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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题32 最值问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当
时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.（ 2024四川南充）如图，在 中， ， 平分 交
于点D，点E为边 上一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
3. （2024四川南充）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
4.（ 2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形 中，点E，F分别是边 上的动点，且满
足 ， 与 交于点O，点M是 的中点，G是边 上的点， ，则
的最小值是（ ）
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A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
5.（ 2024四川宜宾）如图，在 中， ，以 为边作 ， ，点
D与点A在 的两侧，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 5 D. 8
6.（ 2024四川达州）如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 ， 分别在 ，
边上运动，连结 ， 交于点 ，且始终满足 ，则下列结论：① ；②
；③ 面积的最大值是 ；④ 的最小值是 ．其中正确的
是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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二、填空题
1.（ 2024四川广安）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动
点，则 的最小值为______．
2.（ 2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂线
， 为直线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为______．
3.（ 2024江苏扬州）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，点C、D分别是
、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则当 最大
时， 的值为_____．
4.（ 2024四川广元）如图，在 中， ， ，则 的最大值为______．
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5. （ 2024河南省）如图，在 中， ， ，线段 绕点C在平面内旋转，
过点B作 的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为_________，最小值为
_________.
6.（ 2024四川宜宾）如图，正方形 的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若 ，
则 的最小值为___________．
7.（ 2024四川内江）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且 ，点
是 的内心， 的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则 的最
小值为________．
三、解答题
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1. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其中
是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面
竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔
的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
2. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问题
展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并
整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过 的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以
我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
3. （2024江苏连云港）【问题情境】
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（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形
面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形
面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示
步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为
端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程中
存在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
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4. （2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生
活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每
天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每
辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
5.（ 2024山东枣庄）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图
像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
（1）求 的值；
（2）若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到
新的二次函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值
范围．
6.（ 2024天津市）已知抛物线 的顶点为 ，且 ，
对称轴与 轴相交于点 ，点 在抛物线上， 为坐标原点．
（1）当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
（2）当 时，求 的值；
（3）若 是抛物线上的点，且点 在第四象限， ，点 在线段 上，
点 在线段 上， ，当 取得最小值为 时，求 的值．
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7. （2024安徽省）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点
横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．
8.（ 2024四川凉山）如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，连接
， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的最小值．
8
