文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（二）
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0 的正整数解．则等腰三
角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
2．（2026•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，
AE⊥BC，边BC 分别与AE，AF 相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（ ）
A．2√3
B．3√3
C．4√3
D．6√3
3．（2026•安徽）如图，点C，E 分别为等腰直角△ABC 与等腰直角△DBE 的直角顶点，且点C 在边DE
上．AF⊥DE，垂足为F．边AB 的中点为M，线段MC，AC 分别交BD 于点N，H，连接AD，AN．若
AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CE
B．CM=√2DN
C．CH＝CN
D．AN=√2CD
4．（2026•台湾）如图，直角柱ABCDEF 的底面为正三角形，图中标示各顶点名称．判断此角柱中的
∠ABC、∠BCF 的度数分别为何？（ ）
A．∠ABC＝90°，∠BCF＝90°
B．∠ABC＝60°，∠BCF＝60°
C．∠ABC＝90°，∠BCF＝60°
D．∠ABC＝60°，∠BCF＝90°
5．（2026•台湾）如图，圆O 与菱形ABCD 中，A、B、D 在圆上，C 在圆内，O 在AC 上．若圆O 的半径
2
为13，BD＝24，则CO 的长度为多少？（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（2026•台湾）△ABC 的边上有三点D、E、F，各点位置如图所示．若BE＝AF，∠BED＝∠AFC，
ED＝FC，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF 周长为何？（ ）
A．20
B．22
C．24
D．25
7．（2026•台湾）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，D 点为AC 的中点，E 点在BD 上，AE 为∠BAC 的角
平分线．若∠C＝40°，则∠AEB 的度数为何？（ ）
A．105
B．110
C．115
D．120
二．填空题（共11 小题）
8．（2026•广东）如图，在四边形ABCD 中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点
E，F，G 分别是AD，BD，BC 的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝ ．
9．（2026•齐齐哈尔）数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用
“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l 上，OA1＝1，
点B1在x 轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角
3
形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作
“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为
底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为 ．
10．（2026•河北）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE 于点D，AC⊥DE 于点
E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝ m．
11．（2026•深圳）如图，在菱形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，连接AE，DE．若AE＝4，且DE2＝
AB•BE，则菱形ABCD 的边长为 ．
12．（2026•新疆）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B 在墙面上滑动，另
一顶点C 在地面上滑动，O，A，B，C 在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A 到墙角O 的距
离的最大值为 ．
13．（2026•河南）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD 是角平分线．点E 为边BC 上一点，连
接AE，交CD 于点F，连接BF．若AE＝2√5，则BF 的长为 ．
4
14．（2026•福建）如图，A，B 两点被池塘隔开，在AB 外选择一点C，连接AC 和BC，分别取AC 和BC
中点M，N，测得MN＝100 米，则A，B 两点间的距离是 米．
15．（2026•山西）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10．点E 是AB 边上的一点，
且AE＝3，连接DE，过点E 作DE 的垂线，交BC 的延长线于点F，交CD 边于点G．若CF＝CG＝5，
则线段BF 的长为 ．
16．（2026•上海）等腰三角形ABC 中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝ ．
17．（2026•攀枝花）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD 的面积
为 ．
18．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D 为斜边AC 的中点，则BD
＝ ．
5
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
C
A
B
D
B
B
A
一．选择题（共7 小题）
1．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0 的正整数解．则等腰三
角形的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．4 或5
【考点】等腰三角形的性质；一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】解不等式2x﹣5≤0，得x≤2.5，则该不等式2 的正整数解为1，2，由于1+1＝2 不满足两边之
和大于第三边，因此1 不能是等腰三角形的腰，只能是底边，此时该等腰三角形的三边长为2，2，1，
