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答案与解析
1.【答案】
【解析】解 ： 、 ，是二元一次方程，故此选项错误；
B、 ，是 二+元2 二=次1方程，故此选项错误；
2
C、 + =2 ，是一元二次方程，故此选项正确；
2
D、2 − =，3是分式方程，故此选项错误；
1
故选 ： + ． =4
2.【答案】
【解析】解 ：连接 ，如图：
是直径，
∵ ，
∴∠ =90°，
∵∠ =40° ，
∴四∠ 边=形180°−是∠圆 的 内−接∠ 四 边 形=，50°
∵ ；
∴故∠选 ： ．=180°−∠ =180°−50°=130°
3.【答案】
【解析】解 ：连接 、 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司 1， ，
∵ = = ， ，
∴∠ =∠ =65° ∠ = ∠， =60° ，
∴∠ =180°−2×65°=50° ∠ =180°−2×60°=，60°
∴∠ 的 度=数∠为 −．∠ −∠ =150°−50°−60°=40°
∴故 选 ： ． 40°
4.【答案】
【解析】解 ： ，
2
， −2 −5=0
2
−2 =5 ，
2
−2 +1=，6
2
(故 选−：1) ．=6
5.【答案】
【解析】解 ：连接 ， ， ， ，
在矩形 中，
， ，
∵∠ ，=∠ ，=90分°别 与 = 相 切=于4 ， ， 三点，
∵ ⊙ ，
∴四∠ 边 形 =∠ ， =∠ 是 正=方∠形 ， =90°
∴ ，
∴ = ， = = =2
∴ 是=3 的切线，
∵ ⊙ ， ，
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∴ = =3 =
学科网（北京）股份有限公司 2，
∴在 =5−2中−， =3− ，
2 2 2
△ = +，
2 2 2
∴ (3+ ，) =(3− ) +4
4
∴ =3
．
4 13
∴故 选 D =．3+3= 3
6.【答案】
解： 关于 的方程 为常数 ，
2
∵ ( −，1)( +2)= ( )
2 2
∴ + −2− =0 ，
2 2
∴△方=程 有²两−个4 不 =相1等+的8实+数4 根，=9+4 >0
∴两个根的积为 ，
2
∵一个正根，一个−2负−根 ，<0
∴故选C．
7.【答案】
【解析】解 ：连接 ，过 作 ，垂足为 ，
， ⊥
∵ = ，
∴∠ 平 分= ∠ ，
∵ ∠ ，
∴∠ =∠ ，
∴∠ =，∠
∴ // ，
∵ ⊥ ，
∴四∠ 边 形 =∠ 为 矩=形∠， =90°
∴ ， ．
∴ = ，=
∵设 + ，=则12 ，
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= = =12−
学科网（北京）股份有限公司 3的直径为 ，
∵⊙ 2，0
∴ = =1，0
∴在 =10−中 ，由勾股定理得 ．
2 2 2
即 △ ， + =
2 2 2
解得(10− )，+(12− ．) =10
1 =4 大2 =于18，故 舍去，
∵ =，12− 0 =18
∴ =4 ， ，
∴ =4 ， 由 =垂1径0定−理4知=，6 为 的中点，
∵ ⊥ ．
∴故 选 ：=2． =12
8.【答案】
【解析】解 ：如图， 是等边三角形，
， ∵△ ，
∴ = ，= ∠ =∠ =∠ =60°
∵ = ≌ ，
∴△ △ ，( )
∴又∠ =∠ ，
∵∠ = ∠ +∠ ，
∴∠ =∠ ， +∠ =∠
∴∠ =60° ，
∴点∠ 的 运=动1轨20迹° 是 为圆心， 为半径的弧上运动 ，
∴连接 交 于 ， 当点 与 重 合时， 的值最小(，∠ 最 小 值=120°, =2 3) ．
故选： ．⊙ = − =4 3−2 3=2 3
9.【答案】
2026
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学科网（北京）股份有限公司 4【解析】解： 是方程 的一个根，
2
∵ ， −5 −1=0
2
∴ −5 −1=，0
2
∴ 2 −10 =2 ，
2
∴故2答 案−为1：0 +2．024=2+2024=2026
2026
10.【答案】相离
【解析】解： 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，
， ∵⊙ 2 3
∴ 与> 的位置关系是相离，
∴故 答案⊙为 ：相离．
11.【答案】
【解析】解：12设0 的度数为 ，则 的度数为 ，
四边形 是∠圆 内接四边形 ， ∠ 2
∵ ，即 ，
∴解∠得 ，+∠ =1，80° +2 =180°
=60° ，
∴故∠答 案=为2 ：=12．0°
120
12.【答案】
【解析】解：5 ， 是方程 的两个实数根，
2
，∵ 1 2 ， −3 +2=0
∴ 1+ 2 =3 1 2 =−2 ．
∴故 答1案+为 2：− ．1 2 =3−(−2)=5
5
13.【答案】
【解析】解：7 、 、 都是 的切线，
，∵ ， ，⊙
∴ = = =
