专题13解三角形与三角形全等-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 13 解三角形与三角形全等 考点 1 解三角形与三角形全等 一、单选题 1．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt ACB和Rt A'C′B′拼在一起，其中点A′ 与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝3△0°，AC＝A′C△′＝2，则B′C的长为 （ ） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理和角的和差可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 则在 中， ， 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：A． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角 形的性质是解题关键． 2．（2020·广西贵港·中考真题）如图，点 ， 在菱形 的对角线 上， ， ， 与 的延长线交于点 ．则对于以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝ ∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS）， 得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC （AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三 角形的性质得OD＝ CD＝ BC，OC＝ OD，则OC＝ BC，进而得出④正确即可． 【详解】解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝ ∠BCD＝30°， ∵∠BFE＝∠BCE＋∠CBF＝30°＋50°＝80°， ∴∠EBF＝180°−∠BEC−∠BFE＝180°−50°−880°＝50°， 在△CDE和△CBE中 ， ∴△CDE≌△CBE（SAS）， ∴∠DEC＝∠BEC＝50°， 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠BEM＝∠DEC＋∠BEC＝100°， ∴∠BME＝180°−∠BEM−∠EBF＝180°−100°−50°＝30°，故①正确； 在△ADE和△ABE中 ， ∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确； ∵∠EBC＝∠EBF＋∠CBF＝100°， ∴∠BEM＝∠EBC， 在△BEM和△EBC中 ， ∴△BEM≌△EBC（AAS）， ∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确； 连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，AC⊥BD， ∵∠DCO＝30°， ∴OD＝ CD＝ BC，OC＝ OD， ∴OC＝ BC， ∴AC＝2OC＝ BC， ∵BM＝EC，EM＝BC， ∴AE＋BM＝AE＋EC＝AC＝ BC＝ EM，故④正确， 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 正确结论的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的 性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2020·广西贵港·中考真题）如图，动点 在边长为2的正方形 内，且 ， 是 边 上的一个动点， 是 边的中点，则线段 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点E关于DC的对称点E ，设AB的中点为点O，连接OE ，交DC于点P，连接PE，由轴对 称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE 的值减去以AB为直径的圆的 半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E ，设AB的中点为点O，连接OE ，交DC于点P，连接 PE，如图： ∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝ AB＝1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， ∵E是AD的中点， 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴DE＝ AD＝ ×2＝1， ∵点E与点E 关于DC对称， ∴DE ＝DE＝1，PE＝PE ， ∴AE ＝AD＋DE ＝2＋1＝3， 在Rt AOE 中，OE ＝ ＝ ＝ ， △ ∴线段PE＋PM的最小值为： PE＋PM ＝PE ＋PM ＝ME ＝OE −OM ＝ −1． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数 形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 4．（2023年安徽中考数学真题）如图，点 在正方形 的对角线 上， 于点 ，连接 并延长，交边 于点 ，交边 的延长线于点 ．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，根据 ，得出 ，则 ，进而可得 ，根据 ，得出 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而在 中，勾股定理即可求解． 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 在 中， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌 握以上知识是解题的关键． 5．（2023年安徽中考数学真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个 等边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长 ，则 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 点与 重合时， 则 三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示， 延长 ， 依题意 ∴ 是等边三角形， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 则 为 的中点 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图所示， 设 的中点分别为 ， 则 ∴当 点在 上运动时， 在 上运动， 当 点与 重合时，即 ， 则 三点共线， 取得最小值，此时 ， 则 ， ∴ 到 的距离相等， 则 ， 此时 此时 和 的边长都为2，则 最小， ∴ ， ∴ ∴ ， 或者如图所示，作点 关于 对称点 ，则 ，则当 三点共线时， 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 此时 故A选项错误， 根据题意可得 三点共线时， 最小，此时 ，则 ，故B选项正确； 周长等于 ， 即当 最小时， 周长最小， 如图所示，作平行四边形 ，连接 ， ∵ ，则 如图，延长 , ，交于点 ， 则 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 在 与 中， ∴ ∴ 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ∴ ，则 ， ∴ 是直角三角形， 在 中， ∴当 时， 最短， ∵ ∴ 周长的最小值为 ，故C选项正确； ∵ ∴四边形 面积等于 ∴当 的面积为0时，取得最小值，此时， 重合， 重合 ∴四边形 面积的最小值为 ，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当 点与 重合时得出最小值是解题的关键． 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 二、填空题 6．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点 E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度． 【答案】70 【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°. 【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt ABE和Rt CBF中， △ △ ， ∴Rt ABE≌Rt CBF(HL)， ∴∠△BCF=∠BA△E=25°， ∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°， 故答案为70. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性 质是解题的关键. 7．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，腰长为2 2的等腰 ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上 的一个动点，将 ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与 ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 ． 