文档文本内容
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一次函数（一）
一．选择题（共5 小题）
1．（2026•广东）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+4 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026•陕西）一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数图象经过的点的坐标还可以是（
）
A．（2，3）
B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（2，﹣3）
3．（2026•深圳）如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离s（单
位：km）随时间t（单位：min）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（km/
min）之差为（ ）
A．1km/min
B．0.8km/min
C．0.6km/min
D．0.4km/min
4．（2026•新疆）一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg 的物体，弹簧伸长
2cm，当挂3kg 的物体时，弹簧的长度为（ ）
A．18cm
B．16cm
C．15cm
D．14cm
5．（2026•山东）在2026 年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加
了5km 健步走项目．两人8：00 从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min 后仍按原速行进，
小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰
的时刻是（ ）
2
A．8：25
B．8：33
C．9：00
D．9：17
二．填空题（共10 小题）
6．（2026•黑龙江）如图，B1 是直线l：y= 1
2x+2 与y 轴的交点，过点B1 作A1B1⊥l 交x 轴于点A1，以
A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x 轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，
延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x 轴于点A4；…，按照这
个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为 ．
7．（2026•河南）写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的表达式 ．
8．（2026•内蒙古）对于一次函数y＝（k+1）x﹣k（k 是常数，且k≠﹣1），下列结论：
①点（1，1）在此函数图象上；
②当k＝1 且y＜0 时，x＜1
2；
③当k＜0 时，y 随x 的增大而减小．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
9．（2026•内江）若关于x 的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数，且一次函数y＝（m﹣2）x﹣4 中，函数
值y 随x 的增大而减小，则所有满足条件的整数m 的值之和是 ．
10．（2026•天津）将直线y＝﹣x+b（b 为常数）向上平移2 个单位长度，若平移后的直线经过第二、第
一、第四象限，则b 的值可以是 （写出一个即可）．
11．（2026•山西）某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000 册时，投入成本y（元）与印刷
数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如表所示．当印刷数量为5000 册时，投入
成本是 元．
印刷数量x
（册）
0
500
1000
1500
…
20000
投入成本y
（元）
24000
27000
30000
33000
…
144000
12．（2026•江西）如图，点P 在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A，
3
B，矩形OAPB 的面积为1（O 为坐标原点）．若满足条件的点P 有且仅有三个，则点P 的横坐标为
．
13．（2026•扬州）若一次函数y＝（k﹣2）x+3 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是
．
14．（2026•苏州）点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1 的图象上，则a 的值为 ．
15．（2026•成都）在平面直角坐标系xOy 中，设A（x1，y1），B（x2，y2），记L（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1
﹣y2|，例如，若M（1，3），则L（O，M）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4．若点N 满足L（O，N）＝1，则所有N
点组成的图形面积为 ；已知A 是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，OA＝2，点P 在
OA 上，点Q 满足L（P，Q）＝1，当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5 ，则
k＝ ．
三．解答题（共3 小题）
16．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1）和（1，
5）．
（1）求k，b 的值；
（2）当﹣2＜x＜1 时，对于x 的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b 的值，直接写
出m 的取值范围．
17．（2026•南京）已知两直线y1＝kx+1 与y2＝﹣2x+b 交于（1，2），
（1）计算k 和b 的值；
（2）若y1＞y2，求x 的取值范围．
18．（2026•广元）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和
大果两种猕猴桃礼盒，若购进3 件中果礼盒和2 件大果礼盒需190 元，购进2 件中果礼盒和4 件大果礼
盒需260 元．
（1）求购进中果礼盒，大果礼盒每件的价格；
（2）根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100 件进行销售，中果礼盒每件售价50 元，
