ െʹʹ．
【答案】4
【分析】先化简各数，然后再进行计算．
【详解】解：原式ൌ͵ ൅䁨െͶ
ൌͶ．
15．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：ͻ െሺെʹ㌳ʹʹሻ㌳൅ʹെͳ．
【答案】
䁨
ʹ
【分析】根据求一个数的算术平方根、零指数和负整数指数幂的运算法则进行运算，即可求得．
【详解】解：ͻ െሺെʹ㌳ʹʹሻ㌳൅ʹെͳ
ൌ͵ െͳ ൅
ͳ
ʹ
ൌ
䁨
ʹ．
16．（2022·浙江金华·中考真题）计算：ሺെʹ㌳ʹʹሻ㌳െʹtanͶ䁨ι ൅ȁ െʹȁ ൅
ͻ．
【答案】4
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式ൌͳ െʹ ൈͳ ൅ʹ ൅͵
ൌͳ െʹ ൅ʹ ൅͵
ൌͶ；
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1．（2026·浙江杭州·一模）如果൅͵ 表示转盘沿逆时针方向转3 圈，那么转盘沿顺时针方向转5 圈可记
作（
）
A．൅䁨
B．െ䁨
C．൅
ͳ
䁨
D．െ
ͳ
䁨
【答案】B
【详解】解：∵题干规定逆时针方向转3 圈记作൅͵，即逆时针方向转动用正数表示，
∴与逆时针方向意义相反的顺时针方向转动应用负数表示，
∴顺时针方向转5 圈可记作െ䁨．
2．（2026·浙江绍兴·二模）实数ܽ
，㜲在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
A．ܽെ㜲㐶㌳
B．ܽ൅㜲൏㌳
C．ܽ㜲൏㌳
D．ܽ
㐶㜲
【答案】C
【分析】先由图得到ܽ
൏െͳ ൏ʹ ൏㜲，逐项验证选项中的结论即可．
【详解】解：由实数ܽ
，㜲在数轴上的对应点的位置可知ܽ
൏െͳ ൏ʹ ൏㜲，
׵ܽ
െ㜲൏㌳，ܽ൅㜲㐶㌳，ܽ㜲൏㌳，ܽ
൏㜲，
则四个选项中的结论只有C 正确．
3．（2026·浙江舟山·二模）祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数
͵䁨䁨
ͳͳ͵，
其与π的差值
͵䁨䁨
ͳͳ͵ െπ ൎ㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳ʹ͹，该差值用科学记数法表示为（
）．
A．ʹ͹ ൈͳ㌳െ6
B．㌳ʹ͹ ൈͳ㌳െ͹
C．㌳ʹ͹ ൈͳ㌳െ6
D．ʹ͹ ൈͳ㌳െ͹
【答案】D
【分析】本题考查绝对值小于1 的数的科学记数法表示，科学记数法形式为ܽ
ൈͳ㌳݊，要求ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，
n 为整数，只需根据定义确定a 和n 的值即可．
【详解】解：∵该差值为㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳ʹ͹ ，
根据科学记数法对ܽ
的要求ͳ ൑ܽ
൏ͳ㌳，
得ܽ
ൌʹ͹ ，
将原数小数点向右移动7 位得到ܽ
，原数绝对值小于1，故݊
ൌെ͹，
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∴㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳ʹ͹ ൌʹ͹ ൈͳ㌳െ͹．
4．（2026·浙江温州·三模）下列运算结果正确的是（
）
A．ܽʹ ൅ܽ
͵ ൌܽ
䁨
