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2025-2026 学年上海市黄浦区敬业中学九年级（上）月考数学试卷
（10 月份）
一、选择题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知△A BC，A B =m，∠A C B =90
∘，则下列各式中，正确的是( )
A. BC =m⋅tan A
B. BC =m⋅cot A
C. BC =m⋅sin A
D. BC =m⋅cos A
2.在△A BC中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果A D =2，B D = 4，那么由下列条件能够判断
D E // BC的是( )
A. A E
A C = 1
2
B. D E
BC = 1
3
C. A E
A C = 1
3
D. D E
BC = 1
2
3.下列判断中，不正确的有( )
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D. 有一个角是100
∘的两个等腰三角形相似
4.如图，在△A BC中，sin B = 1
3，tanC =2，A B =3，则AC 的长为( )
A. √2
B.
√5
2
C. √5
D. 2
5.下列命题错误的是( )
A. 零向量与任何一个向量都是平行向量
B. 如果a⃗= 1
2 b⃗(b⃗为非零向量)，那么a⃗//b⃗
C. 如果|a⃗|=|b⃗|
，那么a⃗=b⃗
或a⃗=−b⃗
D. 如果非零向量a⃗//b⃗
，那么一定存在唯一的实数m，使b⃗=ma⃗
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6.如图，已知在△A BC纸板中，A C = 4，BC =8，A B =11，P 是BC 上一点，沿过点P 的直线剪下一个
与△A BC相似的小三角形纸板，如果有4 种不同的剪法，那么CP 长的取值范围是( )
A. 0<C P≤1
B. 0<C P≤2
C. 1≤C P<8
D. 2≤C P<8
二、填空题：本题共12 小题，每小题4 分，共48 分。
7.已知x
y = 3
2
，则x + y
y
=______.
8.已知线段a=2c m，b=8c m，那么线段a 和b 的比例中项为______c m.
9.地图上的比例尺是1：100000，A、B 两地是实际距离是30 千米，则图上的距离是______.
10.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段( A P> P B)，其中AP 是AB 与PB 的比例中项，若线段AP 长
为4cm，那么线段AB 的长为______.
11.如图，直线l1//l2//l3，A B = 4，BC =3，D F =14，那么D E =______.
12.如图，在△A BC中，A B = 4，A C =3，点D 在边AB 上，
∠A DC =∠A C B，那么B D =______.
13.等腰直角三角形的腰长为 √2，该三角形的重心到斜边的距离为______.
14.如图，△A BC中，D E // BC，DE 分别交边AB、AC 于D、E 两点，若
△A D E与四边形BDEC 的面积比是9：16，则△A D E与△A BC的周长比是
______.
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15.如图，在△A BC中，点G 是两条中线AD、BE 的交点，设A B⃗=a⃗，
A E⃗=b⃗，如果用a⃗，b⃗表示A G⃗，那么A G⃗=______.
16.如图，在△A BC中，有矩形DEFG，G、F 在BC 上，D、E 分别在
AB、AC 上，A H ⊥BC交DE 于点M、交BC 于点H，DG：D E =1：2，
BC =12c m，A H =8c m，则D E =______c m.
17.如图所示，A B //C D，AC、BD 相交于点E，若△C D E面积为3，
△BC E的面积为5，则梯形的面积为______.
18.如图，梯形ABCD 中，A D // BC，A B = DC，∠D BC = 45
∘，点E 在
BC 上，点F 在AB 上，将梯形ABCD 沿直线EF 翻折，使得点B 与点D 重合．
如果A D
BC = 1
4 ，那么A F
B F 的值是______.
三、计算题：本大题共1 小题，共10 分。
19.计算：2sin
260
∘−cos60
∘
tan
260
∘−4 cos 45
∘.
四、解答题：本题共6 小题，共68 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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20.(本小题10 分)
如图，梯形ABCD 中，A B //C D，且A B
C D = 4
3
，点E 是CD 的中点，AC 与BE 交于点F，若A B⃗=m⃗，
A D⃗=n⃗.
