2025-2026 学年江苏省南京市玄武区七年级（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是负数的是( )
A. B. C. D.
2.下−(列−各2组02数4)中，相等的一组1是( ) − 0
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3
3 3 2 2 1 1 3
3.体(−育1用)品专−卖1店中某品牌的−乒1 乓球(−产1品) 参数中标−(明−球1的) 直−径|−是1| 2 (2) ，下列待检查的乒乓球直
径合格的是( ) 40 ±0.05
A. B. C. D.
4.已39知.56， 两数在数轴上对应39的.98点 如 图所示，则下40列.07判 断 正确的是( 4)0.50
A. B. C. D.
2 2
5.若 有+ 理>数0， 满足 − >0 ，则| |−| 的|>值0为( ) − >0
2024
A. |3−B .|+( +2) =0C. + D.
6.已1知 ， ，且−1 ，则 的值为5( ) −5
A. 或| |= 3 | |= 2 B. <或 + C. 或 D. 或
7.若1点−、1 、 在同一条数轴5上，−5其中 、 表示的3 数−分2别为 、 ，若5 1 ，则 ( )
A. B. 或 C. 或 −4 1D. 或 =2 =
8.按3照如图所示的运算程序，5下列7输入的数据中，3能使5输出的结果为3 的7是( )
33
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、 填=空1 题 ：=本4题共10小题 ，=共220 分=。4 =3 =4 =5 =4
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学科网（北京）股份有限公司 1 249.如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个
.
10.比较大小：
12 11
11. 年上半−年11，华−为1公2 司的实际销售收入为 亿人民币， 亿用科学记数法可表示为 ．
12.2如0图24，点 ， 分别表示数 与 ，点 在线段4175上，且 417，5 则点 对应的数是 ．
−1 5 =2
13.如图，在数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且 ， 满足 ，点 表示的数
2
是 的倒数若将数轴 折叠，使得点 与点 重合，则与 点 重 合 的点表| 示+的2|数+是( __+__1_)_．=0
−7 .
14.有理数 ， ， 在数轴上对应的点的位置如图所示如果 ，那么式
子 的值为 ． . + =0
15 |. 已−知 |−、| 互+为 |相反数， 、 互为倒数， ， 的值是______．
+ 3
16.在数轴 上 ，点 表示数 ，现 将点 沿数轴 | 作 |= 如 2 下移 − 动 2 ： 第 + 一 次将 − 点 向左移动 个单位长度到达点 ，
第二次将点 向右 移动 个2单位长度 到达点 ，第三次将点 向左移动 个单位4长度到达点 ，第四 1次
将点 向右 移1动 个单8位长度到达点 依2此规律，第 次 移2 动得到点12 ，则点 表示的 数3为 ．
17.一 般3 地，点 、16 在数轴上分别表示有 4理……数 、，那么 、 之间的距离 可 表示为 2024 如： 表示 在
数轴上的对应点 到原 点的距离， 求 的最小值为 ，若满 足− . 5 5
时，则 的值是 ． 5 = 5−0 . −2 + +2 −2 + +2 =6
18.设 是不为 的有理数，我们把 称为 的差倒数如 的差倒数是 ， 的差倒数是
1 1 1 1
已知 ， 1 是 的差倒数， 是1− 的差倒 数， 是 . 的 −2 差倒数， ，1−以(−此2)类 = 推3， 2 则 的值为1−2=− 设 1.
， ，1 =都5是不 2为 1和 的有理 数3 ， 将2 一个数组 4 3中的数分别按⋯照⋯材料中“倒数差 ”202的4定义作变换，.
第 次变 换后得到0数组1 ，第 次变换后( 得, 数, )组 ， ，第 次变换后得到数组
1 ( 1, 1, 1) 2 ( 2, 2, 2) ⋯ ( , , ).
若数组 确定为 则 的值为 ．
1
三、解答
( ,
题
,
：
)
本题共
(
8
−
小
1
题
,2， ,−
共
3)
8
.