B．ܽʹ ڄܽ
͵ ൌܽ
6
C．ܽ
ʹ ͵ ൌܽ
6
D．ܽ
ʹ ൌܽ
【答案】C
【详解】解：A、ܽʹ与ܽ͵不是同类项，不能合并，错误；
B、根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，得ܽʹ൉ܽ͵ ൌܽ
ʹ൅͵ ൌܽ
䁨്ܽ
6，错误；
C、根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，得ሺܽʹሻ͵ ൌܽ
ʹൈ͵ ൌܽ
6，正确；
D、根据二次根式的性质，得ܽ
ʹ ൌܽ
，只有当ܽ
൒㌳时才有ܽ
ʹ ൌܽ
，错误．
二、填空题
5．（2026·浙江·二模）0.00056 用科学记数法表示为_________．
【答案】䁨6 ൈͳ㌳െͶ
【详解】解：㌳㌳㌳㌳䁨6 ൌ䁨6 ൈͳ㌳െͶ．
6．（2026·浙江衢州·一模）计算：ͺ െ
6 ൈ
ͳ
͵ ൌ________．
【答案】ʹ
【分析】先化简ͺ ൌʹ ʹ，计算6 ൈ
ͳ
͵ ൌ
ʹ，再合并即可．
【详解】解：ͺ െ
6 ൈ
ͳ
͵
ൌʹ ʹ െ
ʹ
ൌ
ʹ．
7．（2026·浙江台州·二模）【数学阅读】17 世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
π
Ͷ ൌͳ െ
ͳ
͵ ൅ڮ ൅ሺെ
ͳሻ݊൅ͳ
ͳ
ʹ݊െͳ ൅ڮ．
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当݊
ൌͶ 时，π的近似值为_________．（结果保留一
位小数）
【答案】ʹͻ
【详解】解：当݊
ൌͶ 时，取该级数的前4 项进行估算，
则
π
Ͷ ൎͳ െ
ͳ
͵ ൅
ͳ
䁨െ
ͳ
͹ ൌ
͹6
ͳ㌳䁨，
׵ π ൎ
͵㌳Ͷ
ͳ㌳䁨ൎʹͻ．
8．（2026·浙江绍兴·一模）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对
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于正整数k，若݇
ൌܽ
ʹ ൅ݎ（其中a 为正整数，整数ݎ്
㌳），则当ݎ最小时，݇
ൌܽ
ʹ ൅ݎൎܽ
൅
ݎ
ʹܽ．用该
方法计算ͻ͹的近似值为____．（结果保留两位小数）
【答案】9.85
【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将ͻ͹ 改写为ܽʹ ൅ݎ的形式，确定使ȁݎȁ最小的正整数ܽ
和
整数ݎ，再代入公式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得，݇
ൌͻ͹．
׶ ͻʹ ൌͺͳ，ͳ㌳ʹ ൌͳ㌳㌳．
׵将ͻ͹ 表示为ͻ͹ ൌͳ㌳ʹ ൅െ͵ ，此时ݎൌ͵．
若取ܽ
ൌͻ，则ݎൌͻ͹ െͺͳ ൌͳ6，ݎൌͳ6 㐶͵．
因此取ܽ
ൌͳ㌳，ݎൌെ͵，
代入近似公式݇
ൌܽ
ʹ ൅ݎൎܽ
൅
ݎ
ʹܽ，得：
ͻ͹ ൎͳ㌳൅
െ͵
ʹൈͳ㌳ൌͳ㌳െ㌳ͳ䁨ൌͻͺ䁨．
三、解答题
9．（2026·浙江舟山·一模）计算：
ͳ
ʹ
െͳ
െʹsin͵㌳ι ൅െͶ ．
【答案】䁨
【分析】根据负整数指数幂、三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】解：
ͳ
ʹ
െͳ
െʹsin͵㌳ι ൅െͶ
ൌʹ െʹ ൈͳ
ʹ ൅Ͷ
ൌʹ െͳ ൅Ͷ
ൌ䁨．