(1)请用m⃗
，n⃗
来表示A F⃗
；
(2)请在图中画出B E⃗
在m⃗
，n⃗
方向上的分向量．(不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量)
21.(本小题10 分)
如图，△A BC和△C E F均为等腰直角三角形，E 在△A BC内，∠C A E+∠C B E =90
∘，连接B F .
(1)求证：△C A E∽△C B F .
(2)若B E =1，A E =2，求CE 的长．
22.(本小题10 分)
如图，在△A BC中，CD 是AB 边上的中线，已知∠B = 45
∘，tan∠A C B =3，A C =
√10，求：
(1)△A BC的面积；
(2)sin ∠A C D的值．
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23.(本小题12 分)
梯形ABCD 中，A D // BC，对角线A C ⊥BC，点E 是BC 边上一个点，∠B =∠A E F，EF 交DC 于
点F，AF 交BC 延长线于点G，且∠B A E =∠C A F .
(1)求证：E F ⊥A G；
(2)求证：A G⋅A F = A D⋅EG.
24.(本小题12 分)
直线y =−1
3 x +1分别交x 轴、y 轴于A、B 两点．
(1)求出点A、B 的坐标；
(2)已知点G 的坐标为(2,7)，过点G 和B 作直线BG，连接AG，求∠A G B的正切值；
(3)在(2)的条件下，在直线BG 上是否存在点Q，使得以点A、B、Q 为顶点的三角形与△A O B相似？若
存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题14 分)
如图1，在△A BC中，A B = A C =20，tan B = 3
4 ，点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B，C 重合).以D
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为顶点作∠A D E =∠B，射线DE 交AC 边于点E，过点A 作A F ⊥A D交射线DE 于点F，连接C F .
(1)求证：△A B D∽△DC E;
(2)当D E // A B时(如图2)，求AE 的长;
(3)点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得D F =C F ?若存在，求出此时BD 的长;若不
存在，请说明理由.
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图所示，AC、BC 为两直角边，AB 为斜边，
则sin A = BC
A B ，即BC = A B⋅sin A =m⋅sin A .
故选：C .
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
本题可以利用锐角三角函数的定义进行分析、解答．
2.【答案】C
【解析】解：
只有选项C 正确.
理由是：∵A D =2，B D = 4，A D
A B = 1
3，
∴A D
A B = A E
A C = 1
3，
∵∠D A E =∠B A C，
∴△A D E∽△A BC，
∴∠A D E =∠B，
∴D E // BC，
根据选项A、B、D 的条件都不能推出D E // BC .
故选：C .
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此
题的关键．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△A D E∽△A BC，根据相似推出∠A D E =∠B，根据平
行线的判定得出即可．
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3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键.
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；
D、有一个角是100
∘的两个等腰三角形，则他们的底角都是40
∘，所以有一个角是100
∘的两个等腰三角形
相似，故D 选项不合题意.
故选：B.
4.【答案】B
【解析】解：过A 作A D⊥BC于D，
则∠A DC =∠A D B =90
∘，
∵tanC =2= A D
DC ，sin B = 1
3 = A D
A B ，
∴A D =2 DC，A B =3 A D，
∵A B =3，
∴A D =1，DC = 1
2，
在Rt △A DC中，由勾股定理得：A C =
√A D
2+ DC
2= √1
2+( 1
2 )
2=
√5
2 ，
故选：B.
过A 作A D⊥BC于D，则∠A DC =∠A D B =90
∘，根据已知求出A D =2 DC，A B =3 A D，求出
AD、CD 的长，根据勾股定理求出AC 即可．
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本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此
题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、零向量与任何一个向量都是平行向量，正确，本选项不符合题意；
B、如果a⃗= 1
2 b⃗(b⃗为非零向量)，那么a⃗//b⃗，正确，本选项不符合题意；
C、如果|a⃗|=|b⃗|
，那么a⃗=b⃗
或a⃗=−b⃗
，错误，模相等的两个向量不一定平行，本选项符合题意；
D、如果非零向量a⃗//b⃗
，那么一定存在唯一的实数m，使b⃗=ma⃗
，正确，本选项不符合题意．
故选：C .
