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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题16 三角形及其全等
一、选择题
1.（ 2024福建省）在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆
放，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得 ，即可求解．
∵ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
2.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数是（
）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可
求解．
如图所示，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
故选：B．
3. （2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周
长为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得
， ，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出三角
形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程 得， ， ，
∵ ，
∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，
∴这个三角形的周长为 ，
故选： ．
4. （2024云南省）已知 是等腰 底边 上的高，若点 到直线 的距离为3，则点 到
直线 的距离为（ ）A. B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到 平分 ，再角平分线的性质定理即可求解．
如图，
∵ 是等腰 底边 上的高，
∴ 平分 ，
∴点F到直线 ， 的距离相等，
∵点 到直线 的距离为3，
∴点 到直线 的距离为3．
故选：C．
5.（ 2024安徽省）在凸五边形 中， ， ，F是 的中点．下列条件中，不能
推出 与 一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三
角形的判定的方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得
结论．
【详解】解：A、连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴
又∵点F为 的中点
∴ ，故不符合题意；
B、连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵点F为 的中点，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故不符合题意；
C、连接 ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意；
D、 ，无法得出题干结论，符合题意；
故选：D．
6. （2024 四川广安）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，若 ，
，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线 的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识
图是解题的关键．先证明 ，可得 ，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选D
二、填空题
1. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是________度．
【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角
度数即可．
【详解】因为其底角为40°，所以其顶角 ．
故答案为：100．
2. （2024重庆市B）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．若
，则 的长度为________．【答案】2
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等
边 对 等 角 和 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 ， 再 由 角 平 分 线 的 定 义 得 到
，进而可证明 ，即可推出 ．
【详解】∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为：2．
3. （2024四川凉山）如图， 中， 是边 上的高， 是
的平分线，则 的度数是______．
【答案】 ##100度
【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出 ，结合高的定
义，得 ，因为角平分线的定义得 ，运用三角形的外角性质，即可作答．【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 是边 上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4.（ 2024四川内江）如图，在 中， ， ， ，则 的度数为
________；
【答案】 ##100度
【解析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得 ，根据 ， 得到
， ，从而 ，根据角的和差有
，即可解答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴
∴ ．
故答案为：
5. （2024黑龙江绥化）如图， ， ， ．则 ______ ．
【答案】66
【解析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得
，根据三角形的外角的性质可得 ，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
6.（ 2024四川成都市）如图， ，若 ， ，则 的度数为
______．【答案】 ##100度
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出
，再利用三角形内角和求出 的度数即可．
【详解】由 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
三、解答题
1. （2024云南省）如图，在 和 中， ， ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利
用“ ”证明 ，即可解决问题．
【详解】证明： ，
，即 ，
在 和 中，
，．
2. （2024四川乐山）知：如图， 平分 ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】利用 证明 ，即可证明 ．
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握 、 、 、 等全等三角形的
判定方法是解题的关键．
3. （2024江苏连云港）如图， 与 相交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形 ，使得点M在 上，点N在 上．（不写作法，
保留作图痕迹，标明字母）
【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，结合 ，利用 即可证
明 ；
（2）作 的垂直平分线，分别交 于点 ，连接 即可．
【小问1详解】
证明： ，
， ．
在 和 中， ，
；
【小问2详解】
解： 是 的垂直平分线，
，
由（1）的结论可知， ,
又∵ ,
则 ,
∴
，
是 的垂直平分线，
，
，
四边形 是菱形，如图所示，菱形 为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直
平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
4.（ 2024江苏苏州） 如图， 中， ，分别以B，C为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧交于点D，连接 ， ， ， 与 交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键
是：
（1）直接利用 证明 即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出 ，利用三线合一性质得出 ，
，在 中，利用正弦定义求出 ，即可求解．
【小问1详解】证明：由作图知： ．
在 和 中，
．
【小问2详解】
解： ， ，
．
又 ，
， ．
，
，
．
5. （2024江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， ， ．
若________，则 ．
请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成
立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出
，再由全等三角形的判定和性质得出 ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出 ，结合图形即可证明；熟练
掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择① ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
选择② ；
无法证明 ，
无法得出 ；
选择③ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
故答案为：①或③（答案不唯一）
6.（ 2024四川南充）如图，在 中，点D为 边的中点，过点B作 交 的延长线于
点E．（1）求证： ．
（2）若 ，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到 ，由 ，得到 ，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到 ，进而推出 垂直平分 ，即可得证．
【小问1详解】
证明： 为 的中点，
．
；
在 和 中，
；
【小问2详解】
证明：
垂直平分 ，
．
7. （2024四川自贡）如图，在 中， ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， 平分 ，请直接写出 的形状．
【答案】（1）见解析 （2） 是等腰直角三角形．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明 ，由等量代换得到 ，利用平行线的判定“内错角相等，两
直线平行”证明 ，即可证明 ；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得 ， ，据此即可得到 是
等腰直角三角形．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
8.（ 2024四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且 ， 与
交于点F．求证： ．
【答案】见解析
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出
， ，然后根据 证明 ，根据全等三角形的性质即
可得证．
【详解】证明∶∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
9. （2024四川内江）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题
的关键.
（1）先证明 ，再结合已知条件可得结论；
（2）证明 ，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【小问1详解】
证明：∵
∴ ，即
∵ ，
∴
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
