江苏省南京市鼓楼区五十中2025-2026学年九年级上学期数学10月月考测试卷_江苏省南京市2025-2026学年7-9年级上学期10月第一次月考试卷（全科合集）

源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
25-26【五十中】八上数学【10 月月考测试卷】
一、选择题（每题 2分，共 8小题）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
3
A. x2y 1 B. x2 x1 x2 C. x2  8 D. x2 5x0
x
2. 方程x  x1 0的根是( )
A. x0 B. x1
C. x 0，x 1 D. x 0，x 1
1 2 1 2
3 已知 O的半径为5，点P在 O外，则OP的长可能是（ ）
.
⊙ ⊙
A.3 B.4 C.5 D.6
4. 如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，若BOD150，则BCD的度数为（ ）
A. 75 B. 90 C. 105 D. 120
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的矩离相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
6. 若关于x的方程 x4 2 m1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m0 B. m1 C. m1 D. m1
7. 如图，在O中，弦AB与CD交于点E， AD B  D ，且 AC 的度数为 AD 的度数的一半．若BAC=40，
则BEC的度数为（ ）
A. 120 B. 96 C. 108 D. 100
1源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
8. 过三点A(1,-1),B(5,-1),C(3,4)的圆的圆心坐标为( )
17 11 17 11
A.(3, ) B.(3, ) C.(4, ) D.(4, )
6 10 6 10
二、填空题（每题 2分，共 10小题）
9. 方程x2  x的根为_____．
10. 设x ,x 是方程x2 2xm 0的两个实数根．若x 3，则x _____．
1 2 1 2
11. O的半径为4,圆心О到直线l的距离为3,则直线l与O的位置关系是___________．
12. 若在平面直角坐标系中的点A  1,1 ，B 1,1  ，Cm,3不能确定一个圆，则m的值是______．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为86，30，则
ACB的度数是______°．
14. 如图，在ABCD中，过A，C，D三点的O与AB相交于点E．若A104，则BCE______．
15. 实数x，y满足(x2  y2)2 2  x2  y2 30，则x2y2  ______．
16. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全
民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为_______．
17. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是 AC 的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，
则∠ADC＝_____°．
2源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
18. 如图，XOY 45，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX 、OY 上移动，AB2，则OC的最大
值是______
三、解答题（共 9小题）
19. 解下列方程：
（1）x2 4x30； （2） x2 2  2x3 2．
20. 已知：关于x的方程  x1  x2 m2．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及m的值．
21. 如图，在O中，弦AB、CD相交于点E，且ABCD．求证：AE  DE．
22. 矩形种植区域ABCD如图所示，AB75米，BC 50米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，
其余区域种植胡萝卜，已知BE  DF ，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设DF  x米．
（1）EC ______米（用含x的代数式表示），FP______米；
（2）求DF 的长．
3源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
23. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置
的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB 16cm，水面最深地方的高度（即
AB
的中点到弦AB的距离）为4cm，
求这个圆形截面所在圆的半径．
24. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房
定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，
设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总
收入﹣维护费用）
4源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
25. 小明在解方程 24x  8x＝2 时采用了下面的方法：
 24x  8x  24x＋ 8x  ＝  24x 2  8x 2
＝ 24x  8x ＝16
 24x  8x 2，
 24 x 8 x 8．
  24x 5
将这两式相加可得 解得x1．
 8x 3
经检验x1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1） x6 x2 4； （2） 9x2 8x3 9x2 4x3 2
26. 如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并
延长，交BC于点F ．
（1）判断AE与半圆的位置关系，并说明理由．
（2）若AB 6，求CF ．
5源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
27. （1）如图1，在V ABC 中，AB  AC ，以AB为直径作O，交BC于点D，连接OD．求证OD∥AC．
（2）已知点P，O的位置如图2所示．
①若过点P的直线l与O有两个交点M ，N ，用两种不同的方法求作直线l，使得PM MN ．（要求：ⅰ．用
直尺和圆规作图；ⅱ．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
②设O的半径为r ，改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在．请直接写出直线l存在时对应的OP的取值
范围．（用含r 的代数式表示）
6源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
25-26【五十中】八上数学【10 月月考测试卷】解析
一、选择题（每题 2分，共 8小题）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
3
A. x2y 1 B. x2 x1 x2 C. x2  8 D. x2 5x0
x
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】x2y 1，是二元一次方程，故A不符合题意；
x2 x1 x2，整理德得：x10，是一元一次方程，故B不符合题意；
3
x2  8，分母中含有未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意；
x
x2 5x0是一元二次方程，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程必须满足的四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）