本题考查命题与推理，平面向量的性质等知识，解题的关键是掌握零向量和平行向量的性质，属于中考常
考题型．
根据零向量、平行向量的性质一一判断即可．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到CP 的长的取值范围．
【解答】
解：如图所示，过P 作P D // A B交AC 于D 或P E // A C交AB 于E，则△PC D∽△BC A或△B P E∽
△BC A，
此时0< PC <8；
如图所示，过P 作∠B P F =∠A交AB 于F，则△B P F∽△B A C，
此时0< PC <8；
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如图所示，过P 作∠C PG =∠C A B交AC 于G，则△C PG∽△C A B，
当点G 与点A 重合时，C A
2=C P×C B，即4
2=C P×8，
∴C P =2，
∴此时0<C P≤2；
综上所述，CP 长的取值范围是0<C P≤2.
故选：B.
7.【答案】5
2
【解析】解：x + y
y
= x
y +1
= 3
2 +1
= 5
2 .
故答案为：5
2 .
根据比例的性质把x + y
y
化为x
y +1，又知x
y = 3
2
，代入即可得解．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
8.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查比例线段和比例的性质，解题的关键是正确掌握比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项
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的时候，应舍去负数．
比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．
【解答】
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，可得比例中项的平方等于两条线段的乘积，
设它们的比例中项是x，则x
2=2×8，x =± 4(线段是正数，负值舍去).
故答案为：4 .
9.【答案】30cm
【解析】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，
∵30千米=3000000厘米，
∴A，B 两地的图上距离为3000000÷100000=30c m.
故答案为：30c m.
本题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．
根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意由实际距离乘以比例尺即可得出图上距离．
10.【答案】(2+2
√5)c m
【解析】解：设AB 长为x cm，则P B =( x−4)c m，
∵A P是AB 与PB 的比例中项，
∴4
2= x( x −4)，
∴x
2−4 x =16，
∴( x −2)
2=20，
解得：x−2=2
√5或x−2=−2
√5(舍去)，
∴x =2+2
√5，
故线段AB 的长为(2+2
√5)(c m).
故答案为：(2+2
√5)c m.
本题考查比例线段，会根据原长与短线段差的定值构造方程是解题的关键．
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因为AB 与PB 差4，要求AB，设A B = x c m，则P B =( x−4)c m，由AP 是AB 与PB 的比例中项，构造
方程，求出即可．
11.【答案】8
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴A B
BC = D E
E F
，
又A B = 4，BC =3，D F =14，E F = D F −D E，
∴4
3 =
D E
14−D E
，
解得D E =8.
故答案为：8.
本题考查平行线分线段成比例定理.
已知直线l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例定理，可得到一个含有DE 与已知线段的比例式，从而可
求得DE 的长．
12.【答案】7
4
【解析】解：∵∠A DC =∠A C B，∠B A C =∠B A C，
∴△A DC∽△A C B(两角对应相等，两个三角形相似)，
∴A D
A C = A C
A B
，
又A B = 4，A C =3，
即A D
3
= 3
4
，
∴A D = 9
4
，
∵B D = A B−A D，
∴B D = 4−9
4 = 7
4 .
故答案为：7
4 .
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本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
由∠A DC =∠A C B，∠B A C =∠B A C，可得△A DC∽△A C B，从而A D
A C = A C
A B
，则可得A D = 9
4
，
再根据B D = A B−A D可得答案．
13.【答案】1
3
【解析】解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线A D =
√2sin 45
∘=1，
∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于三角形的重心到对边中点距离的2 倍，
∴重心到BC 的距离=1× 1
3 = 1
3 .
故答案为：1
3 .
本题主要考查等腰三角形三线合一的性质和三角形重心的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．
14.【答案】3：5
【解析】解：∵D E // BC，
∴△A D E∽△A BC，
∵△A D E与四边形BDEC 的面积比是9：16，
∴△A D E与△A BC的面积比为9：25，
∴A D
A B = 3
5
，
∴△A D E与△A BC的周长比是3：5.
