江苏省南京市栖霞区南外仙林分校2025-2026学年八年级上学期数学10月月考测试卷_江苏省南京市2025-2026学年7-9年级上学期10月第一次月考试卷（全科合集）

2025-2026 学年南京市南外仙林分校八上数学第一次月考试卷
一、选择题（12分）
1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 4cm、4cm、8cm
C. 2cm、6cm、5cm D. 3cm、5cm、9cm
2. 下列各图中，作V ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，已知AB  AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CBCD B. BAC DAC
C. BD90 D. BCADCA
4. 如图，已知AD平分BAC ，AB=AC，则此图中全等三角形有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5. 如图，在 ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S =4，S =（ ）
ABC BEF
△ △
△
试卷第1页，共31页1 1
A.2 B.1 C. D.
2 4
6. 在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.25° B.25°或40° C.25°或 35° D.40°
二、填空题（20分）
7. 如图，△ABC≌△DBC ，A45，DCB 36，则ABC _____．
8. 一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为_____．
9. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是
______________.（写一种即可）
10. 如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
11. 如图，V ABC 中，DE是AB的垂直平分线，如果AB 6，ACD的周长为8，那么V ABC 的周长为________．
12. 如图，BO平分ABC，CO平分ACB，MN 经过点 O，且MN∥BC若 AB 12 ，AC 15， 则
AMN 的周长是________．
试卷第2页，共31页13. 如图，P是AOB的角平分线上的一点，AOB60，PD OA，M 是OP的中点，点C是OB上的一
个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为____cm．
14. 如图，在V ABC 中，CD是ACB的平分线，BE CD，垂足为点E．若CBEDBE 40，则BAC
的度数为______．
15. 如图是55的正方形网格，V ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，像V ABC这样的三角形叫格点三角形．画
与V ABC 有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画______个．
16. 如图，Rt△ABC中，ACB 90，B30，AC 5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分
线分别交AC ，AB于点E，F ，线段BF 的最大值是______．
三、解答题
试卷第3页，共31页17. 如图，已知：AB与CD相交于点O，CO  AC，B A，求证：OD BD．把以下证明过程补充完整．
证明：在△AOC中，
CO AC，
______________________（___________）
Q AOC BOD（___________），
_____________________，
BA，
______________________，
OD BD（___________）
18. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，AD//BC．求证：
DF//EB．
19. 如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
试卷第4页，共31页20. 已知：如图，在Rt△ABC中，C 90，A30．求证：2CB AB（用两种不同的方法来证明）
21. 在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条
直线是该直角三角形的“直角等腰线”．
（1）如图，Rt△ABC中，C 90，B22.5，若CAD 2BAD，判断AD是否为Rt△ABC的“直
角等腰线”，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，C 90，BAC 60，BC 6，若AD为Rt△ABC的“直角等腰线”，求点D到AB
的距离．
22. 如图，已知V ABC 中，BC，AB8厘米，BC 6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上
以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒m厘米的速度由C点向A点运动，设运
动时间为t（秒）（0t 3）．
（1）用含t的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与VCQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的速度m为多少时，能使△BPD与VCQP全等？
试卷第5页，共31页23. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC 90，点E是AC的中点．
（1）求证：BED是等腰三角形；
（2）当BCD __________°时，BED是等边三角形．
（3）当ADEABE 45时，若BD5，取BD中点F，求EF 的长．
24. 在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：
（一）已知：ABO为锐角三角形，求作：AOB的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M ，交OB于点N ；
1
②分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C；
2
③画射线OC，则射线OC即为所求．
（1）如图1，射线OC就是AOB的角平分线的依据是______；
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
（2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？
下面是两位同学给出的两种方法：