10．（2026·浙江台州·三模）计算：
͵ ൅ͳ
ʹ ൅π㌳െʹtan6㌳ι ൅
͵ െʹ͹．
【答案】2
【分析】根据完全平方公式把
͵ ൅ͳ
ʹ展开，根据㌳指数幂的运算法则可得：π㌳ൌͳ，根据特殊角的
三角函数值可得：ʹtan6㌳ι ൌʹ ͵，根据立方根的定义可得：
͵ െʹ͹ ൌെ͵，然后再根据运算法则进行计算．
【详解】解：
͵ ൅ͳ
ʹ ൅π㌳െʹtan6㌳ι ൅
͵ െʹ͹
ൌ͵ ൅ʹ ͵ ൅ͳ ൅ͳ െʹ ͵ െ͵
ൌʹ．
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11．（2026·浙江金华·一模）计算：͵tan6㌳ι ൅െʹ െሺߨെ͵ሻ㌳
【答案】4
【详解】解：͵tan6㌳ι ൅െʹ െሺߨെ͵ሻ㌳
ൌ
͵ ൈ
͵ ൅ʹ െͳ
ൌ͵ ൅ʹ െͳ
ൌͶ
12．（2026·浙江杭州·二模）计算：ʹ
ʹ െͳ െ
ͺ െ
ʹ
ʹ．
【答案】െͶ
【分析】本题考查二次根式的混合运算. 先展开乘法，化简二次根式，计算乘方，再合并同类项即可得
到结果，即可求解．
【详解】解：原式ൌʹ ʹ െʹ െʹ ʹ െʹ ൌെͶ
13．（2026·浙江·二模）【阅读理解】
利用平方差公式：ܽ
൅㜲ܽ
െ㜲ൌܽ
ʹ െ㜲ʹ近似求算术平方根．
例：求ͳ͹的近似值（结果保留2 位小数）的过程如右图：
解：因为ͳ6 ൏ͳ͹ ൏ʹ䁨，所以Ͷ ൏
ͳ͹ ൏䁨
根据平方差公式
ͳ͹ െͶ
ͳ͹ ൅Ͷ ൌͳ͹ െͳ6 ൌͳ
可设ͳ͹ ൌͶ ൅ݔ，其中㌳൏ݔ൏ͳ，所以ݔൌ
ͳ͹ െͶ
代入得：ݔ
ͳ͹ ൅Ͷ ൌͳ
因为ͳ͹接近4，所以ͳ͹ ൅Ͷ ൎͶ ൅Ͷ ൌͺ，得ݔൎ
ͳ
ͺ ൌ㌳ͳʹ䁨
故ͳ͹ ൎͶ ൅㌳ͳʹ䁨ൎͶͳ͵
【尝试探究】
(1) 6䁨在整数________和________之间；
(2)求6䁨的近似值（结果保留2 位小数）．
【答案】(1)8，9 (2)ͺ㌳6
【分析】（1）根据6Ͷ ൏6䁨൏ͺͳ 进行估算即可；
（2）先得出
6䁨െͺ
6䁨൅ͺ ൌͳ，再设6䁨ൌͺ ൅ݔ，其中㌳൏ݔ൏ͳ，则ݔൌ
ͳ
6䁨൅ͺ，然后估算6䁨൅ͺ，
代入计算即可．
【详解】（1）解：∵6Ͷ ൏6䁨൏ͺͳ，
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∴ͺ ൏
6䁨൏ͻ，
即6䁨在整数8 和9 之间．
（2）解：
6䁨െͺ
6䁨൅ͺ ൌ6䁨െ6Ͷ ൌͳ，
设6䁨ൌͺ ൅ݔ，其中㌳൏ݔ൏ͳ，则ݔൌ
6䁨െͺ，
∴ݔ
6䁨൅ͺ ൌͳ，
∴ݔൌ
ͳ
6䁨൅ͺ，
∵6䁨接近8，
∴6䁨൅ͺ ൎͺ ൅ͺ ൌͳ6，
∴ݔൎ
ͳ
ͳ6 ൌ㌳㌳6ʹ䁨，
∴6䁨ൎͺ ൅㌳㌳6ʹ䁨ൌͺ㌳6ʹ䁨ൎͺ㌳6．
14．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．
小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算݊
的大小．
(1)已知䁨ʹ ൌʹ䁨，6ʹ ൌ͵6．若m 是ʹͺ的整数部分，则݉
ൌ________．
【方法探究】
小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若ܽ
ൎ㜲，则ܽ
㜲ൎܽ
൅㜲
ʹ ．
她在估算ͳͺ时想到的方法是：因为ͳͺ的整数部分是4，所以可以取ܽ
ൌͶ，则㜲ൌ
ͳͺ
Ͷ ൌͶ䁨，则ͳͺ ൌ
Ͷ ൈͶ䁨ൎ
Ͷ൅Ͷ䁨