8分
1
。
+
解
答
1+
应
写
1+
出
文
2+
字
说
2
明
+
，
2
证
+
明
⋯
过
+
程
9
或
+
演
9
算
+
步
骤
9
。
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学科网（北京）股份有限公司 2 2419.计算：
； ；
3 4 2
(1)(−20)+(+3)−(−5)−(+7) (2) (−2) +3 ÷4+ −3
； ．
2 3 7 1 2025 6 2 1 3 1 2
(3) 3−4+8 ÷24−(−1) (4)−1 − 0.5−3 ÷3×[−2−(−3) ]− 8−0.5
20. 本小题 分 按要求解答．
如图(，数轴上8点)表示的数是 ，点 表示的数是 ．
−3 4
Ⅰ 把 这四个数在数轴上表示出来；
2 9
( ) 0,(−1) ,|−5.5|,−(+2)
Ⅱ 把 ， ， ， 这四个数按从小到大的顺序用“ ”连接起来；
2 9
( Ⅲ ) 大 0 于 (−并1且) 小 | 于 −5. 的 5| 所−有(整+数2)的和为______． <
( ) −3 4
21. 本小题 分 如图，点 在数轴上所对应的数为 ．
( 8 ) −2
若点 在点 右边距点 个单位长度，则点 所对应的数为 ；
(1)在 的条件 下，点 以 6每秒 个单位长度沿 数轴向左运动，同时点 以每秒 个单位长度沿数轴向右运
(动2)，当(1点) 运动到 所 在的点处2时，求 ， 两点间距离； 3
在 的 条件下−，6现点 静止不动，点 沿 数轴以原速向左运动时，经过多长时间 ， 两点相距 个单位
(长3)度？(2) 4
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学科网（北京）股份有限公司 3 2422. 本小题 分 把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如： 、 ，我们称之为集
3
合，(其中的数8称为) 集合的元素如果一个集合满足：当有理数 是集合的{1,元2,8素}时{，−有2理,7,数4,19} 也必是这个集
合的元素，这样的集合我们称.为“好的集合”，例如集合 就是一个“好的集合”1．0−
{10,0}
集合 ______ 填“是”或“不是” “好的集合”．
3
(1)请你再{−写2出,7,两4,个19“}好的集(合” 不得与上面出现)过的集合重复 ______．
(2)在所有“好的集合”中，元素个( 数最少的集合是______． )
(3)
23. 本小题 分
在解(决数学问8题的) 过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问
题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题．
【提出问题】已知三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【解决问题】解：由题意可知， ， ， 三个 有 >理0数都为 正+数 或+其 中一个为正数，另两个为负数．
①当 ， ， 都是正数，即 ， ， 时， ；②当 ， ， 中有一个正
>0 >0 >0 + + =1+1+1=3
数，另两个为负数时，设 ， ， ，则 所以 的值为
或 ． >0 <0 <0 + + =1−1−1=−1. + + 3
【探−1究】请根据上面的解题思路解答下面的问题．
已知三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值；
(1)已知 ， 且 ， 求<0 的 值+． +
(2) | |= 8 | |=2 < −3
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学科网（北京）股份有限公司 4 2424. 本小题 分
若 (， ， 三8点在)数轴上表示的数分别为 ， ， ，且满足 ，则称 为 ， 两点的倍距点．例
如 ：若 ， ， ，因为 ，| − |= 2| − | ，所 以
，即 =是−2， 两=点4的 倍=距1 点．| − |= |−2−4|=6 2| − |=2×|−2−1|=6 | − |=2| −
| 若 ， ， ，请说明： 是 ， 两点的倍距点；
(1)若 =3 ， =是−5， 两=点−1的倍距点，且 ，求 的值．
(2) =−1 − =2
25. 本小题 分
【定(义新知】8 )
我们知道：式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理数 的点之间的距离，因此，若点
、 在数轴上分| 别−表3示| 有理数 、 ，则 、 两点之间的 距离 请3根据数轴解决以下问题：
式 子 在数轴上的意义 是 ． =| − |.
(1)当 | +2| 取最小值时， 可以取整数 ．
(2) | +1|+| −3的|最大值为 ．
(3) | +1|−| −3| 的最小值为 ．
(4)【| 解+决1|问+题| 】−2|+| −6|
(如5)图，一条笔直的公路边有四个居民区 、 、 、 和市民广场 ，居民区 、 、 、 分别位于市民广场左
侧 、左侧 、右侧 、右侧 现 需 要在该公路边 上建一个便 民 服务 点 ，那么这个便民服务
点5建 在何处，能1 使 服务点 1到 四 个居民区3 、. 、 、 的总路程最短？最短路程是多少 ？试说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司 5 2426. 本小题 分
对于(数轴上的8 ，) ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 倍的数量关系，
则称该点是其它 两 个点 的“联盟点”． 2
例如数轴上点 ， ， 所表示的数分别为 ， ， ，此时点 是点 ， 的“联盟点”．
若点 表示 数 ， 点 表示数 ，点 是1点3，4的“联盟 点”， 点 在 、 之间，且表示一个负数，则
(点1) 表示 的数为_−_2____； 3
若点 表示数 ，点 表示数 ，下列各数 ， ， ， 所对应的点分别为 ， ， ， ，其中是点 ，
2
(2的)“联 盟点”的−是2 ____ __； 2 −3 0 4 6 1 2 3 4
点 表示数 ，点 表示数 ， 为数轴上一点．
①(3)若点 在点 −的1左5 侧， 且点 是2点5 ， 的“联盟点”，此时点 表示的数是______；
②若点 在点 的右侧，点 ， ， 中， 有一个点恰好是其它两个 点的“联盟点”，直接写出此时点 表示的
数_____ _．
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学科网（北京）股份有限公司 6 242025-2026 学年江苏省南京市玄武区七年级（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是负数的是( )