据此可得等腰三角形的周长为5．
【解答】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5，
∴不等式2x﹣5≤0 的正整数解为1，2，
依题意得：该等腰三角形的两边为1，2，
又∵1+1＝2 不满足三角形两边之和大于第三边，
∴1 不能是等腰三角形的腰，只能是底边，
∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1，
此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1，
∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，解一元一次不等式，理解等腰
三角形的性质，熟练掌握三角形三边之间的关系，解一元一次不等式是解决问题的关键．
2．（2026•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，
AE⊥BC，边BC 分别与AE，AF 相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（ ）
A．2√3
B．3√3
C．4√3
D．6√3
6
【考点】勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】依题意得△ABC 是等腰直角三角形，根据AE⊥BC 于点M，得AM＝BM＝CM＝6，∠AMN＝
90°，再求出∠MAN＝∠EAF＝30°，在△AMN 中得AN＝2MN，然后由勾股定理可得MN=2√3，据此
可得出答案．
【解答】解：在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵AE⊥BC 于点M，BC＝12，
∴AM＝BM＝CM= 1
2BC＝6，∠AMN＝90°，
在△AEF 中，∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∴∠MAN＝∠EAF＝30°，
在△AMN 中，∠AMN＝90°，∠MAN＝30°，
∴AN＝2MN，
由勾股定理得：AM=√A N
2- M N
2=√(2 MN )
2- M N
2=√3MN，
∴√3MN＝6，
∴MN=2√3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股
定理是解决问题的关键．
3．（2026•安徽）如图，点C，E 分别为等腰直角△ABC 与等腰直角△DBE 的直角顶点，且点C 在边DE
上．AF⊥DE，垂足为F．边AB 的中点为M，线段MC，AC 分别交BD 于点N，H，连接AD，AN．若
AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CE
B．CM=√2DN
C．CH＝CN
D．AN=√2CD
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理
能力．
【答案】B
7
【分析】对于选项A，连接MD 交AC 于点Q，作△ABC 的外接圆，记为⊙M，证明点D 在⊙M 上得
∠ADB＝90°，进而得∠FEA＝45°，由此得△FAD 是等腰直角三角形，则DF＝AF，证明△AFC 和
△CBE 全等得AF＝CE，据此得选项A 正确；
对于选项B，由AD＝DC 得弧AD＝弧DC，则∠1＝∠2＝22.5°，由垂径定理得MD⊥AC，证明△AMC
是等腰直角三角形得∠MCA＝45°，由此得MQ＝AQ＝CQ，在Rt△MQC 中，由勾股定理得CM＝MQ
=√2AQ，明△ADN 是等腰直角三角形得AD＝DN，在△AQD 中，由∠AQD＝90°得AQ＜AD，则AQ＜
DN，由此得CM＜√2DN，则选项B 错误；
对于选项C，证明∠CNH＝∠CHN＝67.5°得CH＝CN，据此得选项C 正确；
对于选项D，对于选项D，根据△ADN 是等腰直角三角形且AD＝ND，由勾股定理得AN＝√2AD，然
后根据AD＝CD 得选项D 正确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
连接MD 交AC 于点Q，作△ABC 的外接圆，如图所示：
∵△ABC 是等腰直角三角形，点C 为直角顶点，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC，
∴AB 是△ABC 外接圆的直径，
∵点M 是AB 的中点，
∴点M 是△ABC 外接圆的圆心，记作△ABC 的外接圆为⊙M，
∵△DBE 是等腰直角三角形，点E 为直角顶点，
∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°，
∴∠CAB＝∠EDB＝45°，
∴点D 在⊙M 上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°，
∵AF⊥DE，垂足为F，
∴∠F＝90°，
∴△FAD 是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，
在△BCE 中，∠E＝90°，
8
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠FCA＝∠EBC，
在△AFC 和△CBE 中，
{
∠F =∠E =90°
∠FCA =∠EBC
AC = BC
，
∴△AFC≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE，
∴DF＝CE，
故选项A 正确，不符合题意；
对于选项B，
∵AD＝DC，
∴^
AD =^
DC，
∴∠1＝∠2= 1
2∠CBA＝22.5°，
由垂径定理得：MD⊥AC，
∴∠MQC＝∠AQD＝90°，
在△ABC 中，AC＝BC，点M 是AB 的中点，
∴CM⊥AB，CM＝AM＝BM= 1
2AB，
∴△AMC 是等腰直角三角形，
∴∠MCA＝45°，
又∵MD⊥AC，
∴MQ＝AQ＝CQ= 1
2AC，∠CMB＝∠CMA＝90°，
在△MQC 中，由勾股定理得：CM=√M Q
2+C Q
2=√2MQ=√2AQ，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM 是AB 边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN 中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN 是等腰直角三角形，
9
∴AD＝DN，
在△AQD 中，∠AQD＝90°，
∴AQ＜AD，
∴CM＜√2AD，
故选项B 错误，符合题意；
对于选项C，
在△BMN 中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°，
∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°，
∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°，
在△AHN 中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°，
∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°，
∴CH＝CN，
故选项C 正确，不符题意；
对于选项D，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM 是AB 边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN 中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN 是等腰直角三角形，
∴AD＝ND，
由勾股定理得：AN=√A D
2+ N D
2=√2AD，
∵AD＝CD，
∴AN=√2CD，
故选项D 正确，不符合题意，
综上所述：选项B 错误，符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂
径定理，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理
垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
4．（2026•台湾）如图，直角柱ABCDEF 的底面为正三角形，图中标示各顶点名称．判断此角柱中的
∠ABC、∠BCF 的度数分别为何？（ ）
10
A．∠ABC＝90°，∠BCF＝90°
B．∠ABC＝60°，∠BCF＝60°
C．∠ABC＝90°，∠BCF＝60°
D．∠ABC＝60°，∠BCF＝90°
【考点】等边三角形的性质；认识立体图形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；推理能力．
【答案】D
【分析】由直棱柱的概念，得到CF⊥BC，得到∠BCF＝90°，由等边三角形的性质推出∠ABC＝60°．
【解答】解：∵这个棱柱是直棱柱，
∴侧棱CF⊥底面ABC，
∴CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，认识立体图形，关键是掌握等边三角的三个角是60°，直棱柱的
概念．
5．（2026•台湾）如图，圆O 与菱形ABCD 中，A、B、D 在圆上，C 在圆内，O 在AC 上．若圆O 的半径
为13，BD＝24，则CO 的长度为多少？（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】勾股定理；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】AC、BD 相交于点E，连结OD，如图，先根据菱形的性质得到BE＝DE= 1
2BD＝12，
11
AC⊥BD，AE＝CE，再利用勾股定理计算出OE＝5，再计算出CE，然后计算CE﹣OE 即可．
【解答】解：AC、BD 相交于点E，连结OD，如图，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴BE＝DE= 1
2BD＝12，AC⊥BD，AE＝CE，
在Rt△ODE 中，∵OD＝13，DE＝12，
∴OE=√13
2-12
2=5，
∵OA＝13，
∴AE＝OA﹣OE＝13﹣5＝8，
∴CE＝8，
∴OC＝CE﹣OE＝8﹣5＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长
的平方．也考查了菱形的性质．
6．（2026•台湾）△ABC 的边上有三点D、E、F，各点位置如图所示．若BE＝AF，∠BED＝∠AFC，
ED＝FC，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF 周长为何？（ ）
A．20
B．22
C．24
D．25
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由BE＝AF，ED＝FC，求得AF+EF+ED＝BE+EF+FC＝BC＝16，而∠BED＝∠AFC，可根据
“SAS”证明△BDE≌△ACF，得BD＝AC＝9，AB＝15，所以AD＝AB﹣BD＝6，则AF+EF+ED+AD＝
22，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵BE＝AF，ED＝FC，且BC＝16，
12
∴AF+EF+ED＝BE+EF+FC＝BC＝16，
在△BDE 和△ACF 中，
{
BE = AF
∠BED =∠AFC
ED = FC
，
∴△BDE≌△ACF（SAS），
∴BD＝AC＝9，
∵AB＝15，
∴AD＝AB﹣BD＝15﹣9＝6，
∴AF+EF+ED+AD＝16+6＝22，
四边形ADEF 周长为22，
故选：B．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ACF 是解题的关键．
7．（2026•台湾）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，D 点为AC 的中点，E 点在BD 上，AE 为∠BAC 的角
平分线．若∠C＝40°，则∠AEB 的度数为何？（ ）
A．105
B．110
C．115
D．120
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAC＝50°，再利用直角三角形斜边上的中线性质
可得BD＝AD，从而可得∠BAC＝∠DBA＝50°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝25°，最后利用
三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵D 点为AC 的中点，
∴BD＝AD= 1
2AC，
∴∠BAC＝∠DBA＝50°，
∵AE 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAE= 1
2∠BAC＝25°，
13
∴∠AEB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAE＝105°，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形
进行分析是解题的关键．
二．填空题（共11 小题）
8．（2026•广东）如图，在四边形ABCD 中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点
E，F，G 分别是AD，BD，BC 的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝ √2 ．