二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数是解题关键．
2. 方程x  x1 0的根是( )
A. x0 B. x1
C. x 0，x 1 D. x 0，x 1
1 2 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出x0，或  x1 0，解方程即可求出x的值，熟练掌握因式分
解解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：x  x1 0，
 x 0，x 1，
1 2
故选：C．
3. 已知 O的半径为5，点P在 O外，则OP的长可能是（ ）
A.3 ⊙ B.4 ⊙ C.5 D.6
【答案】D
7源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
【解析】
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
4. 如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，若BOD150，则BCD的度数为（ ）
A. 75 B. 90 C. 105 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，掌握圆的相关性质是解题关键．由同弧所对的圆周角等于圆心角
1
的一半，可得BAD BOD75，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
2
【详解】解：BOD 150，
1
BAD BOD75，
2
四边形ABCD是O的内接四边形，
BCDBAD180，
BCD105，
故选：C．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的矩离相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
【答案】D
【解析】
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理及其推论、圆的外心的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A. 不共线的三点确定一个圆，故选项A说法错误，不符合题意；
B. 三角形的外心到三角形三个顶点的矩离相等，故选项B说法错误，不符合题意；
C. 平分非直径弦的直径垂直于弦，故选项C说法错误，不符合题意；
8源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，选项D说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了确定圆的条件、垂径定理及其推论、圆的外心等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
6. 若关于x的方程 x4 2 m1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m0 B. m1 C. m1 D. m1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式b24ac来判断即可，当0时，方程
有两个不相等的实数根，当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根．根据题意可得出
Δb2 4ac644  16m1 0，解不等式即可得出答案．
【详解】解： x4 2 m1整理得：x2 8x16m10，
∵关于x的方程 x4 2 m1有实数根，
∴Δb2 4ac644  16m1 0，
解得：m1，
故选：B．
7. 如图，在O中，弦AB与CD交于点E， AD B  D ，且 AC 的度数为 AD 的度数的一半．若BAC=40，
则BEC的度数为（ ）
A. 120 B. 96 C. 108 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明ACDBCD，
1
再证明∠ABC  ∠ACD，据此根据三角形内角和定理求出ACD的度数，再利用三角形外角的性质即可求出
2
BEC的度数．
9源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
【详解】解：如图所示，连接BC，
∵ AD B  D ，
∴ACDBCD，
∵的度数为 的度数的一半，
AC AD
1
∴∠ABC  ∠ACD，
2
∵BAC=40，BACACBABC 180，
1
∴40∠ACD∠ACD ∠ACD180 ，
2
∴ACD 56，
∴∠BEC ∠ACD∠BAC 96，
故选：B．
8. 过三点A(1,-1),B(5,-1),C(3,4)的圆的圆心坐标为( )
17 11 17 11
A.(3, ) B.(3, ) C.(4, ) D.(4, )
6 10 6 10
【答案】B
【解析】
【分析】设圆心坐标为（x，y），根据圆的性质可知，圆心到A、B、C三点的距离相等，圆心在线段AB的垂直
平分线上，列出等式解出x，y即可.
【详解】设圆心O坐标为（x，y）
∵该圆过三点A(1,-1)，B(5,-1)，C(3,4)，
∴OA=OB=OC，
15
∴圆心O在线段AB的垂直平分线x= =3，
2
OA=OC，即OA²=OC²，即(31)2 (y1)2 (33)2 (y4)2 ，
11
解得y= ，
10
11
∴圆心坐标为 (3, ).
10
10源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
故选B.
【点睛】本题主要考查圆的性质，垂直平分线的性质和一元二次方程的求解.
二、填空题（每题 2分，共 10小题）
9. 方程x2  x的根为_____．
【答案】x0或x1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用因式分解的方法求解一元二次方程的解即可．
【详解】解：x2  x，
x2 x0，
x  x1 0，
x0或x10，
解得x0或x1，
故答案为：x0或x1．
10. 设x ,x 是方程x2 2xm 0的两个实数根．若x 3，则x _____．
1 2 1 2
【答案】1
【解析】
b
【分析】本题主要考查了根与系数关系，根据x x  ，即可求解；
1 2 a
【详解】解：∵x2 2xm 0，x 3
1
2
∴x 3 ，
2 1
∴x 1，
2
故答案为：1
11. O的半径为4,圆心О到直线l的距离为3,则直线l与O的位置关系是___________．
【答案】相交
【解析】
【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；
若d＞r，则直线与圆相离，即可求得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为3，
11源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
12. 若在平面直角坐标系中的点A  1,1 ，B 1,1  ，Cm,3不能确定一个圆，则m的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，
确定圆的条件，是解题的关键．
根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y kxb，
把A  1,1 ，B 1,1  代入，
kb1
得 ，
kb1
k 1
解得 ，
b0
∴ y  x，
∴Cm,3代入，
得m3，
∴当m3时，
平面直角坐标系中的三个点A  1,1 ，B 1,1  ，Cm,3不能确定一个圆．
故答案为：3．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为86，30，则
ACB的度数是______°．
12源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
【答案】28
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到AOB863056，再根据同圆中同弧所对
的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接OB，OA，
∵点A，B的读数分别为86，30，
∴AOB863056，
1
∴ACB  AOB 28，
2
故答案为：28．