故答案为：3：5.
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，解决本题的关键是掌
握相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
根据相似三角形的判定推出△A D E∽△A BC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相
似比即可求出结果．
15.【答案】1
3 a⃗+ 2
3 b⃗
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【解析】解：如图，连接DE，
∵点G 是两条中线AD、BE 的交点，则A E = EC，B D = DC，
∴D E // A B，D E = 1
2 A B，
由题意知，G 是△A BC的重心，即A G =2 DG，A G = 2
3 A D，
∵A D⃗= A E⃗+ E D⃗，E D⃗= 1
2 a⃗，A E⃗=b⃗，
∴A D⃗= 1
2 a⃗+b⃗，
∴A G = 1
3 a⃗+ 2
3 b⃗.
故答案为：1
3 a⃗+ 2
3 b⃗.
本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由A G =2 DG，推出A G = 2
3 A D，求出A D⃗即可解决问题．
16.【答案】48
7
【解析】解：设DG = x，则D E =2 x，
∵四边形DEFG 是矩形，
∴D E // BC，
∴△A D E∽△A BC，
∵A H ⊥BC交DE 于点M、交BC 于点H，
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∴四边形DGHM 是矩形，
∴DG = M H = x，
∵A H =8，
∴A M = A H −M H =8−x，
∴D E
BC = A M
A H ，BC =12，
∴2 x
12 = 8−x
8
，
解得：x = 24
7 ，
∴D E =2 x = 48
7 ，
即D E = 48
7 c m.
故答案为：48
7 .
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质，解答过程中要解一元一次方程，有一定
的综合性．
设DG = x，则D E =2 x，根据D E // BC，则△A D E∽△A BC，然后利用相似三角形对应边成比例得
到比例式即可求得x 的值，进而求得DE 的长．
17.【答案】64
3
【解析】解：如图，过点E 作F G⊥C D交CD 于点F、交AB 于点G，
∵A B //C D，
∴F G⊥A B，
∵△C D E面积为3，△BC E的面积为5，
∴△BC D的面积为8，
∴( 1
2 C D⋅E F )：( 1
2 C D⋅F G)=3：8，
∴E F：F G =3：8，
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∴E F：EG =3：5，
又A B //C D，
∴△A B E∽△C D E，
∴C D
A B = E F
EG = 3
5，
∴A B = 5
3 C D，
∴S梯形A BC D= 1
2 (C D+ A B)⋅F G = 1
2 × 8
3 C D⋅F G = 8
3 ×8= 64
3 .
故答案是：64
3 .
本题主要考查了梯形，三角形的面积和平行线之间的距离，解题的关键是利用相似三角形的性质求得
C D
A B = 3
5 .
如图，过点E 作F G⊥C D交CD 于点F、交AB 于点G，由相似三角形(△A B E∽△C D E)的对应边上
的高线之比等于相似比得到：C D
A B = E F
EG = 3
5，结合梯形的面积公式解答即可．
18.【答案】3
5
【解析】解：如图，连接DE、DF、EF，由题意知EF 是点B、D 的对称轴，
则△B F E≌△D F E，
∴D E = B E，
∵在△B D E中，D E = B E，∠D B E = 45
∘，
∴∠B D E =∠D B E = 45
∘，
∴∠D E B =90
∘，
∴D E⊥BC，
在等腰梯形ABCD 中，A D // BC，A D
BC = 1
4 ，
∴设A D =1，BC = 4，
过点A 作A G⊥BC交BC 于点G，
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即四边形AGED 是矩形，
∴G E = A D =1，
又易知Rt △A BG ≌Rt △DC E，
∴BG = EC =1.5，
∴A G = D E = B E =2.5，
∴A B =C D =
√A G
2+ BG
2=
√34
2 ，
∵∠A BC =∠C =∠F D E，∠C D E+∠C =90
∘，
∴∠F D E+∠C D E =∠F DC =90
∘，
即∠F D B+∠B DC =∠F D B+∠D F E =90
∘，
∴∠B DC =∠D F E，
∵∠D E F =∠D BC = 45
∘，
∴△B DC∽△E F D，
∴D F
C D = D E
BC ，
∴D F = 5
√34
16
，
∴B F = 5
√34
16
，
∴A F = A B−B F = 3
√34
16
，
∴A F
B F = 3
5 .