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】√2．
【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点E，F，G 分别是AD，BD，BC 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，FG 是△BDC 的中位线，
∴EF∥AB，EF＝
1
2AB＝1，FG∥CD，FG= 1
2CD＝1，
∴∠DFE＝∠ABD＝20°，∠BFG＝∠BDC＝110°，
∴∠GFD＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EFG＝∠EFD+∠DFG＝20°+70°＝90°，
∴EG=√E F
2+ F G
2=√2，
故答案为：√2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是三角形中位线定理及等腰直角三角
形的性质等知识点．
9．（2026•齐齐哈尔）数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用
“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l 上，OA1＝1，
点B1在x 轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角
形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作
“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为
底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为 1
2 ×( 4
3 )
2025 ．
14
【考点】含30 度角的直角三角形；规律型：点的坐标；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】规律型；三角形．
【答案】1
2 ×( 4
3 )
2025．
【分析】如图过点A1 作A1D⊥x 轴于点D，得出A1 D =O A1sin30° = 1
2，OD =O A1cos30° = √3
2 ，
O B1=2OD =√3，进而可得O A1= √3
3 O B1，据此规律求得OA2，OA3，结合题意可得An∁n∥x 轴，求
得An的纵坐标为1
2 ×( 4
3 )
n-1即可求解．
【解答】解：如图过点A1作A1D⊥x 轴于点D，
∵∠A1OD＝30°，OA1＝1，
∴A1 D =O A1sin30° = 1
2，OD =O A1cos30° = √3
2 ，O B1=2OD =√3，
∴O A1= √3
3 O B1，
∴A1( √3
2 ，1
2 )，
∵∠C1A1B1＝30°＝∠A1B1O，
∴A1C1∥x 轴，则C1的纵坐标为1
2，
∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，
同理可得：A1C1= √3
3 A1B1= √3
3 ，A1 A2= √3
3 A1C1= 1
3，
∴O A2=O A1+ A1 A2=1+ 1
3，
15
∴A2的纵坐标为1
2 O A2= 1
2 + 1
3 × 1
2 = 1
2 (1+ 1
3 )= 1
2 × 4
3 ，
同理可得A2C2∥x 轴，则C2的纵坐标为1
2 × 4
3 ，
∵∠A1OD＝30°，
∴O A2=2 y A2= 4
3 ，
∴A2B2=O A2= 4
3 ，则A2C2= √3
3 A2B2= √3
3 × 4
3 ，A2 A3= √3
3 A2C2= 1
3 × 4
3 ，
∴O A3=O A2+ A2 A3= 4
3 + 1
3 × 4
3 ，
∴A3的纵坐标为1
2 O A3= 2
3 + 1
3 × 2
3 = 1
2 ×( 4
3 )
2，
…，
∴An的纵坐标为1
2 ×( 4
3 )
n-1，
又∵An∁n∥x 轴，则∁n的纵坐标为1
2 ×( 4
3 )
n-1，
∴点C2026的纵坐标为1
2 ×( 4
3 )
2025，
故答案为：1
2 ×( 4
3 )
2025．
【点评】本题主要考查了含30 度角的直角三角形，规律型：点的坐标，等腰三角形的性质，掌握其相
关知识点是解题的关键．
10．（2026•河北）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB∥CD，BD⊥DE 于点D，AC⊥DE 于点
E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝
2
m．
【考点】勾股定理的应用；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】2．
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得BD∥AC，结合已知AB∥CD 可判定四边形ABDC
为平行四边形，从而得出CD＝AB；利用平行线的性质得出∠DCE＝∠BAC，最后在Rt△CDE 中利用
三角函数求解CE 的长，即可求解．
【解答】解：∵BD⊥DE，AC⊥DE，
16
∴BD∥AC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC 是平行四边形，
∴CD＝AB＝4m，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BAC＝60°，
在Rt△CDE 中，∠CED＝90°，∠DCE＝60°，
∴CE =CD⋅cos60° = 4× 1
2 =2m，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，平行线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
11．（2026•深圳）如图，在菱形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，连接AE，DE．若AE＝4，且DE2＝
AB•BE，则菱形ABCD 的边长为 2√2 ．
【考点】勾股定理；菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】2√2．
【分析】设菱形的边长为a，根据中点定义和已知条件表示出BE 和DE2；过点A 作AH⊥BC 交CB 的
延长线于点H，过点D 作DF⊥BC 于点F，证明△ABH≌△DCF，设BH＝CF＝x，利用勾股定理分别
表示出AE2和DE2，建立关于a 和x 的方程组，求解即可．
【解答】解：四边形ABCD 是菱形，设边长为a，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，AB∥CD，
∵点E 为边BC 的中点，
∴BE＝CE= 1
2BC= 1
2 a，
∵DE2＝AB•BE，