A. B. C. D.
【答−(案−】2C024) 1 − 0
【解析】解： ，是正数，不符合题意；
B. ，是正 数.−，(不−符20合2题4)意=；2024>0
C.1>0 ，是负数，符合题意；
D.− 既<不0是正数，也不是负数，不符合题意；
故0选： ．
先利用实 数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意 既不是正数也不是负数．
2.下列各组数中，相等的一组是( ) 0
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3
3 3 2 2 1 1 3
【答(−案1】) A −1 −1 (−1) −(−1) −|−1| 2 (2)
【解析】解： ， ， ，选项计算正确，符合题意；
3 3
B. ， .(−1) =−，1 −1 ，=选−项1 计−算1错=误−1，不符合题意；
2 2
C.−1 =−1 ，(−1) =1 −，1≠1 ，选项计算错误，不符合题意；
−(−1)= 1 −|−1|=−1 1≠−1
D. ， ， ，选项计算错误，不符合题意．
3
1 1 1 3 1 1 1
故选2 ：=2．(2) =8 2≠8
根据有理 数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，解答即可．
本题考查了有理数的乘方运算，绝对值，相反数，掌握相关运算法则是解题的关键．
3.体育用品专卖店中某品牌的乒乓球产品参数中标明球的直径是 ，下列待检查的乒乓球直
径合格的是( ) 40 ±0.05
A. B. C. D.
【答39案.5】6 B 39.98 40.07 40.50
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学科网（北京）股份有限公司 7 24【解析】解： ， ，
某品牌的乒乓∵球40直+径0合.05格=范4围0.为05( ) 40～−0.05=3，9.95( )
∴合格的是 ． 39.95 40.05
∴故选B． 39.98
根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可．
本题主要考查了正负数，深刻理解正负数的含义是解题的关键．
4.已知 ， 两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
2 2
【答 案+ 】>A0 − >0 | |−| |>0 − >0
【解析】解：由数轴得， ， ，
， ，−1< <0 ，1< <2 ，
2 2
∴故 选+： >．0 − <0 | |−| |< 0 − <0
由数轴得 ， ， ，进一步判断出 ， ， ， 即可．
2 2
本题考查了−有1理<数 的<乘0方1，<数 轴<，2绝对值，熟练掌握 +数 轴>的0性质 −是 解<题0的关| 键|−．| |<0 − <0
5.若有理数 ， 满足 ，则 的值为( )
2024
A. |3−B .|+( +2) =0C. + D.
【答1案】A −1 5 −5
【解析】解： ，
2024
，∵ |3− |+，( +2) =0
∴ 3− ，=0 +，2=0
∴ =3 =−2 ．
∴故 选+： =．3−2=1
根据非负 数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为 ，则这几个非负数分别等于 ，并正确得出未知数的值
是解题的关键． 0 0
6.已知 ， ，且 ，则 的值为( )
A. 或| |= 3 | |= 2 B. <或 + C. 或 D. 或
1 −1 5 −5 3 −2 5 1
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学科网（北京）股份有限公司 8 24【答案】D
【解析】解：根据题意可知， 或 ， 或 ，
又 ， =3 =−3 =2 =−2
∵ <， 或 ，
∴当 =3 ， =2 时 ，=−2 ，
∴当 =3， =2 时， + =3+2=5．
故选 =：3 ． =−2 + =3−2=1
根据绝对 值的性质求出 、 的值，再根据 ，分析可得 ， 或 ，然后代入进行计算即可
求解． < =3 =2 =−2
本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握相应的运算法则是关键．
7.若点 、 、 在同一条数轴上，其中 、 表示的数分别为 、 ，若 ，则 ( )
A. B. 或 C. 或 −4 1D. 或 =2 =
【答3案】D 5 7 3 5 3 7
【解析】解：由题知，
因为点 表示的数为 ，且 ，
则 ， 1 ， =2
所以1点−2表=−示1的数1为+2=或3 ．
又因为点 表示的数−为1 ，3
则 ， −4 ，
所以−1−(−4或)=．3 3−(−4)= 7
故选： =．3 7
根据点 表示的数及 ，求出点 表示的数，据此得出 即可．
本题主要 考查了线段 的 和=差2及数轴， 熟知数轴上的点所表示 数的特征是解题的关键．
8.按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为 的是( )
33
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学科网（北京）股份有限公司 9 24A. ， B. ， C. ， D. ，
【答 案=】1 D =4 =2 =4 =3 =4 =5 =4
【解析】解：根据运算程序图可直接代入进行计算可得：
当 ， 时，则 ，不符合题意；
当 =1， =4 时，则有2×1+2= 4 ，不符合题意；
当 =2， =4 时，则有2×2+2=6，不符合题意；
当 =3， =4 时，则有2×3+2=8 ，符合题意．
2
故选 =：5 ． =4 2×4 +1=33
根据运算 程序图可直接代入进行排除选项．
本题主要考查有理数的程序运算图，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
二、填空题：本题共10小题，共20分。
9.如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个
.