【答案】 或2 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】分两种情况：当CE⊥AB时，设垂足为M，在Rt AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝ ∠DCE＝22.5°，证明△BCM≌△DCM，得到BM＝DM，证△明△MDE是等腰直角三角形，即可得解；当 CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可； 【详解】当CE⊥AB 时，如图， 设垂足为M，在Rt AMC中，∠A＝45°， 由折叠得：∠ACD＝△∠DCE＝22.5°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠B＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BCM＝22.5°， ∴∠BCM＝∠DCM， 在△BCM和△DCM中， ， ∴△BCM≌△DCM（ASA）， ∴BM＝DM， 由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴△MDE是等腰直角三角形， ∴DM＝EM， 设DM＝x，则BM＝x，DE x， ∴AD x． ∵AB＝2 2， ∴2x x＝2 2，解得：x ， 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BD＝2x＝2 ； 当CE⊥AC时，如图， ∴∠ACE＝90°， 由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形， ∵AB＝AC＝＝2 2， ∴AD AC＝2 ， BD＝AB﹣AD＝（2 2）﹣（2 ） ， 综上，BD的长为 或2 ． 故答案为： 或2 ． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类 讨论思想的运用是解题的关键． 8．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架 子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆 末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 米， ，支架 米， 可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时 ，此时点 B到水平地面 的距离为 米．（结果保留根号） 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 / 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，易得四边形 为矩形，分别解 ， ，求出 的长，利用 进行求解即可． 【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ； ∴ ， 在 中， ， ， 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ； ∴ （米）； 故答案为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三 角形． 9．（2023年河南省中考数学真题）如图， 与 相切于点A， 交 于点B，点C在 上，且 ．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】连接 ，证明 ，设 ，则 ，再证明 ， 列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接 ， ∵ 与 相切于点A， ∴ ； 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ , ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 解得 ， 故 的长为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练 掌握性质是解题的关键． 三、解答题 10．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，在 中， ， ． (1)在斜边 上求作线段 ，使 ，连接 ； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）以A为圆心， 长为半径画弧，交 于点O，则问题可求解； （2）根据含30度直角三角形的性质可得 ，则有 ，进而问题可求解． 【详解】（1）解：所作线段 如图所示： （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即点O为 的中点， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30 度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 11．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在 中， ， ， 是 边上的 一点，以 为直角边作等腰 ，其中 ，连接 ． (1)求证： ； 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)若 时，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而证明 ，即可根 据 证明 ； （2）勾股定理求得 根据已知条件证明 是等腰三角形可得 ，进而根据 即可求解． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在 与 中 ； ， （2）在 中， ， ， , , , , , ∴∠ADC=∠ACD， , 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的 性质与判定是解题的关键． 12．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向 33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处， 在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参 考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里， AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出 AE的长，最后在Rt ADE中，利用锐角三角△函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点A△作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F， 由题意得： EF=BC=33.2海里，AG∥DC， ∴∠GAD=∠ADC=53°， 在Rt ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里， ∴AF△=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里）， 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AE=AF+EF=64（海里）， 在Rt ADE中，AD= ≈ =80（海里）， △ ∴货船与A港口之间的距离约为80海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线 是解题的关键． 13．（2023年河南省中考数学真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形， ，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D， A与树顶E在一条直线上，铅垂线 交 于点H．经测量，点A距地面 ，到树 的距离 ， ．求树 的高度（结果精确到 ）． 【答案】树 的高度为 【分析】由题意可知， ， ，易知 ，可得 ，进而求得 ，利用 即可求解． 【详解】解：由题意可知， ， ， 则 ， ∴ ， ∵ ， ， 则 ， ∴ ， ∵ ，则 ， ∴ ， ∴ ， 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 答：树 的高度为 ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到 是解决问题的关键． 14．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图， ， ， ，垂足分别为 ， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“ ”可证明 ； （2）先利用全等三角形的性质得到 ，再利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长，然后 计算 即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）解： ， ， 在 中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角 相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 15．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天 员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 ，两臂夹角 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 ，参考数据 ， ， ) 【答案】 【分析】连接 ，作作 于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， ， ，在 中利用 求出 ，继而求出 即可． 【详解】解：连接 ，作 于D， ∵ ， ， ∴ 是边 边上的中线，也是 的角平分线， ∴ ， ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ∴ 答：A，B两点间的距离为 ． 