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学科网（北京）股份有限公司 5， ， ，
∵ =4， =5， =1 ，
∴ =1 =3 = ．=4
∴ = + =3+4=7
14.【答案】
【解析】解：10如0图，过 作 于 ，连接 ，
⊥
， ，
1 1
∴在 =2 中=，2×60=30 = ， −10
2 2 2
△ = ， +
2 2 2
解 得：=30 +( −．10)
直径为 =50 ．
∴故答案为2：×50．=100
100
15.【答案】
11
【解析】解：6如图，取 的中点，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，则圆心 在 上，在取
上取圆心 ，连接 ， ， ⊥
根据题意得： ， ， ， ，
1 1 3
⊥ ， =2, =1，+2=2 =3 =
2 2 2 2 2 2
∵ = + ，= +
2 2 2 2
∴ + = + ，
2 1 2 2 3 2
∴ +(2) =(3− ) +(2)
解得： ，
11
= 6
即圆心 到 的距离为 ．
11
6
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学科网（北京）股份有限公司 6故答案为： ．
11
6
16.【答案】 ，
【解析】解： 3把=方0程 4 =4 看作关于 的一元二次方程，
2
关于 的一元二次方 程( +ℎ−1) + =0的解是 ( −，1) ，
2
∵ 或 ( ，+ℎ) + =0 1 =−1 2 =3
∴解 得−：1=−1， −1=，3
即关于 3的=一0元二 4次=方4程 的解是 ， ．
2
故答案为 ： ， ( ．+ℎ−1) + =0 3 =0 4 =4
3 =0 4 =4
17.【答案】解： ，
2
， (1) −2 −1=0
2
−2 =1 ，即 ，
2 2
−2 +1=2， ( −1) =2
∴ −1=± 2， ；
∴ 1 =1+ 2 2 =，1− 2
2
(2)( −3) =2 −6，
2
( −3) =2( −3) ，
2
( −3) −2( −3)=0，
( −3)( −或3−2)= 0 ，
∴ −3=，0 −．5=0
∴ 1 =3 2 =5
18.【答案】见解析；
．
22
3
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学科网（北京）股份有限公司 7【解析】 证明：过点 作 于点 ，
(1) ⊥
， ，
∴ = = ，
∴即 − =； −
解 ：=连 接 ，
(2)
设 ，
在 = 中，由勾股定理得： ，
2 2 2
在 △ 中，由勾股定理得： =8 − ，
2 2 2
△ ， =12 −(6+ )
2 2 2 2
∴解1得2：−(6+， ) =8 −
11
= 3
，
22
∴ =2 = 3
故答案为： ．
22
3
19.【答案】解： 将 代入原方程，得： ，
解得： ． (1) =2 4 −2( +2)+2=0
故 的值 为=1；
证明：当1 时，原方程为一次方程，此时 ；
(当2) 时， =0 =，1
2 2
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≠0 △=( +2) −4×2 =( −2) ≥0
学科网（北京）股份有限公司 8当 时，方程有实数根．
∴综上 所≠述0：不论 为何值，方程总有实数根．
20.【答案】证明：如图，连接 ，
，
∵ / / ，
∴∠ =∠，
∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∴即∠ = ∠ ，
∠ =，∠
∴ 是 =弧 的中点．
∴
21.【答案】 证明：如图，连接 ，
(1)
，
∵∠ 是 =9的0°直径，
∴ ⊙ ，
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠ ，=90°
∵∠ =∠ ，
∴∠ +∠ =90°
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学科网（北京）股份有限公司 9，
∵∠ =∠ ，
∴∠ +∠ ， =90°
∴即∠： =90，°
为 ⊥ 的 半径，
∵ 是⊙ 的切线；
∴ 解 ：⊙设 与 交于点 ，
(由2) 知： ，
(1) ，⊥
∵ / / ，
∴ ⊥
， ，
1
∴ 在 = = 中 4 ， = =2 ，
2 2
△ = + ， =2 5
1 1
∵ △ =2 ⋅ =2 ⋅
，
⋅ 2×4 4 5
∴ = =2 5= 5
．
8 5
∴ =2 = 5
22.【答案】 ；
证明： 一(1元)①二次④方程 ，
2
(2) ∵ ， + + =0
∴ + + =，0
∴− = + ，
2 2 2
∴美 好=方 程−4 =( + ) −总4 有 两=个( 实−数 )根≥；0
2
∴ 证明：方 法+ 美+好 方=程0 有两个相等的实数根，
2
(3) 1∵ ( − ，) +( − ) +( − )=0