大果礼盒每件售价80 元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2 倍．求怎样进货才能使利润最大，
最大利润是多少？
4
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之一次函数（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5 小题）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
D
D
A
C
一．选择题（共5 小题）
1．（2026•广东）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+4 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】A
【分析】根据一次函数y＝kx+b 中k 和b 的符号即可确定图象经过的象限．
【解答】解：∵一次函数y＝3x+4 中，k＝3＞0，b＝4＞0，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
观察选项可知，只有A 选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握其相关知识点是解题的关键．
2．（2026•陕西）一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数图象经过的点的坐标还可以是（
）
A．（2，3）
B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（2，﹣3）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由正比例函数的图象经过点（﹣2，3），可求出正比例函数的解析式，再代入各选项中点的
横坐标，求出y 值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
5
∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），
∴3＝﹣2k，
∴k=- 3
2，
∴正比例函数的解析式为y=- 3
2x．
A．当x＝2 时，y=- 3
2 ×2＝﹣3，
∵﹣3≠3，
∴该函数图象不经过点（2，3），选项A 不符合题意；
B．当x＝﹣3 时，y=- 3
2 ×（﹣3）= 9
2，
∵9
2 ≠-2，
∴该函数图象不经过点（﹣3，﹣2），选项B 不符合题意；
C．当x＝3 时，y=- 3
2 ×3=- 9
2，
∵- 9
2 ≠-2，
∴该函数图象不经过点（3，﹣2），选项C 不符合题意；
D．当x＝2 时，y=- 3
2 ×2＝﹣3，
∵﹣3＝﹣3，
∴该函数图象经过点（2，﹣3），选项D 符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出正比例函
数的解析式是解题的关键．
3．（2026•深圳）如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离s（单
位：km）随时间t（单位：min）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（km/
min）之差为（ ）
A．1km/min
B．0.8km/min
C．0.6km/min
D．0.4km/min
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】D
6
【分析】先分别求出无人机去程速度和回程速度，再相减即可得出结果．
【解答】解：由图可得，无人机去程速度为：3÷5＝0.6km/min，
无人机回程速度为：3÷（8﹣5）＝1km/min，
∴根据图中信息，无人机在往返途中的速度之差为1﹣0.6＝0.4km/min，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
4．（2026•新疆）一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg 的物体，弹簧伸长
2cm，当挂3kg 的物体时，弹簧的长度为（ ）
A．18cm
B．16cm
C．15cm
D．14cm
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用弹簧总长度等于弹簧原长加上挂物体后伸长的长度即可求解．
【解答】解：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg 的物体，弹簧伸长2cm，
∴挂3kg 物体时，弹簧伸长量为3×2＝6cm，
又∵弹簧原长为12cm，
∴挂3kg 物体时弹簧总长度为12+6＝18cm．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
5．（2026•山东）在2026 年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加
了5km 健步走项目．两人8：00 从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min 后仍按原速行进，
小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰
的时刻是（ ）
A．8：25
B．8：33
C．9：00
D．9：17
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意，先求出当0＜x＜25 时小英的函数关系式，小英在途中打卡点拍照停留了15min 后
仍按原速行进，从而可得当x≥40 时，y= 2
25（x﹣15），又求出小杰的函数关系式为y= 3
50x，再联立
7
方程从而可以计算求解．
【解答】解：由题意，当0＜x＜25 时，
设小英的函数关系式为y＝kx，则25k＝2，
∴k= 2
25．
∴此时y= 2
25x．
∵小英在途中打卡点拍照停留了15min 后仍按原速行进，
∴当x≥40 时，y= 2
25（x﹣15）．
设小杰的函数关系式为y＝mx，
又图象过（25，1.5），
∴25m＝1.5，则m= 3
50．
∴小杰的函数关系式为y= 3
50x．
联立方程3
50x= 2
25（x﹣15），
∴x＝60．
∴小英在60min 后追上小杰，此时的时刻是9：00．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
二．填空题（共10 小题）
6．（2026•黑龙江）如图，B1 是直线l：y= 1
2x+2 与y 轴的交点，过点B1 作A1B1⊥l 交x 轴于点A1，以
A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x 轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，
延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x 轴于点A4；…，按照这