ʹ
ൌͶʹ䁨．
【学以致用】
(2)请利用小红的方法，估算͵ͻ的值．
【答案】(1)䁨(2)6ʹ䁨
【分析】（1）根据ʹ䁨൏ʹͺ ൏͵6 得到ʹͺ的取值范围即可；
（2）仿照示例作答即可．
【详解】（1）解：∵ʹ䁨൏ʹͺ ൏͵6，
∴䁨൏
ʹͺ ൏6，
∵m 是ʹͺ的整数部分，
∴݉
ൌ䁨；
（2）解：∵͵6 ൏͵ͻ ൏Ͷͻ，
∴6 ൏
͵ͻ ൏͹，
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∴͵ͻ的整数部分是6，
所以可以取ܽ
ൌ6，则㜲ൌ
͵ͻ
6 ൌ6䁨，
则͵ͻ ൌ
6 ൈ6䁨ൎ
6൅6䁨
ʹ
ൌ6ʹ䁨．
15．（2026·浙江温州·一模）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例
如由ͳ ൏
ʹ ൏
Ͷ，可得ʹ的整数部分为1，接下来如何进一步估算ʹ的值呢？小明同学在查询资料后，
发现了一种方法：以ͳͳͶ为例，易知ͳͳͶ的整数部分为10，且更接近11；则ͳͳͶ ൌͳ㌳ʹ ൅ͳͶ，ͳͳͶ െͳ㌳ʹ ൌͳͶ，
ͳͳͶ ൅ͳ㌳
ͳͳͶ െͳ㌳ൌͳͶ；ͳͳͶ ൌͳ㌳൅
ͳͶ
ͳͳͶ൅ͳ㌳ൎͳ㌳൅
ͳͶ
ͳͳ൅ͳ㌳ൎͳ㌳6͹．（实际上，ͳͳͶ ൎͳ㌳6͹͹㌳͹ڮ）
(1) ͹ͻ的整数部分为______；͹ͻ ൎ______（结果保留两位小数）．
(2)小明在采用这种方法估算ʹ时，得到ʹ ൌͳ ൅
ͳ
ʹ൅ͳ ൎͳ ൅
ͳ
ͳ൅ͳ ൌͳ䁨，与熟知的数据相差较大；小明仔细
思考后发现问题在于ʹ的小数部分与1 比较接近，因此在分母中用1 来代替ʹ会产生较大的误差．请你利
用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算ʹ的值（结果保留三位小数）．
【答案】(1)8，ͺͺͺ
(2) ʹ ൎͳͶͳͶ
【分析】（1）参照题干中所给方法进行估算即可；
（2）先求出ͳͶ ൏
ʹ ൏ͳ䁨，再仿照题干中所给方法进行估算即可；
【详解】（1）解：׶
6Ͷ ൏
͹ͻ ൏
ͺͳ，
׵ ͺ ൏
͹ͻ ൏ͻ，
׵
͹ͻ的整数部分为8；
͹ͻ的整数部分为8，且更接近9，则͹ͻ ൌͺʹ ൅ͳ䁨，͹ͻ െͺʹ ൌͳ䁨，
׵
͹ͻ ൅ͺ
͹ͻ െͺ ൌͳ䁨，
׵
͹ͻ ൌͺ ൅
ͳ䁨
͹ͻ൅ͺ ൎͺ ൅
ͳ䁨
ͻ൅ͺ ൎͺͺͺ；
（2）解：׶ ͳͶʹ ൏ʹ ൏ͳ䁨ʹ
׵ ͳͶ ൏
ʹ ൏ͳ䁨，ʹ更接近1.4，
׵ ʹ ൌͳͶʹ ൅㌳㌳Ͷ，ʹ െͳͶʹ ൌ㌳㌳Ͷ，
׵
ʹ ൅ͳͶ
ʹ െͳͶ ൌ㌳㌳Ͷ，
׵
ʹ ൌͳͶ ൅
㌳㌳Ͷ
ʹ൅ͳͶ ൎͳͶ ൅
㌳㌳Ͷ
ͳͶ൅ͳͶ ൎͳͶͳͶ．
16．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式：
ݔͳ ൌ
ͳ ൅
ͳ
ͳʹ ൅
ͳ
ʹʹ ൌͳ ൅
ͳ
ͳൈʹ ൌ
͵
ʹ，
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ݔʹ ൌ
ͳ ൅
ͳ
ʹʹ ൅
ͳ
͵ʹ ൌͳ ൅
ͳ
ʹൈ͵ ൌ
͹
6，
ݔ͵ ൌ
ͳ ൅
ͳ
͵ʹ ൅
ͳ
Ͷʹ ൌͳ ൅
ͳ
͵ൈͶ ൌ
ͳ͵
ͳʹ，
……
根据以上规律，请完成下面问题：
(1)求ݔ䁨的值；
(2)比较ݔͳ ൅ݔʹ ൅ݔ͵ ൅ڮ ൅ݔʹ㌳ʹ䁨与2026 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