∴ ( − )+( − )+( − )=0 ，
2 2
∴ = −4 =( − ) −4( − )( − )=，0
2 2 2
∴ −2 + −4 +4 +4 −4 ， =0
2 2 2
∴ +2 + −4 −4 +4 =0 ，
2 2
∴ ( + ) −2( + )⋅(2 )+(2 ) =0
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学科网（北京）股份有限公司 10，
2
∴故( + −2 ) =，0
故 + −2 ．=0
方法 + 将=2 代入美好方程 ，得：
2
左边2 =1 ( −， )右 边+( −， ) +( − )=0
美好=方( 程− )+( − )+( − ) =0 有两个相等的实数根，
2
∵ ( − ) +( − ) +，( − )=0
∴ ( − )是+美(好 −方 程)+( − )=0 的一个根，
2
∴方 程=的1 另一个根也(是 − ) ，+( − ) +( − )=0
∴ =1
，
−
∴ 1×1=1= ，−
∴ − = −．
∴【 解+析 】=2 解：方程 ， ，方程 是美好方程；
2
方程 (1) ， +2 −3=，0方程1+2不−是3美=好0方程；①
2
方程 −3 =0， 1−3=−2≠，0方程 不②是美好方程；
2
方程 +1=0 1+1=，2整≠理0，得 ③ ， ，方程 是美好方程；
2
故答案 ( 为−：1)= 2；( −1) −3 +2=0 1−3+2=0 ④
证明： 一①元④二次方程 ，
2
(2) ∵ ， + + =0
∴ + + =，0
∴− = + ，
2 2 2
∴美 好=方 程−4 =( + ) −总4 有 两=个( 实−数 )根≥；0
2
∴ 证明：方 法+ 美+好 方=程0 有两个相等的实数根，
2
(3) 1∵ ( − ，) +( − ) +( − )=0
∴ ( − )+( − )+( − )=0 ，
2 2
∴ = −4 =( − ) −4( − )( − )=，0
2 2 2
∴ −2 + −4 +4 +4 −4 ， =0
2 2 2
∴ +2 + −4 −4 +4 =0 ，
2 2
∴ ( + ) −2( + ，)⋅(2 )+(2 ) =0
2
∴ ( + −2 ) =0
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学科网（北京）股份有限公司 11故 ，
故 + −2 ．=0
方法 + 将=2 代入美好方程 ，得：
2
左边2 =1 ( −， )右 边+( −， ) +( − )=0
美好=方( 程− )+( − )+( − ) =0 有两个相等的实数根，
2
∵ ( − ) +( − ) +，( − )=0
∴ ( − )是+美(好 −方 程)+( − )=0 的一个根，
2
∴方 程=的1 另一个根也(是 − ) ，+( − ) +( − )=0
∴ =1
，
−
∴ 1×1=1= ，−
∴ − = −．
∴ + =2
23.【答案】结论： 证明见解析部分．
1
=2 .
．
5
2
【解析】解： 结论： ．
1
理由：连接 (并1)延长交 =于2点 ，连接 ．
， ⊙
∵ ⊥ ，
∴ = ，
∵ 是= 的中位线，
∴ △
，
1
∴ 是=2 的直径，
∵ ⊙ ，
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠， =90°
∵ ⊥ ，
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠ ， =90°
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∵∠ = ∠
学科网（北京）股份有限公司 12，
∴∠ 所=对∠ 弧 上 的圆心角等于 所对弧上的圆心角，
∴∠ ， ∠
∴ =
；
1
∴ =2
由 得： ，
1 1
(在2) (1) 中 ， =2 ，=2
△ =1
，
2 2 2 1 2 5
∴ = + = 1 +(2) = 2
的半径为 ．
5
∴⊙
2
24.【答案】 证明：连接 、 ，
(1)
是圆内接四边形 的外角，
∵∠ ，
∴∠ +∠ ，=180° ∠ +∠ =180°
∴∠ 为 = ∠的 直 径，弦 ，
∵ ⊙ ， ⊥
∴ = ，
∴ = ，
∴∠ =∠ ；
∴∠解 ： 连=接∠ ，
(2)
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学科网（北京）股份有限公司 13为 的直径， ，
∵ ⊙ ， =8
∴弦 = =，4 ，
∵ ⊥ =4 3，
1
∴在 = =中2， =2 3 ，
2 2
△ ， = − =2
∴ =6
在 中， ，
6
△ ， tan∠ = =2 3= 3
∴∠ =60° ．
∵∠ = ∠ =60°
25.【答案】见解析；
， ；
∠ +∠ ∠
．
4 3
【3解析】 证明：如图 ，连接 、 ，
(1) ①
， ，且 ，
1 1
∵∠ =2∠2 ∠ =2∠1 ∠1+∠2=360°
，
1 1