个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为 ( 3
2 )
n-1
．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
8
【答案】( 3
2 )
n-1
．
【分析】由题意易得
OB1 ＝2 ，OB0 ＝4 ，则有B1B0=√O B1
2+O B0
2=2√5，
tan∠O B0 B1= O B1
O B0
= 1
2 ，sin∠O B0 B1= O B1
B1B0
= √5
5 ，
然
后
可
得
B1 A1= B0 B1⋅tan ∠O B0 B1=√5= A1C1= B1B2，分别过点C1，C2，C3 作x 轴的垂线，垂足分别为
E，F，H，进而根据三角函数可得点C1，C2，C3的坐标，最后总结规律即可．
【解答】解：∵B1是直线y= 1
2x+2 与y 轴的交点，
∴B1（0，2），B0（﹣4，0），
∴OB1＝2，OB0＝4，
∴B1B0=√O B1
2+OB0
2=√2
2+ 4
2=2√5，
∴tan∠O B0 B1= O B1
O B0
= 1
2 ，sin∠O B0 B1= O B1
B1B0
= √5
5 ，
∵四边形A1B1B2C1是正方形，
∴∠A1B1B2＝∠B1A1C1＝90°，B1B2＝A1B1＝C1A1，
∴∠A1B1B0＝180°﹣∠A1B1B2＝90°，
∴B1 A1= B0 B1⋅tan ∠O B0 B1=√5= A1C1= B1B2，
如图，分别过点C1，C2，C3作x 轴的垂线，垂足分别为E，F，H，
∴∠B1OA1＝∠B1A1C1＝∠A1EC1＝90°，
∴∠B0B1O+∠OB0B1＝∠B0B1O+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠C1A1E＝90°，
∴∠OB0B1＝∠A1B1O＝∠C1A1E，
∴C1E＝A1C1•sin∠C1A1E＝A1C1•sin∠OB0B1＝1，
∴C1的纵坐标为1；
∵四边形A2B2B3C2，A3B3B4C3都是正方形，
9
∴∠A2B2B3＝∠A2B2B0＝∠A3B3B4＝∠A3B3B0＝90°，A2B2＝B2B3＝A2C2，A3B3＝B3B4＝A3C3，
同理可得：∠C2A2F＝∠C3A3H＝∠OB0B1，
∵B0 B2= B0 B1+ B1B2=3√5，
∴B2 A2= B0 B2⋅tan ∠O B0 B1= 3√5
2
= B2B3= A2C2，
∴C2 F = A2C2⋅sin∠O B0 B1= 3
2，B0 B3= B0 B2+ B2B3= 9√5
2
，
∴C2的纵坐标为3
2，B3 A3= B0 B3⋅tan ∠O B0 B1= 9√5
4
= B3 B4= A3C3，
∴C3 H = A3C3⋅sin∠O B0 B1= 9
4 ，
∴C3的纵坐标为9
4 ，
…；
∴按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为( 3
2 )
n-1
．
故答案为：( 3
2 )
n-1
．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，规律型，熟知一次函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式是解题的关键．
7．（2026•河南）写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的表达式y ＝
x （答案不唯一）
．
【考点】正比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】y＝x（答案不唯一）．
【分析】利用正比例函数的性质，可得出k＞0，任取其内一值，即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝1 时，正比例函数的表达式为y＝x．
故答案为：y＝x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0 时，正比例函数的图象经过第一、三象限；当
k＜0 时，正比例函数的图象经过第二、四象限”是解题的关键．
8．（2026•内蒙古）对于一次函数y＝（k+1）x﹣k（k 是常数，且k≠﹣1），下列结论：
①点（1，1）在此函数图象上；
②当k＝1 且y＜0 时，x＜1
2；
③当k＜0 时，y 随x 的增大而减小．
其中正确的结论是
①②
．（填写所有正确结论的序号）
10
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】①②．
【分析】①代入x＝1，可求出y 值，进而可得出点（1，1）在此函数图象上；
②代入k＝1，y＜0，可得出2x﹣1＜0，解之可得出x＜1
2；
③利用一次函数的性质，可得出当k＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小．
【解答】解：①当x＝1 时，y＝（k+1）×1﹣k＝1，
∵1＝1，
∴点（1，1）在此函数图象上，结论①正确；
②当k＝1 时，一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
当y＜0 时，2x﹣1＜0，
解得：x＜1
2，结论②正确；
③当k+1＜0，即k＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小，结论③不正确．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析三条结论的正误是
解题的关键．
9．（2026•内江）若关于x 的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数，且一次函数y＝（m﹣2）x﹣4 中，函数
值y 随x 的增大而减小，则所有满足条件的整数m 的值之和是 ﹣
2
．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】先用m 表示出x 的值，再由关于x 的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数得出关于m 的不等式，
求出m 的取值范围；再由一次函数y＝（m﹣2）x﹣4 中，函数值y 随x 的增大而减小得出m﹣2＜0，综
合两个不等式得出m 的取值范围，求出m 的所有整数值，再求和即可．
【解答】解：2x﹣m＝3（x+1），
2x﹣m＝3x+3，
2x﹣3x＝3+m，
﹣x＝3+m，
x＝﹣3﹣m，
∵关于x 的方程2x﹣m＝3（x+1）的解是负数，
∴﹣3﹣m＜0，
解得m＞﹣3 ①，
∵一次函数y＝（m﹣2）x﹣4 中，函数值y 随x 的增大而减小，
11
∴m﹣2＜0，
∴m＜2 ②，
由①②得﹣3＜m＜2，
∴m 的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，