故答案为：3
5 .
本题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形
的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．
根据对称的性质得到△B F E≌△D F E，得到D E = B E，根据已知条件得到∠D E B =90
∘，设A D =1，
BC = 4，过点A 作A G⊥BC交BC 于点G，根据矩形的性质得到G E = A D =1，根据全等三角形的性质
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得到BG = EC =1.5，根据勾股定理得到A B =C D =
√A G
2+ BG
2=
√34
2 ，通过△B DC∽△E F D，得到
D F
C D = D E
BC ，求出B F = 5
√34
16
，进而得到结论．
19.【答案】解：原式=
2×(
√3
2
)
2−1
2
(
√3)
2−4×
√2
2
=
3
2 −1
2
3−2
√2
=
1
3−2
√2
=3+2
√2.
【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
根据特殊角的三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
20.【答案】解：(1)∵A B
C D = 4
3 ，A B⃗=m⃗，
∴DC⃗= 3
4 m⃗，
∵A C⃗= A D⃗+ DC⃗，A D⃗=n⃗，
∴A C⃗=n⃗+ 3
4 m⃗，
∵A B //C D，D E = EC，A B
C D = 4
3 ，
∴EC
A B = C F
A F = 3
8，
∴A F = 8
11 A C，
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∴A F⃗= 8
11 (n⃗+ 3
4 m⃗)= 8
11 n⃗+ 6
11 m⃗；
(2)B E⃗在m⃗，n⃗方向上的分向量如图所示：B M⃗，B N⃗即为所求；
【解析】本题考查作图-复杂作图，梯形，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则，平行四边
形法则解决问题，属于中考常考题型．
(1)利用三角形法则：A C⃗= A D⃗+ DC⃗，求出A C⃗，再利用平行线分线段成比例定理证明A F = 3
11 A C即
可解决问题；
(2)利用平行四边形法则即可解决问题.
21.【答案】解：(1)证明：∵△A BC和△C E F均为等腰直角三角形，
∴A C
BC = C E
C F =
√2，∠A C B =∠EC F = 45
∘，
∴∠A C E+∠EC B =∠EC B+∠BC F，
即∠A C E =∠BC F，
∴△C A E∽△C B F；
(2)∵△C A E∽△C B F，
∴∠C A E =∠C B F，A E
B F = A C
BC =
√2，
又A E =2，
∴2
B F =
√2，∴B F =
√2，
又∵∠C A E+∠C B E =90
∘，
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∴∠C B F +∠C B E =90
∘，
∴∠E B F =90
∘，
∴E F
2= B E
2+ B F
2=1
2+(
√2)
2=3，
∴E F =
√3，
∵C E
2=2 E F
2=6，
∴C E =
√6.
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决
问题的前提．
(1)首先由△A BC和△C E F均为等腰直角三角形，可得A C
BC = C E
C F
，再证∠A C E =∠BC F，然后根据
相似三角形判定的方法，推得△C A E∽△C B F即可；
(2)首先根据△C A E∽△C B F，判断出∠C A E =∠C B F，再根据∠C A E+∠C B E =90
∘，判断出
∠E B F =90
∘，然后在Rt △B E F中，根据勾股定理，求出EF 的长度，再根据CE、EF 的关系，求出CE
的长即可．
22.【答案】解：如图，
(1)过点A 作A H ⊥BC交BC 于点H，
在Rt △A C H中，
∵tan∠A C B =3，A C =
√10，
设C H = x，A H =3 x，
根据勾股定理得A C =
√A H
2+C H
2=
√10 x =
√10，即x =1，
∴C H =1，A H =3，
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在Rt △A B H中，∠B = 45
∘，
∴B H = A H =3，BC = B H + H C = 4，
∴S△A BC = 1
2 A H ⋅BC = 1
2 ×4×3=6；
(2)过点D 作D F ⊥BC交BC 于点F、作D E⊥A C交AC 于点E，
∵C D是AB 边上的中线，
即S△A C D= 1
2 D E⋅A C = 1
2 ×
√10× D E =3，
∴D E = 3
5
√10，
∵A H ⊥BC，D F ⊥BC，CD 是AB 边上的中线，∠B = 45
∘，
∴D F = 1
2 A H = 3
2，
∴B F = D F = 3
2，
在Rt △C D F中，C D =
√D F
2+ F C
2= √( 3
2 )
2+( 5
2 )
2=
√34
2 ，
∴在Rt △C D E中，sin ∠A C D = D E
C D = 6
√85
85
.