【答案】
【解析】7解：由数轴可得，
被盖住的整数有 ， ， ， ， ， ， ，
墨迹盖住的整数−共5有−4个−，3 −1 0 1 2
∴故答案为： ． 7
根据数轴写出7 所有被盖住的整数即可．
本题主要考查了有理数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.比较大小：
12 11
【答案】
−11 −12
<
【解析】解： ， ，
12 144 11 121
∵ |−11|= 11×12 |−12|= 11×12
．
144 121
∴11×12>11×12
．
12 11
∴故−答11案<为−：12 ．
<
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 10 24先计算两个负数的绝对值，然后根据绝对值大的反而小即可比较大小．
本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键．
11. 年上半年，华为公司的实际销售收入为 亿人民币， 亿用科学记数法可表示为 ．
【答2案02】4 4175 4175
11
【解析】4解.1：75×10亿 ．
11
故答案为： 4175 =．417500000000=4.175×10
11
科学记数法的4.1表75示×形1式0 为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成
时，小数点移动了多少位， ×的10绝对值与小数点移1≤动|的 |位<数10相同 ．当原数绝对值 时， 是正数；当原 数
的绝对值 时， 是负数． ≥10
此题考查科<学1 记数 法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，
表示时关键要正确确定 的值以及 的值． ×10 1≤| |< 10
12.如图，点 ， 分别表 示数 与 ，点 在线段 上，且 ，则点 对应的数是 ．
−1 5 =2
【答案】
【解析】3解： ，
， =5−(−1)= 6
∵ =2
，
2
∴点 表=示3 的 数=为4 ，
∴故答 案为： ． −1+4= 3
先求出 的3长，进而求出 的长，再根据数轴上两点距离计算公式即可求出答案．
本题主要 考查了数轴上两点 距离计算，有理数的加减计算，解题的关键是掌握相关知识．
13.如图，在数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且 ， 满足 ，点 表示的数
2
是 的倒数若将数轴 折叠，使得点 与点 重合，则与 点 重 合 的点表| 示+的2|数+是( __+__1_)_．=0
−7 .
【答案】
8
【解析】−解7： 点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且 ， 满足 ，
2
，∵ ， | +2|+( +1) =0
∴ +2=0 +1=0 第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 11 24解得： ， ，
点 表 示=的−数2是 =−的1倒数，
∵ −7
，
1
∴ =−7
将数轴折叠，点 与点 的中点对应的数为： ，
1
−2+(−7) 15
∴ 点 到 的距离 为： ， 2 =−14
15 15 1
∴ −14 −1−(−14)= 14
与点 重合的点表示的数是： ．
15 1 8
∴ −14−14=−7
故答案为： ．
8
−7
根据轴对称的性质，可得对称点表示的数为 ，再求出点 离对称点的距离，最后求出结果即可．
15
本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公−1式4的运用，解 题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距
离．
14.有理数 ， ， 在数轴上对应的点的位置如图所示如果 ，那么式
子 的值为 ． . + =0
【答| 案−】 |−| + |
【解析】0解：根据数轴可得： ， ，
， ， <0< < | |< | |
∴原 式+ <0 − <0
∴ =−( − )−( + )
=−． + − − =− − =−( + )
=故答0 案为： ．
根据数轴得到0 ， ，得出 ， ，根据绝对值的性质去掉绝对值，合并同
类项即可得到答 <案0．< < | |< | | + <0 − <0
此题考查了有理数与数轴、化简绝对值，整式加减．熟练掌握以上知识点是关键．
15.已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， ， 的值是______．
+ 3
【答案】 或 | |= 2 −2 + −
【解析】−解1：0 6、 互为相反数，
，∵
∴ 、+ 互=为0倒数，
∵
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 12 24，
∴ =1，
∵ | |= 2，
∴当 =±2时，
=2
+ 3 0 3
−2 + − =−2×1+ −2 =−2+0−8
； 1
=当−10 时，
=−2
+ 3 0 3
−2 + − =−2×1+ −(−2) =−2+0−(−8)=−2+0+8
； 1
=综上6 ，原式的值为 或 ．