͵ͳ
͵㌳
(2)ݔͳ ൅ݔʹ ൅ݔ͵ ൅ڮ ൅ݔʹ㌳ʹ䁨൏ʹ㌳ʹ6 ；见解析
【分析】（1）根据规律计算ݔ䁨的值即可；
（2）根据题意，找到前2025 个等式求和，再与2026 比较即可．
【详解】（1）解：ݔ䁨ൌ
ͳ ൅
ͳ
䁨ʹ ൅
ͳ
6ʹ ൌͳ ൅
ͳ
䁨ൈ6 ൌ
͵ͳ
͵㌳；
（2）解：׶ ݔͳ ൌ
ͳ ൅
ͳ
ͳʹ ൅
ͳ
ʹʹ ൌͳ ൅
ͳ
ͳൈʹ ൌͳ ൅ͳ െ
ͳ
ʹ ，ݔʹ ൌ
ͳ ൅
ͳ
ʹʹ ൅
ͳ
͵ʹ ൌͳ ൅
ͳ
ʹൈ͵ ൌͳ ൅
ͳ
ʹ െ
ͳ
͵ ൌ
͹
6，
ڮ，
ݔʹ㌳ʹ䁨ൌ
ͳ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ䁨ʹ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ6ʹ ൌͳ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ䁨ൈʹ㌳ʹ6 ൌͳ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ䁨െ
ͳ
ʹ㌳ʹ6 ，
׵ ݔͳ ൅ݔʹ ൅ݔ͵ ൅ڮ ൅ݔʹ㌳ʹ䁨
ൌͳ ൅ͳ െͳ
ʹ ൅ͳ ൅ͳ
ʹ െͳ
͵ ൅ڮ ൅ͳ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ䁨െ
ͳ
ʹ㌳ʹ6
ൌʹ㌳ʹ䁨ൈͳ ൅ͳ െ
ͳ
ʹ ൅ڮ ൅
ͳ
ʹ㌳ʹ䁨െ
ͳ
ʹ㌳ʹ6 ，
ൌʹ㌳ʹ䁨൅ͳ െ
ͳ
ʹ㌳ʹ6
ൌʹ㌳ʹ6 െ
ͳ
ʹ㌳ʹ6
ൌʹ㌳ʹ䁨
ʹ㌳ʹ䁨
ʹ㌳ʹ6，
∵ʹ㌳ʹ䁨
ʹ㌳ʹ䁨
ʹ㌳ʹ6 ൏ʹ㌳ʹ6，
׵ ݔͳ ൅ݔʹ ൅ݔ͵ ൅ڮ ൅ݔʹ㌳ʹ䁨൏ʹ㌳ʹ6 ．
17．（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】
∵6͹ ൌͺ ൅⸷
∴6͹ ൌͺ ൅⸷ʹ，
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即6͹ ൌ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅⸷ʹ．
∵⸷ʹ比较小，
∴⸷ʹ忽略不计，
∴6͹ ൎ6Ͷ ൅ͳ6⸷，
即ͳ6⸷ൎ6͹ െ6Ͷ，
解得⸷ൎ
6͹െ6Ͷ
ͳ6
ൌ
͵
ͳ6，
故6͹ ൎͺ ൅
͵
ͳ6 ൎͺͳͻ
如图是小明利用完全平方公式ܽ
൅㜲ʹ ൌܽ
ʹ  ൅ʹܽ㜲൅㜲ʹ近似计算6͹的演算过程．小明在解答后思考：能否
进一步提升计算精确度？他发现“⸷ʹ忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度：
①将⸷ʹ近似为⸷估算；
②从计算过程中发现⸷ൎ
͵
ͳ6，将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6 ⸷再估算．
【方案选择】
（1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写①或②）
【近似计算】
（2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算6͹的近似值．（结果用带分数表示）
【答案】（1）②（2）6͹ ൎͺ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ
【分析】（1）①将⸷ʹ近似为⸷估算,根据提供的方法计算即可；
②将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6⸷，根据提供的方法计算即可．
（2）根据前面的解答求解即可．
本题考查了算术平方根的估算，完全平方公式的应用，解方程，熟练掌握估算方法是解题的关键．
【详解】(1) ①解：将⸷ʹ近似为⸷估算如下：
∵6͹ ൌͺ ൅⸷，∴6͹ ൌͺ ൅⸷ʹ，即6͹ ൌ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅⸷ʹ．
∵⸷ʹ近似为⸷，
∴6͹ ൎ6Ͷ ൅ͳ͹⸷，
即ͳ͹⸷ൎ6͹ െ6Ͷ，
解得⸷ൎ
6͹െ6Ͷ
ͳ͹
ൌ
͵
ͳ͹，
故6͹ ൎͺ ൅
͵
ͳ͹ ൌͺ
͵
ͳ͹；
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②解：将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6⸷估算如下：
∵6͹ ൌͺ ൅⸷，∴6͹ ൌͺ ൅⸷ʹ，即6͹ ൌ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅⸷ʹ．
∵将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6 ⸷，
∴6͹ ൎ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅
͵
ͳ6 ⸷，
即
ʹ䁨ͻ
ͳ6 ⸷ൎ6͹ െ6Ͷ，
解得⸷ൎ
6͹െ6Ͷ
ʹ䁨ͻ
ͳ6
ൌ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ，
故6͹ ൎͺ ൅
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ ൌͺ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ；
∵
͵
ͳ͹ ൌ
͵ൈʹ䁨ͻ
ͳ͹ൈʹ䁨ͻ ൌ
͹͹͹
ͶͶ㌳͵ 江
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ ൌ
Ͷͺൈͳ͹
ͳ͹ൈʹ䁨ͻ ൌ
ͺͳ6
ͶͶ㌳͵，
∴
͹͹͹
ͶͶ㌳͵ ൏
ͺͳ6
ͶͶ㌳͵，
故ͺ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ的精确度更高，
故答案为：②．
(2)解：将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6 ⸷估算如下：
∵6͹ ൌͺ ൅⸷，∴6͹ ൌͺ ൅⸷ʹ，即6͹ ൌ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅⸷ʹ．
∵将⸷ʹ近似为
͵
ͳ6 ⸷，
∴6͹ ൎ6Ͷ ൅ͳ6⸷൅
͵
ͳ6 ⸷，
即
ʹ䁨ͻ
ͳ6 ⸷ൎ6͹ െ6Ͷ，
解得⸷ൎ
6͹െ6Ͷ
ʹ䁨ͻ
ͳ6
ൌ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ，
故6͹ ൎͺ ൅
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ ൌͺ
Ͷͺ
ʹ䁨ͻ．