【解析】本题考查勾股定理的运用，三角函数的意义，三角形的面积计算以及三角形的中位线定理，正确
作出两条垂线是解决问题的关键．
(1)过点A 作A H ⊥BC交BC 于点H，如图，在Rt △A C H中，利用正切的定义得到
tan ∠A C H = A H
C H =3，则设C H = x，A H =3 x，根据勾股定理得A C =
√10 x，利用 √10 x =
√10，解
得x =1，再在Rt △A B H中，利用∠B = 45
∘，得到B H = A H =3，然后根据三角形面积公式求解；
(2)过点D 作D F ⊥BC交BC 于点F、作D E⊥A C交AC 于点E，如图，由于CD 是AB 边上的中线，根
据三角形面积公式得到S△A C D= 1
2 S△A BC =3，再证明DF 为△A B H的中位线，则D F = 1
2 A H = 3
2
，易得
B F = D F = 3
2，接着根据勾股定理计算出C D =
√34
2
，然后利用锐角三角函数得出sin∠A C D的值．
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23.【答案】证明：(1)∵∠A EC =∠B+∠B A E =∠A E F +∠F EC，∠B =∠A E F，
∴∠B A E =∠F EC，
∵∠B A E =∠C A F，
∴∠F EC =∠C A F，
由三角形内角和，则∠A C E+∠F EC =∠A F E+∠C A F，
∴∠A C E =∠A F E，
∵A C ⊥BC，
∴∠A F E =∠A C E =90
∘，
∴E F ⊥A G；
(2)由(1)得∠F EC =∠C A F，
∵∠G =∠G，
∴△G A C∽△G E F，
∴C G
A G = F G
EG
，
又∵∠G =∠G，
∴△G F C∽△G E A，
又∵A D // BC，
∴△G F C∽△A F D，
∴△G E A∽△A F D，
∴A G
A D = EG
A F
，
∴A G⋅A F = A D⋅EG.
【解析】本题考查了相似三角形的性质和判定以及三角形内角和的性质，解答关键是根据题意找到相似三
角形并证明．
(1)利用三角形外角性质，证明∠B A E =∠F EC，再由∠B A E =∠C A F，得到∠F EC =∠C A F，
应用三角形内角和定理，证明∠A F E =∠A C E =90
∘，则问题可证；
(2)根据∠F EC =∠C A F，证明△G A C∽△G E F，得到C G
A G = F G
EG
，可证明△G F C∽△G E A，再
由A D // BC，得到△G F C∽△A F D，得到△G E A∽△A F D，则问题可证．
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24.【答案】解：(1)对于y =−1
3 x +1，令x =0，则y =1；令y =0，即−1
3 x +1=0，解得x =3，
故点A、B 的坐标分别(3,0)、(0,1)；
(2)由A、B、G 的坐标，BG
2=2
2+(7−1)
2= 40，
同理A B
2=10，A G
2=50，
故A G
2= A B
2+ BG
2，
故△A BG为直角三角形，
则tan∠A G B = A B
BG =
√10
√40
= 1
2；
(3)设直线BG 的表达式为y =k x +b(k ≠0)，则{
7=2k +b
b=1
，解得{
k =3
b=1，
故直线BG 的表达式为y =3 x +1，
设点Q(m,3m+1)，
当△A BQ∽△A O B时，
则A B
A O = BQ
O B ，即
√10
3 =
√m
2+(3m+1−1)
2
1
，
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解得m=± 1
3，
当△A BQ∽△BO A时，
同理可得：m=±3，
故点P 的坐标为( 1
3 ,2)或(−1
3 ,0)或(3,10)或(−3,−8).