∴所有满足条件的整数m 的值之和是：﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
10．（2026•天津）将直线y＝﹣x+b（b 为常数）向上平移2 个单位长度，若平移后的直线经过第二、第
一、第四象限，则b 的值可以是
1 （答案不唯一）
（写出一个即可）．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由平移后的直线经过第二、
第一、第四象限得出b 的取值范围即可．
【解答】解：由题知，将直线y＝﹣x+b 向上平移2 个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝﹣
x+b+2，
∴平移后的直线与y 轴的交点坐标为（0，b+2）．
又∵平移后的直线经过第二、第一、第四象限，且k＝﹣1＜0，
∴b+2＞0，
∴b＞﹣2，
∴b 的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，熟知“上加下减”的平移法则
是解题的关键．
11．（2026•山西）某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000 册时，投入成本y（元）与印刷
数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如表所示．当印刷数量为5000 册时，投入
成本是
54000
元．
印刷数量x
（册）
0
500
1000
1500
…
20000
投入成本y
（元）
24000
27000
30000
33000
…
144000
【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用；函数的表示方法．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】54000．
【分析】由待定系数法求出投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间的一次函数关系式，即可解决问
题．
12
【解答】解：由题意可知，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：{
b=24000
500k +b=27000，
解得：{
k =6
b=24000，
∴y＝6x+24000，
当x＝5000 时，y＝6×5000+24000＝54000，
即当印刷数量为5000 册时，投入成本是54000 元，
故答案为：54000．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，由待定系数法求出一次函数关系式是解题的关键．
12．（2026•江西）如图，点P 在直线y＝﹣x+b（b＞0）上，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A，
B，矩形OAPB 的面积为1（O 为坐标原点）．若满足条件的点P 有且仅有三个，则点P 的横坐标为
1
-√2或
1 或
1 +√2 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】1-√2或1 或1+√2．
【分析】设点P 的横坐标为m，则点P 的纵坐标为﹣m+b，根据矩形OAPB 的面积为1，可列出关于m
的一元二次方程，由满足条件的点P 有且仅有三个，可得出Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，解之可得出b 的
值，再将b＝2 代入原方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设点P 的横坐标为m，则点P 的纵坐标为﹣m+b，
根据题意得：|m|•|﹣m+b|＝1，
即m2﹣bm﹣1＝0 或m2﹣bm+1＝0，
∵满足条件的点P 有且仅有三个，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，
∴b＝2．
将b＝2 代入m2﹣bm﹣1＝0 得：m2﹣2m﹣1＝0，
解得：m1= 2-√(-2)
2- 4×1×(-1)
2
=1-√2，m2= 2+√(-2)
2- 4×1×(-1)
2
=1+√2；
将b＝2 代入m2﹣bm+1＝0 得：m2﹣2m+1＝0，
13
解得：m3＝m4＝1．
综上所述，点P 的横坐标为1-√2或1 或1+√2．
故答案为：1-√2或1 或1+√2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、根的判别式以及解一元二次方程，
根据满足条件的点P 有且仅有三个，求出b 值是解题的关键．
13．（2026•扬州）若一次函数y＝（k﹣2）x+3 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是k ＞
2
．
【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】k＞2．
【分析】根据一次函数的性质，构建不等式即可解决问题．
【解答】解：由题意：k﹣2＞0，
解得k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查一次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，学会
用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（2026•苏州）点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1 的图象上，则a 的值为 ﹣
3
．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1 的图象上，代入点P 计算即可得解．
【解答】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1 的图象上，∴a＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
15．（2026•成都）在平面直角坐标系xOy 中，设A（x1，y1），B（x2，y2），记L（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1
﹣y2|，例如，若M（1，3），则L（O，M）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4．若点N 满足L（O，N）＝1，则所有N
点组成的图形面积为
2
；已知A 是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，OA＝2，点P 在
OA 上，点Q 满足L（P，Q）＝1，当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5 ，则
k＝ 3
4 或4
3 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】2，3