①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知AOB的边OA，OB上分别取OC OD，再分别
过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分AOB．
请你帮这位同学证明：OP平分AOB；
试卷第6页，共31页②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别
交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F ，连接CF ，DE交于点P，画射线OP，
则OP平分AOB．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）．
③丙同学：如图4，把直尺的一边落在AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在
AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF ；CD与EF 相交于点P，连接OP，则OP是AOB的角平
分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______
（3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图
痕迹，写出必要的文字说明．
（二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明
如图，在AB边上找一点E，使点E到点B的距离等于点E到AO边的距离．
试卷第7页，共31页一、选择题（12分）
1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A. 1cm、2cm、3cm B. 4cm、4cm、8cm
C. 2cm、6cm、5cm D. 3cm、5cm、9cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能
否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，
由此即可判断．
【详解】解：A、123，无法做成三角形，故A不符合题意；
B、448，无法做成三角形，故B不符合题意；
C、256，可以做成三角形，故C符合题意；
D、359，无法做成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2. 下列各图中，作V ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在
直线的垂线段叫做这个三角形的高．根据三角形高线的定义逐一判断即可．
【详解】解：A． ，所作BD不是高线，错误；
B． ，所作AD不是V ABC 的高线，错误；
试卷第8页，共31页C． ，所作BD是边BC上的高线，错误；
D． ，所作BD是边AC 上的高线，正确；
故选：D．
3. 如图，已知AB  AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CBCD B. BAC DAC
C. BD90 D. BCADCA
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方
法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵BC CD，AC  AC ，AB  AD，∴ABC≌ADC  SSS  ，故选项A不符合题意；
B、∵AB  AD,AC  AC,BAC DAC，∴ABC≌ADC  SAS  ，故选项B不符合题意；
C、∵AB AD,AC  AC,BD90，∴ABC≌ADC  HL  ，故选项C不符合题意；
D、∵AB  AD,AC  AC,BCADCA，∴不能判定△ABC≌△ADC，故选项D符合题意；
故选：D．
4. 如图，已知AD平分BAC ，AB=AC，则此图中全等三角形有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】C
试卷第9页，共31页【解析】
【分析】根据SAS推出△ABD≌△ACD，求出∠B=∠C，BE=CF，根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF，
△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC即可．
【详解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD=CD，∠B=∠C，
∵∠EDB=∠FDC，∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=FC，
∵AB=AC，∴AE=AF，
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE，
∴△AFB≌△AEC
即图中的全等三角形有4对.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三
角形的对应角相等，对应边相等．
5. 如图，在 ABC中，已知点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S =4，S =（ ）
ABC BEF
△ △
△
1 1
A.2 B.1 C. D.
2 4
【答案】B
【解析】
1 1
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S  S ，S  S ，
ABD
2
ABC ACD
2
ABC
1 1 1 1
S  S ，S  S ，然后求出S  S ，再根据S  S 列式求解即可．
BDE
2
ABD CDE
2
ACD BCE
2
ABC BEF
2
BCE
【详解】解：点D是BC的中点，
1 1
S  S ，S  S ，
ABD
2
ABC ACD
2
ABC
点E是AD的中点，
试卷第10页，共31页1 1
S  S ，S  S ，
BDE 2 ABD CDE 2 ACD
1 1
S S S  (S S ) S ，
BCE BDE CDE 2 ABD ACD 2 ABC
点F 是CE的中点，
1 1 1
S  S   S ，
BEF 2 BCE 2 2 ABC
1 1
  4，
2 2
1．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质：三角形的中线吧一个三角形分成两个面积相等的三角形，
熟悉相关性质是解题的关键．
6. 在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.25° B.25°或40° C.25°或 35° D.40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案．