∠同 理+∠ =2∠1+2∠2=1，80°
∠ +∠ =180° ；
∴∠证 +明∠： 在=图∠ +中∠， 经=过1点80°， ， 画 假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ，
(2四)边形 内②接于 ， ⊙ . ⊙ ⊙
∵可得 ⊙，
∴ +∠ =，180°
∵∠ +∠ =180°
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学科网（北京）股份有限公司 14，与 得出矛盾；
∴同∠理 点 也=不∠ 会落在∠ 内>，∠
， ， ， 共圆．⊙
∴故 答案 为： ， ；
解： ∠ +是∠等 边 三角∠ 形，
(3) ∵△ ，
∴∠ =∠ ，=60°
∵∠ =120° ，
∴∠、 、+∠、 四 点=共18圆0°，
∴ 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 ，
∴作∠ =∠ ，=点60°始(终在射线 上运动， )
∴ ∠ =60°
由垂线段最短可知，当 ，即点 处时， 最小，
在 中， '，⊥ ' '
△ ' ∠1=30°
，
1 1 8 4
∴ '= 2 =2×3=3
，
2 2 8 2 4 2 4 3
∴ '= − ' = (3) −(3) = 3
故BF的最小值为 ，
4 3
3
故答案为： ．
4 3
3
26.【答案】 ； ；
点 是(1)120°的6内心，
(2)①平∵分 △， 平分 ，
∴ ∠ ∠
， ．
1 1
∴∠ =∠ =2∠ ∠ = ∠ 公=众 2 号∠ ： 爱 分享的任老师
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∵ ⊥ ，
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠ =90°
．
1
∴∠ +∠ =2(∠ +∠ )=45．°
∴在∠ =和180°−中(∠， +∠ )=135°
△ △
，
=
∠ =∠
= ≌ ，
∴△ △ ( ) ，
∴∠ =∠ =135° ；
∴∠作 =3的60外°−接∠圆 =，∠连 接 =，90° ， ，过点作 ，交 的延长线于点 ，如图，
② △ ⊙ ⊥
设 的半径为 ，则 的最小值为 ．
由⊙“定 弦定角” 模型可 知： ， − ，
优弧 的度数为 ， =6 ∠ =135°
∴优弧 所对的大圆27心0°角为 ，
∴ ． 270°
∴∠ =9，0°
∵ = 为 等腰直角三角形，
∴△ ．
∴ = ．= ⋅ 45°=3 2
∴四 边=形3 2 为正方形，
∵ ， ，
∴ = =6 ⊥
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∵ ⊥ ，
∴ // ，
∴∠ 为=等∠ 腰 直 角=三45角° 形，
∴△ ．
∴ = = ⋅ ．45°=3
∴ = + =9 ，
2 2 2 2
∴ 的=最小 值 为+： = 3 +9．=3 10
∴【 解 析】解： 过3点10作−3 2 于点 ，如图，
(1) ⊥
，
∵∠ =60° ．
∴∠ =，2∠ =120°
∵ ⊥
．
1
∴ = ，=2 =3，3
∵ = ⊥
．
1
∴在∠ =2中∠ ， ， =60°
△
．
3 3
∴ = 3 =6
故答案为：2 ； ；
点 1是20° 6 的内心，
(2)①平∵分 △， 平分 ，
∴ ∠ ∠
， ．
1 1
∴∠ =，∠ =2∠ ∠ = ∠ =2∠
∵ ⊥ ，
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠ =90°
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1
∴∠ +∠ =2(∠ +∠ )=45．°
∴在∠ =和180°−中(∠， +∠ )=135°
△ △
，
=
∠ =∠
= ≌ ，
∴△ △ ( ) ，
∴∠ =∠ =135° ；
∴∠作 =3的60外°−接∠圆 =，∠连 接 =，90° ， ，过点作 ，交 的延长线于点 ，如图，
② △ ⊙ ⊥
设 的半径为 ，则 的最小值为 ．
由⊙“定 弦定角” 模型可 知： ， − ，
优弧 的度数为 ， =6 ∠ =135°
∴优弧 所对的大圆27心0°角为 ，
∴ ． 270°
∴∠ =9，0°
∵ = 为 等腰直角三角形，
∴△ ．
∴ = ．= ⋅ 45°=3 2
∴四 边=形3 2 为正方形，
∵ ， ，
∴ = ，=6 ⊥
∵ ⊥ ，
∴ // ，
∴∠ =∠ =45°
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学科网（北京）股份有限公司 18为等腰直角三角形，
∴△ ．
∴ = = ⋅ ．45°=3
∴ = + =9 ，
2 2 2 2
∴ 的=最小 值 为+： = 3 +9．=3 10
∴ 3 10−3 2
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