【解析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中
(3)要注意分类求解，避免遗漏．
(1)对于y =−1
3 x +1，令x =0，则y =1；令y =0，即−1
3 x +1=0，解得x =3，即可求解；
(2)证明A G
2= A B
2+ BG
2，则△A BG为直角三角形，即可求解；
(3)分△A BQ∽△A O B、△A BQ∽△BO A两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解．
25.【答案】解：(1)证明：∵A B = A C，
∴∠B =∠A C B，
∵∠A D E+∠C D E =∠B+∠B A D，∠A D E =∠B，
∴∠B A D =∠C D E，
∴△A B D∽△DC E；
(2)如图2，过点A 作A M ⊥BC交BC 于点M，
在Rt △A B M中，设B M = 4 k，则A M = B M ⋅tan B = 4 k × 3
4 =3k，
由勾股定理，得到A B
2= A M
2+ B M
2，
∴20
2=(3k )
2+(4 k )
2，
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∴k = 4或−4(舍去)，
∵A B = A C，A M ⊥BC，
∴BC =2B M =2⋅4 k =32，
∵D E // A B，
∴∠B A D =∠A D E，
∵∠A D E =∠B，∠B =∠A C B，
∴∠B A D =∠BC A，
∵∠A B D =∠C B A，
∴△A B D∽△C B A，
∴A B
C B = D B
A B ，
∴D B = A B
2
C B = 20
2
32 = 25
2 ，
∵D E // A B，
∴A E
A C = B D
BC ，
∴A E = A C ⋅B D
BC
=
20× 25
2
32
= 125
16
；
(3)点D 在BC 边上运动的过程中，存在B D =18时，使得D F =C F .
理由：过点F 作F H ⊥BC交BC 于点H，过点A 作A M ⊥BC交BC 于点M、作A N ⊥F H交FH 于点
N，
则∠N H M =∠A M H =∠A N H =90
∘，
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∴四边形AMHN 为矩形，
∴∠M A N =90
∘，M H = A N，
由(2)知，B M =C M =16，BC =32，A M =
√A B
2−B M
2=
√20
2−16
2=12，
∵A N ⊥F H，A M ⊥BC，
∴∠A N F =90
∘=∠A M D，
∵∠D A F =90
∘=∠M A N，
∴∠N A F =∠M A D，
∴△A F N∽△A D M，
∴A N
A M = A F
A D = tan ∠A D F = tan B = 3
4 ，
∴A N = 3
4 A M = 3
4 ×12=9，
∴C H =C M −M H =C M −A N =16−9=7，
当D F =C F时，由点D 不与点C 重合，可知△D F C为等腰三角形，
∵F H ⊥DC，
∴C D =2C H =14，
∴B D = BC −C D =32−14 =18.
∴点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得D F =C F，此时B D =18.
【解析】【分析】
本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
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(2)解直角三角形求出BC，由△A B D∽△C B A，推出A B
C B = D B
A B ，可得D B = A B
2
C B = 20
2
32 = 25
2
，由
D E // A B，推出A E
A C = B D
BC
，求出AE 即可；
(3)点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得D F =C F .过点F 作F H ⊥BC交BC 于点H，过
点A 作A M ⊥BC交BC 于点M、作A N ⊥F H交FH 于点N，则∠N H M =∠A M H =∠A N H =90
∘，
由△A F N∽△A D M，可得A N
A M = A F
A D = tan ∠A D F = tan B = 3
4
，推出A N = 3
4 A M = 3
4 ×12=9，推
出C H =C M −M H =C M −A N =16−9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD 即可解决问题．