【详解】当50°为底角时，
∵∠B=∠ACB=50°，
∴∠BCD=90°﹣50°=40°；
当50°为顶角时，
∵∠A=50°，
∴∠B=∠ACB=65°，
∴∠BCD=90°﹣65°=25°．
故选：B．
试卷第11页，共31页【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应
用．
二、填空题（20分）
7. 如图，△ABC≌△DBC ，A45，DCB 36，则ABC _____．
【答案】99
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据全等三角形对应角相等得到
∠ACB ∠DCB 36，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解；∵△ABC≌△DBC ，
∴∠ACB ∠DCB 36，
∵A45，
∴∠ABC 180∠A∠ACB 99，
故答案为：99．
8. 一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第
三边长为偶数，就可以知道第三边的长度．
【详解】根据三角形的三边关系，得
62＜x＜62，
即4＜x＜8．
又∵第三边长是偶数，则x6，
故答案为：6
【点睛】本题考查了三角形三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．同时注意第三边长为
偶数这一条件．
9. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是
______________.（写一种即可）
试卷第12页，共31页【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【解析】
【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB，
∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
当AD=BC时，可利用HL证明Rt ABC≌Rt BAD，
故答案为：AC=BD或AD=BC． △ △
10. 如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得出AB//CD，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由
EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
试卷第13页，共31页∴AB//CD，
∴ABDCDB60，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
1 1
∴EBF  ABD  6030，
2 2
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴BEF 90EBF 60，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图
（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已
知直线的垂线）．
11. 如图，V ABC 中，DE是AB的垂直平分线，如果AB 6，ACD的周长为8，那么V ABC 的周长为________．
【答案】14
【解析】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到AD  BD，利用ACD的周长为8得
到ACBC 8，由此求出ABC的周长．
【详解】解：∵DE是AB 的垂直平分线，
∴AD  BD，
∴ACD的周长 AC ADCD ACBDCD ACBC 8，
∵AB6，
∴ABC的周长 ACBC AB8614，
故答案为：14．
12. 如图，BO平分ABC，CO平分ACB，MN 经过点 O，且MN∥BC若 AB 12 ，AC 15， 则
AMN 的周长是________．
试卷第14页，共31页【答案】27
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，根据平行线的性质及角平分线的性质得
MOB MBO，NOC NCO，进而可得BM MO，NOCO，再利用三角形周长公式即可求解，熟
练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：BO平分ABC，CO平分ACB，
ABO CBO，ACO BCO，
MN∥BC，
MOBOBC，NOC OCB，
MOBMBO，NOC NCO，
BM MO，NOCO，
AMN 的周长为：
AM  AN OM ON  AM BM  AN NC  AB AC 121527,
故答案为：27．
13. 如图，P是AOB的角平分线上的一点，AOB60，PD OA，M 是OP的中点，点C是OB上的一
个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N，根据角平分线的定义可得∠AOP= 1 ∠AOB=30°，再根据直角三角形的
2
1
性质求得PD= OP，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到PD的长，继而根据直角三角形斜边中线等于斜边的
2
一半即可求得结果．
【详解】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N，
试卷第15页，共31页∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
1
∴∠AOP= ∠AOB=30°，
2
又∵PD⊥OA，
1
∴PD= OP，PN=PD，
2
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，即PN=PC的最小值=3，
∴PD=3，
∴OP=6，
又∵M是OP的中点，
1
∴DM= OP=3，
2
故答案为3.
【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟记性质并
作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
14. 如图，在V ABC 中，CD是ACB的平分线，BE CD，垂足为点E．若CBEDBE 40，则BAC
的度数为______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定；
根据角平分线的性质可得BEC FEC,BCE FCE ，再根据ASA证明BCE≌FCE，根据其性质进而
即可求解．
【详解】解：延长BE 交AC于点F，
试卷第16页，共31页∵CD是ACB的平分线，BE CD，垂足为点E，
∴BEC FEC  90,BCE FCE ，
在BCE和△FCE 中，
BCE FCE

