文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（一）
一．选择题（共18 小题）
1．（2026•陕西）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝6．BC 的垂直平分线交BC 于点
D，交AC 于点E，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．2√3
D．4√3
2．（2026•自贡）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的
原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1，S2，正方形ABCD 的面积
记作S3，则S1，S2与S3的关系是（ ）
A．S1+S2＜S3
B．S1+S2＝S3
C．S1+S2＞S3
D．2S1+S2＝S3
3．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A（1，0），B（1，t）（t＞0）．若点C 不与点A 重合，
且以B，O，C 为顶点的三角形与△AOB 全等，则称C 为B 的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y 轴上都有B 的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x 轴上有B 的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B 的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B 的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
4．（2026•巴中）要使六边形木架（用6 根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2026•深圳）在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1 所示摆放，再将这些图形
2
重新拼接成如图2 所示的图形．已知拼接后点A，B 为图2 中图形的顶点，则AB 的长为（ ）
A．2
B．2√2
C．3
D．3√2-1
6．（2026•黑龙江）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D 为BC 上一点，且AC＝AD，E，
F 分别是CD，AB 的中点，连接EF，若AC＝2，则EF 的长为（ ）
A．2√3
B．√3
C．1
D．0.5
7．（2026•宜宾）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E、F 分别是BC 上的点，连接AE、DF 交于点G．若BF
＝EF＝2，CE＝1，AB＝4，CD＝6，则BG 的长是（ ）
A．2
3 √3
B．2
3 √5
C．4
3 √3
D．4
3 √5
8．（2026•河南）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A′B′
的长为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
9．（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以下步骤
作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆心，
3
大于1
2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于
点H．则∠CDH 的大小为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10．（2026•攀枝花）如图，正三角形ABC 的边长为4，D 是BC 边上的一点，过D 作AB 边的垂线，交
AB 于点G，用x 表示线段AG 的长度．显然，Rt△GBD 的面积y 是x 的函数，则该函数的大致图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026•乐山）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别是AB、BC、AC 的中点，连结DE、EF、DF．
若S△DEF＝1，则S△ABC＝（ ）
4
A．2
B．4
C．6
D．8
12．（2026•湖南）如图，在四边形ABCD 中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则
下列说法正确的是（ ）
A．BC＝2AD
B．∠ADC＝135°
C．AD∥BC
D．BD 平分∠ABC
13．（2026•苏州）如图，△ABC 中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC 至D，过C 作CE∥AB，则
∠DCE 的度数是（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
14．（2026•湖南）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC 的斜边AB 经过原点O，连接OC．已
知OA＝OC，若点A 的坐标为（1，0），则点B 的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）
B．（0，﹣1）
C．（0，1）
D．(-√2，0)
15．（2026•甘肃）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，动点M 从点O 出发，沿
OC→CD 匀速运动至点D 时停止．设点M 的运动路程为x，AM 的长度为y，y 与x 的函数图象如图2 所
示，在点M 的运动过程中，当AM⊥CD 时，AM 的长度是（ ）
5
A．3√5
B．6
C．4√2
D．3√3
16．（2026•云南）在Rt△ABC 中，∠C＝90°．若BC=√2，tanB= √6
2 ，则AB＝（ ）
A．1
3
B．√3
7
C．√5
D．4
5
17．（2026•南充）如图，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线a，b 上，且a∥b，若∠α＝40°，则
∠β 大小为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
18．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF 的度数为（ ）
A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
6
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共18 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
C
B
B
D
C
B
B
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
答案
B
C
A
D
C
B
C
一．选择题（共18 小题）
1．（2026•陕西）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝6．BC 的垂直平分线交BC 于点
D，交AC 于点E，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．2√3
D．4√3
【考点】含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ACB＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质得
BC＝2AB＝12，再利用线段垂直平分线的性质可得DB＝DC＝6，最后利用含30°角的直角三角形的性
质即可解答．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2AB＝12，
∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴DB＝DC＝6，
∵DE 是BC 的垂直平分线，∠ACB＝30°，
∴DC=√3DE＝6，
∴DE＝2√3，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线
的性质，以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2026•自贡）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的
7
原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1，S2，正方形ABCD 的面积