【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图， 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在 边 ， ， 上运动，满足 ． 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证： ； (2)设 的长为x， 的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化． 【答案】(1)见详解 (2) (3)当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小 【分析】（1）由题意易得 ， ，然后根据“ ”可进行求证； （2）分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，根据题意可得 ， ，然后可得 ，由（1）易得 ，则有 ，进而问题可求解； （3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵ 是边长为4的等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ∴ ； （2）解：分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，如图所示： 在等边 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 设 的长为x，则 ， ， ∴ ， ∴ ， 同理（1）可知 ， ∴ ， ∵ 的面积为y， ∴ ； （3）解：由（2）可知： ， 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，对称轴为直线 ， ∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小； 即当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二 次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 17．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一 个点 ，从点 不经过池塘可以直接到达点 和 ．连接 并延长到点 ，使 ．连接 并延长 到点 ，使 ．连接 ，那么量出 的长就是 ， 的距离．为什么？ 【答案】见解析 【分析】利用“边角边”证明 和 全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：量出 的长就等于 的长，理由如下： 在 和 中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 18．（2020·广西贵港·中考真题）如图，在 中， ，点 在 边上，且 ， 是 的外接圆， 是 的直径． （1）求证： 是 的切线： （2）若 ， ，求直径 的长． 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接 ，直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，继而根据已知条件和等边对等角的 性质及等角代换可得：∠BAD＝∠E＝∠C，进而可得 ，再根据切线的判定即可求证 结论； （2）作 ，垂足为 ，易证△ABC∽△DBA，继而根据相似三角形的性质可得： ， 进而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根据相似三角形的判定及其性质可得 ， ，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又 ， ∴∠BAD＝∠E＝∠C， ∴ ，即 ， ∴ 是 的切线． （2）解：如图，作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴△ABC∽△DBA ∴ ，则 ， 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又 ， ， ∴ ， 在 中， ， 由勾股定理求得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理， 解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形． 19．（2022·山东菏泽·统考中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的 坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D， 求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据： ） 【答案】约为1.9米 【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算， 得到答案． 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：在Rt ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， 则AC=AB•sin∠ABC△≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt ADC中，∠ADC=30°， △ 则CD= ≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米）， 答：BD的长约为1.9米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．（2023年江西省中考数学真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的 示意图，已知点 ， ， ， 均在同一直线上， ，测得 ． （结果保小数点后一位） (1)连接 ，求证： ； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据： ） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为 米 【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理得出 ，进而得出 ，即可得证； （2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，得出 ，则 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，在 中，根据 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴ ； （2）如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 在 中， ∴ ， ∴ ∴ 在 中， ， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为 米． 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角 函数的定义是解题的关键． 21．（2023年河南省中考数学真题）如图， 中，点D在边 上，且 ． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点E，连接 ．求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明 ，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等 三角形的判定是解题的关键． 22．（2023年湖南省长沙市中考数学真题） 年 月 日 点 分，“神舟十六号”载人飞船在中国 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发 射的过程中，飞船从地面 处发射，当飞船到达 点时，从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ， 仰角为 ； 后飞船到达 处，此时测得仰角为 ． (1)求点 离地面的高度 ； (2)求飞船从 处到 处的平均速度．(结果精确到 ，参考数据： ) 【答案】(1) (2)飞船从 处到 处的平均速度约为 【分析】（1）根据含 度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在 中，根据直角三角形的性质得到 ，在 中，根据等腰直 角三角形的性质得到 ，于是得到结论． 【详解】（1）解：在 中， ， ， ， ， （2）在 中， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 飞船从 处到 处的平均速度 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 23．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上 一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B． △ (1)求⊙O的半径； (2)点P为 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长； (3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值． 【答案】(1)⊙O的半径为 ；(2) ；(3) ． 【分析】(1)若连接OB，则 BCO是一个含30°角的直角三角形， AOB是底角为30°的等腰三角形，可得 ∠OBC=30°，再根据特殊角△的三角函数值求得OB； △ (2) 连接OP，设AB与QP交于点M，根据题中条件证得∠QPO=∠A=30°，再根据特殊角的三角函数值求 得OQ； (3)可在Rt PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值． 