故答案为： 或−1．0 6
根据 、 互−为10相反数6 ， 、 互为倒数， 得出 ， ， ，然后代入要求的式子计
算即可 ． | |= 2 + =0 =1 =±2
本题考查了代数式求值，绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.在数轴上，点 表示数 ，现将点 沿数轴作如下移动：第一次将点 向左移动 个单位长度到达点 ，
第二次将点 向右 移动 个2单位长度 到达点 ，第三次将点 向左移动 个单位4长度到达点 ，第四 1次
将点 向右 移1动 个单8位长度到达点 依2此规律，第 次 移2 动得到点12 ，则点 表示的 数3为 ．
【答案 3】 16 4…… 2024
【解析】由40题50意，得点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，点 表示的数 ，
点 表示的数 1 ，点 表示2−的4数=−2 2 依次−类2推+，8当=6为奇数 3时，点 表6示−的1数2是=−6 ；
当 为4 偶数时，−点6+1表6示=的10数是 5 所以1点0−20表=示−的10数……是 ． −2
17 .一般地，点 、 在数轴上分别2 表+示2有. 理数 、2024，那么 、 之2间 +的2距=离4可05表0示为 如： 表示 在
数轴上的对应点 到原 点的距离， 求 的最小值为 ，若满 足− . 5 5
时，则 的值是 ． 5 = 5−0 . −2 + +2 −2 + +2 =6
【答案】
4
±3
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 13 24【解析】本题考查绝对值的意义、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分
类讨论的方法解答．根据题目中的数据可以用相应的绝对值表示两点的距离；利用分类讨论的方法可以解
答本题．
【详解】解： 表示 与 距离， 表示 与 距离，
当表示 的点∵在 −与2 之 间时2， +2 的 值最−2小，且最小值是 ；
∴当 时， 2 −2 −2 + +2 ， ； −2−2 =4
当 <−2 时 ，−2 + +2 =− +2− −2=6 =−3；
当−2≤ 时≤，2 −2 + +2 =− +2+ +，2=4；≠6
当 >2 时 −2 + +2 = −2+ +2=6 =3
∴故答 案=为±：3 ； −．2 + +2 =6
18.设 是不4为 ±的3 有理数，我们把 称为 的差倒数如 的差倒数是 ， 的差倒数是
1 1 1 1
已知 ， 1 是 的差倒数， 是1− 的差倒 数， 是 . 的 −2 差倒数， ，1−以(−此2)类 = 推3， 2 则 的值为1−2=− 设 1.
， ，1 =都5是不 2为 1和 的有理 数3 ， 将2 一个数组 4 3中的数分别按⋯照⋯材料中“倒数差 ”202的4定义作变换，.
第 次变 换后得到0数组1 ，第 次变换后( 得, 数, )组 ， ，第 次变换后得到数组
1 ( 1, 1, 1) 2 ( 2, 2, 2) ⋯ ( , , ).
若数组 确定为 则 的值为 ．
1
( , , ) (−1,2,−3). 1+ 1+ 1+ 2+ 2+ 2+⋯+ 9+ 9+ 9
【答案】
1
−4
19
4
【解析】【分析】
本题考查了定义新运算，数字规律，找到规律是关键．根据差倒数的计算方法，分别求出 ， ， ， ，
值，找出规律即可求解．先根据“差倒数”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解 答1即 可2． 3 4
【5解答】
解：根据题意， ，
1 =5
，
1 1
2 =1−5=−4
，
1 4
3 = 1− − 1 4 = ， 5
1
4 = 4=5
1−5
，
1 1
5 =1−5=−4 第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 14 24每三个循环一次，
∴ ，
∵ 2024÷3=674⋯⋯2
的值为 ；
1
∴ 2024 −4
数组 确定为 ，
1
∵第 (次 ,变 ,换 )后 (−1,2,−3)
∴ 1 ，
1 1
1 =1− −1 = ，2
1
1 = 1=2
1−2
，即变换后得到数组 ，
1 1 1 1
第 1 = 次1−变−换3 后 =4 (2,2,4)
2 ， ， ，即变换后得到数组 ；
1 1 1 4 4
第
2 =
次1−变
1
2
=
换
2
后
2 =1−2=−1 2 =
1−
1
4
=3 (2,−1,3)
3 ， ， ，即变换后得到数组 ；
1 1 1 1 1
3 =1−2=−1 3 =1− −1 =2 3 = 1− 4 3 =−3 (−1,2,−3)
同理可得： ， ， ，
1 1
4 =2 4 =2 4 =4
， ， ，
4
5 =2 5 =−1 5 =3
， ， ，
1
6 =−1 6 =2 6 =−3
，
1 3
∴ 1+ 2+ 3 = 4+ 5+ 6 = 7+ 8+ 9 =2+2−1= 2
；
1 3
1+ 2+ 3 = 4+ 5+ 6 = 7+ 8+ 9 =2−1+2=2
；
1 4 17
1+ 2+ 3 = 4+ 5+ 6 = 7+ 8+ 9 =4+3−3=−12
9
∴ 1+ 1+ 1+ 2+ 2+ 2+⋯+ 9+ 9+
= .