4 或4
3 ．
14
【分析】根据定义得出所有N 点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2 的正方形，进而求
得其面积；进而根据L（P，Q）＝1，得出Q 点运动所覆盖的区域面积，设A（a，b），分情况讨论，
分别画出图形，求得点A 的坐标，进而求得k 的值，即可求解．
【解答】解：①∵L（O，N）＝1，
设N（m，n），
∴|m|+|n|＝1，
当N 在第一象限时，m+n＝1，即n＝﹣m+1，
∴点N 在直线 y＝﹣x+1 上，
同理当N 在第二象限时，﹣m+n＝1，
∴n＝m+1，即点N 在y＝x+1 上，
当N 在第三象限时，﹣m﹣n＝1，即n＝﹣m﹣1，点N 在y＝﹣x﹣1 上，
当N 在第四象限时，m﹣n＝1，即n＝m﹣1，点N 在y＝x﹣1 上，
∴所有N 点与坐标轴的交点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1），
∴所有N 点组成的图形为正方形，其面积为1
2 ×2×2=2；
②∵已知A 是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，OA＝2，点P 在OA 上，
∴点A 在2 为半径的弧上运动，
∵点Q 满足L（P，Q）＝1，同①可得点Q 组成的图形是对角线为2，且平行于坐标轴的正方形，
∴当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5 ，
设A（a，b），A 是直线y＝kx（k＞0）上一点且位于第一象限，
∴b＝ak，a，b＞0，
∴k = b
a，
当b＞a 时，如图，
∴26
5 = 1
2 ×2×1×2+ S平行四边形CDEF，
∴26
5 = 1
2 ×2×1×2+2b，
15
解得：b= 8
5，
∵a2+b2＝4，a＞0，
∴a= 6
5，
∴A( 6
5 ，8
5 )，
∴k =
8
5
6
5
= 4
3 ，
当a＞b 时，如图，
∴26
5 = 1
2 ×2×1×2+ S平行四边形GHNM，
∴2b
5 = 1
2 ×2×1×2+2a，
解得：a= 8
5，
∵a2+b2＝4，a＞0，
∴b= 6
5，
∴A( 8
5 ，6
5 )，
∴k =
0
5
8
5
= 3
4 ，
综上所述，k = 4
3 或3
4 ．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握其相关知识点是解题
的关键．
三．解答题（共3 小题）
16．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1）和（1，
16
5）．
（1）求k，b 的值；
（2）当﹣2＜x＜1 时，对于x 的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b 的值，直接写
出m 的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；一次函数图
象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）{
k =2
b=3；
（2）1
2 ≤m≤5．
【分析】（1）利用待定系数法，将已知点代入解析式得到方程组，求解即可得到k，b 的值；
（2）依据题意，由（1）函数y＝kx+b 为y＝2x+3，在同一坐标系中作出y＝mx 与y＝2x+3 的图象，然
后利用数形结合进行分析计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1）和（1，5），
∴{
-2k +b=-1
k +b=5
．
∴{
k =2
b=3；
（2）由（1）函数y＝kx+b 为y＝2x+3，
在同一坐标系中作出y＝mx 与y＝2x+3 的图象如下：
∵当x＝﹣2 时，y＝2×（﹣2）+3＝﹣1，令y＝m×（﹣2）＝﹣1，则m= 1
2；
当x＝1 时，y＝2×1+3＝5，令y＝m×1＝5，则m＝5，
17
∴当﹣2＜x＜1 时，对于x 的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b 的值，结合图象可
得，1
2 ≤m≤5．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
17．（2026•南京）已知两直线y1＝kx+1 与y2＝﹣2x+b 交于（1，2），
（1）计算k 和b 的值；
（2）若y1＞y2，求x 的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）k＝1，b＝4；
（2）x＞1．
【分析】（1）将点（1，2）分别代入两个函数解析式进行计算即可；
（2）根据题意得出关于x 的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为两直线y1＝kx+1 与y2＝﹣2x+b 交于（1，2），
所以k+1＝2，﹣2+b＝2，
解得k＝1，b＝4；
（2）由（1）知，
两直线的函数解析式为y1＝x+1 与y2＝﹣2x+4，
因为y1＞y2，
所以x+1＞﹣2x+4，
解得x＞1，
所以x 的取值范围是x＞1．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质及两条直线相交或平行问题，
熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（2026•广元）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和
大果两种猕猴桃礼盒，若购进3 件中果礼盒和2 件大果礼盒需190 元，购进2 件中果礼盒和4 件大果礼
盒需260 元．
（1）求购进中果礼盒，大果礼盒每件的价格；
（2）根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100 件进行销售，中果礼盒每件售价50 元，
大果礼盒每件售价80 元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2 倍．求怎样进货才能使利润最大，
最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）中果礼盒每件进价30 元，大果礼盒每件进价50 元；
18
（2）购进中果礼盒67 件、大果礼盒33 件时利润最大，最大利润2330 元．
【分析】（1）设每件中果礼盒的售价为x 元，每件大果礼盒的售价为y 元，根据等量关系，列出方程
组并求解即可；
（2）设购进大果礼盒m 件，则中果礼盒（100﹣m）件，根据利润公式求出函数解析式，结合一次函
数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元，
依题意列方程组：{
3 x +2 y =190
2 x + 4 y =260，
解得{
x =30
y =50，
答：中果礼盒每件进价30 元，大果礼盒每件进价50 元；