【详解】(△1)连接OB，如图 ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠A=30°， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠OBC=30°， 在Rt OBC中， ， △ 即 ， 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得 ， 即⊙O的半径为 ； (2)连接OP，设AB与QP交于点M， ∵点P为 的中点， ∴OP⊥AB， ∴∠QPO+∠PMB=90°， ∵PQ⊥AC， ∴∠A+∠AMQ=90°， 又∵∠AMQ=∠PMB， ∴∠QPO=∠A=30°， 在Rt OPQ中， ， △ 即 ， ∴ (3)在Rt OBC中， △ ∵ ，∠OBC=30°，∠ACB=90° ∴ ， ∴ ， ∴ ． 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活 运用相关知识是解题的关键. 24．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上 一点，连接DE交AC于点F，连接BF． (1)求证： CBF≌△CDF； (2)如图2，△过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N． ①求证：FB＝FG； ②若tan∠BDE ，ON＝1，直接写出CG的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② ． 【分析】（1）由正方形的性质结合三角形全等的判定条件“SAS”即可证明； （2）①由 和 可推出 ，再根据 可推出 ，即可证明 ，根据等角对等边即得出FB＝FG；②由题意易证 ，得出 ，即 ， ，从而可求出 ， ，进而可求 ， ．过点F作 于点H，易证 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 为等腰直角三角形，即得出 ，从而可求 ．最后由等腰三角形“三线 合一”即得 ，即可求出 ． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD， ． 又∵ ， ∴ ． （2）①∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴FB＝FG； ②∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ，OD=OC=OB, ∴ ， ， ∴ ， 解得： ， ． ∴ ， ． 如图，过点F作 于点H， 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ． ∵BF=FG， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形 的判定和性质，勾股定理以及解直角三角形．熟练掌握正方形的性质是解题关键． 25．（2023年湖北省武汉市数学真题）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是 等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系． 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长 过点F作 ，证明 即可得出结论． （2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，由（2）知， ，通过相似求出 ，即可解出． 【详解】（1）延长 过点F作 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中 ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为： ． （2）解：在 上截取 ，使 ，连接 ． ， ， ． ， ． ． ， ． ． （3）解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ， ． 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 中， ， ． ，由（2）知， ． ． ， ， ， 在 上截取 ，使 ，连接 ，作 于点O． 由（2）知， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ． 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角 形相似． 26．（2023年广东省中考数学真题）综合探究 如图1，在矩形 中 ，对角线 相交于点 ，点 关于 的对称点为 ，连接 交 于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)以点 为圆心， 为半径作圆． ①如图2， 与 相切，求证： ； ②如图3， 与 相切， ，求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由点 关于 的对称点为 可知点E是 的中点， ，从而得到 是 的中位线，继而得到 ，从而证明 ； 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）①过点O作 于点F，延长 交 于点G，先证明 得到 ，由 与 相切，得到 ，继而得到 ，从而证明 是 的角平分线，即 ， ，求得 ，利用直角三角形两锐角互余得到 ，从而得到 ，即 ，最后利用含 度角的直角三角形的性质 得出 ； ②先证明四边形 是正方形，得到 ，再利用 是 的中位线得到 ， 从而得到 ， ，再利用平行线的性质得到 ，从而证明 是等腰直角 三角形， ，设 ，求得 ，在 中， 即 ，解得 ，从而得到 的面积为 ． 【详解】（1）∵点 关于 的对称点为 ， ∴点E是 的中点， ， 又∵四边形 是矩形， ∴O是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ∴ ， ∴ （2）①过点O作 于点F，延长 交 于点G，则 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ 与 相切， 为半径， ， ∴ ， ∴ 又∵ 即 ， ， ∴ 是 的角平分线，即 ， 设 ，则 ， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ，即 是直角三角形， ∴ ，即 解得： ， ∴ ，即 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ； ②过点O作 于点H， ∵ 与 相切， ∴ ， ∵ ∴四边形 是矩形， 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， 又∵ 是 的中位线， ∴ ∴ ∴ 又∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ， 设 ，则 ∴ 在 中， ， 即 ∴ ∴ 的面积为： 【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质 与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 27．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝． 在骨架设计中，两条侧翼的长度设计 ，风筝顶角 的度数为 ，在 上取 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D，E两处，使得 ，并作一条骨架 ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据， B，C两点间的距离大约是（ ）（参考数据： ） A．41 B．57 C．82 D．143 【答案】C 【分析】设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ，根据已知易证 ，然后利用相似 三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得 ，再利用等腰三角形的三线 合一性质可得 ， ，最后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的 长，即可解答． 【详解】解：设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 在 中， ， ， ， ， 两点间的距离大约是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添 加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2023·山东泰安·校考三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡 度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔 顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据： ， ， ） A． 米 B． 米 C．56米 D．66米 【答案】B 【分析】通过作辅助线，利用斜坡 的坡度为 ， ，由勾股定理可求出 的长，设出 的长，根据坡度表示 ，进而表示出 ，由于 是等腰直角三角形，可表示 ，在 中由 锐角三角函数可列方程求出 ，进而求出 ． 【详解】解：如图，延长 与水平线交于 ，过 作 ， 为垂足，过 作 ， 为垂 足，连接 ， ， 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 斜坡 的坡度为 ， ， 设 米，则 米， 在 中， 米，由勾股定理得， ， 即 ， 解得 ， （米 ， （米 ， 斜坡 的坡度为 ， 设 米，则 米， ， 米， 米， 在 中， 米， 米， ， ， 解得 ， （米 ， （米 ， （米 ， （米 ， 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 答：基站塔 的高为 米． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形 仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角 三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键． 