CE CE ，


BEC FEC
∴BCE≌FCE  ASA  ，
∴CBE CFE，
∵CBEDBE 40，
∴CFEDBE 40，
∵CFE BACEBD，
∴BAC CFEDBE，
∴BAC=40，
∴BAC的度数是40．
故答案为：40．
15. 如图是55的正方形网格，V ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，像V ABC这样的三角形叫格点三角形．画
与V ABC 有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画______个．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是
解决问题的关键．可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC 不可以，故可求出结果．
【详解】解：以BC为公共边可画出BDC，BEC，BFC 三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三
角形ABG，ABM，ABH 和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形．
试卷第17页，共31页故答案为：6．
16. 如图，Rt△ABC中，ACB 90，B30，AC 5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分
线分别交AC ，AB于点E，F ，线段BF 的最大值是______．
20 2
【答案】 ##6
3 3
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、30角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF 的最
大值转化为AF 最小是解决本题的关键．
先求出AB的长，过点F作FH BC 于H，连接DF ，若要使BF 最大，则需要AF 最小，然后根据垂线段最短
列式求解即可．
【详解】解：连接DF，
Rt△ABC 中，ACB 90，B30，AC 5，
AB2AC 10，
EF 垂直平分AD，
AF  DF ，过点F作FH BC于H，
若要使BF 最大，则需要AF 最小，
设AF  x，则BF 10x，
B30，
1
FH 5 x，
2
Q FD FH （垂线段最短），
试卷第18页，共31页1
x5 x，
2
10
解得x≥ ．
3
10 10 20
AF 最小值为 ，BF 的最大值为10  ，
3 3 3
20
故答案为： ．
3
三、解答题
17. 如图，已知：AB与CD相交于点O，CO  AC，B A，求证：OD BD．把以下证明过程补充完整．
证明：在△AOC中，
CO AC，
______________________（___________）
Q AOC BOD（___________），
_____________________，
BA，
______________________，
OD BD（___________）
【答案】A；AOC；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；A；BOD；B,BOD；在三角形中，大角对大边
【解析】
【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不
等式的性质解答即可．
【详解】证明：在△AOC中，
CO AC
AAOC （在三角形中，大边对大角）
Q AOC BOD（对顶角相等）
ABOD
BA
BBOD
OD BD（在三角形中，大角对大边）
试卷第19页，共31页18. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，AD//BC．求证：
DF//EB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明△AFD全等于△CEB，然后依据全等三角形的性质得到∠BEC=∠EFD，最后依据平行线的判定定
理进行证明即可．
【详解】解：证明：
∵AE=CF，
∴AF=EC．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE．
在△AFD和△CEB中，
 B D