记作S3，则S1，S2与S3的关系是（ ）
A．S1+S2＜S3
B．S1+S2＝S3
C．S1+S2＞S3
D．2S1+S2＝S3
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】题目结合李善兰证明勾股定理的背景，通过图形中阴影正方形与中间正方形的面积关系考查
勾股定理．设直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则S1=a
2，S2=b
2，S3=c
2；根据勾股定理a2+b2
＝c2，可得S1+S2＝S3．
【解答】解：设正方形ABCD 的边长为c，
则其面积S3=c
2．
两个阴影正方形的边长分别对应直角三角形的两条直角边a 和b，
故面积分别为：S1＝a2，
S2＝b2，
根据勾股定理，直角三角形满足：a2+b2＝c2，
因此，面积关系为：S1+S2＝S3，
故选：B．
【点评】题目考查了勾股定理的证明，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
3．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A（1，0），B（1，t）（t＞0）．若点C 不与点A 重合，
且以B，O，C 为顶点的三角形与△AOB 全等，则称C 为B 的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y 轴上都有B 的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x 轴上有B 的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B 的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B 的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【考点】勾股定理；坐标与图形性质；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
8
【分析】先明确△AOB 的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立．
【解答】解：∵A（1，0），B（1，t），t＞0，
∴△AOB 是直角三角形，∠OAB＝90°，三边长为OA＝1，AB＝t，OB =√1+t
2，
①对任意t＞0，取点C（0，t），该点在y 轴上，此时OC＝t＝AB，BC＝1＝OA，OB 为公共边，
∴△BOC≌△AOB（SSS），且C 不与A 重合，因此y 轴上一定存在友好点，①正确；
②假设x 轴上存在友好点C（x，0），C 不与A 重合，也不能与O 重合（否则无法构成三角形），
∵全等三角形斜边相等，斜边为OB，
∴x2+（x﹣1）2+t2＝1+t2，
解得x＝0 或x＝1，均不符合要求，
因此x 轴上不存在友好点，②错误；
③当t＝1 时，所有符合条件的友好点为（0，1）（在y 轴）和（0，﹣1）（在y 轴负半轴），第一象
限内没有友好点，
因此不是对所有点B 都成立，③错误；
④举例：取t = 1
2，如图，设BC 与x 轴交于点D，过点C 作CE⊥x 轴于点E，
∵△BOC≌△OBA，
∴OC = AB = 1
2，∠OBC＝∠BOA，
∴OD＝BD，
在Rt△ABD 中，BD2＝AB2+AD2，
∴O D
2=( 1
2 )
2+(1-OD)
2，
解得OD = 5
8，
∴AD = 3
8，
∴sin∠ABD = AD
BD = AD
OD = 3
5，
∵∠ADC＝∠BAD+∠ABD，∠ADC＝∠C+∠COD，∠C＝∠BAD＝90°，
9
∴∠COD＝∠ABD，
∴sin∠COD =sin∠ABD = 3
5，
∴sin ∠COD = CE
OC = CE
1
2
= 3
5，
∴CE = 3
10，
∴OE =√OC
2-C E
2= 2
5，
∴C( 2
5 ，- 3
10 )，该点在第四象限，
因此存在这样的点B，使得在第四象限内有B 的“友好点”，故④正确，
综上，正确结论为①④．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，三角函数等，掌握综合知识是解题的关键．
4．（2026•巴中）要使六边形木架（用6 根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】三角形的稳定性．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个
顶点作对角线，需要的木条数等于对角线的条数．
【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3 条对角线，
所以至少要钉上3 根木条．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：
过n 边形的一个顶点作对角线，可以做（n﹣3）条．
5．（2026•深圳）在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1 所示摆放，再将这些图形
重新拼接成如图2 所示的图形．已知拼接后点A，B 为图2 中图形的顶点，则AB 的长为（ ）
10
A．2
B．2√2
C．3
D．3√2-1
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】先根据图 1 给出的边长，确定四块四巧板各边的线段长度，再分析图2 中点A，B 的距离．
【解答】解：等腰直角三角形①斜边为√1
2+1
2=√2，
由2√2=√2+√2以及边平行，得到存在一个平行四边形，
则直角梯形下底长与等腰直角三角形①斜边相等，
AB =√2+√2=2√2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
6．（2026•黑龙江）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D 为BC 上一点，且AC＝AD，E，
F 分别是CD，AB 的中点，连接EF，若AC＝2，则EF 的长为（ ）
A．2√3
B．√3
C．1
D．0.5
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AE，先根据含30°角的直角三角形性质求出∠C 和BC 的长，再由勾股定理可得AB 的长，
再证明△ACD 是等边三角形，利用三线合一得到AE⊥BC，最后在Rt△AEB 中利用斜边中线定理求出
EF 的长．
【解答】解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，连接AE，
11
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，BC＝2AC＝4，
由勾股定理得：AB =√BC
2- A C
2=√4
2-2
2=2√3，
∵∠C＝60°，AC＝AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∵E 是CD 的中点，
∴AE⊥CD，即∠AEB＝90°，
在Rt△AEB 中，F 是AB 的中点，
∴EF = 1
2 AB = 1
2 ×2√3=√3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾
股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
7．（2026•宜宾）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E、F 分别是BC 上的点，连接AE、DF 交于点G．若BF
＝EF＝2，CE＝1，AB＝4，CD＝6，则BG 的长是（ ）
A．2
3 √3
B．2
3 √5
C．4
3 √3
D．4
3 √5
【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过点G 作GH⊥BC 于点H，利用相似三角形的性质求出GH 和BH 的长，最后在Rt△BGH 中
利用勾股定理求解．
【解答】解：过点G 作GH⊥BC 于点H，
12
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥GH∥CD，
∴△FGH∽△FDC，△EGH∽△EAB，
∵BF＝EF＝2，CE＝1，
∴FC＝EF+CE＝3，BE＝BF+EF＝4，
设GH＝h，
∵△EGH∽△EAB，
∴GH
AB = EH
EB ，即h
4 = EH
4 ，
∴EH＝h，
∵△FGH∽△FDC，
∴GH
CD = FH
FC ，即h
6 = FH
3 ，
∴FH = 1
2 h，
∵EF＝EH+FH＝2，
∴h+ 1
2 h=2，
解得h= 4
3 ，
∴GH = 4
3 ，EH = 4
3 ，
∴FH = 2
3，
∴BH = BF + FH =2+ 2