29．（2023·浙江金华·统考一模）安装了软件“ ”的智能手机可以测量物高．其数学原理是： 该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大 树底端 点俯角 ，顶端 点的仰角 ，点 离地面的高度 米，则大树 的为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】D 【分析】过点 作 ，垂足为 ，由题意得： ， ，从而可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在 中，利 用锐角三角函数的定义求出 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点 作 ，垂足为 ， 资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 由题意得： ， ， ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅 助线是解题的关键． 30．（2023·福建福州·校考二模）如图，在 中， ，将 绕点C顺 时针旋转得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点．若点 恰好落在 边上，则 点A到直线 的距离等于（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】如图，过 作 于 求解 结合旋转：证明 可得 为等边三角形，求解 再应用锐角三 角函数可得答案． 【详解】解：如图，过 作 于 由 ， 结合旋转： 为等边三角形， ∴A到 的距离为3． 故选C 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与 性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 31．（2023·浙江金华·统考一模）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和 它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形 中 ，以 为边作正方形 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，过点 作 交 于 点 ，过点 作 于点 ．若 ，则 为（ ） 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由 ，证明四边形 是矩形，再证明 ，得 ，则 四边形 是正方形，所以 ，而 ，则 ，所以 ，由 ，得 ， ， ，所以 ，即可求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解： ， ， ， ， 四边形 是矩形， 四边形 是矩形，四边形 是正方形， ， ， 点 在 边上，点 在 边上， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 或 ， 若 ，则 ， 不符合题意，舍去， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 是解题的关键． 32．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的 三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长 线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论： ①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ . 上述结论中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有 AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt AME和Rt FNE 中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt AME≌Rt FNE，∴AM=FN，∴△MB=CN． △ △ △ 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt AME≌Rt FNE， ∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴△BC=4，AB=△2 ∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图， 由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE= AD=2，AM=FN ∵tanα= ，∴AM=AEtanα ∵cosα= = ，∴ ，∴ =1+ =1+ =1+ ，∴ =2（1+ ） ∴S EMN=S ABNE﹣S AME﹣S MBN 四边形 △ △ △ = （AE+BN）×AB﹣ AE×AM﹣ BN×BM = （AE+BC﹣CN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣CN）×CN = （AE+BC﹣CF+FN）×2﹣ AE×AM﹣ （BC﹣2+AM）（2﹣AM） =AE+BC﹣CF+AM﹣ AE×AM﹣ （2+AM）（2﹣AM） =AE+AM﹣ AE×AM+ 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 =AE+AEtanα﹣ tanα+ =2+2tanα﹣2tanα+2 =2（1+ ） = ，∴④正确． 故选C． 33．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在等边 中， ，点D在边 上，点E是 边上一动 点，将∠B沿 折叠，点B的对应点 在AC边上，当 为直角三角形时， 的长为 ． 【答案】 或 【分析】存在两种情况：如图①， 时，设 ．由折叠知 ，运用解直角三角形， 得 ，从而 ，得 ；当 时，同法求解，得 ． 【详解】如图①，当 时，设 ． ∵将 沿着 翻折， 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ． ∵ 为等边三角形， ∴ ， ． ， ． ∴ ． ∴ ． 当 时，设 ． ∵将 沿着DE翻折， ∴ ． ∵ 为等边三角形， ∴ ， ． ， ． ∴ ， ∴ ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查等边三角形性质，折叠的性质，解直角三角形，注意分类讨论是解题的关键． 34．（2023·湖南郴州·校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得 到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点 ，点P是y轴上一点，点B是 点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则 的最小值是 ． 资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】设 ，过点 作 轴，证明 ，求得 的坐标，求得 点的轨迹，作如图， 作 关于 的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 ， 求得 的坐标，继而根据 即可求解． 【详解】解：如图，设 ，过点 作 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 点在 上， 如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 ， 令 ，得 ，则 ， 的最小值 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，求得点 的坐 标是解题的关键． 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 35．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）在三角形纸片 中， ， ， ，将该 纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在斜边 上的一点 处，折痕记为 （如图1），剪去 后得 到双层 （如图2），再沿着过 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有 一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 ． 【答案】 或 【分析】解直角三角形得到 ， ，根据折叠的性质得到 ， ，求得 ， ，如图 ，平行四边形的边是 ， ，如图 ，平行四边形的边是 ， ，于是得到结论． 【详解】 解： ， ， ， ， ， 由折叠可知： ， ， ， ， ， ①如图 ，作 ， 平行四边形的边是 ， ，且 ， 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设 ，则 ， 根据勾股定理可得： ，即 ， 解得： ， ∴ ， 平行四边形的周长 ， ②如图 ，作 ， 平行四边形的边是 ， ，且 ， 平行四边形的周长 ， 综上所述：平行四边形的周长为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键． 36．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知 ， ， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】证明 即可． 【详解】证明：∵ ， ∴ . 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 和 中， ∴ . ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 37．