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雨花中学 九上数学第一次月考卷 2025 秋
一．选择题（共6小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B． C．2x﹣3y＝1 D．x2＝1
2
2．若 O的半径为3，OP＝2
，
−1
则=点1 P与 O的位置关系为（ ）
A．⊙点P在 O外 B．点P在 O上⊙ C．点P在 O内 D．无法判断
3．下列说法正⊙确的是（ ） ⊙ ⊙
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点
4．如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为 ．
⊙
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
6．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
二．填空题（共10小题）
7．方程x2＝3x的解是 ．
8．若 化为 的形式是 ．
2 2
9．写出 一+个6 以−﹣31=和0﹣2为两 +根ℎ的一=元 二次方程： ．
10．设x1 ，x2 是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，x1+x2 ＝1，则 ＝ ．
11．某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆 ，1 设2 平均每次增产的百分率是x，可列方程
为 ．
12．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD＝ °．
⊙
-1-
{#{QQABLYSowgiwgNaACD5LQUHECgsQkIGhJUoEQUASqA4qyJFIFIA=}#}13．如图，AB是 O的弦，点C在 O上（不与A，B重合）．若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为 °．
⊙ ⊙
14．关于x的一元二次方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，则方程a（x﹣1）2+k＝0的解为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的 O分别交BC、CD于点E、
F．下列结论：①DF＝CF；② ；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是 ⊙ ．
=
三．解答题（共11小题）
17．按指定的方法解下列方程：
（1） （2）x2+6x﹣7＝0
2
−1 =4
（3） （4）
2 2
−3 =2 −6 3 +2 = +1
18．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD．
⊙ ⊙
-2-
{#{QQABLYSowgiwgNaACD5LQUHECgsQkIGhJUoEQUASqA4qyJFIFIA=}#}19．已知关于x的一元二次方程是x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．
20．如图，AB，CD是 O的两条弦，AB∥CD．求证： ；
⊙ =
21．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如
果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．
-3-
{#{QQABLYSowgiwgNaACD5LQUHECgsQkIGhJUoEQUASqA4qyJFIFIA=}#}22．证明定理：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于 O．
求证： ⊙ ．
23．如图，点A、B、C在 O上，OB平分∠ABC．
（1）求证：BA＝BC．⊙
（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求 O的半径．
⊙
24．某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为5元．据市场调查：每杯售价30元，平均每天可销售300杯；价格每降
低5元，平均每天可多销售100杯．为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利7820元，
这款奶茶应售价多少元？
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{#{QQABLYSowgiwgNaACD5LQUHECgsQkIGhJUoEQUASqA4qyJFIFIA=}#}25．矩形ABCD中，P在线段DC上．
（1）请在图①中利用尺规画出点P，使得∠APB＝90°（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）①请在图②中利用尺规画出点P，使得∠APB＝60°（不写作法，保留作图痕迹）．
②AB＝m，AD＝4．若一定存在一点P，使得∠APB＝60°，则m的取值范围是 ．
26．若x＝m时，代数式ax2+bx+c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x
的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”．
（1）代数式x2的“x优值”是 ；
（2）判断代数式x2﹣x+n2+2是否存在“x优值”，并说明理由；
（3）代数式x2﹣n2+n存在两个“x优值”且差为5，求n的值．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，连接AD并延长交BC延长线于点
E． ⊙
（1）求证：AC＝CE；
（2）连接DO并延长交直线BC于点F，若BF＝CE，试画出图形并直接写出∠BAC的度数．
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{#{QQABLYSowgiwgNaACD5LQUHECgsQkIGhJUoEQUASqA4qyJFIFIA=}#}