14. 如图，在ABCD中，过A，C，D三点的O与AB相交于点E．若A104，则BCE______．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形ABCD是平行四边形，则
BCD A104，又四边形AECD是圆内接四边形，所以ECDA180，得出ECD76，然后
通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCD A104，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴ECDA180，
∴ECD76，
∴BCE BCDECD 1047628，
13源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
故答案为：28．
15. 实数x，y满足(x2  y2)2 2  x2  y2 30，则x2y2  ______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设x2  y2 a，
则方程化为：a2 2a30，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断x2  y2的值即可．
【详解】解：设x2  y2 a，则方程化为：a2 2a30，
 a3  a1 0，
a30或a10，
a3或1，
x、y是实数，
x2 y2  0，
x2 y2  3，
故答案为：3．
16. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全
民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为_______．
【答案】400400  1 x 400  1 x 21456
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月
末累计进馆1456人次，设月平均增长率为x，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长
率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为x，
第二个月进馆400  1x  人次；第三个月进馆400  1x 2人次；
由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程400400  1x 400  1x 2 1456，
故答案为：400400  1x 400  1x 2 1456．
17. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是 AC 的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，
14源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
则∠ADC＝_____°．
【答案】64
【解析】
1
【分析】连接BD、BC，根据圆周角定理得出∠BDC＝∠ADB= ∠ADC，根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝
2
1 1
∠ADC，根据切线的性质得出∠BCE＝∠BDC＝ ∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出84°+ ∠ADC+∠ADC
2 2
＝180°，解得即可．
【详解】解：连接BD、BC，
∵B是
AC
的中点，
∴ AB  B  C ，
1
∴∠BDC＝∠ADB= ∠ADC，
2
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵EC是⊙O的切线，切点为C，
1
∴∠BCE＝∠BDC＝ ∠ADC，
2
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
1
∴84°+ ∠ADC+∠ADC＝180°，
2
∴∠ADC＝64°．
故答案为64．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
18. 如图，XOY 45，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX 、OY 上移动，AB2，则OC的最大
值是______
【答案】1 2 3
【解析】
【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°
的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，
解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
16源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
∴AM＝ 2，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝ 2，CD＝
3
，
∴OC＝DM＋OM＋CD＝1 2 3，
故答案为：1 2 3．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的作出
图形是解题的关键．
三、解答题（共 9小题）
19. 解下列方程：
（1）x2 4x30；
（2） x2 2  2x3 2．
【答案】（1）x 2 7，x 2 7
1 2
1
（2）x 5，x  ．
1 2 3
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和直接开平方法是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：x2 4x30
∵a1，b4，c3，
∴16413 28，
b b2 4ac 4 28
∴x   2 7，
2a 2
∴x 2 7，x 2 7
1 2
【小问2详解】
解：  x2 2  2x3 2
x2 2x3 
17源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
∴x22x3或x22x3
1
x 5，x  ．
1 2 3
20. 已知：关于x的方程  x1  x2 m2．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及m的值．
【答案】（1）见解析 （2）另外一根为6；m2 5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式 b2 4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为3，带入可求出m的值；再利用m的值可知原方程，解之即可得到答案．
【小问1详解】
证明：方程化简为：x2 3x2m2 0，
根据判别式：Δ 32 4(2m2)4m2 10
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：∵这个方程的一个根为3，
∴  31  32 m2；解得：m2 20，则m2 5
把m2 20带入方程得：x2 3x180；
∴(x6)(x3)0；解得：x  6或x 3；
1 2
∴方程得另外一根为：6.
21. 如图，在O中，弦AB、CD相交于点E，且ABCD．求证：AE  DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定
18源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
理得到AD，C B，证明AEC≌DEB(ASA)即可得到结论．
【详解】证明：由圆周角定理得AD，C B，
∵ABCD
∴ AB C  D
∴ ABB  C C  DB  C
∴ AC  B  D
∴AC BD
∴AEC≌DEB(ASA)
∴AE  DE．
22. 矩形种植区域ABCD如图所示，AB75米，BC 50米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，
其余区域种植胡萝卜，已知BE  DF ，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设DF  x米．
（1）EC ______米（用含x的代数式表示），FP______米；
（2）求DF 的长．
【答案】（1）  50x  ，25
 