DAF BCE，

 AF  EC
∴△AFD≌△CEB，
∴∠AFD=∠BEC，
∴DF∥EB．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，找出AFD≌△CEB的条件是解题的关键．
19. 如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
试卷第20页，共31页【答案】（1）证明见解析；（2）90
【解析】
【分析】（1）通过证明△ABD≌△CBE即可得证；
（2）根据三角形外角的性质可得BCF 15，利用全等三角形的性质即可得到EAB15，根据等边对等角
得到BACBCA75，利用角的和差即可求解．
【详解】解：（1）∵∠ABC＝∠DBE，
∴ABCABE DBEABE，
即ABD CBE，
在△ABD和△CBE中，
BA BC

ABDCBE，

BD BE
∴△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE；
（2）∵∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，
∴BCF 15，
∵△ABD≌△CBE，
∴EAB15
∵BA＝BC，
∴BACBCA75，
∴EACEABBAC 90．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质等内容，掌握上述基本性质定
理是解题的关键．
20. 已知：如图，在Rt△ABC中，C 90，A30．求证：2CB AB（用两种不同的方法来证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知等边三角形的性
试卷第21页，共31页质与判定定理是解题的关键．
方法一：在AB上截取BD  BC，连接CD，可证明BDC是等边三角形，得到BDC 60，BC  DC，则
可证明∠DCA30∠A，得到AD  DC ，据此可证明AB ADBD2BC；
方法二：如图所示，延长BC到D使得CDCB，连接AD，证明ACD≌ACB  SAS  ，得到
AD AB，∠CAD∠CAB30，再证明BAD是等边三角形，得到ABBD，据此可证明结论．
【详解】证明：方法一：如图，在AB上截取BD  BC，连接CD，
∵在Rt△ABC中，C 90，A30，
∴B 90°30°60°，
又∵BD  BC，
∴BDC是等边三角形，
∴BDC 60，BC  DC，
∵∠BDC ∠A∠DCA60，∠A30，
∴∠DCA30∠A，
∴AD  DC，
∴AD  BC  BD，
∴AB ADBD2BC，
2BC  AB；
方法二：如图所示，延长BC到D使得CDCB，连接AD，
∵C 90，
∴∠ACD180C 90∠C，
又∵AC  AC，CD CB，
∴ACD≌ACB  SAS  ，
试卷第22页，共31页∴AD AB，∠CAD∠CAB30，
∴∠BAD∠CAD∠CAB60，
∴BAD是等边三角形，
∴ABBD，
∵BD BCCD2BC，
∴2BC  AB．
21. 在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条
直线是该直角三角形的“直角等腰线”．
（1）如图，Rt△ABC中，C 90，B22.5，若CAD 2BAD，判断AD是否为Rt△ABC的“直
角等腰线”，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，C 90，BAC 60，BC 6，若AD为Rt△ABC的“直角等腰线”，求点D到AB
的距离．
【答案】（1）AD是Rt△ABC的“直角等腰线”，理由见解析
（2）点D到AB的距离为2．
【解析】
【分析】本题考查了新定义、含30角的直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据新定义，证明ADB是等腰三角形即可；
（2）先证明出AD是CAB的平分线，利用角平分线性质得到CD DE ，再根据含30角的直角三角形的性质得
1 1 1
到DE  BD BC  62即可．
2 3 3
【小问1详解】
解：AD是Rt△ABC的“直角等腰线”，理由如下：
在Rt△ABC中，C 90，B22.5，
∴CAB67.5，
∵CAD 2BAD，
1
∴DAB  67.5 22.5，
3
∴DAB B，
∴ADB是等腰三角形，ACD是直角三角形，
∴AD是为Rt△ABC的“直角等腰线”；
试卷第23页，共31页【小问2详解】
解：∵在Rt△ABC中，C 90，BAC 60，BC 6．
∴B30，
∵AD为Rt△ABC的“直角等腰线”，
∴DAB 30，CAD603030，
过点D作DEAB，垂足为E，
∵AD是CAB的平分线，
∴CDDE，
∵BC CDBD  DE BD  6，B30，
1 1 1
∴DE  BD BC  62．
2 3 3
∴点D到AB的距离为2．
22. 如图，已知V ABC 中，BC，AB8厘米，BC 6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上
以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒m厘米的速度由C点向A点运动，设运
动时间为t（秒）（0t 3）．
（1）用含t的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与VCQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的速度m为多少时，能使△BPD与VCQP全等？
【答案】（1）62t
（2）全等，理由见解析
8
（3） 厘米/秒
3
【解析】
【分析】本题考查列代数式，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
试卷第24页，共31页（1）由题意易得BP2t厘米，进而可求出PC；
（2）由（1）及题意易得PC  BD，BP CQ，根据“SAS”即可证；
1 1
（3）由题意可得当BP PC  BC  3厘米，CQ BD  AB  4厘米时，△BPD≌△CPQ，进而可求时
2 2
间，然后再求解点Q的运动速度即可．
【小问1详解】
解：由题意可知BP2t厘米，
∴PC  BCBP 62t  厘米；
【小问2详解】
解：△BPD和VCQP全等，理由如下：
∵t 1秒，
∴BP CQ  21 2厘米，
∴CP BCBP624厘米．
∵AB8厘米，点D为AB的中点，
∴BD4厘米．
∴PC  BD．
在△BPD和VCQP中，
BD PC