3 3 17 19
三 3 、 × 解2+ 答 3 题 × ：2本 − 题 3× 共128 = 小题4 ，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.计算：
；
(1)(−20)+(+3)−(−5)；−(+7)
3 4 2 第 页，共 页
(2) (−2) +3 ÷4+ −3
学科网（北京）股份有限公司 15 24；
2 3 7 1 2025
(3) 3−4+8 ÷24−(−1)
．
6 2 1 3 1 2
( 【 4) 答 − 案 1 】 − (1)（ 0.5 -2 − 0）3+ ÷ （3+3 × ） [ - − （ 2 -5 − ） ( -（ − + 3 7 ) ） ] = − （8-2 − 0） 0. + 5 3+5+（-7）=[（-20）+（-7）]+（3+5）=（-27）+8=-19．
(2) ．
3 4 2 4 1 2 5 2 7
(−2) +3 ÷4+ −3 = −8+3 ×4−3=−3−3=−3
(3)
2 3 7 1 2025 2 3 7 2 3 7
3−4+8 ÷24−(−1)
．
= 3−4+8 ×24−(−1) =3×24−4×24+8×24+
1=16−18+21+1= 20
(4)
6 2 1 3 1 2 1 2 1 1
−1 − 0.5−3 ÷3×[−2−(−3) ]− 8−0.5 =−1− 2−3 ×3×(−2+27)− 8−4
．
1 1 1 1 25 1 23 1 91
=−1− −6 ×3×25−8=−1+6×3×25−8=−1+ 2 −8= 2 −8= 8
【解析】 略
略 1.
2.略
3.略
420.. 本小题 分
按要(求解答．8 )
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．
−3 4
Ⅰ 把 这四个数在数轴上表示出来；
2 9
( ) 0,(−1) ,|−5.5|,−(+2)
Ⅱ 把 ， ， ， 这四个数按从小到大的顺序用“ ”连接起来；
2 9
( Ⅲ ) 大 0 于 (−并1且) 小 | 于 −5. 的 5| 所−有(整+数2)的和为______． <
(【答)案】−3 4
【解析】3Ⅰ 如图所示：
( )
Ⅱ 由 Ⅰ 可知 ；
9 2
( ) ( ) −(+2)<0<(−1) <|−5.5|
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 16 24Ⅲ 大于 并且小于 的所有整数的和为： ．
(故答)案为−：3 ． 4 (−2)+(−1)+0+1+2+3=3
Ⅰ 根据点 表3示的数是 ，点 表示的数是 找出原点即可；
( )把各数 在数轴上表示−出3 来， 从左到右用“4 ”连接起来即可；
(2)结合数轴解答即可． <
(本3)题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
21. 本小题 分
如图(，点 在8数轴)上所对应的数为 ．
−2
若点 在点 右边距点 个单位长度，则点 所对应的数为 ；
(1)在 的条件 下，点 以 6每秒 个单位长度沿 数轴向左运动，同时点 以每秒 个单位长度沿数轴向右运
(动2)，当(1点) 运动到 所 在的点处2时，求 ， 两点间距离； 3
在 的 条件下−，6现点 静止不动，点 沿 数轴以原速向左运动时，经过多长时间 ， 两点相距 个单位
(长3)度？(2) 4
【答案】(1)4
(2)因为点A运动前的位置为－2，运动后的位置为－6，
所以点A运动的距离为4个单位长度.
又因为点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，
所以点A运动的时间为 （秒），
所以点B运动的时间也为4÷2秒2=. 2
因为点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，
所以点B运动的距离为 （单位长度）.
又因为点B运动前的位置3为×24，=6
所以点B运动后的位置为 ，
所以运动2秒后，A，B两4点+间6的=距1离0 是16个单位长度.
(3)分两种情形讨论：
①当运动后的点B在点A右边4个单位长度时，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 17 24运动时间为 （秒）；
②当运动后的16点−B4在÷点3A=左4边4个单位长度时，
运动时间为 （秒）.
20
16+4 ÷3= 3
综上可知，经过4秒或 秒，A，B两点相距4个单位长度.
20
3
【解析】 略
略 1.