∴DE2＝a•1
2 a= 1
2 a
2，
如图，过点A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于点H，过点D 作DF⊥BC 于点F，
∴∠AHB＝∠DFC＝90°，
17
∵AB∥CD，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH 和△DCF 中，
{
∠AHB =∠DFC
∠ABH =∠DCF
AB = DC
，
∴△ABH≌△DCF（AAS），
∴BH＝CF，AH＝DF，
设BH＝CF＝x，
在Rt△ABH 中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝a2﹣x2，
在Rt△AHE 中，HE＝HB+BE＝x+ 1
2 a，
由勾股定理得：AE2＝AH2+HE2=a
2- x
2+( x + 1
2 a)
2= 5
4 a
2+ax，
∵AE＝4，
∴5
4 a
2+ax =16①，
在Rt△DFE 中，EF =CF -CE = x - 1
2 a，
由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2=a
2- x
2+( x - 1
2 a)
2= 5
4 a
2-ax，
∵D E
2= 1
2 a
2，
∴5
4 a
2-ax = 1
2 a
2，
∴ax = 3
4 a
2②，
将②代入①得5
4 a
2+ 3
4 a
2=16，
解得a=2√2（负值舍去）．
故答案为：2√2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是熟练
掌握全等三角形的性质．
12．（2026•新疆）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B 在墙面上滑动，另
一顶点C 在地面上滑动，O，A，B，C 在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A 到墙角O 的距
离的最大值为 2+√13 ．
18
【考点】勾股定理；三角形三边关系；直角三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】2+√13．
【分析】取BC 中点D，连接OD，AD，OA，根据直角三角形的性质求出OD＝2，利用勾股定理求出
AD =√13，由OA≤AD+OD 即可得出结果．
【解答】解：取BC 中点D，连接OD，AD，OA，
∵BC＝4，
∴BD = 1
2 BC =2，
由题意得∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴OD = 1
2 BC =2，
∵AB＝3，
∴AD =√A B
2+ B D
2=√13，
∵OA≤AD+OD，
∴OA 的最大值为AD +OD =2+√13，
即木块顶点A 到墙角O 的距离的最大值为2+√13，
故答案为：2+√13．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题
的关键．
13．（2026•河南）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD 是角平分线．点E 为边BC 上一点，连
接AE，交CD 于点F，连接BF．若AE＝2√5，则BF 的长为 2√2或10√2
3
．
19
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】2√2或10√2
3
．
【分析】过点A 作AI⊥BC 于点I，先由等腰三角形的性质求出BI＝CI＝3，则AI =√A B
2- B I
2= 4，
然后分点E 在点I 的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可．
【解答】解：过点A 作AI⊥BC 于点I，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BI＝Cl＝3，AI =√A B
2- B I
2= 4，
当点E 在I 左侧时，记作点E1，
∴I E1=√A E1
2- A I
2=√(2√5)
2- 4
2=2，
∴BE1＝BI﹣IE1＝3﹣2＝1，CE1＝CI+IE1＝3+2＝5＝CA，
∵CD 平分∠ACB，
∴AF1＝E1F1，
过点F1作F1M⊥BC 于点M，则F1M∥AI，
∴△E1F1M∽ΔE1AI，
∴
E1 M
E1 I = F1 M
AI
= E1 F1
E1 A = 1
2，
∴F1M＝2，E1M＝1，
∴BM＝1+1＝2，
∴B F1=√B M
2+ F1 M
2=2√2；
当点E 在I 右侧时，记作点E2，则同理IE2＝2，
20
∴CE2＝IC﹣IE2＝3﹣2＝1，
过点A 作AO∥BC 交CD 延长线于点O，则∠1＝∠3，△AOF2∽ΔE2CF2，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AO＝AC＝5，
∵△AOF2∽ΔE2CF2，
∴AO
C E2
= A F2
E2 F2
=5，
同理可得，ΔE2F2N∽ΔE2AI，
∴
E2 F2
E2 A = E2 N
E2 I = F2 N
AI = 1
6 ，
∴E2 N =2× 1
6 = 1
3，F2 N = 1
6 ×4 = 2
3，
∴BN = BC -C E2- N E2=6-1- 1
3 = 14
3 ，
∴B F2=√B N
2+ F2 N
2= 10√2
3
；
综上：BF 的长为2√2或10√2
3
，
故答案为：2√2或10√2
3
．
【点评】本题考查了勾股定理，一次函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
14．（2026•福建）如图，A，B 两点被池塘隔开，在AB 外选择一点C，连接AC 和BC，分别取AC 和BC
中点M，N，测得MN＝100 米，则A，B 两点间的距离是
200
米．
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【答案】200．
【分析】由三角形中位线定理，即可计算．
【解答】解：∵M、N 分别是AC 和BC 的中点，
∴MN 是△ABC 的中位线，
∴AB＝2MN＝2×100＝200（米）．
21
故答案为：200．
【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
15．（2026•山西）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10．点E 是AB 边上的一点，
且AE＝3，连接DE，过点E 作DE 的垂线，交BC 的延长线于点F，交CD 边于点G．若CF＝CG＝5，
则线段BF 的长为
14
．
【考点】勾股定理；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】14．