（2） 5025 2 米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是：
（1）根据线段的和差即可得出EC  50x  米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，BE  DF ，
可得FP 75x50x

米；
（2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长．
【小问1详解】
19源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
解：∵计划从矩形种植区域ABCD开垦出两个正方形区域用于种植青菜，BE  DF ，DF  x米．
∴CD AB75米，BE DF  x米，CPEC，
∴EC BCBE 50x米，FPCDDF CP75x50x 25（米），
故答案为：  50x  ，25；
【小问2详解】
1
解：由题意得，50x2 252  5075，
2
解得x 5025 2，x 5025 2（不合题意，舍去），
1 2
 
∴DF  5025 2 米．
23. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置
的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB 16cm，水面最深地方的高度（即
AB
的中点到弦AB的距离）为4cm，
求这个圆形截面所在圆的半径．
【答案】（1）见解析 （2）10cm
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定
理求出这个圆形截面的半径．
【小问1详解】
如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．
【小问2详解】
如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，
20源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
则AD＝ 1 AB＝8cm，点C为  的中点，
2 AB
进而，CD＝4cm．
设这个圆形截面所在圆的半径为rcm，则OD＝（r－4） cm．
在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，
解得r＝10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10cm．
【点睛】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．
24. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房
定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，
设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总
收入﹣维护费用）
x x
【答案】（1）60﹣ ；200+x；（60﹣ ）×20（2）300元
10 10
【解析】
【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间
x
空闲个数为 ，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；
10
（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．
x
【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为 ，
10
x x
∴入住的房间数量=60﹣ ，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣ ）×20．
10 10
21源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
x x
故答案是：60﹣ ；200+x；（60﹣ ）×20；
10 10
x x
（2）依题意得：（200+x）（60﹣ ）﹣（60﹣ ）×20=14000，
10 10
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x =320，x =100．
1 2
x
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣ =28（间）．
10
x
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣ =50（间）．
10
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
25. 小明在解方程 24x  8x＝2 时采用了下面的方法：
 24x  8x  24x＋ 8x  ＝  24x 2  8x 2
＝ 24x  8x ＝16
 24x  8x 2，
 24 x 8 x 8．
  24x 5
将这两式相加可得 解得x1．
 8x 3
经检验x1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1） x6 x2 4；
（2） 9x2 8x3 9x2 4x3 2
1
【答案】（1）x
4
（2）x2
【解析】
  
【分析】（1）先求出 x6 x2 x6 x2 =4，即可得出 x6 x2 1，将这两式相加减即
可得出答案，最后检验即可；
  
（2）先求出 9x2 8x3 9x2 4x3 9x2 8x3 9x2 4x3 12x，即可得出
22源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
9x2 8x3 9x2 4x3 6x，将这两式相加减即可得出答案，最后检验即可．
【小问1详解】
  
解： x6 x2 x6 x2
  x6 2   x2 2
 x6  x2 
 x6x2
4
 x6 x2 4
 x6 x2 1
 5
x6 

 2
将这两式相加减可得
3

x2 
 2
1
解得：x
4
1
经检验x 是原方程的解．
4
【小问2详解】
  
9x2 8x3 9x2 4x3 9x2 8x3 9x2 4x3
 2  2
 9x2 8x3  9x2 4x3
   
 9x2 8x3  9x2 4x3
9x2 8x39x2 4x3
12x
 9x2 8x3 9x2 4x3 6x
  9x2 8x3 13x
将这两式相加减可得
 9x2 4x3 3x1
解得：x2
经检验x2是原方程的解．
【点睛】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解无理方程要检验．
23源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
26. 如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并
延长，交BC于点F ．
（1）判断AE与半圆的位置关系，并说明理由．
（2）若AB 6，求CF ．
【答案】（1）AE与半圆相切，理由见解析；
3
（2）
2
【解析】
【分析】（1）设半圆的圆心为O，连接OA，OE，根据正方形的性质得到ADC 90，根据全等三角形的性
质得到AEOADO90根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据正方形的性质得到BCD90根据切线的性质得到CE  EE，设CF EF  x，根据勾股定理即可
得到结论．
【小问1详解】
解：AE与半圆相切，理由如下∶
设半圆的圆心为O，连接OA，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ADC 90
在△ADO与△AEO中
AD  AE