2.略
322.. 本小题 分
( 8 )
把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如： 、 ，我们称之为集合，其中的数称为
3
集合的元素如果一个集合满足：当有理数 是集合的{1元,2,素8}时，{−有2理,7数,4,19} 也必是这个集合的元素，这样的
集合我们称为. “好的集合”，例如集合 就是一个“好的集合”．10−
{10,0}
集合 ______ 填“是”或“不是” “好的集合”．
3
(1)请你再{−写2出,7,两4,个19“}好的集(合” 不得与上面出现)过的集合重复 ______．
(2)在所有“好的集合”中，元素个( 数最少的集合是______． )
(【3)答案】不是；
、 ；
{2,8,4,6} {3,7}
【{5解}析】 ， ， ， ，
3 37
故答案为：(1)不10是−；(−2)= 12 10−7=3 10−4= 4 10−19=−9
， ， ，
(2)∵ 10−、8=2 是1好0集−4合=．6 10−3=7
∴故{答2,8案,4为,6：} {3,7} 、 ；
元素个数{的2,8集,4合,6}就是{3只,7}有一个元素的集合，设其元素为 ，
(由3)题意得： ，解得 ，
元素的个数 最=少10的−好 集合是 =．5
∴故答案为： ． {5}
第 页，共 页
{5}
学科网（北京）股份有限公司 18 24用 减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合中进行判断即可；
(1)依据10题意可知任意两个和为 的数字组成的集合都是一个好集合；
(2)元素个数最少的集合中只要有10一个元素，设其元素为 ，故此 ，从而可求得问题的答案．
(本3)题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解 好集合的10概−念 是=解 题的关键．
23. 本小题 分
在解(决数学问8题的) 过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问
题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题．
【提出问题】已知三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【解决问题】解：由题意可知， ， ， 三个 有 >理0数都为 正+数 或+其 中一个为正数，另两个为负数．
①当 ， ， 都是正数，即 ， ， 时， ；②当 ， ， 中有一个正
>0 >0 >0 + + =1+1+1=3
数，另两个为负数时，设 ， ， ，则 所以 的值为
或 ． >0 <0 <0 + + =1−1−1=−1. + + 3
【探−1究】请根据上面的解题思路解答下面的问题．
已知三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值；
(1)已知 ， 且 ， 求<0 的 值+． +
(【2)答案】| (|1=)解8：由| |题=意2可知 ，<a ，b， c−三3个 有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， ；
+ + =−1−1−1=−3
②当a，b，c中有一个负数，另两个为正数时，设a＞0，b＞0，c＜0，则 ．所
+ + =1+1−1=1
以 的值为-3或1．
+ +
(2)由|a|＝8，|b|＝2，得a＝±8，b＝±2．因为a＜b，所以a＝-8，b＝±2．当a＝-8，b＝2时，a-3b＝-8-3×2
＝-14；当a＝-8，b＝-2时，a-3b＝-8-3×（-2）＝-2．所以a-3b的值为-14或-2．
【解析】 略
略 1.
224.. 本小题 分
若 (， ， 三8点在)数轴上表示的数分别为 ， ， ，且满足 ，则称 为 ， 两点的倍距点．例
| − |= 2| − |
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 19 24如：若 ， ， ，因为 ， ，所以
，即 =是−2， 两=点4的 倍=距1 点．| − |= |−2−4|=6 2| − |=2×|−2−1|=6 | − |=2| −
| 若 ， ， ，请说明： 是 ， 两点的倍距点；
(1)若 =3 ， =是−5， 两=点−1的倍距点，且 ，求 的值．
(【2)答案 】=(−1)1因为 a＝ 3， b＝-5，c＝-1，所以 |a−-b| ＝=|32-(-5)|＝ 8，2|a-c|＝2×|3-(-1)|＝2×4＝8，即|a-b|＝2|a-c|．所
以B是A，C两点的倍距点．
(2)因为B是A，C两点的倍距点，所以|a-b|＝2|a-c|．因为a-c＝2，a＝-1，所以|-1-b|＝4．所以-1-b＝4或-1-b
＝-4，解得b＝-5或b＝3．所以b＝-5或3．
【解析】 略
略 1.
225.. 本小题 分
【定(义新知】8 )
我们知道：式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理数 的点之间的距离，因此，若点
、 在数轴上分| 别−表3示| 有理数 、 ，则 、 两点之间的 距离 请3根据数轴解决以下问题：
式 子 在数轴上的意义 是 ． =| − |.
(1)当 | +2| 取最小值时， 可以取整数 ．
(2) | +1|+| −3的|最大值为 ．
(3) | +1|−| −3| 的最小值为 ．
(4)【| 解+决1|问+题| 】−2|+| −6|
(如5)图，一条笔直的公路边有四个居民区 、 、 、 和市民广场 ，居民区 、 、 、 分别位于市民广场左
侧 、左侧 、右侧 、右侧 现 需 要在该公路边 上建一个便 民 服务 点 ，那么这个便民服务
点5建 在何处，能1 使 服务点 1到 四 个居民区3 、. 、 、 的总路程最短？最短路程是多少 ？试说明理由．
【答案】(1)表示有理数x的点与表示有理数-2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 20 24(5)设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|
＋|x-3|，当表示x的点在表示-5的点到表示3的点的线段上时，|x＋5|＋|x-3|有最小值8，当表示x的点在表
示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋1|＋|x-1|有最小值2，故当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的
线段上时，|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|有最小值10，所以当便民服务点P建在点B与点C之间时，便民服务
点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，最短路程是10km．
【解析】 略
略 1.
