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南京市建邺区致远初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于 的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2 2 1
2.如 + 图 2 ， = 是 1 直径，点 ， 在 + 半 圆 =2 上，若 2 − = ， 3 则 的 度 + 数 =4
是( ) ∠ =40° ∠
A.
B. 110°
C.120°
D.130°
3.如14图0°， 经过五边形 的四个顶点，若 ， ，
，则 ⊙的 度数为( ) ∠ =150° ∠ =65° ∠ =
6A0.°
B. 45°
C.40°
D.35°
4.用30配° 方法解方程 时，原方程应变形为( )
2
A. −2 B−. 5=0 C. D.
2 2 2 2
5.如( 图+，1)在矩=形6 中， ( −1，) =6 ， (、 +3、) =分9别与 ( 相−切2于) =、9 、
三点，过点 作 的切线 交 =4于点 ，=切5 点 为 ， 则 的长为(⊙)
⊙
A.
9
B. 2
2 5
C.
4 13
3
D.
13
6.关3于 的方程 为常数 的根的情况，下列结论中正确的是( )
2
A.两个 正根 ( −1)( +2)= ( ) B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
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学科网（北京）股份有限公司 17.如图，已知直线 交 于 、两点， 是 的直径，点 为 上一点，且 平分 ，过 作 ，
垂足为 ，且 ⊙ ， 的直径 为 ⊙， 则 的长等 于⊙( ) ∠ ⊥
A. + =12 ⊙ 20
B. 8
C.12
D.16
8.如18图，在等边 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，
连接 ， 交于△点 ， 连接 ，=则6 的 最小 值是( ) =
A.
B. 2
C.3
D.2 2
二、2填3空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.已知 是方程 的一个根则 ______．
2 2
10.已知 的半 径−为5 ，−点1=到0直线 的距.离为2 ，−则10与 +20的2位4=置关系是______．
11.在圆内⊙接 四边形 2 中， 、 的度数之3比为 ：⊙， 则 ______
12.已知 ， 是方程 ∠ ∠ 的实数根，则 1 2 ∠ = _____°_.．
2
13.如图 ，1 2与 的−边3 +、2=、0 分别相切于点 1+、 2、− ，1 如2果= ，
，⊙ △， 那 么 的 长 为 _ ___ _ _． =4
=5 =1
14.某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，
污水水面宽度为 ，污水水面至管道顶部的距离为 ，则圆形管道的直
径为______ ．60 10
15.如图，由 个边长为 的小正方形组成的图形，若 经过其顶点 、 、 ，则
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学科网（北京）股份有限公司 2圆心 到 的距离为______．
16.若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则关于 的一元二次方程
2
的解为____ __( ．+ℎ) + =0 1 =−1 2 =3 ( +
2
ℎ三−、1解)答+题 ：=本0题共10小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题 分
解方(程： 8 )
；
2
(1) +2 −1=0 ．
2
(2)( −3) =2 −6
18. 本小题 分
如图(，在以点8 为)圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于点 、 ．
求证： ；
(1)若 ，=大 圆 和小圆的半径分别为 和 ，则 的长度是______．
(2) =6 12 8
19. 本小题 分
已知(关于 的8方程) ．
2
若方程 有一个根 是−，( 求+2的) 值+；2=0
(1)求证：不论 取为何2值， 方程总有实数根．
(2)
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学科网（北京）股份有限公司 320. 本小题 分
如图(， 、6 是) 的直径，弦 求证： 是弧 的中点．
⊙ / / .
21. 本小题 分
如图(，四边形10 ) 内接于 ， ，点 在 的延长线上，且 ．
求证： 是 的切线⊙； ∠ =90° ∠ =∠
(1)若 ⊙，当 ， 时，求 的长．
(2) / / =4 =2
22. 本小题 分
如果(关于 的1一2元二) 次方程 满足 ，那么称这样的方程为“美好方程”例如，
2
方程 ， + +， 则=这0个方程 就+是 +“ 美=好0方程”． .
2
下 列−方4程 是+“3=美0好方1程−”4+的3是=__0____；
(1)
2
① +2 −3=0
2
② −3 =0
2
③ +1=0
④ 求( 证−：1“)=美2好( 方−程1”) 总有两个实数根；
2
(2)若美好方程 + + =0 有两个相等的实数根，求证： ．
2
(3) ( − ) +( − ) +( − )=0 + =2
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学科网（北京）股份有限公司 423. 本小题 分
如图(，四边形10 ) 是 的内接四边形， ， ，垂足分别是 、 ．
直接写出 与 的⊙数 量关系______，并 证 明⊥ 你 的结 论⊥．
(1)若 ， 求 的半径．
(2) =2 =1. ⊙
24. 本小题 分
如图(， 是10 的)直径，弦 ，垂足为 ， 为弧 上一动点， ， 的延长线相交于点 ，连接 ，
． ⊙ ⊥
求证： ；
(1)已知 ∠ ，=∠ ，求 的大小．
(2) =8 =4 3 ∠
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学科网（北京）股份有限公司 525. 本小题 分
证( 明定理1：2圆内) 接四边形的对角互补．
(已1)知：如图 ，四边形 内接于 求证： ．
逆命题证①明： ⊙ . ∠ +∠ =∠ +∠ =180°
(若2)四边形的一组对角 ，则这个四边形的 个顶点共圆 图 ，
可以用反证法证明如下∠ ：+∠ =180° 4 ( ②)
在图 中，经过点 ， ， 画 ．
假设点② 落在 外 ， 交 ⊙于 点 ，连接 ，
四边形 ⊙内 接于 ，⊙
∵可得___ _ _ _ ，⊙
∴ =180，°
∵∠ +∠ _=__1_8_0_°，与 得出矛盾；
∴同∠理 点 也=不会落在 ∠ 内 ， > ∠
， ， ， 共圆．⊙
∴
结论运用：如图 ，线段 ，点 ， 分别在射线 和线段 上运动，以 为边在
8
(内3)部作等边 ， ∠ 则 = 的 1 最 20 小 ° 值为__ _ __=_．3 ∠
△
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学科网（北京）股份有限公司 626. 本小题 分
【问(题提出】1如2 图) ， 为 的一条弦，点 在弦 所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道
的度数不变．爱动1脑筋 的小⊙芳 猜想，如果平 面内线 段 的长度已知， 的大小确定，那么点 是不∠是 在
某个确定的圆上运动呢？ ∠
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图 ，若 ，线段 上方一
点 满足 ，为了画出点 所在的圆，小芳以 为底边构造了一个 2 ，=再4以点 为 圆 心，
为半 径画∠圆 ， 则=点45在° 上．后来 小芳通过逆向思维 及 合情推理，得出一个 一△般 性 的结论．即 ：若线段
的长度已知， 的⊙大小 确定，则点 一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几 何
模型称之为“∠定 弦 定角”模型．
【模型应用】 若 ，平面内一点 满足 ，若点 所在圆的圆心为 ，则 ______，
半径 的长为(1_)___ _ _；=6 3 ∠ =60° ∠ =
如 图 ，已知正方形 以 为腰向正方形内部作等腰 ，其中 ，过点 作 于点 ，
(若2)点 是3 的内心． △ = ⊥
求 △ 的 度 数；
①连接∠ ，若正方形 的边长为 ，求 的最小值．
② 6
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