BC，

BP CQ
∴BPD≌CQP  SAS  ；
【小问3详解】
解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP CQ．
又∵BC，
1 1
则当BP PC  BC  3厘米，CQ BD  AB  4厘米时，△BPD≌△CPQ，
2 2
BP 3
∴点P，点Q运动的时间t   秒，
2 2
CQ 4 8
m  
∴ t 3 3厘米/秒，
2
试卷第25页，共31页8
∴当点Q的运动速度m为 厘米/秒时，能够使△BPD与VCQP全等．
3
23. 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC 90，点E是AC的中点．
（1）求证：BED是等腰三角形；
（2）当BCD __________°时，BED是等边三角形．
（3）当ADEABE 45时，若BD5，取BD中点F，求EF 的长．
【答案】（1）见解析 （2）150
5
（3）
2
【解析】
1 1
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE AC，DE  AC，从而得到BE  DE ；
2 2
1
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出 DEBDAB，由BCD150得到DAB 30，
2
DAEEAB DAB 30，继而DEB2DAB60，即可证明等边三角形；
（3）由12,34，2445，则1345，由上可知DEB2 13 90，而F 为BD
1 5
中点，故EF  BD ．
2 2
【小问1详解】
证明：ABC ADC 90，点E是AC边的中点，
1 1
AEBE AC ，AE  DE  AC，
2 2
BEDE ，
BED是等腰三角形；
【小问2详解】
解：当BCD150时，BED是等边三角形，理由如下：
∵BCD150，ABC ADC 90，
∴DAB 360909015030
∴DAEEAB DAB 30，
试卷第26页，共31页AE  ED，
DAE EDA，
AE  BE，
EAB EBA，
DAEEDADEC，
EABEBABEC ，
DEB2DAB60，
∵ED EB，
∴BED是等边三角形，
故答案为：150；
【小问3详解】
解：如图：
由（2）可知，12,34，
∵2445，
∴1345，
由上可知DEB2 13 90，
∵F 为BD中点
1 5
∴EF  BD ．
2 2
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，
1
以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出 DEBDAB是解题关键．
2
24. 在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：
试卷第27页，共31页（一）已知：ABO为锐角三角形，求作：AOB的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M ，交OB于点N ；
1
②分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C；
2
③画射线OC，则射线OC即为所求．
（1）如图1，射线OC就是AOB的角平分线的依据是______；
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
（2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？
下面是两位同学给出的两种方法：
①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知AOB的边OA，OB上分别取OC OD，再分别
过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分AOB．
请你帮这位同学证明：OP平分AOB；
②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别
交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F ，连接CF ，DE交于点P，画射线OP，
则OP平分AOB．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）．
③丙同学：如图4，把直尺的一边落在AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在
AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF ；CD与EF 相交于点P，连接OP，则OP是AOB的角平
分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______
（3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图
痕迹，写出必要的文字说明．
（二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明
如图，在AB边上找一点E，使点E到点B的距离等于点E到AO边的距离．
【答案】（一）（1）C；（2）①见解析；②正确；③角平分线的判定定理；（3）见解析；（二）
【解析】
试卷第28页，共31页【分析】（一）（1）连接MC ，NC，由作图可得MCNC，OM ON ，证明OMC≌ONC  SSS  得出
AOC BOC，即可得解；
（2）①由作法可得OC OD，证明RtOPC≌RtOPD  HL  ，得出COPDOP，即可得证；
②由作法可得，OC OD，OE OF ，从而得出CE DF ，证明OCF≌ODE  SAS  ，得出CEPOFP
证明CEP≌DPF  AAS  ，得出EP  FP，最后证明OEP≌OFP  SSS  ，得出EOP FOP，即可得解；
③根据角平分线的判定进行求解即可；
（3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，连接CD，作线段CD的垂直平分线，交
CD于点P，则MN 过点O，即OP为AOB的平分线；
（二）延长AO，过点B作BD AO，交AO的延长线于点D，作ADB的角平分线，交AB于点E，则点E
即为所求作的点．
【详解】解：（一）（1）连接MC ，NC，
由作法可得MCNC，OM ON ，
∵OC OC，
∴OMC≌ONC  SSS  ，
∴AOC BOC，
∴射线OC就是AOB的角平分线的依据是SSS，
故选：C；
（2）①证明：由作法可得OC OD，OCPODP90，
∵OPOP，
∴RtOPC≌RtOPD  HL  ，
∴COPDOP，
∴OP平分AOB；
②正确，理由如下：
由作法可得，OC OD，OE OF ，
∴OEOC OF OD，
试卷第29页，共31页∴CE  DF ，
在△OCF 和ODE中，
OC OD

COF DOE ，

OF OE
∴OCF≌ODE  SAS  ，
∴CEP OFP，
在△CEP和DPF 中，
CEP DFP

CPE DPF ，

CE  DF
∴CEP≌DPF  AAS  ，
∴EP  FP，
在OEP和△OFP中，
OE OF

EP PF ，

OPOP
∴OEP≌OFP  SSS  ，
∴EOP FOP，
即OP平分AOB；
③根据作图可知：点P到OA的距离等于直尺的宽度，点P到OB的距离等于直尺的宽度，
∵直尺的宽度不变，
∴点P到OA的距离等于点P到OB的距离，
∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴OP平分AOB，
即丙同学的这种作角平分线的依据是角平分线的判定定理；
（3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，连接CD，作线段CD的垂直平分线，交
CD于点P，则MN 过点O，即OP为AOB的平分线；
试卷第30页，共31页根据作图可知：OC OD，MN 垂直平分CD，
∵到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，
∴此时CD的垂直平分线MN 过点O，
∵OC OD，CP  DP，
∴根据等腰三角形三线合一可知，OP平分AOB．
（二）如图，点E即为所求作的点．
根据作图可知：EB  BD，DE 平分ADB，
因为角平分线上点到角的两边距离相等，所以点E到DB的距离等于点E到OA的距离，
即点E到点B的距离等于点E到OA的距离．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分
线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
试卷第31页，共31页