【分析】过点E 作EH∥BF，交CD 于点H．通过等角对等边证明HG＝EH＝DH，过点G 作GM⊥AB
于点M，作GN⊥BF 于点N，证明AD∥EH∥MG，根据平行线分线段成比例求出EM＝AE＝3，进而得
出BM＝4，证明四边形BNGM 是矩形得到GN＝MB＝4，根据勾股定理求出NC，得到NF 的长，从而
可得tanF 的值，进而在Rt△BEF 中解直角三角形即可求解．
【解答】解：过点E 作EH∥BF，交CD 于点H．
∴∠HEG＝∠F，
∵CF＝CG，
∴∠CGF＝∠F，
∴∠HEG＝∠CGF，
∵∠CGF＝∠HGE，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴EH＝HG．
∵DE⊥EF，
∴∠DEG＝90°，
∴∠DEH+∠HEG＝90°，∠EDG+∠DGE＝90°，
∵∠HEG＝∠DGE，
∴∠DEH＝∠EDG，
∴EH＝DH，
22
∴DH＝HG．
过点G 作GM⊥AB 于点M，作GN⊥BF 于点N，则∠AMG＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AMG＝∠B，
∴MG∥BC，
∵AD∥BC，EH∥BC，
∴AD∥EH∥MG∥BC，
∴AE
EM = DH
HG =1，
∴EM＝AE＝3，
∴MB＝AB﹣AE﹣EM＝10﹣3﹣3＝4．
∵∠B＝90°，GM⊥AB，GN⊥BC，
∴四边形BMGN 是矩形，
∴GN＝BM＝4，
∴在Rt△GNC 中，NC =√GC
2-G N
2=3，
∴NF＝NC+CF＝3+5＝8．
∴在Rt△GNF 中，tanF = GN
NF = 4
8 = 1
2，
∵在Rt△EBF 中，BE＝EM+MB＝3+4＝7，
∴BF = EB
tanF = 7
1
2
=14
，
故答案为：14．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
16．（2026•上海）等腰三角形ABC 中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝
50°
或
20°
．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】50°或20°．
【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数即可确定正确的选项．
【解答】解：当∠A 是顶角时，∠B= 180° -80°
2
=50°，
当∠A 是底角时，∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
综上所述，∠B 的度数是50°或20°，
故答案为：50°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
17．（2026•攀枝花）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD 的面积
23
为 3
2 ．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3
2．
【分析】过点A 作AE⊥BC 于点E，根据含30 度角的直角三角形的性质求出AE 的长，再根据三角形中
线的性质求解即可推出结果．
【解答】解：如图，过点A 作AE⊥BC 于点E，
∵∠B＝30°，
∴AE= 1
2 AB =1，
∵AD 是BC 边上的中线，BC＝6，
∴BD= 1
2 BC =3，
∴△ABD 的面积= 1
2 BD⋅AE = 1
2 ×3×1= 3
2，
故答案为：3
2．
【点评】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识，
正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（2026•乐山）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D 为斜边AC 的中点，则BD
＝
5
．
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推
理能力．
【答案】5．
24
【分析】由勾股定理得，AC =√A B
2+ BC
2=10，由∠ABC ＝90° ，D 是AC 的中点，可得
BD = 1
2 AC =5．
【解答】解：由勾股定理得，AC =√A B
2+ BC
2=10，
∵∠ABC＝90°，
D 是AC 的中点，
∴BD = 1
2 AC =5．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三
角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
25
考点卡片
1．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进
而非常容易的解决问题．
2．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其
坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
3．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，
这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体
图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
26
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
10．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有
27
一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
11．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
14．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
15．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
28
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
16．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= 1
2BC．
17．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:11:55；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