3 = 8
3，
在Rt△BGH 中，BG =√B H
2+G H
2=√( 8
3 )
2
+( 4
3 )
2
=√
80
9 = 4
3 √5．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．（2026•河南）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A′B′
的长为（ ）
13
A．6
B．8
C．10
D．12
【考点】勾股定理；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出AB，利用成轴对称的两条图形的对应边相等，进行求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=√A C
2+ BC
2=√6
2+8
2=10，
∴A'B'＝AB＝10，
故选：C．
【点评】本题考查成轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线
段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
9．（2026•天津）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 是△ABC 的角平分线．按以下步骤
作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E，F；②分别以点E，F 为圆心，
大于1
2EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC 相交于
点H．则∠CDH 的大小为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝40°，从而利用角平分线
的定义可得∠ABD＝20°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝120°，再由作图可得：∠BDH＝
90°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C= 180° -∠BAC
2
=40°，
14
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD= 1
2∠ABC＝20°，
∵∠BDC 是△ABD 的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°，
由作图可得：HD⊥BF，
∴∠BDH＝90°，
∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．（2026•攀枝花）如图，正三角形ABC 的边长为4，D 是BC 边上的一点，过D 作AB 边的垂线，交
AB 于点G，用x 表示线段AG 的长度．显然，Rt△GBD 的面积y 是x 的函数，则该函数的大致图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】等边三角形的性质；函数的概念；函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B＝60°，AB＝BC＝4，确定BG＝AB﹣AG＝4﹣x，再由三角函
数得出DG = BG⋅tan 60° =√3(4 - x)，利用三角形面积建立函数，然后得出自变量的取值范围，取
15
特殊值即可判断函数图象．
【解答】解：∵△ABC 为正三角形，边长为4，
∴∠B＝60°，AB＝BC＝4，
∵AG＝x，
∴BG＝AB﹣AG＝4﹣x，
∵DG⊥AB，
∴∠DGB＝90°，
在Rt△GBD 中，DG = BG⋅tan 60° =√3(4 - x)，
∴y = 1
2 BG⋅DG = 1
2 (4 - x)⋅√3(4 - x)= √3
2 (4 - x)
2，
∵D 是BC 边上的一点，
∴0≤BD≤4，
在Rt△GBD 中，BD =
BG
cos60° =2(4 - x)，
∴0≤2（4﹣x）≤4，
解得2≤x≤4，
∴该函数图象是抛物线的一部分，且x 的取值范围是2≤x≤4，
当x＝2 时，y = √3
2 (4 -2)
2=2√3，
当x＝4 时，y＝0，
对比选项，只有B 选项符合．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象是解题的关键．
11．（2026•乐山）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别是AB、BC、AC 的中点，连结DE、EF、DF．
若S△DEF＝1，则S△ABC＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【考点】三角形中位线定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
16
【分析】由三角形中位线定理推出DE
AC = EF
AB = DF
BC = 1
2，判定△DEF∽△CAB，推出S△DEF
S△CAB
=( 1
2 )
2
，即
可求出S△ABC 的值．
【解答】解：∵点D、E、F 分别是AB、BC、AC 的中点，
∴DE、EF、DF 是△ABC 的中位线，
∴DE= 1
2AC，EF= 1
2AB，DF= 1
2BC，
∴DE
AC = EF
AB = DF
BC = 1
2，
∴△DEF∽△CAB，
∴
S△DEF
S△CAB
=( 1
2 )
2
，
∵S△DEF＝1，
∴S△ABC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出
△DEF∽△CAB．
12．（2026•湖南）如图，在四边形ABCD 中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则
下列说法正确的是（ ）
A．BC＝2AD
B．∠ADC＝135°
C．AD∥BC
D．BD 平分∠ABC
【考点】等腰直角三角形；平行线的判定．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】根据∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，可得BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∠ABD＝∠ADB＝45°，逐项判断即可．
【解答】解：∵BC＝2BD≠2AD，故A 选项错误．
∵∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，
∴BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ADC＝90°+45°＝135°，故B 选项正确；
∵∠CBD≠∠ADB，
∴AD 与BC 不平行，故C 选项错误；
17
∵∠CBD≠∠ABD，
∴BD 不平分∠ABC，故D 选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
13．（2026•苏州）如图，△ABC 中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC 至D，过C 作CE∥AB，则
∠DCE 的度数是（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由∠A＝55°，∠ACB＝65°，根据三角形内角和定理求得∠B＝60°，由CE∥AB，得∠DCE＝
∠B＝60°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC 中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，
∵延长BC 至D，过C 作CE∥AB，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，正确地求出∠B 的度数是解题的
关键．
14．（2026•湖南）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC 的斜边AB 经过原点O，连接OC．已
知OA＝OC，若点A 的坐标为（1，0），则点B 的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）
B．（0，﹣1）
C．（0，1）
D．(-√2，0)
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
18
【分析】由等腰三角形的性质和直角三角形的性质推出∠OCB＝∠OBC，再由等腰三角形的判定得OC
＝OB，则OC＝OA＝1，即可解决问题．
【解答】解：∵点A 的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
由题意可知，∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