OD OE

AO  AO
∴ADO≌AEO  SSS 
24源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
∴AEO ADO 90
∵OE是半圆O的半径，
∴AE与半圆相切；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是正方形
∴BCD ABC 90，ABBC CD AD6，
∵CD是半圆O的直径
∴FC是半圆O的切线
∵AE与半圆相切，
∴CF  EF ．
设CF  EF  x，
∴BF 6x，AF 6x，
∵ABC 90
∴AB2 BF2  AF2
∴62  6x 2  6x 2，
3
解得x  ，
2
3
∴CF  ．
2
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识
点是解题的关键．
27. （1）如图1，在V ABC 中，AB  AC ，以AB为直径作O，交BC于点D，连接OD．求证OD∥AC．
（2）已知点P，O 的位置如图2所示．
①若过点P的直线l与O有两个交点M ，N ，用两种不同的方法求作直线l，使得PM MN ．（要求：ⅰ．用
直尺和圆规作图；ⅱ．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
②设O的半径为r ，改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在．请直接写出直线l存在时对应的OP的取值
范围．（用含r 的代数式表示）
25源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
【答案】（1）证明见解析；（2）①作图详见解析；②r OP3r ．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的等角对等边及平行线的判定证明即可；
（2）①作法一：构造等腰三角形OPN ，QPQN ，利用三线合一即可得解；
PD
作法二：连接PO并延长，交O于C、D两点，如图，设a  PC,b ，以abGH 的长为直径，构造圆，
2
GX=a，XH=b，过点X作XY⊥GH于点X,交所构造的圆于点Y，连接GY，HY， 再以点P为圆心，XY  ab 长为
半径画弧，交O于点M ，连接PM 并延长交O于点N ，则直线PN 即为所求；
②根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的P与O有交点即可，进而得解．
【详解】（1）证明：∵AB  AC
∴BC
∵OBOD
∴BODB
∴C ODB
∴OD∥AC；
（2）解：①作法一：如图，直线l即为所求；
作法提示：1．连接PO并延长交O于点E、F ；
2．以P为圆心，EF 长为半径在EF 下方画弧交O于点Q；
3．连接QO并延长交O于点N ，过P、N 作直线l交O于点M ，则直线l即为所求；
26源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
证明：连接QM ，
∵QN是直径，
∴QMN 90，即QM  PN
∵PQ  EF QN
∴PM MN ；
PD
作法二：连接PO并延长，交O于C、D两点，如图，设a  PC,b ，以abGH 的长为直径，构造圆，
2
GX a，XH b，过点X 作XY GH 于点X,交所构造的圆于点Y ，连接GY ，HY ，
∵abGH 是所构造的圆的直径，XY GH ，
∴GXY YXY 90,GGYX 90,GYX XYH GYH 90,
∴GXYH ，
∴GXY∽YXH ，
GX XY a XY
∴  即  ，
XY XH XY b
∴XY  ab ，
以点P为圆心，XY  ab 长为半径画弧，交O于点M ，连接PM 并延长交O于点N ，则直线PN 即为所求；
理由：连接CM ，DN，
∵四边形CMND内接于O，
27源川教育
-责任心是产生教学成果的根本
∴DCMN 180,
∵CMN PMC 180,
∴PMC D，
∵MPC DPN,
∴MPC∽DPN ，
PC PM a ab
∴  即 
PN PD PN 2b
2ab
∴PN   2 ab  2PM
ab
∴PM MN ；
②根据①作法一可知，PQ  NQ，要使PM MN ，则必须有才有QMN 90，
∴NQ必须是O的直径，
∴以P为圆心，2r为半径的P与O有交点，
在OPQ中，根据三角形的三边关系可得
PQOQOP PQOQ
∴2rr OP2rr
∴r OP3r ．
【点睛】本题主要考查了平行弦的判定、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质、圆周角定理、尺规作图
等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28