（2023·湖南郴州·校考三模）如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点．过点A 作 交 的延长线于点F，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果 ，点M在 线段上移动，当 有最小值时，求 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质可得 ，再由点E是 的中点及对顶角相等即可证明结论； （2）由（1）可得 ，可得 ，由平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，由直 角三角形斜边中线的性质即可判定四边形为菱形； （3）连接 交 于M， 有最小值，则点M即为所求；由题意可得四边形 是正方形；在 线段 上任取一点 ，连接 ， ， ，则 ，由由 可得 ，即可求得 的长度． 【详解】（1）证明：∵ ， 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵点E是 的中点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）证明：四边形 是菱形． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 又 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ 是 边上的中线， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （3）解：连接 交 于M， 有最小值，则点M即为所求， 理由如下： ∵ ，四边形 是菱形， ∴四边形 是正方形，点D与点F关于直线 对称， ∴ ， ∴ ， ， 在线段 上任取一点 ，连接 ， ， ， 则 ， ∴ 有最小值为 的长． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 即当 有最小值时， 的长度为 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与 性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，涉及的知识点较多，灵活运用是 关键． 38．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在 中， ， ，点P是 边上的动点，连 接 并延长交直线 于点E，将 沿直线 折叠得到 ，直线 交直线 于F． (1)求证： ． (2)若四边形 为菱形，且 ．求 的值． (3)若点P为 的中点，在改变 长度的过程中，当 成为以 为腰的等腰三角形时，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 或 (3)13或3或 或 或 【分析】（1）由四边形 是平行四边形得到 ，则 ，由折叠可知， 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，则 ，即可得到结论； （2）过点B作 于点M，分点F在点D的右侧和点F在点D的左侧两种情况进行求解即可； （3）分五种情况，分别画出图形，分别进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 由折叠可知， ， ∴ ， ∴ ； （2）过点B作 于点M， 则 ， 设 ，且 ， ∵ ，四边形 为菱形， ∴ ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， 当点F在点D的右侧时，如图， 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， 在 中， ， 由（1）可知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 当点F在点D的左侧时，如图，点F与点M重合， 则 ， ∴ ， 同理可得 ， 综上所述， 的值为 或 ； （3）①当 时，点F在点E的左侧，如图，过点B作 于点M， 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由（1）（2）可知， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点P是 的中点， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ②当 时，若点F在点E的右侧，如图， 则 ， 同理可得， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ③当 时，若点F在线段 上，如图，过点B作 于点M， 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由（1）（2）可知， ， 由（3）①可知， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； ④当 时，若点F在线段 的延长线上时，如图， 同理可得 ， ， ∴ ， ∴ ； ⑤当 时，若点F在线段 的反向延长线上时，如图， 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 同理可得， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述， 的长为13或3或 或 或 ． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角 三角形、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，分类讨论思想是解题的关键． 39．（2023·山东济宁·校联考三模）测量旗杆的高度，在C处测得旗杆顶端的仰角为 ，朝旗杆方向前进 20米到达D处，再次测得旗杆的仰角为 ，求旗杆 的高度． 【答案】旗杆 的高度为10米． 【分析】根据题意可得： ，进而可得 ， 可得 米，然后 解 即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 米， 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 中，由 ，得： （米） 答：旗杆 的高度为10米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形——仰角问题应用，借助仰角关系构造直角三角形，熟练掌握三角 函数知识是解题的关键． 40．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆高度”的活动： 已知无人机的飞行高度为 ，当无人机飞行至 处时，观测旗杆顶部的俯角为 ，继续飞行 到达 处，测得旗杆顶部的俯角为 ，则旗杆的高度约为多少米．（参考数据： ） 【答案】 【分析】设旗杆底部为点 ，顶部为点 ，过点 作 ，交直线 于点 ．在 中和 中，分别利用锐角三角函数即可求解． 【详解】解：设旗杆底部为点 ，顶部为点 ，过点 作 ，交直线 于点 ，如图所示： ∴ ， ， ， ， 设 ， 在 中， ， ， ∴ ， 资67料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 ， 解得 ，则 ． 在 中， ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意． ． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 41．（2023·贵州黔东南·统考二模）某校“数学活动小组”准备测量学校旗杆 的高，他们设计的测量方 案为：如图，测角仪在C处测得旗杆顶部的仰角为40°，将测角仪向右移动11m到点E处测得旗杆顶部的 仰角为60°，已知测角仪的高 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．请你根据他们的测 量数据计算学校旗杆 的高． （参考数据： ， ， ， ，结果精确到0.1m） 【答案】 【分析】过点 作 交 于点 ， ， ，设 ，通过锐角三 角函数求得 ， ，即可得到方程 ，求解可得 ， 资68料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，即可求得 ． 【详解】过点 作 交 于点 ，如图 则 ， 设 ∵ 所以 ∵ ∴ 即 解得 ∴ ∴ 故 即旗杆的高度为 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，锐角三角函数等，根据题意构建直角三角形 是解题的关键． 42．（2023·四川成都·统考二模）如图，有大树 和建筑物 ，从建筑物 的顶部 处看树顶 处的 仰角为 ，看树干 处的俯角为 ．若 在同一水平地面上，已知 米， 米．求大树的 高度 （参考数据： ， ， ）． 资69料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】大树的高度 约为 米 【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： 米，然后在 中，利用锐 角三角函数的定义求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后利用线 段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点 作 ，垂足为 ， 由题意得： 米， 在 ， ， 米 ， 在 中， ， 米 ， 米， 米 ， 大树的高度 约为 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅 助线是解题的关键． 资70料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 43．（2023·安徽六安·校考模拟预测）伴随着北京冬奥会的成功举办，很多学校掀起了学习冰雪项目的热 潮．如图，滑雪轨道由 、 两部分组成， 为 ， 为 ．一位同学乘滑雪板沿此轨道由 点滑到了 点，若 的坡度为 ， 与水平面的夹角为 ，则他下降的高度为多少米？（精确到 1米．参考数据： ， ， ）． 