2.略
3.
4根.据题意可得， 的几何意义是数轴上表示 的点到表示 的点，到表示 的点和
到表示 的点的|距 离+1之|和+，| 当−表2示|+的| 点−在6|表示 的点到表示 的点 的线段上时−，1 2
有最小值6，此时 −1 ，当 6 时，取最小值 | ．+1|+| −2|+| −6|
略 | +1|+| −2|+| −6|=7+| −2| =2 7
526.. 本小题 分
对于(数轴上的8 ，) ， 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 倍的数量关系，
则称该点是其它 两 个点 的“联盟点”． 2
例如数轴上点 ， ， 所表示的数分别为 ， ， ，此时点 是点 ， 的“联盟点”．
若点 表示 数 ， 点 表示数 ，点 是1点3，4的“联盟 点”， 点 在 、 之间，且表示一个负数，则
(点1) 表示 的数为_−_2____； 3
若点 表示数 ，点 表示数 ，下列各数 ， ， ， 所对应的点分别为 ， ， ， ，其中是点 ，
2
(2的)“联 盟点”的−是2 ____ __； 2 −3 0 4 6 1 2 3 4
点 表示数 ，点 表示数 ， 为数轴上一点．
①(3)若点 在点 −的1左5 侧， 且点 是2点5 ， 的“联盟点”，此时点 表示的数是______；
②若点 在点 的右侧，点 ， ， 中， 有一个点恰好是其它两个 点的“联盟点”，直接写出此时点 表示的
数_____ _．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 21 24【答案】 ， 或 或 或 或
1 35 5
【解析】−解3： 1 点 4 3是点−3，−5的5“6联5 盟点45”，105
或(1)∵ ，
∴设 点 =表2示 数为 ，=2
点 在 、 之间 ，且表示负数，
∵ ，
∴若−2< <3，则 ，
=2 +2=2(3− )
解得： ，舍去；
4
若 =3，则 ，
=2 3− =2( +2)
解得： ，行，
1
=−3
故答案为： ；
1
根据题意−可3得：
(2)
，
2 4 2 8
1 =−3−(−，2)= 3, 1 =2−(−3)= 3
∵ 2 是 1点= ， 1的“联盟点”，
∴ 1 ， ，
2 =0−(−，2)= 2 2 =2−0=2
∵ 不2 =是 点 2， 的“联盟点”，
∴ 2 ， ，
3 =4−(−，2)= 6 2 =4−2=2
∵ 不3 =是3点 ，3 的“联盟点”，
∴ 3 ， ，
4 =6−(−，2)= 8 4 =6−2=4
∵ 是4 =点2 ， 4的“联盟点”，
∴总 之4， ， 是点 ， 的“联盟点”，
故答案为 1： 4， ；
①设点 标1示的 4数为 ，
(当3)点 在 和 之间时，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 22 24若 ，则 ，
=2 −(−15)=2(25− )
解得 ；
35
若 = 3 ，则 ，
2 = 2[ −(−15)]= 25−
解得 ；
5
当 在 =左−边3时， ，
则 2 = ，
解得2(：−15− )；=25−
=−55
故答案为： 或 或 ；
35 5
②设点 表示3的数−为3 ，−55
当 是 和 的“联盟 点”时， ，
则 ，=2
解得 −(−15；)=2[25−(−15)]
当 是 =和65的“联盟点”时，
若 ，则 ，
解得 =2 ， 25−(−15)=2( −25)
若 =45 ，则 ，
解得2 = ； 2[25−(−15)]= −25
当 是 =和10的5 “联盟点”时， ，
则 ， =2
解得 −(−15)舍=去2( ，−25)
总之， =点−3表5示( 的数)为 或 或 ，
故答案为： 或 或65 ．45 105
根据“联6盟5点”45的定1义0可5 得 或 ，设点 表示的数为 ，得出 的取值范围为
(1) ，然后进行分类讨论即可 ； =2 =2 −2<
<根3据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可；
(2)①设点 标示的数为 ，进行分类讨论：当点 在点 和点 之间时，当点 在点 左边时，即可解答；②设
(点3)表示的 数为 ，然后进 行分类讨论：当点 是点 和 点 的 “联盟点”时， 当点 是点 和点 的“联盟点”
时， 当点 是点 和点 的“联盟点”时．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 23 24本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的
定义，以及求数轴上两点之间距离的方法．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 24 24