∴OC＝OA＝1，
∴点B 的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握等
腰三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2026•甘肃）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，动点M 从点O 出发，沿
OC→CD 匀速运动至点D 时停止．设点M 的运动路程为x，AM 的长度为y，y 与x 的函数图象如图2 所
示，在点M 的运动过程中，当AM⊥CD 时，AM 的长度是（ ）
A．3√5
B．6
C．4√2
D．3√3
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由图2 可知，当x＝0 时，y＝3，对应点M 在O 点，此时AM＝AO＝3，结合菱形
对角线互相平分，则AC＝2AO＝6，又点M 运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3，从而CD
＝6，即菱形边长为6，又OD =√C D
2-OC
2=√6
2-3
2=3√3，当AM⊥CD 时，利用菱形面积公式：
菱形面积= 1
2 ×AC×BD＝CD×AM，结合BD＝2OD＝6√3，可得1
2 ×6×6√3=6AM，进而计算可以得解．
19
【解答】解：由图2 可知，当x＝0 时，y＝3，对应点M 在O 点，此时AM＝AO＝3．
∵菱形对角线互相平分，
∴AC＝2AO＝6．
点M 运动总路程为9，即OC+CD＝9，而OC＝AO＝3，
∴CD＝6，即菱形边长为6．
在Rt△COD 中，OC＝3，CD＝6，
由勾股定理：OD =√C D
2-OC
2=√6
2-3
2=3√3，
当AM⊥CD 时，利用菱形面积公式：菱形面积= 1
2 ×AC×BD＝CD×AM，
∵BD＝2OD＝6√3，
∴1
2 ×6×6√3=6AM，
∴AM＝3√3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
16．（2026•云南）在Rt△ABC 中，∠C＝90°．若BC=√2，tanB= √6
2 ，则AB＝（ ）
A．1
3
B．√3
7
C．√5
D．4
5
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用正切的定义先求得AC 的值，再利用勾股定理求得AB 的值即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
则tanB= AC
BC ，
∵BC=√2，tanB= √6
2 ，
∴AC=√2× √6
2 =√3，
∴AB=√A C
2+ BC
2=√3+2=√5，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握相关定义及定理是解题的关键．
17．（2026•南充）如图，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线a，b 上，且a∥b，若∠α＝40°，则
∠β 大小为（ ）
20
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得到∠A＝60°，由三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠α＝100°，由平
行线的性质推出∠β＝∠BDC＝100°．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠α＝60°+40°＝100°，
∵a∥b，
∴∠β＝∠BDC＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等；等边三
角形的三个角是60 度．
18．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF 的度数为（ ）
A．40°
B．62°
C．78°
D．102°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠F＝∠A＝40°，然后在△FDE 中，由三角形内角和定理可得
∠EDF＝78°，据此可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°，
21
在△FDE 中，∠E＝62°，∠F＝40°，
∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°．
故答案为：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握查了全等三角形的性质，
三角形内角和定理是解决问题的关键．
22
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到
y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对
应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变
化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
3．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y 的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y
的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式
这个点就不在函数的图象上．．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内
角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
23
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△= 1
2 ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性
主要应用在实际生活中．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而
对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
10．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
24
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起
解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
14．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
15．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
25
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
18．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用
面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
19．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
20．等腰直角三角形
26
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
21．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= 1
2BC．
22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到
这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
24．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A 的对边除以斜边= a
c ．
27
（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A 的邻边除以斜边= b
c ．
（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A 的对边除以∠A 的邻边= a
b．
（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:10:55；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