【答案】234米 【分析】过点A作AF⊥水平面于点F，过点B作BE⊥水平面于点E，BD⊥AF于D，四边形BEFD是矩形， BE＝DF，在Rt ABD中， 的坡度为 ，设AD＝x，则BD＝2.4x，由勾股定理得x，得到AD，在 Rt BCE中，求△得BE，即可得到下降的高度． 【△详解】解：过点A作AF⊥水平面于点F，过点B作BE⊥水平面于点E，BD⊥AF于D， 则∠BEF＝∠EFD＝∠BDF＝90°， ∴四边形BEFD是矩形， ∴BE＝DF， 在Rt ABD中， 的坡度为 ， △ ∴ ， 设AD＝x，则BD＝2.4x， 由勾股定理得， ， ∴ ， 解得x＝100米， 资71料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AD＝100米， 在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，∠BEC＝90°，BC＝200m， ∵sin∠BCE＝ ， ∴BE＝BCsin∠BCE＝200sin42°≈133.8米≈134米， ∴DF＝BE≈134米， ∴AF＝AD＋DF≈100＋134＝234（米）， 即下降的高度为234米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，也考查了勾股定理、矩形的判定和性质、添 加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 44.（2023·天津西青·统考二模）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，点F在CD的延长线上， 满足 ，连接EF与对角线BD交于点G，连接AF，AG，若 ，则AG的长为 ． 【答案】 【分析】本题已知 的长度,欲求 的长度,设法寻找两边之间的关系,因利用已知条件很容易想到 ,从而得到 ,进一步可证 是等腰直角三角形. 下一步设法证明G为 的中点, 作 ,从而构造出全等三角形得证. 最后利用等腰直角三角形可求得 与 之间的关系式,最后求解. 【详解】连接 ，如图1， 资72料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由正方形的性质与已知条件可知， ， 所以， ， ∴ ， ． ∴ ． 因此 是等腰直角三角形． 过E作 ，EH与BD交于H，如图2． 因 ，故 为等腰直角三角形， 所以， ． 又∵ ，∴ ． 由 得， ， ， ∴ ． ∴ ． 资73料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又以上证明： 是等腰直角三角形， ∴ ，故 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理得， ， ， 所以 ，即 的长为 ． 【点睛】本题考查了正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形判定及性质等知 识，解题的关键是证明 为等腰直角三角形. 45.（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 、 分别是直线 与坐标轴的交点，点 ，点 是边 上的一点， ，垂足为 ，点 在 边上，且 、 两点关于 轴上某点成中心对称，连接 、 ．线段 长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点F，D分别作 垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明 ，由全等 三角形的性质得出 ，可求出 ，根据勾股定理得出 ，由二次函数的性质可得出答案； 【详解】过点F，D分别作 垂直于y轴，垂足分别为G，H， 资74料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， 记 交y轴于点K， ∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵直线 的解析式为 ， ∴ 时， ， ∴ ， 又∵ ， 设直线 的解析式为 ∴ ， 解得 =， ∴直线 的解析式为 ， 过点F作 轴于点R， ∵D点的横坐标为m, ∴ ， 资75料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 8 3 令 x40，得x ， 3 2 3 ∴0m ． 2 ∴当m1时，l的最小值为8， EF 2 2 ∴ 的最小值为 ． 【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心 对称的性质，直角三角形的性质等知识． ABCD AC,BD AC 46.（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，在四边形 中， 相交于点O，O是 的中点， AD∥BC． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若ACBD10,AD6，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）先利用AAS证△AOD≌△COB，由全等三角形的性质得ODOB，即可解决问题； ABCD AB BD2AD2  10262 8 （2）先证明四边形 是矩形，利用勾股定理得出 ，再利用矩形面积 公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ AD∥BC， ADOCBO， ∵O是AC的中点， OAOC， 资76料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在△AOD和△COB中， ADOCBO  AODCOB  OAOC △AOD≌△COB（AAS）， ODOB， 又∵OAOC， 四边形ABCD是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形， 又∵ AC BD， 平行四边形ABCD是矩形． DAB90． △DAB BD10,AD6 在直角 中， ，由勾股定理知： AB BD2AD2  10262 8 ． S  ADAB48 则 四边形ABCD ． 即四边形ABCD的面积是48． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 47.（2023·广西柳州·统考二模）综合与实践 △ACB △DCE AC BC DC EC ACBDCE A (1)问题发现：如图1， 和 均为等腰三角形， ， ， ，点 、 D、E在同一条直线上，连接BE． ①求证：ADBE；将下列解答过程补充完整． 证明：∵ACBDCE， 资77料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ACDDCBDCB________， ACDBCE， 在△ACD和△BCE中， AC BC  ACDBCE ，  CDCE △ACD≌△BCE(SAS)， ADBE； ②若ACB50°，则AEB的度数为________． △ACB △DCE ACBDCE90 A D E (2)类比探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 、 、 在同 一条直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM 三条线段的数量关系，并 说明理由． (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE2，CM 1，请直接写出四边形ABEC的面积． 【答案】(1)①ECB；②50； (2)AE BE2CM ，理由见解析； (3)6 【分析】（1）①根据ACDDCBDCBECB，即可得到答案；②根据ACB50°可得 DCE50，求出CDECED65，根据全等三角形的性质，得出CEBADC 115，即可求 出结果； （2）由VACD≌VBCE得出ADBE，再判断出DM CM ，即可得出结论； （3）根据（2）的结论求得AE4，再根据四边形ABEC的面积＝△ACE的面积＋△ABE的面积，进行计 算即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵ACBDCE， ACDDCBDCBECB， ACDBCE， 在△ACD和△BCE中， AC BC  ACDBCE ，  CDCE 资78料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 △ACD≌△BCE(SAS)， ADBE， 故答案为：ECB； ②∵ACB50， DCEACB50， ∵CDCE， 1 CDECED 1805065， 2 ADC 180CDE115， ∵△ACD≌△BCE， CEBADC 115， AEBCEBCED50， 故答案为：50； （2）∵△ACD≌△BCE， ADBE， ∵CDCE，CM DE， DM ME， 在RtVDCE中，CM DE，CDM 45， DCM CDM 45， DM CM ， DM ME CM ， AE ADDEBE2CM ； （3）解：由（2）得： AE BE2CM 2214，AEB90， ∵ CM 为△DCE中DE边上的高， 1 1 1 1 S S S  AECM  AEBE  41 426． 四边形ABEC △ACE △ABE 2 2 2 2 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质， 直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 48.