（2）单件利润：中果：50﹣30＝20 元/件，
大果：80﹣50＝30 元/件，
设购进大果礼盒m 件，则中果礼盒（100﹣m）件，
由“中果件数不少于大果2 倍”列不等式：100﹣m≥2m，
解得m≤100
3 ≈33.33，
∵m 为非负整数，
∴m 最大取33，
设总利润为W：W＝20（100﹣m）+30m＝2000﹣20m+30m＝10m+2000，
∵k＝10＞0，W 随m 增大而增大，
∴m＝33 时，W 取最大值，
此时中果礼盒：100﹣33＝67（件），
最大利润：W＝10×33+2000＝2330（元），
答：购进中果礼盒67 件、大果礼盒33 件时利润最大，最大利润2330 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的性质，理
解题意，找到相等关系或不等关系列出方程组或不等式是解题的关键．
19
考点卡片
1．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设
几个未知数，就要列几个方程．
2．解一元二次方程-公式法
（1）把x=-b±√b
2- 4 ac
2a
（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c 的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac 的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0 的前提下，把a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一
次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
20
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱
形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
5．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其
坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
6．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析
式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之
亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
7．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（- b
k ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b 分别是与y 轴，x 轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx 平移|b|个单位而得到．
当b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
21
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当
b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
9．正比例函数的性质
单调性
当k＞0 时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y 随x 的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0 时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y 随x 的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
10．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当
b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b 的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b 的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b 的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b 的图象在二、三、四象限．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（- b
k ，0）；与
y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
12．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）
①关于x 轴对称，就是x 不变，y 变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y 轴对称，就是y 不变，x 变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x 和y 都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
22
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y 的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则
需要两组x，y 的值．
14．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0
时，自变量 的值．即一次函数图象与x 轴交点的横坐标．
15．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x 轴交点为（- b
k ，0）．
当k＞0 时，不等式kx+b＞0 的解为：x＞- b
k ，不等式kx+b＜0 的解为：x＜- b
k ；
当k＜0，不等式kx+b＞0 的解为：x＜- b
k ，不等式kx+b＜0 的解为：x＞- b
k ．
16．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图
象相交；当k，b 都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．矩形的性质
23
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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