（2023·河南周口·统考二模）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足 PEFP90,F 60 够大的直角三角板 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探 资79料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． (1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF 与OB重合时，重叠部分的 面积为__________；当OF 与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在 S 旋转过程中，重叠部分的面积 1与S的关系为__________； OE,OP (2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， 分别与正方形的边相交于点M， N． ①如图2，当BM CN时，试判断重叠部分△OMN 的形状，并说明理由； ②如图3，当CM CN 时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为GOH （设GOH ），将 GOH GOH ABCD S 2 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， 的两边与正方形 的边所围成的图形的面积为 ， S  2 请直接写出 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示）， 6 2 6 2 （参考数据：sin15 ,cos15 ,tan152 3） 4 4 1 【答案】(1)1,1，S  S 1 4 △OMN 31 (2)① 是等边三角形，理由见解析；②    tan ,1tan45  (3) 2  2 资80料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC 1 重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积= 正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重 4 1 叠部分的面积= 正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 4 1 S 与S的关系为S= S．利用全等三角形的性质证明即可； 1 1 4 （2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论； ②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°， 解直角三角形求出OJ，即可解决问题； （3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S 最小．如图4-2中， 2 当CM=CN时，S 最大．分别求解即可． 2 【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC 1 重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积= 正方形ABCD的面积=1； 4 1 当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积= 正方形ABCD的面积=1； 4 1 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为S= S． 1 1 4 理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OM=ON， 资81料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形OMBN是正方形， ∴∠MON=∠EOF=90°， ∴∠MOJ=∠NOK， ∵∠OMJ=∠ONK=90°， ∴△OMJ≌△ONK（AAS）， ∴S PMJ=S ONK， △ △ 1 ∴S OKBJ=S OMBN= S ABCD， 四边形 正方形 4 正方形 1 ∴S= S． 1 4 1 故答案为：1，1，S= S． 1 4 （2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形． 理由：过点O作OT⊥BC， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴BT=CT， ∵BM=CN， ∴MT=TN， ∵OT⊥MN， ∴OM=ON， ∵∠MON=60°， 资82料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△MON是等边三角形； ②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J． ∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC， ∴△OCM≌△OCN（SAS）， ∴∠COM=∠CON=30°， ∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°， ∵OJ⊥CB， ∴∠JOM=90°-75°=15°， ∵BJ=JC=OJ=1， 3 ∴JM=OJ•tan15°=2- ， 3 3 ∴CM=CJ-MJ=1-（2- ）= -1， 1 ∴S 四边形 OMCN=2×2 ×CM×OJ= 3-1． HOG OH HOG △MON≌△MON M,N BC S 2 （3）如图4，将 沿 翻折得到 ，则 ，此时则当 在 上时， 比四 边形NOMC的面积小， 资83料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 MC a,CN=b S S 设 ，则当 △CNM 最大时， 2最小， 1 1ab 2  ab   ∵ S △MNM 2 2 2  ，即MC NC时，S △CNM 最大， 此时OC垂直平分MN ，即ON OM，则OM ON 如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q， ∵ OM ON OQMN ，  BM=CN  当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S 最小． 2   在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan =tan ， 2 2  ∴MN=2MQ=2tan ， 2  ∴S=S OMN=1 ×MN×OQ=tan ． 2 2 2 △ 如图6中，同理可得，当CM=CN时，S 最大． 2 资84料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 OC OC,OCN OCM,CN CM ∵ 则△COM≌△CON，  ∴∠COM= ， 2 ∵∠COQ=45°，  ∴∠MOQ=45°- ， 2   QM=OQ•tan（45°- ）=tan（45°- ）， 2 2  ∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°- ）， 2  ∴S=2S CMO=2×1 ×CM×OQ=1-tan（45°- ）． 2 2 2 △ 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的 面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 49.（2023·河南新乡·校联考二模）如图1是鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，是我省现存最大的一座楼阁 式石塔，玄天洞石塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，此塔始建于元朝，重建于明代，时称天 塔，因该塔屹立于淇河北岸玄天洞东南，又得名玄天洞石塔，某数学兴趣小组开展了测量“玄天洞石塔的 高度”的实践活动， 资85料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 具体过程如下： 方案设计：如图2，石塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A， D，B三点在同一条直线上） 数据收集：通过实地测量，地面上A，B两点的距离为20m，∠CAD=45°，∠CBD=58°． 问题解决：求石塔CD的高度． （结果保留一位小数．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【答案】12.3m CD CD 【分析】设CD=xm，在Rt ACD中，可得出AD= ，在Rt BCD中，BD= ，再由 tanCAD tanCBD △ △ AD+BD=AB，列式计算即可得出答案． 【详解】解：设CD为xm， CD 在 中，tanCAD ， Rt△ACD AD CD x x ∴AD    x， tanCAD tan45 1 CD 在 中，tanCBD ， Rt△BCD BD CD x x ∴BD   ， tanCBD tan58 1.6 ∵ADBD AB， x ∴x 20， 1.6 解得：x12.3． 答：石塔的高度约为12.3m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 资86料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 50.（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立 两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正 A,B,C,D,P,M,N M,N P 方形网格，点 是网格线交点，当船航行到点 的位置时，此时与两个灯塔 间的角度 MPN A,B,C,D （ 的大小）一定无触礁危险.那么，对于 四个位置，船处于___________时，也一定无触 礁危险.（ ） A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D 【答案】B 【分析】先利用格点找出△MNP的外接圆的圆心，再判断哪个点在△MNP的外接圆上即可． 【详解】解：如图， 由网格可知，点O是MN和MP垂直平分线的交点， 即点O是△MNP的外接圆的圆心， ∵ OM OB 1222  5 ， 点M在△MNP的外接圆上， MPN MBN ， 资87料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  船处于位置B时，也一定无触礁危险， 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出 △MNP的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等． 资88料整理【淘宝店铺：向阳百分百】